Matemáticas II · Propiedades métricas en el espacio · Selectividad

Problemas de selectividad de Propiedades métricas en el espacio

41 problemas resueltos paso a paso · PAU 2016-2026 · Por Álvaro López

Problemas de la PAU de Matemáticas II (Comunitat Valenciana) cuyo tema principal es distancias, ángulos, áreas y volúmenes, ordenados de menos a más difícil. Si un problema necesita varios temas, aparece solo en el último de ellos y te avisa de los anteriores que debes saber. Los enunciados son los oficiales; las soluciones son nuestras. Si dudas con la teoría, repasa primero Propiedades métricas en el espacio.

Nivel

Año

Soluciones

Nivel básico ★

Julio 2026 · Opción 3.1 Básico2,5 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes / Vectores

Plano perpendicular a un vector, recta normal y distancia punto-plano

3.1 Se consideran los puntos del espacio $A (0, - 1, 0)$ y $B (1, 0, 1)$ , y el vector $v = (2, - 1, 1)$ . Se pide:

3.1.1 (0.75 puntos) Encontrar una ecuación del plano $π$ que es perpendicular a $v$ y pasa por $A$ .

3.1.2 (0.75 puntos) Encontrar una ecuación de la recta que es perpendicular a $π$ y pasa por $B$ .

3.1.3 (0.75 puntos) Encontrar el punto $C$ del plano $π$ que está más cerca de $B$ .

3.1.4 (0.25 puntos) Calcular la distancia del punto $B$ al plano $π$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: 3.1.1) $2 x - y + z - 1 = 0$ ; 3.1.2) $(x, y, z) = (1 + 2 λ, - λ, 1 + λ)$ ; 3.1.3) $C (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ ; 3.1.4) $\frac{2}{6} \approx 0, 816$

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3.1.1) Un plano perpendicular a $v = (2, - 1, 1)$ tiene a $v$ como vector normal, así que su ecuación es $2 x - y + z + D = 0$ . Como pasa por $A (0, - 1, 0)$ :

$2 \cdot 0 - (- 1) + 0 + D = 0 ⟹ D = - 1.$

Resultado: $π : 2 x - y + z - 1 = 0$ (es decir, $2 x - y + z = 1$ )

3.1.2) Una recta perpendicular a $π$ tiene como vector director el normal del plano, $v = (2, - 1, 1)$ . Pasando por $B (1, 0, 1)$ :

$(x, y, z) = (1, 0, 1) + λ (2, - 1, 1) = (1 + 2 λ, - λ, 1 + λ), λ \in R .$

Resultado: $r : (x, y, z) = (1 + 2 λ, - λ, 1 + λ)$ , o bien $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$

3.1.3) El punto de $π$ más próximo a $B$ es su proyección ortogonal sobre $π$ , es decir, el punto de corte de la recta del apartado anterior con el plano.

Sustituimos $(1 + 2 λ, - λ, 1 + λ)$ en $2 x - y + z - 1 = 0$ :

$2 (1 + 2 λ) - (- λ) + (1 + λ) - 1 = 0 ⟹ 2 + 4 λ + λ + 1 + λ - 1 = 0 ⟹ 2 + 6 λ = 0.$

Luego $λ = - \frac{1}{3}$ .
El punto es $C = (1 - \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - \frac{1}{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ .

Comprobación: $2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 = 0$ .

Resultado: $C (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

3.1.4) Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano con $B (1, 0, 1)$ y $2 x - y + z - 1 = 0$ :

$d (B, π) = \frac{∣2 \cdot 1 - 0 + 1 - 1∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{2}{6} = \frac{6}{3} \approx 0, 816.$

(Coincide con $∣ B C ∣ = (\frac{2}{3})^{2} + (\frac{1}{3})^{2} + (\frac{1}{3})^{2} = \frac{6}{9}$ .)

Resultado: $d (B, π) = \frac{2}{6} \approx 0, 816$

Resultado: 3.1.1) $2 x - y + z - 1 = 0$ ; 3.1.2) $(x, y, z) = (1 + 2 λ, - λ, 1 + λ)$ ; 3.1.3) $C (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ ; 3.1.4) $\frac{2}{6} \approx 0, 816$

Repasa la teoría: Producto escalar · Ecuaciones de la recta en el espacio · Ecuaciones del plano · Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano · Proyecciones ortogonales y simétricos · Ver el examen completo (Julio 2026)

Julio 2025 (Examen de reserva) · Opción 3.2 Básico2,5 puntosDistancias, ángulos, áreas y volúmenes / Rectas y planos / Vectores

Puntos en un plano, distancia punto-plano y proyección ortogonal de un punto

3.2 Se considera el plano $π$ con ecuación $2 x + 3 y - z = 0$ y los cuatro puntos $A = (0, 0, 0)$ , $B = (10, 0, - 20)$ , $C = (0, 15, - 30)$ y $D = (1, 2, - 1)$ .

3.2.1 (0,5 puntos) Comprobar si el triángulo $A B C$ pertenece al plano $π$ .

3.2.2 (0,5 puntos) Calcular la distancia del punto $D$ al plano $π$ .

3.2.3 (1,5 puntos) Calcular las coordenadas de la proyección del punto $D$ sobre el plano formado por los puntos $A$ , $B$ y $C$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: 3.2.1) no pertenece (solo $A \in π$ ); 3.2.2) $d = \frac{9}{14} \approx 2, 405$ ; 3.2.3) $D^{'} = (- \frac{1}{9}, \frac{8}{9}, - \frac{14}{9})$

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3.2.1 El triángulo pertenece a $π$ si sus tres vértices cumplen la ecuación del plano.

$A$ : $2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 0 = 0$ . Cumple.
$B$ : $2 \cdot 10 + 3 \cdot 0 - (- 20) = 20 + 20 = 40 \neq = 0$ . No cumple.
$C$ : $2 \cdot 0 + 3 \cdot 15 - (- 30) = 45 + 30 = 75 \neq = 0$ . No cumple.

Solo $A$ está en $π$ , así que el triángulo $A B C$ no pertenece al plano $π$ .

Resultado: No: $B \in / π$ y $C \in / π$ (solo $A \in π$ ).

3.2.2 El vector normal de $π$ es $n = (2, 3, - 1)$ , con $∣ n ∣ = 4 + 9 + 1 = 14$ .

$d (D, π) = \frac{∣2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - ( - 1 ) ∣}{14} = \frac{∣2 + 6 + 1∣}{14} = \frac{9}{14} = \frac{9 14}{14} \approx 2, 405$ .

Resultado: $d (D, π) = \frac{9}{14} \approx 2, 405$

3.2.3 Primero hallamos el plano $π^{'}$ que contiene a $A$ , $B$ y $C$ (no están alineados, porque $A B$ y $A C$ no son proporcionales).

$A B = (10, 0, - 20) ∥ (1, 0, - 2)$ y $A C = (0, 15, - 30) ∥ (0, 1, - 2)$ .
Normal: $(1, 0, - 2) \times (0, 1, - 2) = i 10 j 01 k - 2 - 2 = (0 + 2, - (- 2 - 0), 1 - 0) = (2, 2, 1)$ .
Plano por $A = (0, 0, 0)$ : $π^{'} : 2 x + 2 y + z = 0$ . (Comprobación: $B$ : $20 + 0 - 20 = 0$ ; $C$ : $0 + 30 - 30 = 0$ .)

La proyección de $D$ sobre $π^{'}$ es el punto $D^{'}$ donde la recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $π^{'}$ corta a $π^{'}$ .

Recta: $(x, y, z) = (1, 2, - 1) + t (2, 2, 1) = (1 + 2 t, 2 + 2 t, - 1 + t)$ .
Imponemos que esté en $π^{'}$ : $2 (1 + 2 t) + 2 (2 + 2 t) + (- 1 + t) = 0 \Rightarrow 2 + 4 t + 4 + 4 t - 1 + t = 0 \Rightarrow 9 t + 5 = 0 \Rightarrow t = - \frac{5}{9}$ .
Sustituimos: $D^{'} = (1 - \frac{10}{9}, 2 - \frac{10}{9}, - 1 - \frac{5}{9}) = (- \frac{1}{9}, \frac{8}{9}, - \frac{14}{9})$ .
Comprobación: $2 (- \frac{1}{9}) + 2 \cdot \frac{8}{9} - \frac{14}{9} = \frac{- 2 + 16 - 14}{9} = 0$ .

Resultado: $D^{'} = (- \frac{1}{9}, \frac{8}{9}, - \frac{14}{9})$

Resultado: 3.2.1) no pertenece (solo $A \in π$ ); 3.2.2) $d = \frac{9}{14} \approx 2, 405$ ; 3.2.3) $D^{'} = (- \frac{1}{9}, \frac{8}{9}, - \frac{14}{9})$

Repasa la teoría: Producto vectorial · Ecuaciones del plano · Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano · Proyecciones ortogonales y simétricos · Ver el examen completo (Julio 2025)

Julio 2023 · Problema 3 Básico10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Recta por dos puntos, plano perpendicular por un tercero y distancia de un punto

Problema 3. Dados los puntos $A = (2, - 1, 0)$ , $B = (1, 2, 3)$ y $C = (- 1, 0, 0)$ :

a) (3 puntos) Hallar la ecuación implícita de la recta $r$ que contiene a los puntos $A$ y $B$ .

b) (4 puntos) Hallar la ecuación del plano $π$ que es perpendicular a la recta anterior $r$ y que contiene al punto $C$ .

c) (3 puntos) Calcular la distancia del punto $A$ al plano $π$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $r : 3 x + y - 5 = 0, y - z + 1 = 0$ ; b) $π : - x + 3 y + 3 z - 1 = 0$ ; c) $\frac{6}{19} \approx 1, 376$

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a) Un vector director de $r$ es $A B = B - A = (- 1, 3, 3)$ , y $r$ pasa por $A = (2, - 1, 0)$ :

$\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{3} .$

Igualamos la primera y la segunda fracción: $3 (x - 2) = - (y + 1) \Rightarrow 3 x + y - 5 = 0$ .
Igualamos la segunda y la tercera: $y + 1 = z \Rightarrow y - z + 1 = 0$ .
Comprobación con $B = (1, 2, 3)$ : $3 + 2 - 5 = 0$ y $2 - 3 + 1 = 0$ .

Resultado: $r : {3 x + y - 5 y - z + 1 = 0 = 0$

b) Si $π ⊥ r$ , el vector director de $r$ es normal al plano: $n = (- 1, 3, 3)$ .

$π : - x + 3 y + 3 z + D = 0$ .
Pasa por $C = (- 1, 0, 0)$ : $1 + 0 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = - 1$ .

Resultado: $π : - x + 3 y + 3 z - 1 = 0$ (equivalentemente, $x - 3 y - 3 z + 1 = 0$ )

c) Usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano con $A = (2, - 1, 0)$ :

$d (A, π) = \frac{∣ - 2 + 3 ( - 1 ) + 3 \cdot 0 - 1∣}{( - 1 ) ^{2} + 3 ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{∣ - 6∣}{19} = \frac{6}{19} \approx 1, 376.$

Resultado: $d (A, π) = \frac{6}{19} = \frac{6 19}{19} \approx 1, 376$

Resultado: a) $r : 3 x + y - 5 = 0, y - z + 1 = 0$ ; b) $π : - x + 3 y + 3 z - 1 = 0$ ; c) $\frac{6}{19} \approx 1, 376$

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Nivel medio ★★

Julio 2026 · Opción 3.2 Medio2,5 puntosPosiciones relativas / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes / Vectores

Triángulo y plano, proyección ortogonal de un punto y distancia

3.2 Dado el plano $π : 2 x + 3 y - z = 0$ y los puntos $A (0, 0, 0)$ , $B (10, 0, - 20)$ , $C (0, 15, - 30)$ y $D (1, 2, - 1)$ , se pide:

3.2.1 (0.5 puntos) Estudiar si el triángulo $A B C$ está contenido en el plano $π$ .

3.2.2 (1.25 puntos) Calcular las coordenadas de la proyección del punto $D$ sobre el plano formado por los puntos $A$ , $B$ y $C$ .

3.2.3 (0.75 puntos) Calcular la distancia del punto $D$ al plano $π$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: 3.2.1) no está contenido; 3.2.2) $(- \frac{1}{9}, \frac{8}{9}, - \frac{14}{9})$ ; 3.2.3) $\frac{9}{14} \approx 2, 405$

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3.2.1) Comprobamos si cada vértice cumple la ecuación $2 x + 3 y - z = 0$ de $π$ :

$A (0, 0, 0)$ : $0 = 0$ , está en $π$ .
$B (10, 0, - 20)$ : $20 + 0 + 20 = 40 \neq = 0$ , no está en $π$ .
$C (0, 15, - 30)$ : $0 + 45 + 30 = 75 \neq = 0$ , tampoco.

Basta con que un vértice no esté en $π$ para que el triángulo no esté contenido en él.

Resultado: el triángulo $A B C$ no está contenido en $π$ (solo $A$ pertenece al plano).

3.2.2)

Hallamos el plano $σ$ que contiene a $A$ , $B$ y $C$ . Vectores: $A B = (10, 0, - 20)$ y $A C = (0, 15, - 30)$ .
Un vector normal es su producto vectorial:

$A B \times A C = i 100 j 015 k - 20 - 30 = (0 \cdot (- 30) - (- 20) \cdot 15, - (10 \cdot (- 30) - 0), 10 \cdot 15 - 0) = (300, 300, 150) .$

Dividiendo entre 150 tomamos $n = (2, 2, 1)$ .

Como pasa por $A (0, 0, 0)$ : $σ : 2 x + 2 y + z = 0$ . (Comprobación: $B$ da $20 + 0 - 20 = 0$ y $C$ da $0 + 30 - 30 = 0$ .)
La proyección $D^{'}$ de $D (1, 2, - 1)$ sobre $σ$ es el corte de $σ$ con la recta que pasa por $D$ con dirección $n$ : $(x, y, z) = (1 + 2 λ, 2 + 2 λ, - 1 + λ)$ .
Sustituimos en $σ$ :

$2 (1 + 2 λ) + 2 (2 + 2 λ) + (- 1 + λ) = 0 ⟹ 5 + 9 λ = 0 ⟹ λ = - \frac{5}{9} .$

Entonces

$D^{'} = (1 - \frac{10}{9}, 2 - \frac{10}{9}, - 1 - \frac{5}{9}) = (- \frac{1}{9}, \frac{8}{9}, - \frac{14}{9}) .$

Comprobación: $2 (- \frac{1}{9}) + 2 \cdot \frac{8}{9} - \frac{14}{9} = \frac{- 2 + 16 - 14}{9} = 0$ .

Resultado: $D^{'} (- \frac{1}{9}, \frac{8}{9}, - \frac{14}{9})$

3.2.3) Con $D (1, 2, - 1)$ y $π : 2 x + 3 y - z = 0$ :

$d (D, π) = \frac{∣2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - ( - 1 ) ∣}{2 ^{2} + 3 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{9}{14} = \frac{9 14}{14} \approx 2, 405.$

Resultado: $d (D, π) = \frac{9}{14} \approx 2, 405$

Resultado: 3.2.1) no está contenido; 3.2.2) $(- \frac{1}{9}, \frac{8}{9}, - \frac{14}{9})$ ; 3.2.3) $\frac{9}{14} \approx 2, 405$

Julio 2026 (Examen alternativo (día extra)) · Opción 3.2 Medio2,5 puntosDistancias, ángulos, áreas y volúmenes / Vectores

Distancia punto-plano, recta perpendicular y ángulos del triángulo de trazas

3.2 Dados el plano $π : - 2 x + y + 2 z + 1 = 0$ y el punto $P (1, - 2, 0)$ , se pide:

3.2.1 (0,5 puntos) Calcular la distancia del punto $P$ al plano $π$ .

3.2.2 (1 punto) Escribir una ecuación de la recta perpendicular a $π$ que pasa por el punto $P$ .

3.2.3 (1 punto) Determinar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano $π$ con los tres ejes coordenados.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 3.2.1) $d = 1$ ; 3.2.2) $(x, y, z) = (1, - 2, 0) + t (- 2, 1, 2)$ ; 3.2.3) $A = C \approx 71, 56 5^{\circ}$ , $B \approx 36, 87 0^{\circ}$

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3.2.1 Fórmula de la distancia de un punto a un plano: $d (P, π) = \frac{∣ - 2 \cdot 1 + ( - 2 ) + 2 \cdot 0 + 1∣}{( - 2 ) ^{2} + 1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{∣ - 3∣}{9} = \frac{3}{3} = 1.$

Resultado: $d (P, π) = 1$

3.2.2 La recta perpendicular a $π$ tiene como vector director el vector normal del plano, $n = (- 2, 1, 2)$ . Pasa por $P (1, - 2, 0)$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - 2 t y = - 2 + t z = 2 t o bien \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{2} .$

Resultado: $r : (x, y, z) = (1, - 2, 0) + t (- 2, 1, 2)$

3.2.3 Hallamos los vértices cortando $π$ con los ejes.

Eje $X$ ( $y = z = 0$ ): $- 2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ , vértice $A (\frac{1}{2}, 0, 0)$ .
Eje $Y$ ( $x = z = 0$ ): $y + 1 = 0 \Rightarrow y = - 1$ , vértice $B (0, - 1, 0)$ .
Eje $Z$ ( $x = y = 0$ ): $2 z + 1 = 0 \Rightarrow z = - \frac{1}{2}$ , vértice $C (0, 0, - \frac{1}{2})$ .
Vectores desde cada vértice: $A B = (- \frac{1}{2}, - 1, 0), A C = (- \frac{1}{2}, 0, - \frac{1}{2}), B C = (0, 1, - \frac{1}{2}) .$
Módulos: $∣ A B ∣ = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{2}$ , $∣ A C ∣ = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{2}$ , $∣ B C ∣ = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{2}$ .
Ángulo en $A$ (entre $A B$ y $A C$ ): $cos A = \frac{A B \cdot A C}{∣ A B ∣∣ A C ∣} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}} = \frac{1}{10} \Rightarrow A \approx 71, 56 5^{\circ} .$
Ángulo en $B$ (entre $B A = (\frac{1}{2}, 1, 0)$ y $B C$ ): $cos B = \frac{B A \cdot B C}{∣ B A ∣∣ B C ∣} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} \Rightarrow B \approx 36, 87 0^{\circ} .$
Como $∣ A B ∣ = ∣ B C ∣$ , el triángulo es isósceles con los ángulos iguales en $A$ y en $C$ (los opuestos a los lados iguales), de modo que $C = A \approx 71, 56 5^{\circ}$ . Comprobación: $71, 56 5^{\circ} + 71, 56 5^{\circ} + 36, 87 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ .

Resultado: $A = C \approx 71, 56 5^{\circ}$ y $B \approx 36, 87 0^{\circ}$

Resultado: 3.2.1) $d = 1$ ; 3.2.2) $(x, y, z) = (1, - 2, 0) + t (- 2, 1, 2)$ ; 3.2.3) $A = C \approx 71, 56 5^{\circ}$ , $B \approx 36, 87 0^{\circ}$

Repasa la teoría: Producto escalar · Ecuaciones de la recta en el espacio · Ecuaciones del plano · Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano · Ver el examen completo (Julio 2026)

Junio 2026 · Opción 3.2 Medio2,5 puntosDistancias, ángulos, áreas y volúmenes / Rectas y planos

Plano perpendicular a una recta, puntos a distancia dada y ángulo con el eje Z

3.2 Consideramos la recta $s$ del espacio con ecuación:

$\frac{x - 1}{0} = y - 1 = \frac{z - 1}{- 1} .$

Se pide:

3.2.1 (0,5 puntos) Encontrar una ecuación del plano que pasa por el punto $(1, 1, 1)$ y es perpendicular a $s$ .

3.2.2 (1 punto) Encontrar los puntos de la recta $s$ que están a distancia 4 del origen.

3.2.3 (1 punto) Calcular el ángulo que forma la recta $s$ con el eje Z.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 3.2.1) $y - z = 0$ ; 3.2.2) $(1, 1 \pm \frac{26}{2}, 1 \mp \frac{26}{2})$ ; 3.2.3) $\frac{π}{4}$ rad

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La recta $s$ pasa por $Q = (1, 1, 1)$ y tiene vector director $v = (0, 1, - 1)$ . En paramétricas: $x = 1$ , $y = 1 + λ$ , $z = 1 - λ$ .

3.2.1 El plano perpendicular a $s$ tiene como vector normal el director de $s$ , $n = (0, 1, - 1)$ .

La ecuación es $0 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 1) - 1 \cdot (z - 1) = 0$ .
Simplificando, $y - z = 0$ .
Comprobación: $(1, 1, 1)$ verifica $1 - 1 = 0$ .

Resultado: $π : y - z = 0$

3.2.2 Un punto de $s$ es $(1, 1 + λ, 1 - λ)$ . Su distancia al origen es 4.

$1^{2} + (1 + λ)^{2} + (1 - λ)^{2} = 16$ .
Desarrollamos: $1 + 1 + 2 λ + λ^{2} + 1 - 2 λ + λ^{2} = 3 + 2 λ^{2} = 16$ .
Entonces $λ^{2} = \frac{13}{2}$ y $λ = \pm \frac{13}{2} = \pm \frac{26}{2}$ .
Sustituimos los dos valores en la recta.

Resultado: $(1, 1 + \frac{26}{2}, 1 - \frac{26}{2})$ y $(1, 1 - \frac{26}{2}, 1 + \frac{26}{2})$

3.2.3 El ángulo $θ$ entre una recta y el eje $Z$ (de vector director $k = (0, 0, 1)$ ) cumple $cos θ = \frac{∣ v \cdot k ∣}{∣ v ∣ ∣ k ∣}$ (ángulo agudo entre sus direcciones).

$v \cdot k = - 1$ , $∣ v ∣ = 0 + 1 + 1 = 2$ y $∣ k ∣ = 1$ .
$cos θ = \frac{1}{2}$ .
Por tanto $θ = arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{4}$ rad $= 4 5^{\circ}$ .

Resultado: $θ = \frac{π}{4}$ rad $= 4 5^{\circ}$

Resultado: 3.2.1) $y - z = 0$ ; 3.2.2) $(1, 1 \pm \frac{26}{2}, 1 \mp \frac{26}{2})$ ; 3.2.3) $\frac{π}{4}$ rad

Repasa la teoría: Ecuaciones de la recta en el espacio · Ecuaciones del plano · Ángulos entre rectas y planos · Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano · Ver el examen completo (Junio 2026)

Modelo 2026 · Opción 3.1 Medio2,5 puntosPosiciones relativas / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Posición relativa de dos planos con parámetro, ángulo y distancia a un plano

3.1 Considera los planos $π_{1} : 2 x - a^{2} y - a z = a - 1$ y $π_{2} : (a - 1) x - a y - z = a$ , donde $a$ representa un parámetro real. Se pide:

3.1.1 (1,5 puntos) Analizar en función de $a$ la posición relativa de los dos planos.

3.1.2 (0,5 puntos) Calcular, para $a = 0$ , el ángulo entre los dos planos.

3.1.3 (0,5 puntos) Calcular, para $a = 0$ , la distancia entre el punto $P = (1, 0, - 1)$ y el plano $π_{1}$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: 3.1.1) paralelos no coincidentes si $a = 2$ o $a = - 1$ ; secantes en los demás casos; 3.1.2) $4 5^{\circ}$ ; 3.1.3) $\frac{3}{2}$

Ver proceso y resultado

3.1.1) Los vectores normales son $n_{1} = (2, - a^{2}, - a)$ y $n_{2} = (a - 1, - a, - 1)$ . Estudiamos cuándo son proporcionales, es decir, cuándo los planos son paralelos o coincidentes.

Si $n_{1} = λ n_{2}$ , la tercera coordenada da $- a = - λ$ , luego $λ = a$ .
La segunda coordenada se cumple: $- a^{2} = - λa = - a^{2}$ .
La primera da $2 = λ (a - 1) = a (a - 1)$ , es decir, $a^{2} - a - 2 = 0$ , cuyas soluciones son $a = 2$ y $a = - 1$ .
Si $a \neq = 2$ y $a \neq = - 1$ , los vectores normales no son proporcionales y los planos son secantes (se cortan en una recta).
Para $a = 2$ : $π_{1} : 2 x - 4 y - 2 z = 1$ y $π_{2} : x - 2 y - z = 2$ . Como $n_{1} = 2 n_{2}$ y los términos independientes cumplen $1 \neq = 2 \cdot 2 = 4$ , los planos son paralelos distintos.
Para $a = - 1$ : $π_{1} : 2 x - y + z = - 2$ y $π_{2} : - 2 x + y - z = - 1$ . Como $n_{1} = - n_{2}$ y los términos independientes cumplen $- 2 \neq = (- 1) (- 1) = 1$ , los planos son paralelos distintos.

En ningún caso son coincidentes. Lo mismo se ve con rangos: para $a = 2$ y $a = - 1$ se tiene $rg A = 1$ y $rg A^{*} = 2$ ; en los demás casos, $rg A = rg A^{*} = 2$ .

Resultado: si $a = 2$ o $a = - 1$ , los planos son paralelos (no coincidentes); si $a \neq = 2$ y $a \neq = - 1$ , son secantes.

3.1.2) Para $a = 0$ : $π_{1} : 2 x = - 1$ , con $n_{1} = (2, 0, 0)$ , y $π_{2} : - x - z = 0$ , con $n_{2} = (- 1, 0, - 1)$ .

El ángulo entre dos planos es el ángulo agudo entre sus vectores normales: $cos φ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣ ∣ n _{2} ∣} = \frac{∣ - 2∣}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} .$
Por tanto $φ = 4 5^{\circ}$ .

Resultado: $φ = 4 5^{\circ} (= π /4 rad)$

3.1.3) Para $a = 0$ , $π_{1} : 2 x + 1 = 0$ . Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano con $P = (1, 0, - 1)$ :

$d (P, π_{1}) = \frac{∣2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot ( - 1 ) + 1∣}{2 ^{2} + 0 ^{2} + 0 ^{2}} = \frac{3}{2} .$

(Es coherente: $π_{1}$ es el plano $x = - \frac{1}{2}$ y $P$ tiene $x = 1$ , a distancia $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .)

Resultado: $d (P, π_{1}) = \frac{3}{2} = 1, 5$

Resultado: 3.1.1) paralelos no coincidentes si $a = 2$ o $a = - 1$ ; secantes en los demás casos; 3.1.2) $4 5^{\circ}$ ; 3.1.3) $\frac{3}{2}$

Repasa la teoría: Posición relativa de dos y tres planos · Ángulos entre rectas y planos · Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano · Ver el examen completo (Modelo 2026)

Julio 2025 (DANA) · Opción 3.1 Medio2,5 puntosPosiciones relativas / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Posición relativa de dos planos con parámetro, ángulo y distancia punto-plano

3.1 Dados los planos $π_{1} : 2 x - a^{2} y - a z = a - 1$ y $π_{2} : (a - 1) x - a y - z = a$ , se pide:

3.1.1 (1.5 puntos) Estudiar en función de $a$ si los planos anteriores coinciden, son paralelos no coincidentes o se cortan.

3.1.2 (0.5 puntos) Calcular, para $a = 0$ , el ángulo entre los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ .

3.1.3 (0.5 puntos) Calcular, para $a = 0$ , la distancia entre el punto $P = (1, 0, - 1)$ y el plano $π_{1}$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: 3.1.1) $a = 2$ y $a = - 1$ : paralelos no coincidentes; $a \neq = 2, - 1$ : se cortan; 3.1.2) $\frac{π}{4}$ ; 3.1.3) $\frac{3}{2}$

Ver proceso y resultado

3.1.1) Los vectores normales son $n_{1} = (2, - a^{2}, - a)$ y $n_{2} = (a - 1, - a, - 1)$ . Los planos son paralelos o coincidentes cuando $n_{1}$ y $n_{2}$ son proporcionales, es decir, cuando su producto vectorial es nulo; si no lo son, los planos se cortan.

Calculamos $n_{1} \times n_{2}$ :

$n_{1} \times n_{2} = i 2 a - 1 j - a^{2} - a k - a - 1 = (a^{2} - a^{2}, - (- 2 + a (a - 1)), - 2 a + a^{2} (a - 1)) .$

Simplificando: primera componente $0$ ; segunda, $2 - a^{2} + a = - (a^{2} - a - 2) = - (a - 2) (a + 1)$ ; tercera, $a^{3} - a^{2} - 2 a = a (a - 2) (a + 1)$ . Es decir,

$n_{1} \times n_{2} = (a - 2) (a + 1) (0, - 1, a) .$

Se anula si y solo si $a = 2$ o $a = - 1$ . Para cualquier otro valor ( $a \neq = 2, - 1$ ), $n_{1}$ y $n_{2}$ no son proporcionales y los planos se cortan en una recta.
$a = 2$ : $π_{1} : 2 x - 4 y - 2 z = 1$ y $π_{2} : x - 2 y - z = 2$ . Multiplicando $π_{2}$ por 2 queda $2 x - 4 y - 2 z = 4$ , con el mismo primer miembro que $π_{1}$ pero distinto término independiente ( $1 \neq = 4$ ): paralelos no coincidentes.
$a = - 1$ : $π_{1} : 2 x - y + z = - 2$ y $π_{2} : - 2 x + y - z = - 1$ , es decir, $2 x - y + z = 1$ . Mismo primer miembro y términos independientes distintos ( $- 2 \neq = 1$ ): paralelos no coincidentes.

En ningún caso coinciden.

Resultado: si $a = 2$ o $a = - 1$ , los planos son paralelos no coincidentes; si $a \neq = 2, - 1$ , se cortan (nunca coinciden).

3.1.2) Para $a = 0$ : $π_{1} : 2 x = - 1$ , con $n_{1} = (2, 0, 0)$ , y $π_{2} : - x - z = 0$ , con $n_{2} = (- 1, 0, - 1)$ .

El ángulo entre dos planos es el ángulo agudo entre sus vectores normales:

$cos α = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣ ∣ n _{2} ∣} = \frac{∣ - 2∣}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} ⟹ α = \frac{π}{4} rad = 4 5^{\circ} .$

Resultado: $α = \frac{π}{4}$ ( $4 5^{\circ}$ )

3.1.3) Para $a = 0$ , $π_{1} : 2 x + 1 = 0$ . Con $P (1, 0, - 1)$ :

$d (P, π_{1}) = \frac{∣2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot ( - 1 ) + 1∣}{2 ^{2} + 0 ^{2} + 0 ^{2}} = \frac{3}{2} .$

(Es el plano $x = - \frac{1}{2}$ , y la distancia de $P$ , con $x = 1$ , es $1 - (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$ .)

Resultado: $d (P, π_{1}) = \frac{3}{2}$

Resultado: 3.1.1) $a = 2$ y $a = - 1$ : paralelos no coincidentes; $a \neq = 2, - 1$ : se cortan; 3.1.2) $\frac{π}{4}$ ; 3.1.3) $\frac{3}{2}$

Repasa la teoría: Posición relativa de dos y tres planos · Ángulos entre rectas y planos · Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano · Ver el examen completo (Julio 2025 (DANA))

Julio 2025 · Opción 3.1 Medio2,5 puntosDistancias, ángulos, áreas y volúmenes / Rectas y planos

Planos perpendiculares, ángulo de 45 grados y recta intersección

3.1 Dados los planos $π_{1} : x + 2 y + m z = - 1$ , donde $m$ es un parámetro real, y $π_{2} : x + z = 6$ .

3.1.1 (0.5 puntos) Encontrar el valor de $m$ , si existe, para el que $π_{1}$ y $π_{2}$ son perpendiculares.

3.1.2 (1.25 puntos) Encontrar el valor de $m$ para el que $π_{1}$ y $π_{2}$ forman un ángulo de 45 grados.

3.1.3 (0.75 puntos) Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de $π_{1}$ y $π_{2}$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 3.1.1) $m = - 1$ ; 3.1.2) $m = 2$ ; 3.1.3) $(x, y, z) = (0, - \frac{1 + 6 m}{2}, 6) + t (2, m - 1, - 2)$

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Los vectores normales son $n_{1} = (1, 2, m)$ y $n_{2} = (1, 0, 1)$ . El ángulo entre dos planos es el ángulo agudo entre sus vectores normales.

3.1.1) Dos planos son perpendiculares si lo son sus normales: $n_{1} \cdot n_{2} = 0$ .

$n_{1} \cdot n_{2} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + m \cdot 1 = 1 + m = 0 ⟹ m = - 1.$

Resultado: $m = - 1$

3.1.2) Imponemos que el ángulo $α$ valga $4 5^{\circ}$ :

$cos 4 5^{\circ} = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣ ∣ n _{2} ∣} ⟹ \frac{2}{2} = \frac{∣1 + m ∣}{5 + m ^{2} 2} .$

Despejamos: $∣1 + m ∣ = \frac{2}{2} 2 5 + m^{2} = 5 + m^{2}$ .
Elevamos al cuadrado: $(1 + m)^{2} = 5 + m^{2} \Rightarrow 1 + 2 m + m^{2} = 5 + m^{2} \Rightarrow 2 m = 4$ .
Luego $m = 2$ . Comprobación: $∣1 + 2∣ = 3$ y $5 + 4 = 3$ .

Resultado: $m = 2$

3.1.3) La recta es el conjunto de puntos que cumplen las ecuaciones de los dos planos. Se pide para el parámetro $m$ del enunciado.

Dirección: es perpendicular a las dos normales, así que

$d = n_{1} \times n_{2} = i 11 j 20 k m 1 = (2 \cdot 1 - m \cdot 0, - (1 \cdot 1 - m \cdot 1), 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = (2, m - 1, - 2) .$

Un punto: de $π_{2}$ , $z = 6 - x$ . Tomando $x = 0$ resulta $z = 6$ y, en $π_{1}$ , $2 y + 6 m = - 1$ , luego $y = - \frac{1 + 6 m}{2}$ . Punto: $(0, - \frac{1 + 6 m}{2}, 6)$ .
Ecuaciones paramétricas:

$⎩ ⎨ ⎧ x y z = 2 t = - \frac{1 + 6 m}{2} + (m - 1) t = 6 - 2 t t \in R .$

Por ejemplo, para el valor $m = 2$ del apartado anterior: $(x, y, z) = (0, - \frac{13}{2}, 6) + t (2, 1, - 2)$ .

Comprobación: en $π_{2}$ , $2 t + 6 - 2 t = 6$ y en $π_{1}$ , $2 t - (1 + 6 m) + 2 (m - 1) t + m (6 - 2 t) = - 1$ .

Resultado: $(x, y, z) = (0, - \frac{1 + 6 m}{2}, 6) + t (2, m - 1, - 2)$ , $t \in R$ (para $m = 2$ : $(0, - \frac{13}{2}, 6) + t (2, 1, - 2)$ )

Resultado: 3.1.1) $m = - 1$ ; 3.1.2) $m = 2$ ; 3.1.3) $(x, y, z) = (0, - \frac{1 + 6 m}{2}, 6) + t (2, m - 1, - 2)$

Repasa la teoría: Ecuaciones de la recta en el espacio · Posición relativa de dos y tres planos · Ángulos entre rectas y planos · Ver el examen completo (Julio 2025)

Julio 2025 · Opción 3.2 Medio2,5 puntosPosiciones relativas / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Recta contenida en un plano según un parámetro y punto simétrico

3.2 Dado el plano $π : 3 x + y - z = 2$ y los puntos $P = (0, 1, - 1)$ y $Q = (1, a, 1)$ , calcular:

3.2.1 (1.25 puntos) Los valores del parámetro $a$ , si existen, para los que la recta que pasa por $P$ y $Q$ está contenida en el plano $π$ .

3.2.2 (1.25 puntos) Para $a = 1$ , el punto simétrico de $Q$ respecto del plano $π$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 3.2.1) $a = 0$ ; 3.2.2) $Q^{'} (\frac{5}{11}, \frac{9}{11}, \frac{13}{11})$

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3.2.1) Una recta está contenida en un plano si uno de sus puntos pertenece al plano y su vector director es perpendicular al vector normal del plano.

$P = (0, 1, - 1)$ : $3 \cdot 0 + 1 - (- 1) = 2$ , luego $P \in π$ .
Vector director de la recta: $P Q = (1, a - 1, 2)$ . Vector normal: $n = (3, 1, - 1)$ .
Imponemos $P Q \cdot n = 0$ :

$3 + (a - 1) - 2 = 0 ⟹ a = 0.$

Comprobación: para $a = 0$ , $Q = (1, 0, 1)$ y $3 + 0 - 1 = 2$ , así que $Q \in π$ y la recta $P Q$ está en el plano.

Resultado: $a = 0$ (es el único valor)

3.2.2) Para $a = 1$ , $Q = (1, 1, 1)$ y $3 + 1 - 1 = 3 \neq = 2$ : $Q$ no está en el plano. El simétrico $Q^{'}$ se obtiene proyectando $Q$ sobre $π$ y reflejando.

Recta perpendicular a $π$ por $Q$ : $(x, y, z) = (1 + 3 λ, 1 + λ, 1 - λ)$ .
Su corte $M$ con $π$ : $3 (1 + 3 λ) + (1 + λ) - (1 - λ) = 2 \Rightarrow 3 + 11 λ = 2 \Rightarrow λ = - \frac{1}{11}$ .
Punto medio: $M = (1 - \frac{3}{11}, 1 - \frac{1}{11}, 1 + \frac{1}{11}) = (\frac{8}{11}, \frac{10}{11}, \frac{12}{11})$ .
$M$ es el punto medio de $Q$ y $Q^{'}$ , así que $Q^{'} = 2 M - Q$ ; equivale a tomar $λ = - \frac{2}{11}$ en la recta:

$Q^{'} = (1 - \frac{6}{11}, 1 - \frac{2}{11}, 1 + \frac{2}{11}) = (\frac{5}{11}, \frac{9}{11}, \frac{13}{11}) .$

Comprobación: $Q + Q^{'} = (\frac{16}{11}, \frac{20}{11}, \frac{24}{11}) = 2 M$ , y al sustituir $Q^{'}$ en el primer miembro del plano se obtiene $3 \cdot \frac{5}{11} + \frac{9}{11} - \frac{13}{11} = 1$ , que dista de $2$ lo mismo que $3$ (el valor de $Q$ ), uno por debajo y otro por encima.

Resultado: $Q^{'} (\frac{5}{11}, \frac{9}{11}, \frac{13}{11})$

Resultado: 3.2.1) $a = 0$ ; 3.2.2) $Q^{'} (\frac{5}{11}, \frac{9}{11}, \frac{13}{11})$

Repasa la teoría: Ecuaciones de la recta en el espacio · Posición relativa de una recta y un plano · Proyecciones ortogonales y simétricos · Ver el examen completo (Julio 2025)

Julio 2025 (Examen de reserva) · Opción 3.1 Medio2,5 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Plano perpendicular que contiene una recta y planos paralelos a distancia dada

3.1 Dado el plano $π : 2 x - z = 1$ , calcular:

3.1.1 (1,25 puntos) Si existe, el plano perpendicular a $π$ que contiene a la recta $r : {2 x - y z = 0 = y$

3.1.2 (1,25 puntos) Los planos paralelos a $π$ cuya distancia al punto $P = (0, 1, 2)$ es 2.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 3.1.1) $2 x - 5 y + 4 z = 0$ ; 3.1.2) $2 x - z + 2 + 25 = 0$ y $2 x - z + 2 - 25 = 0$

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3.1.1 Pasamos la recta a forma paramétrica. De $2 x - y = 0$ y $z = y$ : si $x = t$ , entonces $y = 2 t$ , $z = 2 t$ . Luego $r$ pasa por $O (0, 0, 0)$ con vector director $v = (1, 2, 2)$ .

El plano buscado $σ$ contiene a $r$ , así que contiene el punto $O$ y la dirección $v$ .
Ser perpendicular a $π$ equivale a que la normal de $π$ , $n_{π} = (2, 0, - 1)$ , sea paralela a $σ$ (esté en su dirección).
Los vectores $v$ y $n_{π}$ no son proporcionales, así que generan el plano y la solución existe y es única. Su normal es $n_{σ} = v \times n_{π} = i 12 j 20 k 2 - 1 = (- 2 - 0, - (- 1 - 4), 0 - 4) = (- 2, 5, - 4) .$
Tomamos $(2, - 5, 4)$ y como pasa por el origen: $2 x - 5 y + 4 z = 0$ .
Comprobación: $n_{σ} \cdot n_{π} = 2 \cdot 2 + (- 5) \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) = 0$ (perpendiculares) y $v \cdot (2, - 5, 4) = 2 - 10 + 8 = 0$ (la recta está en el plano).

Resultado: $σ : 2 x - 5 y + 4 z = 0$

3.1.2 Los planos paralelos a $π$ tienen la forma $2 x - z + D = 0$ . Imponemos que la distancia a $P = (0, 1, 2)$ sea 2.

$d (P, 2 x - z + D = 0) = \frac{∣2 \cdot 0 - 2 + D ∣}{2 ^{2} + 0 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{∣ D - 2∣}{5} = 2$ .
Entonces $∣ D - 2∣ = 25$ , es decir, $D = 2 + 25$ o $D = 2 - 25$ .
Hay, por tanto, dos planos (uno a cada lado de $P$ ).

Resultado: $2 x - z + 2 + 25 = 0$ y $2 x - z + 2 - 25 = 0$

Resultado: 3.1.1) $2 x - 5 y + 4 z = 0$ ; 3.1.2) $2 x - z + 2 + 25 = 0$ y $2 x - z + 2 - 25 = 0$

Repasa la teoría: Ecuaciones del plano · Haces de planos · Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano · Ver el examen completo (Julio 2025)

Junio 2025 · Opción 3.1 Medio2,5 puntosPosiciones relativas / Rectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Dos rectas que se cortan: punto de corte, plano que las contiene y distancia

3.1 Dada la recta $r : ⎩ ⎨ ⎧ x y z = 1 + 2 λ = λ = 2 - λ$ y la recta $s : {x x + 2 y + z = - 1 = 0$ , calcular:

3.1.1 (1 punto) Si existen, las coordenadas del punto de corte de ambas rectas.

3.1.2 (1 punto) La ecuación del plano que contiene a ambas rectas.

3.1.3 (0.5 puntos) La distancia del punto $P = (1, 0, 2)$ a dicho plano.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: 3.1.1) $(- 1, - 1, 3)$ ; 3.1.2) $- x + 4 y + 2 z - 3 = 0$ ; 3.1.3) $0$

Ver proceso y resultado

3.1.1) Un punto de corte es un punto de $r$ que cumple las dos ecuaciones de $s$ .

Un punto de $r$ es $(1 + 2 λ, λ, 2 - λ)$ . Imponemos $x = - 1$ : $1 + 2 λ = - 1 \Rightarrow λ = - 1$ .
Para $λ = - 1$ el punto es $(- 1, - 1, 3)$ .
Comprobamos la segunda ecuación de $s$ : $x + 2 y + z = - 1 - 2 + 3 = 0$ . Se cumple.

Por tanto las rectas se cortan en un punto.

Resultado: punto de corte $(- 1, - 1, 3)$

3.1.2) Como las rectas se cortan, determinan un único plano. Necesitamos un punto y dos vectores directores.

Vector director de $r$ : $u = (2, 1, - 1)$ .
Vector director de $s$ : resolvemos $x = - 1$ , $x + 2 y + z = 0$ , es decir, $2 y + z = 1$ . Tomando $y = μ$ : $z = 1 - 2 μ$ , luego $s : (- 1, μ, 1 - 2 μ)$ y $v = (0, 1, - 2)$ . (También es el producto vectorial de las normales $(1, 0, 0) \times (1, 2, 1) = (0, - 1, 2)$ , paralelo a $v$ .)
Un vector normal al plano es

$u \times v = i 20 j 11 k - 1 - 2 = (1 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot 1, - (2 \cdot (- 2) - 0), 2 \cdot 1 - 0) = (- 1, 4, 2) .$

El plano es $- x + 4 y + 2 z + D = 0$ y pasa por el punto de corte $(- 1, - 1, 3)$ : $1 - 4 + 6 + D = 0 \Rightarrow D = - 3$ .
Comprobación con un punto de $r$ ( $λ = 0$ , el punto $(1, 0, 2)$ ): $- 1 + 0 + 4 - 3 = 0$ . Y con un punto de $s$ ( $μ = 0$ , el punto $(- 1, 0, 1)$ ): $1 + 0 + 2 - 3 = 0$ .

Resultado: $- x + 4 y + 2 z - 3 = 0$

3.1.3) $P = (1, 0, 2)$ es el punto de $r$ que corresponde a $λ = 0$ , así que pertenece al plano (comprobado en el apartado anterior). Con la fórmula de la distancia:

$d (P, π) = \frac{∣ - 1 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 2 - 3∣}{1 + 16 + 4} = \frac{0}{21} = 0.$

Resultado: $d (P, π) = 0$ (el punto está en el plano)

Resultado: 3.1.1) $(- 1, - 1, 3)$ ; 3.1.2) $- x + 4 y + 2 z - 3 = 0$ ; 3.1.3) $0$

Repasa la teoría: Ecuaciones del plano · Posición relativa de dos rectas en el espacio · Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano · Ver el examen completo (Junio 2025)

Junio 2025 · Opción 3.2 Medio2,5 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Plano perpendicular a otro, distancia punto-plano y punto simétrico

3.2 Se consideran el plano $π : 3 x - y + 2 z = 4$ y el punto $P = (- 1, 0, 1)$ . Se pide:

3.2.1 (1 punto) La ecuación del plano perpendicular a $π$ que pasa por $P$ y por $Q = (2, 1, 2)$ .

3.2.2 (0.5 puntos) La distancia del punto $Q$ al plano $π$ .

3.2.3 (1 punto) El punto simétrico de $P$ respecto al plano $π$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: 3.2.1) $x - y - 2 z + 3 = 0$ ; 3.2.2) $\frac{5}{14} \approx 1, 336$ ; 3.2.3) $(\frac{8}{7}, - \frac{5}{7}, \frac{17}{7})$

Ver proceso y resultado

3.2.1) El plano buscado, $σ$ , contiene a $P$ y a $Q$ y es perpendicular a $π$ . Por tanto contiene a los vectores $P Q$ y $n_{π} = (3, - 1, 2)$ (la normal de $π$ es paralela a $σ$ ).

$P Q = (2 + 1, 1 - 0, 2 - 1) = (3, 1, 1)$ .
Un vector normal a $σ$ es

$P Q \times n_{π} = i 33 j 1 - 1 k 12 = (1 \cdot 2 - 1 \cdot (- 1), - (3 \cdot 2 - 1 \cdot 3), 3 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3) = (3, - 3, - 6) .$

Dividiendo entre $3$ tomamos $(1, - 1, - 2)$ . 3. $σ : x - y - 2 z + D = 0$ y pasa por $P (- 1, 0, 1)$ : $- 1 - 0 - 2 + D = 0 \Rightarrow D = 3$ . 4. Comprobación con $Q$ : $2 - 1 - 4 + 3 = 0$ . Y la perpendicularidad: $(1, - 1, - 2) \cdot (3, - 1, 2) = 3 + 1 - 4 = 0$ .

Resultado: $σ : x - y - 2 z + 3 = 0$

3.2.2) Con la fórmula de la distancia de un punto a un plano, con $π : 3 x - y + 2 z - 4 = 0$ y $Q (2, 1, 2)$ :

$d (Q, π) = \frac{∣3 \cdot 2 - 1 + 2 \cdot 2 - 4∣}{9 + 1 + 4} = \frac{5}{14} = \frac{5 14}{14} \approx 1, 336.$

Resultado: $d (Q, π) = \frac{5}{14} \approx 1, 336$

3.2.3) Hallamos primero la proyección ortogonal $M$ de $P$ sobre $π$ (el punto medio entre $P$ y su simétrico $P^{'}$ ).

Recta que pasa por $P$ con dirección la normal de $π$ : $(x, y, z) = (- 1 + 3 λ, - λ, 1 + 2 λ)$ .
Cortamos con $π$ : $3 (- 1 + 3 λ) - (- λ) + 2 (1 + 2 λ) = 4 \Rightarrow - 3 + 9 λ + λ + 2 + 4 λ = 4 \Rightarrow 14 λ = 5 \Rightarrow λ = \frac{5}{14}$ .
$M = (- 1 + \frac{15}{14}, - \frac{5}{14}, 1 + \frac{10}{14}) = (\frac{1}{14}, - \frac{5}{14}, \frac{12}{7})$ .
$M$ es el punto medio de $P$ y $P^{'}$ , así que $P^{'} = 2 M - P$ ; equivale a tomar $λ = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ en la recta:

$P^{'} = (- 1 + \frac{15}{7}, - \frac{5}{7}, 1 + \frac{10}{7}) = (\frac{8}{7}, - \frac{5}{7}, \frac{17}{7}) .$

Comprobación: el punto medio de $P (- 1, 0, 1)$ y $P^{'}$ es $(\frac{- 1 + 8/7}{2}, \frac{- 5/7}{2}, \frac{1 + 17/7}{2}) = (\frac{1}{14}, - \frac{5}{14}, \frac{12}{7}) = M$ , que cumple $3 \cdot \frac{1}{14} + \frac{5}{14} + \frac{24}{7} = \frac{3 + 5 + 48}{14} = 4$ .

Resultado: $P^{'} (\frac{8}{7}, - \frac{5}{7}, \frac{17}{7})$

Resultado: 3.2.1) $x - y - 2 z + 3 = 0$ ; 3.2.2) $\frac{5}{14} \approx 1, 336$ ; 3.2.3) $(\frac{8}{7}, - \frac{5}{7}, \frac{17}{7})$

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Junio 2025 (Examen de reserva) · Opción 3.1 Medio2,5 puntosDistancias, ángulos, áreas y volúmenes / Rectas y planos

Distancia punto-plano con parámetro, ángulo recta-plano y punto simétrico

3.1 Dados el plano $π \equiv 2 x + a y - z + 3 = 0$ y la recta $r \equiv {2 x + 4 y - z - x + y + 5 z = 0 = 3$ , se pide:

3.1.1 (0,75 puntos) Calcular la distancia entre el punto $(3, 1, - 2)$ y el plano $π$ , en función del parámetro real $a$ .

3.1.2 (0,75 puntos) Para $a = 4$ , calcular el ángulo que forma la recta $r$ con el plano $π$ .

3.1.3 (1 punto) Para $a = 3$ , calcular el punto simétrico del punto $(\frac{9}{2}, 5, - 1)$ respecto del plano $π$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 3.1.1) $d = \frac{∣ a + 11∣}{a ^{2} + 5}$ ; 3.1.2) $0^{\circ}$ (recta paralela al plano); 3.1.3) $P^{'} = (- \frac{7}{2}, - 7, 3)$

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3.1.1 Fórmula de la distancia de un punto $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ al plano $A x + B y + C z + D = 0$ : $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

Numerador: $∣2 \cdot 3 + a \cdot 1 - (- 2) + 3∣ = ∣6 + a + 2 + 3∣ = ∣ a + 11∣$ .
Denominador: $2^{2} + a^{2} + (- 1)^{2} = a^{2} + 5$ .

Resultado: $d = \frac{∣ a + 11∣}{a ^{2} + 5}$

3.1.2 El ángulo $θ$ entre una recta de vector director $v$ y un plano de normal $n$ cumple $sin θ = \frac{∣ v \cdot n ∣}{∣ v ∣ ∣ n ∣}$ .

Vector director de $r$ (producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen): $v = (2, 4, - 1) \times (- 1, 1, 5) = i 2 - 1 j 41 k - 1 5 = (20 + 1, 1 - 10, 2 + 4) = (21, - 9, 6) ∥ (7, - 3, 2) .$
Normal de $π$ para $a = 4$ : $n = (2, 4, - 1)$ .
Producto escalar: $v \cdot n = 7 \cdot 2 + (- 3) \cdot 4 + 2 \cdot (- 1) = 14 - 12 - 2 = 0$ . Luego $sin θ = 0$ y $θ = 0^{\circ}$ .
La recta es paralela al plano, no está contenida en él: un punto de $r$ es $(0, \frac{1}{7}, \frac{4}{7})$ (de $4 y - z = 0$ y $y + 5 z = 3$ ), y $2 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{1}{7} - \frac{4}{7} + 3 = 3 \neq = 0$ .

Resultado: el ángulo es $0^{\circ}$ (la recta $r$ es paralela al plano $π$ ).

3.1.3 Para $a = 3$ : $π \equiv 2 x + 3 y - z + 3 = 0$ , con normal $n = (2, 3, - 1)$ . Sea $P (\frac{9}{2}, 5, - 1)$ .

La recta perpendicular a $π$ por $P$ es $(x, y, z) = (\frac{9}{2}, 5, - 1) + t (2, 3, - 1)$ .
Punto $M$ de corte con el plano (proyección de $P$ ): sustituimos $2 (\frac{9}{2} + 2 t) + 3 (5 + 3 t) - (- 1 - t) + 3 = 0 \Rightarrow 9 + 4 t + 15 + 9 t + 1 + t + 3 = 0 \Rightarrow 28 + 14 t = 0 \Rightarrow t = - 2.$
$M = (\frac{9}{2} - 4, 5 - 6, - 1 + 2) = (\frac{1}{2}, - 1, 1)$ .
$M$ es el punto medio de $P$ y su simétrico $P^{'}$ , así que $P^{'} = 2 M - P = (1 - \frac{9}{2}, - 2 - 5, 2 + 1) = (- \frac{7}{2}, - 7, 3)$ .
Comprobación: $2 (- \frac{7}{2}) + 3 (- 7) - 3 + 3 = - 7 - 21 = - 28 \neq = 0$ es el valor del plano en $P^{'}$ , opuesto al de $P$ (que da $9 + 15 + 1 + 3 = 28$ ): están a lados opuestos y a la misma distancia.

Resultado: $P^{'} = (- \frac{7}{2}, - 7, 3)$

Resultado: 3.1.1) $d = \frac{∣ a + 11∣}{a ^{2} + 5}$ ; 3.1.2) $0^{\circ}$ (recta paralela al plano); 3.1.3) $P^{'} = (- \frac{7}{2}, - 7, 3)$

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Julio 2024 · Problema 4 Medio10 puntosDistancias, ángulos, áreas y volúmenes / Rectas y planos / Vectores

Plano con parámetro d: distancia al origen, cortes con los ejes y ángulo entre vectores

Problema 4. Sea el plano $π : 6 x + 4 y - 3 z - d = 0$ . Se pide:

a) (2 puntos) Calcular los valores de $d$ para que la distancia del plano al origen sea una unidad.

b) (3 puntos) Calcular, en función del parámetro $d$ , las coordenadas de los puntos $A$ , $B$ y $C$ que resultan de intersectar el plano $π$ con los ejes de coordenadas, $X$ , $Y$ y $Z$ , respectivamente.

c) (5 puntos) Para $d \neq = 0$ , calcular el ángulo formado por los vectores $A B$ y $A C$ determinados por los puntos del apartado anterior.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: a) $d = \pm 61$ ; b) $A = (\frac{d}{6}, 0, 0)$ , $B = (0, \frac{d}{4}, 0)$ , $C = (0, 0, - \frac{d}{3})$ ; c) $cos θ = \frac{2 65}{65}$ , $θ \approx 75, 6^{\circ}$

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a) La distancia del origen $(0, 0, 0)$ al plano $6 x + 4 y - 3 z - d = 0$ es

$dist (O, π) = \frac{∣6 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - d ∣}{6 ^{2} + 4 ^{2} + ( - 3 ) ^{2}} = \frac{∣ d ∣}{61} .$

Imponemos que valga 1: $∣ d ∣ = 61$ .
Por tanto $d = 61$ o $d = - 61$ .

Resultado: $d = 61$ o $d = - 61$

b) Cada punto se obtiene anulando las otras dos coordenadas en la ecuación del plano.

Eje $X$ ( $y = z = 0$ ): $6 x - d = 0 \Rightarrow x = \frac{d}{6}$ . Luego $A = (\frac{d}{6}, 0, 0)$ .
Eje $Y$ ( $x = z = 0$ ): $4 y - d = 0 \Rightarrow y = \frac{d}{4}$ . Luego $B = (0, \frac{d}{4}, 0)$ .
Eje $Z$ ( $x = y = 0$ ): $- 3 z - d = 0 \Rightarrow z = - \frac{d}{3}$ . Luego $C = (0, 0, - \frac{d}{3})$ .

Resultado: $A = (\frac{d}{6}, 0, 0)$ , $B = (0, \frac{d}{4}, 0)$ , $C = (0, 0, - \frac{d}{3})$

Calculamos los vectores:

$A B = B - A = (- \frac{d}{6}, \frac{d}{4}, 0), A C = C - A = (- \frac{d}{6}, 0, - \frac{d}{3}) .$

Producto escalar: $A B \cdot A C = \frac{d ^{2}}{36} + 0 + 0 = \frac{d ^{2}}{36}$ .
Módulos (con $d \neq = 0$ ):

$∣ A B ∣ = ∣ d ∣ \frac{1}{36} + \frac{1}{16} = ∣ d ∣ \frac{13}{144} = \frac{∣ d ∣ 13}{12}, ∣ A C ∣ = ∣ d ∣ \frac{1}{36} + \frac{1}{9} = ∣ d ∣ \frac{5}{36} = \frac{∣ d ∣ 5}{6} .$

Coseno del ángulo $θ$ :

$cos θ = \frac{A B \cdot A C}{∣ A B ∣ ∣ A C ∣} = \frac{d ^{2} /36}{d ^{2} 65 /72} = \frac{2}{65} = \frac{2 65}{65} \approx 0, 248.$

El resultado no depende de $d$ . El ángulo es $θ = arccos \frac{2}{65} \approx 75, 6^{\circ}$ (calculadora en grados).

Resultado: $cos θ = \frac{2 65}{65} \approx 0, 248$ , es decir, $θ = arccos \frac{2}{65} \approx 75, 6^{\circ}$

Resultado: a) $d = \pm 61$ ; b) $A = (\frac{d}{6}, 0, 0)$ , $B = (0, \frac{d}{4}, 0)$ , $C = (0, 0, - \frac{d}{3})$ ; c) $cos θ = \frac{2 65}{65}$ , $θ \approx 75, 6^{\circ}$

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Junio 2024 · Problema 3 Medio10 puntosPosiciones relativas / Rectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Recta y plano con parámetro: paralelismo, plano paralelo y distancia punto-plano

Problema 3. Se considera la recta $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{- 1}$ y el plano $π : 3 x - m y + z = 1$ . Se pide:

a) (4 puntos) Determinar el valor del parámetro real $m$ para que $r$ y $π$ sean paralelos. Obtener además los valores de $m$ para los que el plano $π$ contiene a la recta $r$ .

b) (3 puntos) Para los valores $m$ del apartado anterior, hallar un plano paralelo a $π$ , que contenga a la recta $r$ .

c) (3 puntos) Calcular, en función de $m$ , la distancia entre $π$ y el punto $P = (1, - 1, - 2)$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: a) paralelos para $m = \frac{5}{3}$ ; ningún $m$ hace que $π$ contenga a $r$ ; b) $9 x - 5 y + 3 z - 8 = 0$ ; c) $\frac{∣ m ∣}{10 + m ^{2}}$

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La recta $r$ pasa por $A = (1, - 1, - 2)$ y tiene vector director $d = (2, 3, - 1)$ . El plano $π$ tiene vector normal $n = (3, - m, 1)$ .

$r$ y $π$ son paralelos (o la recta está contenida en el plano) cuando $d ⊥ n$ : $d \cdot n = 6 - 3 m - 1 = 5 - 3 m = 0 \Rightarrow m = \frac{5}{3} .$
Para que el plano contenga a la recta, además de ser $d ⊥ n$ (es decir, $m = \frac{5}{3}$ ) el punto $A$ debe cumplir la ecuación del plano: $3 \cdot 1 - m \cdot (- 1) + (- 2) = 1 \Rightarrow 1 + m = 1 \Rightarrow m = 0$ .
Las dos condiciones no se cumplen a la vez (una exige $m = \frac{5}{3}$ y la otra $m = 0$ ). Para $m = \frac{5}{3}$ el punto $A$ no está en $π$ ( $1 + \frac{5}{3} \neq = 1$ ), así que la recta es paralela al plano y no está contenida en él.

Resultado: $r$ y $π$ son paralelos para $m = \frac{5}{3}$ ; no existe ningún valor de $m$ para el que $π$ contenga a $r$ .

b) Con $m = \frac{5}{3}$ , $π : 3 x - \frac{5}{3} y + z = 1$ , es decir, $9 x - 5 y + 3 z = 3$ .

Un plano paralelo a $π$ tiene la forma $9 x - 5 y + 3 z + D = 0$ .
Si contiene a $r$ , contiene a $A = (1, - 1, - 2)$ : $9 + 5 - 6 + D = 0 \Rightarrow D = - 8$ .
Como $d \cdot (9, - 5, 3) = 18 - 15 - 3 = 0$ , la recta $r$ queda contenida en este plano.

Resultado: $π^{'} : 9 x - 5 y + 3 z - 8 = 0$

c) Escribimos $π : 3 x - m y + z - 1 = 0$ y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

$d (P, π) = \frac{∣3 \cdot 1 - m \cdot ( - 1 ) + ( - 2 ) - 1∣}{9 + m ^{2} + 1} = \frac{∣3 + m - 2 - 1∣}{10 + m ^{2}} = \frac{∣ m ∣}{10 + m ^{2}} .$

Resultado: $d (P, π) = \frac{∣ m ∣}{10 + m ^{2}}$

Resultado: a) paralelos para $m = \frac{5}{3}$ ; ningún $m$ hace que $π$ contenga a $r$ ; b) $9 x - 5 y + 3 z - 8 = 0$ ; c) $\frac{∣ m ∣}{10 + m ^{2}}$

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Junio 2023 · Problema 4 Medio10 puntosDistancias, ángulos, áreas y volúmenes / Rectas y planos

Recta como corte de planos: pertenencia de un punto, ángulo y proyección ortogonal

Problema 4. Dada la recta

$r : {5 x + y + 7 z 9 x - y + 7 z = 16 = 12$

y el punto $P = (0, 5, 2)$ se pide:

a) (2 puntos) Comprobar que el punto $Q = (2, 6, 0)$ pertenece a la recta $r$ y encontrar la recta $s$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$ .

b) (3 puntos) Obtener el ángulo que forman la recta $r$ y la recta $s$ .

c) (5 puntos) Obtener la proyección ortogonal del punto $P$ en la recta $r$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $s : (x, y, z) = (0, 5, 2) + λ (2, 1, - 2)$ ; b) $θ = arccos \frac{2}{3} \approx 35, 2 6^{\circ}$ ; c) $(1, 4, 1)$

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a) Sustituimos $Q = (2, 6, 0)$ en las dos ecuaciones de $r$ :

$5 \cdot 2 + 6 + 7 \cdot 0 = 16$ . Se cumple.
$9 \cdot 2 - 6 + 7 \cdot 0 = 12$ . Se cumple.
Luego $Q \in r$ .
La recta $s$ pasa por $P$ con vector director $P Q = (2 - 0, 6 - 5, 0 - 2) = (2, 1, - 2)$ .

Resultado: $s : (x, y, z) = (0, 5, 2) + λ (2, 1, - 2)$ , es decir, $\frac{x}{2} = y - 5 = \frac{z - 2}{- 2}$

b) Necesitamos el vector director de $r$ .

Los vectores normales de los planos son $(5, 1, 7)$ y $(9, - 1, 7)$ . Su producto vectorial: $i 59 j 1 - 1 k 77 = (1 \cdot 7 - 7 \cdot (- 1), - (5 \cdot 7 - 7 \cdot 9), 5 \cdot (- 1) - 1 \cdot 9) = (14, 28, - 14) .$ Un vector director de $r$ es $u = (1, 2, - 1)$ (dividiendo por 14).
El vector director de $s$ es $v = (2, 1, - 2)$ .
El ángulo entre dos rectas viene dado por el ángulo agudo entre sus vectores directores: $cos θ = \frac{∣ u \cdot v ∣}{∣ u ∣ ∣ v ∣} = \frac{∣2 + 2 + 2∣}{6 \cdot 3} = \frac{6}{3 6} = \frac{2}{6} = \frac{6}{3} = \frac{2}{3} .$
$θ = arccos \frac{2}{3} \approx 35, 2 6^{\circ}$ (calculadora en grados).

Resultado: $θ = arccos \frac{2}{3} \approx 35, 2 6^{\circ}$

c) La proyección ortogonal de $P$ sobre $r$ es el punto $P^{'}$ de $r$ tal que $P P^{'}$ es perpendicular a $u$ .

La recta $r$ pasa por $Q$ con dirección $u = (1, 2, - 1)$ : sus puntos son $(2 + t, 6 + 2 t, - t)$ .
El vector desde $P$ a un punto de $r$ es $(2 + t, 1 + 2 t, - 2 - t)$ .
Imponemos que sea perpendicular a $u$ : $(2 + t) + 2 (1 + 2 t) - (- 2 - t) = 0 \Rightarrow 2 + t + 2 + 4 t + 2 + t = 0 \Rightarrow 6 t + 6 = 0 \Rightarrow t = - 1.$
El punto es $(2 - 1, 6 - 2, 1) = (1, 4, 1)$ .
Comprobación: $(1, 4, 1)$ cumple $5 + 4 + 7 = 16$ y $9 - 4 + 7 = 12$ , luego está en $r$ ; y $P P^{'} = (1, - 1, - 1)$ cumple $(1, - 1, - 1) \cdot (1, 2, - 1) = 1 - 2 + 1 = 0$ .

Resultado: $P^{'} = (1, 4, 1)$

Resultado: a) $s : (x, y, z) = (0, 5, 2) + λ (2, 1, - 2)$ ; b) $θ = arccos \frac{2}{3} \approx 35, 2 6^{\circ}$ ; c) $(1, 4, 1)$

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Julio 2022 · Problema 3 Medio10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Recta por dos puntos, plano que contiene a una recta y es paralelo a otra, y distancia punto-recta

Problema 3. Dados los puntos $A = (2, 0, 0)$ y $B = (0, 1, 0)$ , y la recta $s : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = z$ :

a) (2 puntos) Hallar la ecuación de la recta $r$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ .

b) (4 puntos) Determinar la ecuación implícita del plano que contiene a la recta $s$ y es paralelo a la recta $r$ .

c) (4 puntos) Calcular la distancia del punto $A$ a la recta $s$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $r : x + 2 y = 2, z = 0$ ; b) $x + 2 y - 8 z - 3 = 0$ ; c) $\frac{27}{14} \approx 1, 389$

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La recta $s$ pasa por $P = (1, 1, 0)$ y tiene vector director $d_{s} = (2, 3, 1)$ .

a) Un vector director de $r$ es $A B = B - A = (- 2, 1, 0)$ , y pasa por $A = (2, 0, 0)$ :

$r : (x, y, z) = (2, 0, 0) + λ (- 2, 1, 0) .$

Ecuaciones paramétricas: $x = 2 - 2 λ$ , $y = λ$ , $z = 0$ .
Eliminando $λ$ : $x = 2 - 2 y \Rightarrow x + 2 y - 2 = 0$ , y además $z = 0$ .
Comprobación con $B = (0, 1, 0)$ : $0 + 2 - 2 = 0$ y $z = 0$ .

Resultado: $r : {x + 2 y z = 2 = 0$

b) El plano $π$ contiene a $s$ y es paralelo a $r$ : contiene las direcciones $d_{s} = (2, 3, 1)$ y $d_{r} = (- 2, 1, 0)$ , y pasa por $P$ .

Vector normal:

$n = d_{s} \times d_{r} = i 2 - 2 j 31 k 10 = (3 \cdot 0 - 1 \cdot 1, - (2 \cdot 0 + 2), 2 \cdot 1 + 6) = (- 1, - 2, 8) .$

Tomamos $n = (1, 2, - 8)$ (opuesto). El plano es $x + 2 y - 8 z + D = 0$ .
Pasa por $P = (1, 1, 0)$ : $1 + 2 + D = 0 \Rightarrow D = - 3$ .
Comprobación: $n \cdot d_{s} = 2 + 6 - 8 = 0$ y $n \cdot d_{r} = - 2 + 2 = 0$ . Además $A = (2, 0, 0)$ no está en el plano ( $2 - 3 \neq = 0$ ), así que $r$ es paralela al plano y no está contenida en él.

Resultado: $π : x + 2 y - 8 z - 3 = 0$

c) Usamos $d (A, s) = \frac{∣ P A \times d _{s} ∣}{∣ d _{s} ∣}$ con $P A = A - P = (1, - 1, 0)$ .

$P A \times d_{s} = i 12 j - 1 3 k 01 = (- 1 - 0, - (1 - 0), 3 + 2) = (- 1, - 1, 5) .$

Módulo: $∣ P A \times d_{s} ∣ = 1 + 1 + 25 = 27$ y $∣ d_{s} ∣ = 4 + 9 + 1 = 14$ .
Distancia:

$d (A, s) = \frac{27}{14} = \frac{27}{14} \approx 1, 389.$

Resultado: $d (A, s) = \frac{27}{14} = \frac{3 42}{14} \approx 1, 389$

Resultado: a) $r : x + 2 y = 2, z = 0$ ; b) $x + 2 y - 8 z - 3 = 0$ ; c) $\frac{27}{14} \approx 1, 389$

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Julio 2022 · Problema 4 Medio10 puntosDistancias, ángulos, áreas y volúmenes / Rectas y planos / Vectores

Pie de la perpendicular a un plano desde un punto y área del triángulo ABC

Problema 4. Dados los puntos $A = (2, 1, - 2)$ y $B = (3, 2, 3)$ , y el plano $π$ definido por $2 x + 2 y + z = 3$ , obtener:

a) (5 puntos) El punto de corte $C$ entre el plano $π$ y la recta perpendicular a $π$ que pasa por $B$ .

b) (5 puntos) El área del triángulo cuyos vértices son $A$ , $B$ y $C$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: a) $C = (\frac{7}{9}, - \frac{2}{9}, \frac{17}{9})$ ; b) $52 \approx 7, 071$ u $^{2}$

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a) La recta perpendicular a $π$ tiene como vector director el normal del plano, $n = (2, 2, 1)$ , y pasa por $B$ :

$(x, y, z) = (3, 2, 3) + λ (2, 2, 1) = (3 + 2 λ, 2 + 2 λ, 3 + λ) .$

Sustituimos en la ecuación del plano: $2 (3 + 2 λ) + 2 (2 + 2 λ) + (3 + λ) = 3$ .
$6 + 4 λ + 4 + 4 λ + 3 + λ = 3 \Rightarrow 13 + 9 λ = 3 \Rightarrow λ = - \frac{10}{9}$ .
Punto $C$ :

$C = (3 - \frac{20}{9}, 2 - \frac{20}{9}, 3 - \frac{10}{9}) = (\frac{7}{9}, - \frac{2}{9}, \frac{17}{9}) .$

Comprobación: $2 \cdot \frac{7}{9} + 2 \cdot (- \frac{2}{9}) + \frac{17}{9} = \frac{14 - 4 + 17}{9} = 3$ .

Resultado: $C = (\frac{7}{9}, - \frac{2}{9}, \frac{17}{9})$

b) El área es $\frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣$ .

$A B = (1, 1, 5)$ y $A C = (\frac{7}{9} - 2, - \frac{2}{9} - 1, \frac{17}{9} + 2) = (- \frac{11}{9}, - \frac{11}{9}, \frac{35}{9})$ .
Producto vectorial:

$A B \times A C = i 1 - \frac{11}{9} j 1 - \frac{11}{9} k 5 \frac{35}{9} = (\frac{35}{9} + \frac{55}{9}, - \frac{55}{9} - \frac{35}{9}, - \frac{11}{9} + \frac{11}{9}) = (10, - 10, 0) .$

Módulo: $∣ (10, - 10, 0) ∣ = 102$ .
Área:

$S = \frac{1}{2} \cdot 102 = 52 = 50 \approx 7, 071 u^{2} .$

Resultado: $S = 52 = 50 \approx 7, 071$ u $^{2}$

Resultado: a) $C = (\frac{7}{9}, - \frac{2}{9}, \frac{17}{9})$ ; b) $52 \approx 7, 071$ u $^{2}$

Repasa la teoría: Producto vectorial · Ecuaciones de la recta en el espacio · Proyecciones ortogonales y simétricos · Áreas y volúmenes con vectores · Ver el examen completo (Julio 2022)

Junio 2022 · Problema 4 Medio10 puntosPosiciones relativas / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Planos paralelos, simétrico de un punto respecto a un plano y corte recta-plano

Problema 4. Dados los planos

$π_{1} : 2 x - y - z + 4 = 0 y π_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x y z = - 1 + α = 1 + α + β = α - β$

y la recta $r : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ .

a) (3 puntos) Calcular la posición relativa de $π_{1}$ y $π_{2}$ .

b) (4 puntos) Calcular el punto $P^{'}$ que es simétrico al punto $P = (1, 0, 0)$ respecto del plano $π_{1}$ .

c) (3 puntos) Calcular, si existe, el punto de intersección de $π_{1}$ y $r$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) paralelos no coincidentes; b) $P^{'} = (- 3, 2, 2)$ ; c) $(- 3, - 8, 6)$

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a) Pasamos $π_{2}$ a forma general.

$π_{2}$ pasa por $(- 1, 1, 0)$ y tiene vectores directores $u = (1, 1, 1)$ y $v = (0, 1, - 1)$ .
Vector normal: $u \times v = i 10 j 11 k 1 - 1 = (- 2, 1, 1) ∥ (2, - 1, - 1)$ .
Ecuación: $2 (x + 1) - (y - 1) - z = 0 \Rightarrow π_{2} : 2 x - y - z + 3 = 0$ .
Comparamos con $π_{1} : 2 x - y - z + 4 = 0$ : los coeficientes de $x, y, z$ son iguales (normales proporcionales), pero el término independiente no: $\frac{2}{2} = \frac{- 1}{- 1} = \frac{- 1}{- 1} \neq = \frac{4}{3}$ .

Resultado: $π_{1}$ y $π_{2}$ son paralelos no coincidentes.

b) Hallamos el pie $M$ de la perpendicular desde $P$ a $π_{1}$ ; el simétrico cumple $M = \frac{P + P ^{'}}{2}$ .

Recta perpendicular a $π_{1}$ por $P$ , con dirección la normal $n = (2, - 1, - 1)$ : $(x, y, z) = (1 + 2 t, - t, - t)$ .
La cortamos con $π_{1}$ : $2 (1 + 2 t) - (- t) - (- t) + 4 = 0 \Rightarrow 2 + 4 t + t + t + 4 = 0 \Rightarrow 6 t = - 6 \Rightarrow t = - 1$ .
El pie es $M = (1 - 2, 1, 1) = (- 1, 1, 1)$ .
$P^{'} = 2 M - P = (- 2 - 1, 2 - 0, 2 - 0) = (- 3, 2, 2)$ .
Comprobación: $P^{'}$ está en el lado opuesto de $π_{1}$ a igual distancia: $2 (- 3) - 2 - 2 + 4 = - 6$ , y para $P$ : $2 - 0 - 0 + 4 = 6$ .

Resultado: $P^{'} = (- 3, 2, 2)$

c) Los puntos de la recta son $(1 + λ, 2 λ, 2 - λ)$ . Sustituimos en $π_{1}$ :

$2 (1 + λ) - 2 λ - (2 - λ) + 4 = 0 \Rightarrow 2 + 2 λ - 2 λ - 2 + λ + 4 = 0 \Rightarrow λ + 4 = 0 \Rightarrow λ = - 4$ .
Punto: $(1 - 4, - 8, 2 + 4) = (- 3, - 8, 6)$ .
Comprobación: $2 (- 3) + 8 - 6 + 4 = 0$ .

Resultado: $(- 3, - 8, 6)$

Resultado: a) paralelos no coincidentes; b) $P^{'} = (- 3, 2, 2)$ ; c) $(- 3, - 8, 6)$

Repasa la teoría: Ecuaciones del plano · Posición relativa de una recta y un plano · Posición relativa de dos y tres planos · Proyecciones ortogonales y simétricos · Ver el examen completo (Junio 2022)

Julio 2021 · Problema 2 Medio10 puntosPosiciones relativas / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes / Vectores

Posición relativa de dos rectas, recta contenida en un plano con parámetro y volumen de un tetraedro

Problema 2. Se dan las rectas

$r : {x + y - 1 2 x - z - 1 = 0 = 0 s : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{2}$

y el plano $π : x + m y + z = 2$ que depende del parámetro real $m$ . Obtened:

a) (4 puntos) La posición relativa de las rectas $r$ y $s$ .

b) (3 puntos) El valor del parámetro $m$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $π$ .

c) (3 puntos) Los puntos $A$ , $B$ , $C$ intersección del plano $π$ con los ejes de coordenadas cuando $m = 2$ , así como el volumen del tetraedro de vértices $A$ , $B$ , $C$ y $P (2, 2, 2)$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: a) paralelas (distintas); b) $m = 3$ ; c) $A = (2, 0, 0)$ , $B = (0, 1, 0)$ , $C = (0, 0, 2)$ , $V = 2$ u $^{3}$

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a) Pasamos $r$ a paramétricas tomando $x = t$ : $y = 1 - t$ y $z = 2 t - 1$ . Así, $r$ pasa por $P_{r} = (0, 1, - 1)$ con vector director $d_{r} = (1, - 1, 2)$ .

La recta $s$ pasa por $P_{s} = (1, 0, 0)$ con vector director $d_{s} = (1, - 1, 2)$ .

Los vectores directores son iguales, luego $r$ y $s$ son paralelas o coincidentes.
Comprobamos si $P_{s} = (1, 0, 0)$ está en $r$ : $x + y - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$ se cumple, pero $2 x - z - 1 = 2 - 0 - 1 = 1 \neq = 0$ . No está.
Como $P_{s} \in / r$ , las rectas no coinciden.

Resultado: $r$ y $s$ son paralelas (distintas).

b) La recta $r$ está contenida en $π$ si su vector director es perpendicular al normal del plano, $n = (1, m, 1)$ , y un punto de $r$ está en $π$ .

$d_{r} \cdot n = 1 - m + 2 = 3 - m = 0 \Rightarrow m = 3$ .
Comprobación con $P_{r} = (0, 1, - 1)$ : $0 + 3 \cdot 1 + (- 1) = 2$ , que cumple $x + 3 y + z = 2$ .

Resultado: $m = 3$

c) Con $m = 2$ el plano es $x + 2 y + z = 2$ .

Eje $O X$ ( $y = z = 0$ ): $x = 2 \Rightarrow A = (2, 0, 0)$ .
Eje $O Y$ ( $x = z = 0$ ): $2 y = 2 \Rightarrow B = (0, 1, 0)$ .
Eje $O Z$ ( $x = y = 0$ ): $z = 2 \Rightarrow C = (0, 0, 2)$ .
El volumen del tetraedro es $V = \frac{1}{6} det (A B, A C, A P)$ , con $A B = (- 2, 1, 0)$ , $A C = (- 2, 0, 2)$ y $A P = (0, 2, 2)$ :

$- 2 - 2 0 102022 = - 2 (0 - 4) - 1 (- 4 - 0) + 0 = 8 + 4 = 12.$

$V = \frac{12}{6} = 2$ u $^{3}$ .

Resultado: $A = (2, 0, 0)$ , $B = (0, 1, 0)$ , $C = (0, 0, 2)$ ; $V = 2$ u $^{3}$

Resultado: a) paralelas (distintas); b) $m = 3$ ; c) $A = (2, 0, 0)$ , $B = (0, 1, 0)$ , $C = (0, 0, 2)$ , $V = 2$ u $^{3}$

Repasa la teoría: Producto mixto · Ecuaciones de la recta en el espacio · Posición relativa de dos rectas en el espacio · Posición relativa de una recta y un plano · Áreas y volúmenes con vectores · Ver el examen completo (Julio 2021)

Julio 2021 · Problema 5 Medio10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes / Vectores

Plano por tres puntos y distancia al origen, distancia entre rectas paralelas y puntos alineados

Problema 5. Dados los puntos $P (1, 1, 0)$ , $Q (2, - 1, 1)$ y $R (α, 3, - 1)$ se pide:

a) (3 puntos) La ecuación del plano que contiene a $P$ , $Q$ y $R$ cuando $α = 1$ , y la distancia de dicho plano al origen de coordenadas.

b) (4 puntos) La ecuación de la recta $r$ que pasa por $R$ cuando $α = 1$ y es paralela a la recta $s$ que pasa por $P$ y $Q$ . Calculad la distancia entre las rectas $r$ y $s$ .

c) (3 puntos) Los valores de $α$ para los cuales $P$ , $Q$ y $R$ están alineados y la ecuación de la recta que los contiene.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: a) $y + 2 z - 1 = 0$ , $d = \frac{5}{5} \approx 0, 447$ ; b) $r : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ , $d (r, s) = \frac{5}{6} \approx 0, 913$ ; c) $α = 0$ , recta $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{1}$

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a) Con $α = 1$ , $R = (1, 3, - 1)$ .

Vectores del plano: $P Q = (1, - 2, 1)$ y $P R = (0, 2, - 1)$ .
Vector normal:

$n = P Q \times P R = i 10 j - 2 2 k 1 - 1 = (2 - 2, - (- 1 - 0), 2 - 0) = (0, 1, 2) .$

El plano es $y + 2 z + D = 0$ . Pasa por $P = (1, 1, 0)$ : $1 + D = 0 \Rightarrow D = - 1$ .
Comprobación: $Q$ : $- 1 + 2 - 1 = 0$ ; $R$ : $3 - 2 - 1 = 0$ .
Distancia al origen:

$d (O, π) = \frac{∣0 + 0 + 0 - 1∣}{0 ^{2} + 1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{1}{5} = \frac{5}{5} \approx 0, 447.$

Resultado: $π : y + 2 z - 1 = 0$ ; $d (O, π) = \frac{5}{5} \approx 0, 447$

b) La recta $s$ pasa por $P$ y $Q$ , con vector director $d = P Q = (1, - 2, 1)$ .

La recta $r$ es paralela a $s$ y pasa por $R = (1, 3, - 1)$ :

$r : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1} .$

Como $r ∥ s$ , la distancia entre ellas es la distancia de un punto de $r$ a $s$ . Tomamos $R$ y el punto $P$ de $s$ : $d (r, s) = \frac{∣ P R \times d ∣}{∣ d ∣}$ , con $P R = (0, 2, - 1)$ .
Producto vectorial:

$P R \times d = i 01 j 2 - 2 k - 1 1 = (2 - 2, - (0 + 1), 0 - 2) = (0, - 1, - 2) .$

Módulos: $∣ P R \times d ∣ = 0 + 1 + 4 = 5$ y $∣ d ∣ = 1 + 4 + 1 = 6$ .
Distancia:

$d (r, s) = \frac{5}{6} = \frac{5}{6} \approx 0, 913.$

Resultado: $r : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ ; $d (r, s) = \frac{5}{6} \approx 0, 913$

c) Con $R = (α, 3, - 1)$ , los puntos están alineados cuando $P R = (α - 1, 2, - 1)$ es proporcional a $P Q = (1, - 2, 1)$ .

Imponemos la proporcionalidad: $\frac{α - 1}{1} = \frac{2}{- 2} = \frac{- 1}{1}$ .
Las dos últimas razones valen $- 1$ (coinciden, lo que debe ocurrir), y de la primera: $α - 1 = - 1 \Rightarrow α = 0$ .
La recta que los contiene pasa por $P$ con vector director $(1, - 2, 1)$ :

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{1} .$

Comprobación con $R = (0, 3, - 1)$ : $\frac{0 - 1}{1} = - 1$ , $\frac{3 - 1}{- 2} = - 1$ , $\frac{- 1}{1} = - 1$ .

Resultado: $α = 0$ y la recta $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{1}$

Repasa la teoría: Puntos y vectores en R³ · Ecuaciones de la recta en el espacio · Ecuaciones del plano · Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano · Distancias entre rectas y planos · Ver el examen completo (Julio 2021)

Junio 2021 · Problema 5 Medio10 puntosDistancias, ángulos, áreas y volúmenes / Rectas y planos

Distancia de un punto a un plano, punto simétrico y plano paralelo

Problema 5. Dados el punto $P (1, 2, 3)$ y el plano $π \equiv 3 x + 2 y + z + 4 = 0$ , se pide:

a) (2 puntos) Calcular la distancia del punto $P$ al plano $π$ .

b) (5 puntos) Calcular el punto $P^{'}$ que es simétrico del punto $P$ respecto del plano $π$ .

c) (3 puntos) Calcular la ecuación del plano $π^{'}$ que pasa por $P^{'}$ y es paralelo a $π$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $14 \approx 3, 742$ ; b) $P^{'} = (- 5, - 2, 1)$ ; c) $3 x + 2 y + z + 18 = 0$

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a) Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

$d (P, π) = \frac{∣3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 4∣}{3 ^{2} + 2 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{14}{14} = 14 \approx 3, 742.$

Resultado: $d (P, π) = 14 \approx 3, 742$

b) El simétrico $P^{'}$ está en la recta perpendicular a $π$ por $P$ , a la misma distancia del plano que $P$ , al otro lado.

Recta perpendicular a $π$ por $P$ (director el normal $n = (3, 2, 1)$ ): $(x, y, z) = (1 + 3 t, 2 + 2 t, 3 + t)$ .
Punto de corte $M$ con el plano: $3 (1 + 3 t) + 2 (2 + 2 t) + (3 + t) + 4 = 0 \Rightarrow 14 + 14 t = 0 \Rightarrow t = - 1$ , luego $M = (- 2, 0, 2)$ .
$M$ es el punto medio de $P$ y $P^{'}$ : $P^{'} = 2 M - P = (- 4 - 1, 0 - 2, 4 - 3) = (- 5, - 2, 1)$ .
Comprobación: con $t = - 2$ se obtiene el mismo punto, $(1 - 6, 2 - 4, 3 - 2) = (- 5, - 2, 1)$ .

Resultado: $P^{'} = (- 5, - 2, 1)$

c) Un plano paralelo a $π$ tiene la forma $3 x + 2 y + z + D = 0$ . Imponemos que pase por $P^{'} (- 5, - 2, 1)$ :

$3 (- 5) + 2 (- 2) + 1 + D = 0 \Rightarrow - 18 + D = 0 \Rightarrow D = 18.$

Comprobación: $d (P^{'}, π^{'}) = 0$ y la distancia entre $π$ y $π^{'}$ es $\frac{∣18 - 4∣}{14} = 14$ , igual que $d (P, π)$ .

Resultado: $π^{'} : 3 x + 2 y + z + 18 = 0$

Resultado: a) $14 \approx 3, 742$ ; b) $P^{'} = (- 5, - 2, 1)$ ; c) $3 x + 2 y + z + 18 = 0$

Repasa la teoría: Ecuaciones del plano · Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano · Proyecciones ortogonales y simétricos · Ver el examen completo (Junio 2021)

Septiembre 2020 · Problema 2 Medio10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Recta paralela a dos planos, distancias a los planos y perpendicular a la recta intersección

Problema 2. Se dan los planos $π : x + y = 1$ y $π^{'} : x - y + z = 1$ y el punto $P (1, - 1, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) Unas ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por el punto $P$ y es paralela a los planos $π$ y $π^{'}$ .

b) (3 puntos) La distancia de la recta $r$ a cada uno de los planos $π$ y $π^{'}$ .

c) (4 puntos) Las ecuaciones de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a la recta obtenida como intersección de los planos $π$ y $π^{'}$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $(x, y, z) = (1 + t, - 1 - t, - 2 t)$ ; b) $d (r, π) = \frac{2}{2}$ , $d (r, π^{'}) = \frac{3}{3}$ ; c) $(x, y, z) = (1 + μ, - 1 + 5 μ, - 2 μ)$

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a) Los vectores normales son $n = (1, 1, 0)$ y $n^{'} = (1, - 1, 1)$ . Una recta paralela a ambos planos tiene un vector director perpendicular a los dos normales; lo obtenemos con el producto vectorial:

$d = n \times n^{'} = i 11 j 1 - 1 k 01 = (1 - 0, - (1 - 0), - 1 - 1) = (1, - 1, - 2) .$
La recta $r$ pasa por $P (1, - 1, 0)$ con vector director $d = (1, - 1, - 2)$ .

Resultado: $r : ⎩ ⎨ ⎧ x y z = 1 + t = - 1 - t = - 2 t t \in R$

b) Como $r$ es paralela a cada plano, todos sus puntos están a la misma distancia del plano, y basta calcular la distancia de $P$ a cada uno (si $P$ estuviera en el plano, la distancia sería $0$ ).

Al plano $π$ ( $x + y - 1 = 0$ ): $d (r, π) = \frac{∣1 - 1 - 1∣}{1 + 1 + 0} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} \approx 0, 707$ .
Al plano $π^{'}$ ( $x - y + z - 1 = 0$ ): $d (r, π^{'}) = \frac{∣1 + 1 + 0 - 1∣}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3} \approx 0, 577$ .

Resultado: $d (r, π) = \frac{2}{2}$ y $d (r, π^{'}) = \frac{3}{3}$

c) La recta intersección $s = π \cap π^{'}$ tiene como vector director el mismo $d = (1, - 1, - 2)$ (es perpendicular a los dos normales).

Un punto de $s$ : con $x = 0$ , de $x + y = 1$ sale $y = 1$ , y de $x - y + z = 1$ sale $z = 2$ . Así $s : (t, 1 - t, 2 - 2 t)$ .
La recta buscada pasa por $P$ , es perpendicular a $s$ y la corta. Está contenida en el plano $σ$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $s$ : $x - y - 2 z + D = 0$ , con $1 + 1 - 0 + D = 0 \Rightarrow D = - 2$ , es decir, $σ : x - y - 2 z = 2$ .
El punto $Q$ donde la recta buscada corta a $s$ es $Q = s \cap σ$ :

$t - (1 - t) - 2 (2 - 2 t) = 2 \Rightarrow 6 t - 5 = 2 \Rightarrow t = \frac{7}{6}, Q = (\frac{7}{6}, - \frac{1}{6}, - \frac{1}{3}) .$

Vector director: $P Q = (\frac{1}{6}, \frac{5}{6}, - \frac{1}{3}) ∥ (1, 5, - 2)$ .
Comprobación: $(1, 5, - 2) \cdot (1, - 1, - 2) = 1 - 5 + 4 = 0$ .

Resultado: $⎩ ⎨ ⎧ x y z = 1 + μ = - 1 + 5 μ = - 2 μ μ \in R$ (corta a $s$ en $Q (\frac{7}{6}, - \frac{1}{6}, - \frac{1}{3})$ )

Resultado: a) $(x, y, z) = (1 + t, - 1 - t, - 2 t)$ ; b) $d (r, π) = \frac{2}{2}$ , $d (r, π^{'}) = \frac{3}{3}$ ; c) $(x, y, z) = (1 + μ, - 1 + 5 μ, - 2 μ)$

Repasa la teoría: Ecuaciones de la recta en el espacio · Posición relativa de una recta y un plano · Distancias entre rectas y planos · Proyecciones ortogonales y simétricos · Ver el examen completo (Septiembre 2020)

Julio 2020 · Problema 2 Medio10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Recta paralela por dos puntos, plano paralelo a una recta y distancia a un plano

Problema 2. Sea la recta $r : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1}$ y los puntos $P = (1, 0, 0)$ y $Q = (2, 1, α)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) El valor de $α$ para que la recta que pasa por $P$ y $Q$ sea paralela a $r$ .

b) (3 puntos) La ecuación del plano que contiene a $P$ y $Q$ y es paralelo a $r$ , cuando $α = 1$ .

c) (4 puntos) La distancia del punto $Q$ al plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ , cuando $α = 1$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $α = - 1$ ; b) $x - y - 1 = 0$ ; c) $d (Q, π) = \frac{3}{3} \approx 0, 577$

Ver proceso y resultado

a) El vector director de $r$ es $d_{r} = (1, 1, - 1)$ y el de la recta $P Q$ es $P Q = (1, 1, α)$ .

Las rectas son paralelas si los vectores son proporcionales: $\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{α}{- 1}$ .
Entonces $α = - 1$ .

Resultado: $α = - 1$

b) Con $α = 1$ : $Q = (2, 1, 1)$ y $P Q = (1, 1, 1)$ . El plano contiene a $P$ , tiene como vectores directores $P Q$ y $d_{r} = (1, 1, - 1)$ .

Vector normal:

$n = P Q \times d_{r} = i 11 j 11 k 1 - 1 = (- 1 - 1, - (- 1 - 1), 1 - 1) = (- 2, 2, 0) .$

Tomamos $n = (1, - 1, 0)$ (proporcional al anterior). El plano es $x - y + D = 0$ y pasa por $P = (1, 0, 0)$ : $1 + D = 0 \Rightarrow D = - 1$ .
Comprobación: $Q = (2, 1, 1)$ cumple $2 - 1 - 1 = 0$ . Además el punto $(1, - 1, 0)$ de $r$ da $1 + 1 - 1 = 1 \neq = 0$ , luego $r$ no está contenida en el plano, solo es paralela a él.

Resultado: $x - y - 1 = 0$

c) El plano $π$ perpendicular a $r$ tiene como vector normal el director de $r$ , $n = (1, 1, - 1)$ .

$π : x + y - z + D = 0$ y pasa por $P = (1, 0, 0)$ : $1 + D = 0 \Rightarrow D = - 1$ , es decir, $π : x + y - z - 1 = 0$ .
Distancia de $Q = (2, 1, 1)$ a $π$ :

$d (Q, π) = \frac{∣2 + 1 - 1 - 1∣}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3} \approx 0, 577.$

Resultado: $π : x + y - z - 1 = 0$ ; $d (Q, π) = \frac{3}{3} \approx 0, 577$

Resultado: a) $α = - 1$ ; b) $x - y - 1 = 0$ ; c) $d (Q, π) = \frac{3}{3} \approx 0, 577$

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Julio 2020 · Problema 5 Medio10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Plano perpendicular a otro por dos puntos, recta perpendicular a un plano y distancia

Problema 5. Se dan el plano $π : 2 x + y - z - 5 = 0$ y los puntos $A (1, 2, - 1)$ , $B (2, 1, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4 puntos) La ecuación implícita del plano que pasa por los puntos $A$ , $B$ y es perpendicular a $π$ .

b) (1+2 puntos) Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que es perpendicular a $π$ y pasa por $A$ . Encuentra dos planos cuya intersección sea la recta $r$ .

c) (3 puntos) La distancia entre el punto $B$ y la recta $r$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $y + z - 1 = 0$ ; b) $r : (x, y, z) = (1, 2, - 1) + t (2, 1, - 1)$ y, por ejemplo, los planos $x - 2 y + 3 = 0$ e $y + z - 1 = 0$ ; c) $d (B, r) = 3 \approx 1, 732$

Ver proceso y resultado

a) El vector normal de $π$ es $n_{π} = (2, 1, - 1)$ y $A B = (1, - 1, 1)$ .

El plano buscado contiene a $A$ y $B$ y es perpendicular a $π$ , así que sus vectores directores son $A B$ y $n_{π}$ . Su vector normal es

$n = A B \times n_{π} = i 12 j - 1 1 k 1 - 1 = (1 - 1, - (- 1 - 2), 1 + 2) = (0, 3, 3) .$

Tomamos $n = (0, 1, 1)$ . El plano es $y + z + D = 0$ y pasa por $A = (1, 2, - 1)$ : $2 - 1 + D = 0 \Rightarrow D = - 1$ .
Comprobación: $B$ : $1 + 0 - 1 = 0$ . Y $n \cdot n_{π} = 0 + 1 - 1 = 0$ , luego es perpendicular a $π$ .

Resultado: $y + z - 1 = 0$

b) La recta $r$ tiene como vector director el normal de $π$ , $d = (2, 1, - 1)$ , y pasa por $A$ :

$r : ⎩ ⎨ ⎧ x y z = 1 + 2 t = 2 + t = - 1 - t t \in R .$

Forma continua: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$ .
Igualando la segunda razón con la primera: $x - 1 = 2 (y - 2) \Rightarrow x - 2 y + 3 = 0$ .
Igualando la segunda con la tercera: $y - 2 = - (z + 1) \Rightarrow y + z - 1 = 0$ .
Los planos $x - 2 y + 3 = 0$ e $y + z - 1 = 0$ no son paralelos (sus normales $(1, - 2, 0)$ y $(0, 1, 1)$ no son proporcionales) y ambos contienen a $r$ , así que su intersección es $r$ .

Resultado: $r : (x, y, z) = (1, 2, - 1) + t (2, 1, - 1)$ ; por ejemplo, $r = {x - 2 y + 3 = 0} \cap {y + z - 1 = 0}$ .

c) Tomamos el punto $A$ de $r$ y el vector director $d = (2, 1, - 1)$ :

$d (B, r) = \frac{∣ A B \times d ∣}{∣ d ∣} .$

$A B \times d = i 12 j - 1 1 k 1 - 1 = (0, 3, 3)$ (calculado en el apartado a)).
$∣ A B \times d ∣ = 0 + 9 + 9 = 32$ y $∣ d ∣ = 4 + 1 + 1 = 6$ .
$d (B, r) = \frac{3 2}{6} = \frac{3}{3} = 3 \approx 1, 732$ .

Resultado: $d (B, r) = 3 \approx 1, 732$

Resultado: a) $y + z - 1 = 0$ ; b) $r : (x, y, z) = (1, 2, - 1) + t (2, 1, - 1)$ y, por ejemplo, los planos $x - 2 y + 3 = 0$ e $y + z - 1 = 0$ ; c) $d (B, r) = 3 \approx 1, 732$

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Julio 2019 · Problema A.2 Medio10 puntosDistancias, ángulos, áreas y volúmenes / Rectas y planos / Vectores

Distancia de un punto a un plano, área del triángulo de cortes y volumen de un tetraedro

Problema A.2. Se dan el plano $π : 2 x + y + 2 z = 8$ y el punto $P = (10, 0, 10)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) La distancia del punto $P$ al plano $π$ .

b) (4 puntos) El área del triángulo cuyos vértices son los puntos $A$ , $B$ y $C$ , obtenidos al hallar la intersección del plano $π$ con los ejes de coordenadas.

c) (3 puntos) El volumen del tetraedro cuyos vértices son $P$ , $A$ , $B$ y $C$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: a) $\frac{32}{3} \approx 10, 67$ u; b) $24$ u $^{2}$ ; c) $\frac{256}{3} \approx 85, 33$ u $^{3}$

Ver proceso y resultado

a) Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

$d (P, π) = \frac{∣2 \cdot 10 + 0 + 2 \cdot 10 - 8∣}{2 ^{2} + 1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{32}{3} \approx 10, 67 u .$

Resultado: $d (P, π) = \frac{32}{3} \approx 10, 67$ u

b) Cortamos el plano con cada eje:

Eje $O X$ ( $y = z = 0$ ): $2 x = 8 \Rightarrow A = (4, 0, 0)$ .
Eje $O Y$ ( $x = z = 0$ ): $y = 8 \Rightarrow B = (0, 8, 0)$ .
Eje $O Z$ ( $x = y = 0$ ): $2 z = 8 \Rightarrow C = (0, 0, 4)$ .
Vectores: $A B = (- 4, 8, 0)$ y $A C = (- 4, 0, 4)$ .
Producto vectorial:

$A B \times A C = i - 4 - 4 j 80 k 04 = (32, 16, 32) .$

Su módulo es $3 2^{2} + 1 6^{2} + 3 2^{2} = 2304 = 48$ , y el área del triángulo es la mitad:

$S = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 u^{2} .$

Resultado: $A = (4, 0, 0)$ , $B = (0, 8, 0)$ , $C = (0, 0, 4)$ ; área $= 24$ u $^{2}$

c) El tetraedro tiene por base el triángulo $A B C$ , contenido en $π$ , y su altura es la distancia de $P$ a $π$ :

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot \frac{32}{3} = \frac{256}{3} \approx 85, 33 u^{3} .$

Comprobación con el producto mixto, con $A P = (6, 0, 10)$ : $V = \frac{1}{6} (A B \times A C) \cdot A P = \frac{1}{6} ∣192 + 320∣ = \frac{512}{6} = \frac{256}{3}$ .

Resultado: $V = \frac{256}{3} \approx 85, 33$ u $^{3}$

Resultado: a) $\frac{32}{3} \approx 10, 67$ u; b) $24$ u $^{2}$ ; c) $\frac{256}{3} \approx 85, 33$ u $^{3}$

Repasa la teoría: Producto vectorial · Producto mixto · Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano · Áreas y volúmenes con vectores · Ver el examen completo (Julio 2019)

Julio 2019 · Problema B.2 Medio10 puntosPosiciones relativas / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Posición relativa de recta y plano con dos parámetros, distancia y plano paralelo

Problema B.2. Se dan en el espacio la recta $r : \frac{x - α}{- 1} = \frac{y}{- 4} = \frac{z}{β}$ y el plano $π : x + 2 y + 3 z = 6$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (5 puntos) La posición relativa de la recta $r$ y el plano $π$ en función de los parámetros reales $α$ y $β$ .

b) (3 puntos) La distancia entre la recta $r$ y el plano $π$ cuando $α = 6$ y $β = 3$ .

c) (2 puntos) La ecuación del plano que pasa por $(0, 0, 0)$ y que no corta al plano $π$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $β \neq = 3$ : secantes; $β = 3, α \neq = 6$ : paralela; $β = 3, α = 6$ : contenida; b) $0$ ; c) $x + 2 y + 3 z = 0$

Ver proceso y resultado

a) La recta $r$ pasa por $P_{r} = (α, 0, 0)$ con vector director $d = (- 1, - 4, β)$ . El plano $π$ tiene vector normal $n = (1, 2, 3)$ .

Producto escalar: $d \cdot n = - 1 - 8 + 3 β = 3 β - 9$ .
Si $β \neq = 3$ : $d \cdot n \neq = 0$ , la recta no es paralela al plano y lo corta en un punto.
Si $β = 3$ : $d \cdot n = 0$ , la recta es paralela al plano o está contenida en él. Lo decide el punto $P_{r} = (α, 0, 0)$ : pertenece a $π$ si $α + 0 + 0 = 6$ , es decir, $α = 6$ .
- Si $β = 3$ y $α = 6$ : $r$ está contenida en $π$ .
- Si $β = 3$ y $α \neq = 6$ : $r$ es paralela a $π$ y no está contenida en él.

Resultado: si $β \neq = 3$ , $r$ y $π$ se cortan en un punto; si $β = 3$ y $α \neq = 6$ , $r$ es paralela a $π$ (no contenida); si $β = 3$ y $α = 6$ , $r$ está contenida en $π$ .

b) Con $α = 6$ y $β = 3$ estamos en el último caso del apartado anterior: la recta está contenida en el plano (comprobación: $d \cdot n = 0$ y $P_{r} = (6, 0, 0)$ cumple $6 = 6$ ). Por tanto la distancia entre ambos es $0$ .

Resultado: $d (r, π) = 0$

c) Un plano que no corta a $π$ es paralelo a él, así que tiene su mismo vector normal: $x + 2 y + 3 z + D = 0$ . Como pasa por el origen, $D = 0$ .

Resultado: $x + 2 y + 3 z = 0$

Resultado: a) $β \neq = 3$ : secantes; $β = 3, α \neq = 6$ : paralela; $β = 3, α = 6$ : contenida; b) $0$ ; c) $x + 2 y + 3 z = 0$

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Junio 2019 · Problema B.2 Medio10 puntosDistancias, ángulos, áreas y volúmenes / Rectas y planos / Vectores

Planos paralelos a distancia dada, ángulo entre vectores y volumen de un tetraedro

Problema B.2. Sea $π$ el plano de ecuación $9 x + 12 y + 20 z = 180$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4 puntos) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a $π$ que distan $4$ unidades de $π$ .

b) (4 puntos) Los puntos $A$ , $B$ y $C$ intersección del plano $π$ con los ejes OX, OY y OZ y el ángulo que forman los vectores $A B$ y $A C$ .

c) (2 puntos) El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen $O$ de coordenadas y los puntos $A$ , $B$ y $C$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $9 x + 12 y + 20 z = 280$ y $9 x + 12 y + 20 z = 80$ ; b) $A = (20, 0, 0)$ , $B = (0, 15, 0)$ , $C = (0, 0, 9)$ , $θ \approx 43, 1 5^{\circ}$ ; c) $V = 450$ u $^{3}$

Ver proceso y resultado

a) Un plano paralelo a $π$ tiene la forma $9 x + 12 y + 20 z = k$ . El vector normal $n = (9, 12, 20)$ tiene módulo $∣ n ∣ = 81 + 144 + 400 = 625 = 25$ .

Tomamos el punto $P = (20, 0, 0)$ de $π$ (cumple $9 \cdot 20 = 180$ ).
Su distancia al plano $9 x + 12 y + 20 z - k = 0$ es

$d = \frac{∣9 \cdot 20 - k ∣}{25} = \frac{∣180 - k ∣}{25} .$

Imponemos $d = 4$ : $∣180 - k ∣ = 100 \Rightarrow k = 280$ o $k = 80$ .

Resultado: $9 x + 12 y + 20 z = 280$ y $9 x + 12 y + 20 z = 80$

b) Cortes de $π$ con los ejes:

Eje $O X$ ( $y = z = 0$ ): $9 x = 180 \Rightarrow A = (20, 0, 0)$ .
Eje $O Y$ ( $x = z = 0$ ): $12 y = 180 \Rightarrow B = (0, 15, 0)$ .
Eje $O Z$ ( $x = y = 0$ ): $20 z = 180 \Rightarrow C = (0, 0, 9)$ .
Vectores: $A B = (- 20, 15, 0)$ y $A C = (- 20, 0, 9)$ .
Producto escalar y módulos: $A B \cdot A C = 400$ , $∣ A B ∣ = 400 + 225 = 25$ , $∣ A C ∣ = 400 + 81 = 481$ .
Coseno del ángulo:

$cos θ = \frac{400}{25 481} = \frac{16}{481} \approx 0, 7295 \Rightarrow θ \approx 43, 1 5^{\circ} (4 3^{\circ} 9^{'} 8^{''}) \approx 0, 753 rad .$

Resultado: $A = (20, 0, 0)$ , $B = (0, 15, 0)$ , $C = (0, 0, 9)$ ; $θ = arccos \frac{16}{481} \approx 43, 1 5^{\circ}$ .

c) Los vectores $O A = (20, 0, 0)$ , $O B = (0, 15, 0)$ y $O C = (0, 0, 9)$ son perpendiculares dos a dos, y el volumen del tetraedro es una sexta parte del valor absoluto de su producto mixto:

$V = \frac{1}{6} 20000150009 = \frac{20 \cdot 15 \cdot 9}{6} = \frac{2700}{6} = 450 u^{3} .$

Resultado: $V = 450$ u $^{3}$

Resultado: a) $9 x + 12 y + 20 z = 280$ y $9 x + 12 y + 20 z = 80$ ; b) $A = (20, 0, 0)$ , $B = (0, 15, 0)$ , $C = (0, 0, 9)$ , $θ \approx 43, 1 5^{\circ}$ ; c) $V = 450$ u $^{3}$

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Julio 2018 · Problema B.2 Medio10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Recta dada como intersección de planos: paramétricas, plano paralelo y distancia

Problema B.2. Dada la recta $r : {x + y x + 4 y - z = 3 = 8$ se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ .

b) (4 puntos) La ecuación del plano $π$ que es paralelo a $r$ y pasa por los puntos $(5, 0, 1)$ y $(4, 1, 0)$ .

c) (3 puntos) La distancia entre la recta $r$ y el plano $π$ obtenido en el apartado anterior.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $(x, y, z) = (λ, 3 - λ, 4 - 3 λ)$ ; b) $x + y = 5$ ; c) $2 \approx 1, 41$ u

Ver proceso y resultado

a) 1. Tomamos $x = λ$ como parámetro. De la primera ecuación, $y = 3 - λ$ . 2. De la segunda, $z = x + 4 y - 8 = λ + 4 (3 - λ) - 8 = 4 - 3 λ$ .

$r : ⎩ ⎨ ⎧ x y z = λ = 3 - λ = 4 - 3 λ λ \in R .$

Punto $P_{r} = (0, 3, 4)$ y vector director $d = (1, - 1, - 3)$ .

Resultado: $(x, y, z) = (λ, 3 - λ, 4 - 3 λ)$ , $λ \in R$

b) 1. El plano contiene a los puntos $(5, 0, 1)$ y $(4, 1, 0)$ , luego contiene el vector $u = (4, 1, 0) - (5, 0, 1) = (- 1, 1, - 1)$ . Al ser paralelo a $r$ , contiene también la dirección $d = (1, - 1, - 3)$ . 2. Vector normal:

$n = u \times d = i - 1 1 j 1 - 1 k - 1 - 3 = (- 3 - 1, - 1 - 3, 1 - 1) = (- 4, - 4, 0) .$

Tomamos el vector proporcional $(1, 1, 0)$ .

Plano: $x + y + D = 0$ . Pasa por $(5, 0, 1)$ : $5 + D = 0 \Rightarrow D = - 5$ .
Comprobación con el otro punto: $4 + 1 = 5$ .

Resultado: $π : x + y = 5$

c) 1. La recta es paralela al plano: $d \cdot n = (1, - 1, - 3) \cdot (1, 1, 0) = 0$ , y el punto $P_{r} = (0, 3, 4)$ no está en $π$ ( $0 + 3 = 3 \neq = 5$ ). Por tanto la distancia entre la recta y el plano es la distancia de cualquiera de sus puntos al plano. 2. Distancia de $P_{r}$ a $π$ :

$d (r, π) = d (P_{r}, π) = \frac{∣0 + 3 - 5∣}{1 ^{2} + 1 ^{2} + 0 ^{2}} = \frac{2}{2} = 2 \approx 1, 41 u .$

Resultado: $d (r, π) = 2 \approx 1, 41$ u

Resultado: a) $(x, y, z) = (λ, 3 - λ, 4 - 3 λ)$ ; b) $x + y = 5$ ; c) $2 \approx 1, 41$ u

Repasa la teoría: Ecuaciones de la recta en el espacio · Ecuaciones del plano · Distancias entre rectas y planos · Ver el examen completo (Julio 2018)

Junio 2018 · Problema A.2 Medio10 puntosVectores / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Triángulo rectángulo con un vértice paramétrico, su área y el plano que lo contiene

Problema A.2. Dados los puntos $A (- 1, 2, λ)$ , $B (2, 3, 5)$ y $C (3, 5, 3)$ , donde $λ$ es un parámetro real, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) El valor del parámetro $λ$ para que el segmento $A C$ sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$ .

b) (4 puntos) El área del triángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$ cuando $λ = 6$ .

c) (3 puntos) La ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$ cuando $λ = 6$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $λ = \frac{5}{2}$ ; b) $\frac{5 2}{2} \approx 3, 54$ u $^{2}$ ; c) $y + z - 8 = 0$

Ver proceso y resultado

a) Si $A C$ es la hipotenusa, el ángulo recto está en $B$ , es decir, $B A ⊥ B C$ .

$B A = (- 1 - 2, 2 - 3, λ - 5) = (- 3, - 1, λ - 5)$ y $B C = (3 - 2, 5 - 3, 3 - 5) = (1, 2, - 2)$ .
Imponemos producto escalar nulo:

$B A \cdot B C = - 3 - 2 - 2 (λ - 5) = 5 - 2 λ = 0 \Rightarrow λ = \frac{5}{2} .$

Resultado: $λ = \frac{5}{2}$

b) Con $λ = 6$ : $B A = (- 3, - 1, 1)$ y $B C = (1, 2, - 2)$ .

Producto vectorial:

$B A \times B C = i - 3 1 j - 1 2 k 1 - 2 = (2 - 2, 1 - 6, - 6 + 1) = (0, - 5, - 5) .$

Su módulo es $0 + 25 + 25 = 52$ .
El área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo:

$S = \frac{1}{2} \cdot 52 = \frac{5 2}{2} \approx 3, 54 u^{2} .$

Resultado: $S = \frac{5 2}{2} \approx 3, 54$ u $^{2}$

c) El vector normal del plano es el producto vectorial anterior, o uno proporcional: $n = (0, 1, 1)$ .

El plano es $y + z + D = 0$ .
Pasa por $B (2, 3, 5)$ : $3 + 5 + D = 0 \Rightarrow D = - 8$ .
Comprobación: $A (- 1, 2, 6)$ cumple $2 + 6 = 8$ y $C (3, 5, 3)$ cumple $5 + 3 = 8$ .

Resultado: $y + z = 8$

Resultado: a) $λ = \frac{5}{2}$ ; b) $\frac{5 2}{2} \approx 3, 54$ u $^{2}$ ; c) $y + z - 8 = 0$

Repasa la teoría: Puntos y vectores en R³ · Producto escalar · Producto vectorial · Ecuaciones del plano · Áreas y volúmenes con vectores · Ver el examen completo (Junio 2018)

Junio 2018 · Problema B.2 Medio10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Recta perpendicular y secante a otra, distancia punto-recta y punto-plano

Problema B.2. Dados el punto $A (5, 7, 3)$ y la recta $r : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{2}$ , se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4 puntos) La recta $s$ que corta a la recta $r$ , pasa por el punto $A$ y es perpendicular a la recta $r$ .

b) (3 puntos) La distancia del punto $A$ a la recta $r$ .

c) (3 puntos) La distancia del punto $B (1, 1, 1)$ al plano $π$ que pasa por $(3, - 1, 0)$ y es perpendicular a $r$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $\frac{x - 5}{- 4} = \frac{y - 7}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$ ; b) $21 \approx 4, 58$ u; c) $\frac{5 14}{7} \approx 2, 67$ u

Ver proceso y resultado

a) La recta $r$ pasa por $P = (3, - 1, 0)$ con vector director $d = (- 1, 3, 2)$ . Sus puntos son $Q (t) = (3 - t, - 1 + 3 t, 2 t)$ .

La recta $s$ pasa por $A$ y por el punto $Q$ donde corta a $r$ , de modo que su vector director es $A Q = (- 2 - t, - 8 + 3 t, 2 t - 3)$ .
Perpendicular a $r$ : $A Q \cdot d = 0$ :

$(2 + t) + 3 (- 8 + 3 t) + 2 (2 t - 3) = 2 + t - 24 + 9 t + 4 t - 6 = 14 t - 28 = 0 \Rightarrow t = 2.$

El punto de corte es $Q = (1, 5, 4)$ y $A Q = (- 4, - 2, 1)$ .
Comprobación: $A Q \cdot d = 4 - 6 + 2 = 0$ .

Resultado: $s : (x, y, z) = (5, 7, 3) + λ (- 4, - 2, 1)$ , es decir, $\frac{x - 5}{- 4} = \frac{y - 7}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$ (corta a $r$ en $Q = (1, 5, 4)$ ).

b) Como $s$ es perpendicular a $r$ y pasa por $A$ , la distancia de $A$ a $r$ es la longitud del segmento $A Q$ :

$d (A, r) = ∣ A Q ∣ = 16 + 4 + 1 = 21 \approx 4, 58 u .$

Comprobación con la fórmula $\frac{∣ P A \times d ∣}{∣ d ∣}$ : $P A = (2, 8, 3)$ y $P A \times d = (16 - 9, - 3 - 4, 6 + 8) = (7, - 7, 14)$ , de módulo $76$ ; dividido entre $∣ d ∣ = 14$ da $7 6/14 = 21$ .

Resultado: $d (A, r) = 21 \approx 4, 58$ u

c) El plano es perpendicular a $r$ , así que su vector normal es $d = (- 1, 3, 2)$ .

$π : - x + 3 y + 2 z + D = 0$ . Pasa por $(3, - 1, 0)$ : $- 3 - 3 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 6$ .
$π : - x + 3 y + 2 z + 6 = 0$ , o también $x - 3 y - 2 z - 6 = 0$ .
Distancia de $B (1, 1, 1)$ al plano:

$d (B, π) = \frac{∣ - 1 + 3 + 2 + 6∣}{1 + 9 + 4} = \frac{10}{14} = \frac{5 14}{7} \approx 2, 67 u .$

Resultado: $d (B, π) = \frac{5 14}{7} \approx 2, 67$ u

Resultado: a) $\frac{x - 5}{- 4} = \frac{y - 7}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$ ; b) $21 \approx 4, 58$ u; c) $\frac{5 14}{7} \approx 2, 67$ u

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Julio 2017 · Problema B.2 Medio10 puntosPosiciones relativas / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Recta y plano con parámetros: punto de corte, distancia y posición relativa

Problema B.2. Se dan la recta $r : \frac{x - 1}{4} = \frac{y}{a} = \frac{z - 1}{- 1}$ y el plano $π : 2 x - y + b z = 0$ , siendo $a$ y $b$ dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (2,5 puntos) El punto de intersección de la recta $r$ y el plano $π$ cuando $a = - b = 1$ .

b) (2,5 puntos) La distancia entre la recta $r$ y el plano $π$ cuando $a = b = 4$ .

c) (5 puntos) La posición relativa de la recta $r$ y el plano $π$ en función de los valores de los parámetros $a$ y $b$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{8}, \frac{9}{8})$ ; b) $\frac{6}{21} \approx 1, 31$ u; c) se cortan si $a + b \neq = 8$ ; la recta está contenida si $a = 10$ y $b = - 2$ ; paralelos si $a + b = 8$ y $b \neq = - 2$

Ver proceso y resultado

Datos previos: la recta $r$ pasa por $P = (1, 0, 1)$ y tiene vector director $d = (4, a, - 1)$ ; el plano $π$ tiene vector normal $n = (2, - 1, b)$ .

a) 1. Con $a = 1$ y $b = - 1$ : $r : (x, y, z) = (1 + 4 t, t, 1 - t)$ y $π : 2 x - y - z = 0$ .

Sustituimos las ecuaciones de la recta en el plano: $2 (1 + 4 t) - t - (1 - t) = 0 ⟺ 2 + 8 t - t - 1 + t = 0 ⟺ 1 + 8 t = 0 ⟺ t = - \frac{1}{8} .$
El punto de corte es $(1 - \frac{1}{2}, - \frac{1}{8}, 1 + \frac{1}{8}) = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{8}, \frac{9}{8}) .$
Comprobación en el plano: $2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{8} - \frac{9}{8} = 1 + \frac{1}{8} - \frac{9}{8} = 0$ .

Resultado: $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{8}, \frac{9}{8})$

b) 1. Con $a = b = 4$ : $d = (4, 4, - 1)$ y $n = (2, - 1, 4)$ , y $π : 2 x - y + 4 z = 0$ .

$d \cdot n = 8 - 4 - 4 = 0$ : la recta es paralela al plano (o está contenida en él).
El punto $P = (1, 0, 1)$ de la recta no está en el plano: $2 - 0 + 4 = 6 \neq = 0$ . Por tanto $r$ es paralela a $π$ y su distancia es la de cualquiera de sus puntos al plano.
Distancia de $P$ a $π$ : $d (r, π) = d (P, π) = \frac{∣2 \cdot 1 - 0 + 4 \cdot 1∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{6}{21} = \frac{2 21}{7} \approx 1, 31 u .$

Resultado: $d (r, π) = \frac{6}{21} \approx 1, 31$ u

c) 1. Calculamos $d \cdot n = 8 - a - b$ .

Si $a + b \neq = 8$ , $d \cdot n \neq = 0$ : la recta no es paralela al plano y se cortan en un punto.
Si $a + b = 8$ , $d \cdot n = 0$ : la recta es paralela al plano o está contenida en él. Depende de si $P = (1, 0, 1) \in π$ : $2 \cdot 1 - 0 + b \cdot 1 = 2 + b = 0 ⟺ b = - 2 (y entonces a = 10) .$
Si $a + b = 8$ y $b = - 2$ : $P \in π$ , y la recta está contenida en el plano. Si $a + b = 8$ y $b \neq = - 2$ : $P \in / π$ , y son paralelos (sin puntos comunes).

Resultado: si $a + b \neq = 8$ , se cortan en un punto; si $a + b = 8$ y $b = - 2$ (es decir, $a = 10$ ), la recta está contenida en el plano; si $a + b = 8$ y $b \neq = - 2$ , son paralelos.

Repasa la teoría: Ecuaciones de la recta en el espacio · Posición relativa de una recta y un plano · Distancias entre rectas y planos · Ver el examen completo (Julio 2017)

Junio 2017 · Problema A.2 Medio10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Plano que contiene punto y recta, recta perpendicular a un plano, distancia y plano perpendicular

Problema A.2. Se dan el punto $P = (1, 1, 1)$ , la recta $r : {x + y - z + 1 x + 2 y - z - 1 = 0 = 0$ y el plano $π : x + y + z = 1$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, las ecuaciones de:

a) (2 puntos) El plano que contiene al punto $P$ y a la recta $r$ .

b) (2+2+2 puntos) La recta $s$ que pasa por el punto $P$ y es perpendicular al plano $π$ , la distancia del punto $P$ al plano $π$ y el punto de intersección de la recta $s$ con el plano $π$ .

c) (2 puntos) El plano $σ$ que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $π$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $x + 3 y - z - 3 = 0$ ; b) $s : (1 + t, 1 + t, 1 + t)$ , $d (P, π) = \frac{2}{3}$ u, $s \cap π = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ ; c) $- x + z - 3 = 0$

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Datos previos: restando la primera ecuación de $r$ a la segunda se obtiene $y - 2 = 0$ , es decir, $y = 2$ . Sustituyendo en la primera: $x - z + 3 = 0$ , luego $z = x + 3$ . Tomando $x = λ$ :

$r : (x, y, z) = (λ, 2, λ + 3),$

con punto $Q = (0, 2, 3)$ y vector director $d_{r} = (1, 0, 1)$ . El plano $π$ tiene vector normal $n_{π} = (1, 1, 1)$ .

a) 1. El plano contiene la dirección $d_{r} = (1, 0, 1)$ y la dirección $QP = (1, 1, 1) - (0, 2, 3) = (1, - 1, - 2)$ . 2. Su vector normal es

$n = d_{r} \times QP = i 11 j 0 - 1 k 1 - 2 = (0 + 1, 1 + 2, - 1 - 0) = (1, 3, - 1) .$

Ecuación: $x + 3 y - z + D = 0$ . Como pasa por $P (1, 1, 1)$ : $1 + 3 - 1 + D = 0 \Rightarrow D = - 3$ .
Comprobación con $Q$ : $0 + 6 - 3 - 3 = 0$ .

Resultado: $x + 3 y - z - 3 = 0$

b) 1. La recta $s$ tiene como dirección el vector normal de $π$ , $(1, 1, 1)$ , y pasa por $P$ :

$s : (x, y, z) = (1 + t, 1 + t, 1 + t), t \in R .$

Distancia de $P$ a $π : x + y + z - 1 = 0$ :

$d (P, π) = \frac{∣1 + 1 + 1 - 1∣}{1 ^{2} + 1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3} \approx 1, 15 u .$

Intersección de $s$ con $π$ : sustituimos en $x + y + z = 1$ :

$3 (1 + t) = 1 \Rightarrow t = - \frac{2}{3} .$

El punto es $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Resultado: $s : (x, y, z) = (1 + t, 1 + t, 1 + t)$ ; $d (P, π) = \frac{2}{3}$ u; $s \cap π = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

c) 1. El plano $σ$ contiene la dirección de $r$ , $(1, 0, 1)$ , y, por ser perpendicular a $π$ , también la dirección de $n_{π} = (1, 1, 1)$ . 2. Vector normal:

$n_{σ} = (1, 0, 1) \times (1, 1, 1) = i 11 j 01 k 11 = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (- 1, 0, 1) .$

Ecuación: $- x + z + D = 0$ . Como $σ$ contiene a $r$ , pasa por $Q (0, 2, 3)$ : $3 + D = 0 \Rightarrow D = - 3$ .
Comprobación: los puntos de $r$ , $(λ, 2, λ + 3)$ , cumplen $- λ + λ + 3 - 3 = 0$ .

Resultado: $σ : - x + z - 3 = 0$ (equivalentemente $x - z + 3 = 0$ )

Resultado: a) $x + 3 y - z - 3 = 0$ ; b) $s : (1 + t, 1 + t, 1 + t)$ , $d (P, π) = \frac{2}{3}$ u, $s \cap π = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ ; c) $- x + z - 3 = 0$

Repasa la teoría: Ecuaciones de la recta en el espacio · Ecuaciones del plano · Posición relativa de una recta y un plano · Haces de planos · Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano · Ver el examen completo (Junio 2017)

Junio 2017 · Problema B.2 Medio10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes / Vectores

Tetraedro: plano de una cara, altura desde O, intersección, área de la cara y volumen

Problema B.2. Sea $T$ un tetraedro de vértices $O = (0, 0, 0)$ , $A = (1, 1, 1)$ , $B = (3, 0, 0)$ y $C = (0, 3, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (1+2 puntos) La ecuación del plano $π$ que contiene a los puntos $A$ , $B$ y $C$ , y las ecuaciones de la recta $h_{O}$ perpendicular a $π$ que pasa por $O$ .

b) (3 puntos) El punto de intersección de la altura $h_{O}$ y el plano $π$ .

c) (2+2 puntos) El área de la cara cuyos vértices son los puntos $A$ , $B$ y $C$ , y el volumen del tetraedro $T$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: a) $π : x + y + z = 3$ , $h_{O} : x = y = z$ ; b) $(1, 1, 1)$ ; c) área $\frac{3 3}{2}$ u $^{2}$ y volumen $\frac{3}{2}$ u $^{3}$

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a) 1. Dos vectores del plano: $A B = (3, 0, 0) - (1, 1, 1) = (2, - 1, - 1)$ y $A C = (0, 3, 0) - (1, 1, 1) = (- 1, 2, - 1)$ . 2. Su producto vectorial es normal al plano:

$A B \times A C = i 2 - 1 j - 1 2 k - 1 - 1 = (1 + 2, 1 + 2, 4 - 1) = (3, 3, 3) .$

Tomamos el vector proporcional $(1, 1, 1)$ . 3. Ecuación: $x + y + z + D = 0$ . Con $B (3, 0, 0)$ : $3 + D = 0 \Rightarrow D = - 3$ . 4. Comprobación: $A$ : $1 + 1 + 1 = 3$ ; $C$ : $0 + 3 + 0 = 3$ . 5. La altura $h_{O}$ pasa por $O$ y tiene la dirección normal $(1, 1, 1)$ :

$h_{O} : (x, y, z) = (t, t, t), es decir, x = y = z .$

Resultado: $π : x + y + z = 3$ ; $h_{O} : x = y = z$

b) Sustituimos $(t, t, t)$ en el plano: $3 t = 3 \Rightarrow t = 1$ .

Resultado: $h_{O} \cap π = (1, 1, 1)$ (que coincide con el vértice $A$ ).

c) 1. Área de la cara $A B C$ : la mitad del módulo del producto vectorial calculado antes:

$A ˊ rea = \frac{1}{2} A B \times A C = \frac{1}{2} 9 + 9 + 9 = \frac{3 3}{2} \approx 2, 60 u^{2} .$

Volumen: una sexta parte del valor absoluto del producto mixto de $O A$ , $O B$ , $O C$ :

$130103100 = 1 \cdot (0 - 0) - 1 \cdot (0 - 0) + 1 \cdot (9 - 0) = 9, V = \frac{∣9∣}{6} = \frac{3}{2} u^{3} .$

Comprobación: la altura desde $O$ es $d (O, π) = \frac{3}{3} = 3$ , y $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 3}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$ .

Resultado: área $= \frac{3 3}{2} \approx 2, 60$ u $^{2}$ ; volumen $= \frac{3}{2}$ u $^{3}$

Resultado: a) $π : x + y + z = 3$ , $h_{O} : x = y = z$ ; b) $(1, 1, 1)$ ; c) área $\frac{3 3}{2}$ u $^{2}$ y volumen $\frac{3}{2}$ u $^{3}$

Repasa la teoría: Producto vectorial · Producto mixto · Ecuaciones del plano · Proyecciones ortogonales y simétricos · Áreas y volúmenes con vectores · Ver el examen completo (Junio 2017)

Julio 2016 · Problema A.2 Medio10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes / Vectores

Plano por tres puntos, no coplanariedad, distancia y volumen del tetraedro

Problema A.2. Se dan los puntos $A = (0, 0, 1)$ , $B = (1, 0, - 1)$ , $C = (0, 1, - 2)$ y $D = (1, 2, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) La ecuación del plano $π$ que contiene a los puntos $A$ , $B$ y $C$ .

b) (2 puntos) La justificación de que los cuatro puntos $A$ , $B$ , $C$ y $D$ no son coplanarios.

c) (2 + 3 puntos) La distancia del punto $D$ al plano $π$ , y el volumen del tetraedro cuyos vértices son $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: a) $2 x + 3 y + z - 1 = 0$ ; b) $D \in / π$ ( $7 \neq = 0$ ); c) $d = \frac{14}{2}$ u y $V = \frac{7}{6}$ u $^{3}$

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a) 1. Dos vectores contenidos en el plano son

$A B = (1, 0, - 2), A C = (0, 1, - 3) .$

Un vector normal es su producto vectorial:

$n = A B \times A C = i 10 j 01 k - 2 - 3 = (0 \cdot (- 3) - (- 2) \cdot 1, - (1 \cdot (- 3) - 0), 1 \cdot 1 - 0) = (2, 3, 1) .$

El plano es $2 x + 3 y + z + D^{'} = 0$ . Como pasa por $A (0, 0, 1)$ : $1 + D^{'} = 0 \Rightarrow D^{'} = - 1$ .
Comprobación con $B$ : $2 + 0 - 1 - 1 = 0$ ; con $C$ : $0 + 3 - 2 - 1 = 0$ .

Resultado: $π : 2 x + 3 y + z - 1 = 0$

b) Basta comprobar que $D$ no cumple la ecuación de $π$ :

$2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 0 - 1 = 7 \neq = 0.$

Luego $D \in / π$ y los cuatro puntos no son coplanarios. (De forma equivalente, $det (A B, A C, A D) = 7 \neq = 0$ .)

Resultado: $D$ no está en $π$ porque $2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 0 - 1 = 7 \neq = 0$ .

c) 1. Distancia de $D$ al plano:

$d (D, π) = \frac{∣2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 0 - 1∣}{2 ^{2} + 3 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{7}{14} = \frac{14}{2} \approx 1, 87 u .$

El volumen del tetraedro es una sexta parte del valor absoluto del producto mixto, con $A D = (1, 2, - 1)$ :

$V = \frac{1}{6} 101012 - 2 - 3 - 1 = \frac{1}{6} ∣1 \cdot (- 1 + 6) - 0 + (- 2) \cdot (0 - 1) ∣ = \frac{∣5 + 2∣}{6} = \frac{7}{6} u^{3} .$

Comprobación con base y altura: el área de la base es $\frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣ = \frac{14}{2}$ , y $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{14}{2} \cdot \frac{14}{2} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$ .

Resultado: $d (D, π) = \frac{14}{2} \approx 1, 87$ u y $V = \frac{7}{6} \approx 1, 17$ u $^{3}$ .

Resultado: a) $2 x + 3 y + z - 1 = 0$ ; b) $D \in / π$ ( $7 \neq = 0$ ); c) $d = \frac{14}{2}$ u y $V = \frac{7}{6}$ u $^{3}$

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Junio 2016 · Problema A.2 Medio10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Recta paralela, plano que contiene una recta y es paralelo a otra, y distancia

Problema A.2. Se dan las rectas

$r : {x - 2 y + z + 3 3 x + y - z + 1 = 0 = 0 y s : ⎩ ⎨ ⎧ x y z = 1 = 2 α = α - 2$

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) La recta paralela a $r$ que pasa por el punto $(0, 1, 0)$ .

b) (3 puntos) El plano $π$ que contiene a la recta $r$ y es paralelo a $s$ .

c) (4 puntos) La distancia entre las rectas $r$ y $s$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $(x, y, z) = (0, 1, 0) + λ (1, 4, 7)$ ; b) $10 x + y - 2 z + 6 = 0$ ; c) $\frac{20}{105} \approx 1, 95$ u

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a) 1. El vector director de $r$ es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen, $n_{1} = (1, - 2, 1)$ y $n_{2} = (3, 1, - 1)$ :

$d_{r} = n_{1} \times n_{2} = i 13 j - 2 1 k 1 - 1 = (2 - 1, 3 + 1, 1 + 6) = (1, 4, 7) .$

La recta paralela a $r$ por $(0, 1, 0)$ tiene ese mismo vector director.

Resultado: $(x, y, z) = (0, 1, 0) + λ (1, 4, 7)$ , $λ \in R$

b) 1. El vector director de $s$ es $d_{s} = (0, 2, 1)$ (coeficientes de $α$ ). 2. El plano $π$ contiene la dirección de $r$ y la de $s$ , luego su vector normal es

$n = d_{r} \times d_{s} = i 10 j 42 k 71 = (4 - 14, 0 - 1, 2 - 0) = (- 10, - 1, 2) .$

Tomamos el vector proporcional $(10, 1, - 2)$ , y el plano es $10 x + y - 2 z + D = 0$ .

Un punto de $r$ : con $x = 0$ el sistema da $- 2 y + z = - 3$ y $y - z = - 1$ ; sumándolas, $- y = - 4$ , luego $y = 4$ y $z = 5$ . El punto es $(0, 4, 5)$ .
Como $π$ contiene a $r$ , pasa por $(0, 4, 5)$ : $4 - 10 + D = 0 \Rightarrow D = 6$ .
Comprobación: $(1, 4, 7) \cdot (10, 1, - 2) = 10 + 4 - 14 = 0$ y $(0, 2, 1) \cdot (10, 1, - 2) = 0$ .

Resultado: $π : 10 x + y - 2 z + 6 = 0$

c) 1. Las rectas no son paralelas, porque $(1, 4, 7)$ y $(0, 2, 1)$ no son proporcionales. 2. La recta $s$ es paralela al plano $π$ (pues $d_{s} \cdot n = 0$ ) y $r \subset π$ . Por tanto, la distancia entre $r$ y $s$ es la distancia de cualquier punto de $s$ al plano $π$ . 3. Tomamos el punto $P = (1, 0, - 2)$ de $s$ (para $α = 0$ ):

$d (r, s) = d (P, π) = \frac{∣10 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot ( - 2 ) + 6∣}{1 0 ^{2} + 1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{20}{105} \approx 1, 95 u .$

Resultado: $d (r, s) = \frac{20}{105} \approx 1, 95$ u

Resultado: a) $(x, y, z) = (0, 1, 0) + λ (1, 4, 7)$ ; b) $10 x + y - 2 z + 6 = 0$ ; c) $\frac{20}{105} \approx 1, 95$ u

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Junio 2016 · Problema B.2 Medio10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes / Vectores

Plano por tres puntos y posición relativa, área de un triángulo y volumen de un tetraedro

Problema B.2. Se da el plano $π : 6 x + 3 y + 2 z - 12 = 0$ y los puntos $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ y $C (0, 0, 3)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4 puntos) La ecuación implícita del plano $σ$ que pasa por los puntos $A$ , $B$ y $C$ (2 puntos), y la posición relativa de los planos $σ$ y $π$ (2 puntos).

b) (3 puntos) El área del triángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$ .

c) (3 puntos) Un punto $P$ del plano $π$ y el volumen del tetraedro cuyos vértices son $P$ , $A$ , $B$ y $C$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $σ : 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$ , planos paralelos; b) $\frac{7}{2} u^{2}$ ; c) $P = (0, 0, 6)$ y $V = 1 u^{3}$

Ver proceso y resultado

a) 1. Dos vectores contenidos en $σ$ :

$A B = (- 1, 2, 0), A C = (- 1, 0, 3) .$

Un vector normal a $σ$ es

$A B \times A C = i - 1 - 1 j 20 k 03 = (6 - 0, 0 + 3, 0 + 2) = (6, 3, 2) .$

El plano es $6 x + 3 y + 2 z + D = 0$ . Pasa por $A (1, 0, 0)$ : $6 + D = 0 \Rightarrow D = - 6$ .
Comprobación: $B$ : $6 = 6$ ; $C$ : $6 = 6$ .
Posición relativa: los vectores normales de $σ$ y $π$ coinciden, $(6, 3, 2)$ , pero los términos independientes son distintos ( $- 6 \neq = - 12$ ), así que las ecuaciones no son proporcionales. Son planos paralelos y distintos (no coincidentes).

Resultado: $σ : 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$ ; $σ$ y $π$ son paralelos (no coincidentes).

b) 1. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial calculado antes:

$A ˊ rea = \frac{1}{2} A B \times A C = \frac{1}{2} 6^{2} + 3^{2} + 2^{2} = \frac{1}{2} 49 = \frac{7}{2} .$

Resultado: área $= \frac{7}{2} u^{2}$

c) 1. Un punto de $π$ : con $x = y = 0$ , $2 z = 12 \Rightarrow z = 6$ . Tomamos $P = (0, 0, 6)$ . (Comprobación: $6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 6 - 12 = 0$ .) 2. Como $π ∥ σ$ , todos los puntos de $π$ están a la misma distancia de $σ$ , que contiene a $A$ , $B$ y $C$ :

$d (P, σ) = \frac{∣6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 6 - 6∣}{6 ^{2} + 3 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{6}{7} .$

El volumen del tetraedro es un tercio del área de la base $A B C$ por la altura $d (P, σ)$ :

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{6}{7} = 1.$

Por lo anterior, el volumen vale $1$ para cualquier punto $P$ elegido en $π$ .

Resultado: por ejemplo $P = (0, 0, 6)$ , y el volumen es $V = 1 u^{3}$

Resultado: a) $σ : 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$ , planos paralelos; b) $\frac{7}{2} u^{2}$ ; c) $P = (0, 0, 6)$ y $V = 1 u^{3}$

Repasa la teoría: Producto vectorial · Producto mixto · Ecuaciones del plano · Posición relativa de dos y tres planos · Áreas y volúmenes con vectores · Ver el examen completo (Junio 2016)

Nivel difícil ★★★

Junio 2024 · Problema 4 Difícil10 puntosRectas y planos / Vectores / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Cuadrilátero con dos vértices dados y otros dos sobre una recta: recta, plano y vértices

Problema 4. Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos $P = (2, 1, 3)$ y $Q = (1, 3, 1)$ , y los otros dos sobre una recta $r$ que pasa por el punto $R = (4, 7, 6)$ .

a) (2 puntos) Calcular la ecuación de la recta $r$ .

b) (3 puntos) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado.

c) (5 puntos) Hallar las coordenadas de los otros dos vértices.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio y Vectores en el espacio. Si aún no has estudiado esos temas, déjalo para después.

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Resultado: a) $(x, y, z) = (4 - λ, 7 + 2 λ, 6 - 2 λ)$ ; b) $18 x - y - 10 z - 5 = 0$ ; c) $A (\frac{31}{9}, \frac{73}{9}, \frac{44}{9})$ , $B (\frac{40}{9}, \frac{55}{9}, \frac{62}{9})$

Ver proceso y resultado

a) Los lados $P Q$ y el opuesto, que está sobre $r$ , son paralelos. Por tanto $r$ tiene como vector director

$P Q = (1 - 2, 3 - 1, 1 - 3) = (- 1, 2, - 2)$

y pasa por $R = (4, 7, 6)$ :

$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 4 - λ y = 7 + 2 λ z = 6 - 2 λ λ \in R .$

Resultado: $r : (x, y, z) = (4 - λ, 7 + 2 λ, 6 - 2 λ)$

b) El plano contiene a $P$ , a $Q$ y a $R$ . Sus vectores directores son $P Q = (- 1, 2, - 2)$ y $P R = (2, 6, 3)$ .

Un vector normal es $P Q \times P R = i - 1 2 j 26 k - 2 3 = (2 \cdot 3 - (- 2) \cdot 6, - (- 1 \cdot 3 - (- 2) \cdot 2), - 1 \cdot 6 - 2 \cdot 2) = (18, - 1, - 10) .$
El plano es $18 x - y - 10 z + D = 0$ y pasa por $P$ : $36 - 1 - 30 + D = 0 \Rightarrow D = - 5$ .
Comprobación con $Q$ : $18 - 3 - 10 - 5 = 0$ . Y con $R$ : $72 - 7 - 60 - 5 = 0$ .

Resultado: $π : 18 x - y - 10 z - 5 = 0$

c) Los otros dos vértices, $A$ (vecino de $Q$ ) y $B$ (vecino de $P$ ), están sobre $r$ , y los lados $Q A$ y $P B$ son perpendiculares al lado $P Q$ . Un punto de $r$ es $(4 - λ, 7 + 2 λ, 6 - 2 λ)$ .

Vértice $B$ , vecino de $P$ : imponemos $P B \cdot P Q = 0$ , con $P B = (2 - λ, 6 + 2 λ, 3 - 2 λ)$ : $- (2 - λ) + 2 (6 + 2 λ) - 2 (3 - 2 λ) = 4 + 9 λ = 0 \Rightarrow λ = - \frac{4}{9} .$ $B = (4 + \frac{4}{9}, 7 - \frac{8}{9}, 6 + \frac{8}{9}) = (\frac{40}{9}, \frac{55}{9}, \frac{62}{9})$ .
Vértice $A$ , vecino de $Q$ : imponemos $Q A \cdot P Q = 0$ , con $Q A = (3 - λ, 4 + 2 λ, 5 - 2 λ)$ : $- (3 - λ) + 2 (4 + 2 λ) - 2 (5 - 2 λ) = - 5 + 9 λ = 0 \Rightarrow λ = \frac{5}{9} .$ $A = (4 - \frac{5}{9}, 7 + \frac{10}{9}, 6 - \frac{10}{9}) = (\frac{31}{9}, \frac{73}{9}, \frac{44}{9})$ .
Comprobación: $B A = (- \frac{9}{9}, \frac{18}{9}, - \frac{18}{9}) = (- 1, 2, - 2) = P Q$ , y $P B = Q A = (\frac{22}{9}, \frac{46}{9}, \frac{35}{9})$ , perpendicular a $P Q$ ( $- 22 + 92 - 70 = 0$ ).

Resultado: $A (\frac{31}{9}, \frac{73}{9}, \frac{44}{9})$ y $B (\frac{40}{9}, \frac{55}{9}, \frac{62}{9})$

Resultado: a) $(x, y, z) = (4 - λ, 7 + 2 λ, 6 - 2 λ)$ ; b) $18 x - y - 10 z - 5 = 0$ ; c) $A (\frac{31}{9}, \frac{73}{9}, \frac{44}{9})$ , $B (\frac{40}{9}, \frac{55}{9}, \frac{62}{9})$

Repasa la teoría: Puntos y vectores en R³ · Producto escalar · Producto vectorial · Ecuaciones de la recta en el espacio · Ecuaciones del plano · Ver el examen completo (Junio 2024)

Septiembre 2020 · Problema 5 Difícil10 puntosPosiciones relativas / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Recta contenida en un plano con parámetro, distancia entre rectas y ángulo entre rectas

Problema 5. Se dan las rectas

$r : ⎩ ⎨ ⎧ x y z = 1 = 2 + λ = 2 λ λ \in R, s : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$

y el plano $π : 3 x + a y - z + 1 = 0$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4 puntos) Si hay algún valor del parámetro $a$ para el cual la recta $r$ está contenida en el plano $π$ .

b) (3 puntos) La distancia entre las rectas $r$ y $s$ .

c) (3 puntos) El coseno del ángulo que forman la recta $r$ y la recta $t : {2 x - y y - z = 0 = 2$

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) no existe tal valor de $a$ ; b) $d (r, s) = \frac{10 29}{29} \approx 1, 857$ ; c) $cos φ = \frac{2 5}{5} \approx 0, 894$

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a) La recta $r$ pasa por $P_{r} = (1, 2, 0)$ con vector director $d_{r} = (0, 1, 2)$ . El plano tiene vector normal $n = (3, a, - 1)$ .

Para que $r$ esté contenida en $π$ , su vector director debe ser perpendicular a $n$ : $d_{r} \cdot n = a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$ .
Además, $P_{r}$ debe estar en $π$ : $3 \cdot 1 + a \cdot 2 - 0 + 1 = 4 + 2 a = 0 \Rightarrow a = - 2$ .
Las dos condiciones exigen valores distintos de $a$ ( $2$ y $- 2$ ): no pueden cumplirse a la vez. (Con $a = 2$ , $r$ es paralela a $π$ , pero $P_{r}$ no está en el plano: $4 + 4 = 8 \neq = 0$ .)

Resultado: no existe ningún valor de $a$ para el cual $r$ esté contenida en $π$ .

b) La recta $s$ pasa por $P_{s} = (- 1, 0, - 2)$ con vector director $d_{s} = (2, - 1, 1)$ .

$P_{r} P_{s} = (- 2, - 2, - 2)$ .
Producto vectorial de los directores:

$d_{r} \times d_{s} = i 02 j 1 - 1 k 21 = (1 + 2, - (0 - 4), 0 - 2) = (3, 4, - 2), ∣ d_{r} \times d_{s} ∣ = 29 .$

Como $d_{r} \times d_{s} \neq = 0$ , las rectas no son paralelas, y el producto mixto es $P_{r} P_{s} \cdot (d_{r} \times d_{s}) = - 6 - 8 + 4 = - 10 \neq = 0$ , luego se cruzan.
Distancia:

$d (r, s) = \frac{P _{r} P _{s} \cdot ( d _{r} \times d _{s} )}{∣ d _{r} \times d _{s} ∣} = \frac{10}{29} = \frac{10 29}{29} \approx 1, 857.$

Resultado: $d (r, s) = \frac{10}{29} = \frac{10 29}{29} \approx 1, 857$

c) 1. Vector director de $t$ : producto vectorial de los normales de sus dos planos, $(2, - 1, 0)$ y $(0, 1, - 1)$ :

$d_{t} = i 20 j - 1 1 k 0 - 1 = (1 - 0, - (- 2 - 0), 2 - 0) = (1, 2, 2) .$

Coseno del ángulo entre las rectas (el ángulo entre rectas es agudo, por eso el valor absoluto):

$cos φ = \frac{∣ d _{r} \cdot d _{t} ∣}{∣ d _{r} ∣ ∣ d _{t} ∣} = \frac{∣0 + 2 + 4∣}{5 \cdot 3} = \frac{6}{3 5} = \frac{2}{5} = \frac{2 5}{5} \approx 0, 894.$

Resultado: $cos φ = \frac{2 5}{5} \approx 0, 894$

Resultado: a) no existe tal valor de $a$ ; b) $d (r, s) = \frac{10 29}{29} \approx 1, 857$ ; c) $cos φ = \frac{2 5}{5} \approx 0, 894$

Repasa la teoría: Ecuaciones de la recta en el espacio · Posición relativa de dos rectas en el espacio · Posición relativa de una recta y un plano · Ángulos entre rectas y planos · Distancias entre rectas y planos · Ver el examen completo (Septiembre 2020)

Julio 2016 · Problema B.2 Difícil10 puntosRectas y planos / Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Plano con parámetros: perpendicularidad, distancia a un punto y recta de intersección

Problema B.2. Se dan los planos $π : x + y + z = 1$ y $σ : a x + b y + z = 0$ , donde $a$ y $b$ son dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) Los valores de $a$ y $b$ para los que el plano $σ$ pasa por el punto $(1, 2, 3)$ y, además, dicho plano $σ$ es perpendicular al plano $π$ .

b) (3 puntos) Los valores de $a$ y $b$ para los cuales sucede que el plano $σ$ pasa por el punto $(0, 1, 1)$ y la distancia del punto $(1, 0, 1)$ al plano $σ$ es $1$ .

c) (3 + 1 puntos) Los valores de $a$ y $b$ para los que la intersección de los planos $π$ y $σ$ es la recta $r$ para la que el vector $(3, 2, - 5)$ es un vector director de dicha recta $r$ , y obtener las coordenadas de un punto cualquiera de la recta $r$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Rectas y planos en el espacio. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $a = 1$ , $b = - 2$ ; b) $a = \frac{1}{2}$ , $b = - 1$ ; c) $3 a + 2 b = 5$ con $a \neq = 1$ (por ejemplo $a = 3$ , $b = - 2$ ), y un punto de $r$ es $(- \frac{1}{2}, 0, \frac{3}{2})$

Ver proceso y resultado

Los vectores normales son $n_{π} = (1, 1, 1)$ y $n_{σ} = (a, b, 1)$ .

a) 1. Que $σ$ pase por $(1, 2, 3)$ : $a + 2 b + 3 = 0$ . 2. Que $σ ⊥ π$ : sus normales son perpendiculares, $n_{σ} \cdot n_{π} = a + b + 1 = 0$ . 3. Restando la segunda ecuación de la primera: $b + 2 = 0 \Rightarrow b = - 2$ , y entonces $a = - 1 - b = 1$ . 4. Comprobación: $1 + 2 (- 2) + 3 = 0$ y $1 - 2 + 1 = 0$ .

Resultado: $a = 1$ y $b = - 2$

b) 1. Que $σ$ pase por $(0, 1, 1)$ : $b + 1 = 0 \Rightarrow b = - 1$ . 2. Entonces $σ : a x - y + z = 0$ y la distancia de $(1, 0, 1)$ al plano es

$d = \frac{∣ a \cdot 1 - 0 + 1∣}{a ^{2} + 1 + 1} = \frac{∣ a + 1∣}{a ^{2} + 2} = 1.$

Elevando al cuadrado: $(a + 1)^{2} = a^{2} + 2 \Rightarrow 2 a + 1 = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$ .
Comprobación: $\frac{3/2}{1/4 + 2} = \frac{3/2}{3/2} = 1$ .

Resultado: $a = \frac{1}{2}$ y $b = - 1$

c) 1. Si $d = (3, 2, - 5)$ es director de $r = π \cap σ$ , debe ser perpendicular a los dos vectores normales. Con $n_{π}$ se cumple siempre: $3 + 2 - 5 = 0$ . Con $n_{σ}$ :

$3 a + 2 b - 5 = 0.$

Además, los planos deben cortarse en una recta, es decir, no ser paralelos: $(a, b, 1)$ no debe ser proporcional a $(1, 1, 1)$ , lo que excluye $a = b = 1$ (que también cumple $3 a + 2 b = 5$ , pero daría $σ : x + y + z = 0$ , paralelo a $π$ ).
Así, los valores buscados son todos los que cumplen $3 a + 2 b = 5$ con $a \neq = 1$ : $b = \frac{5 - 3 a}{2}$ . Por ejemplo, $a = 3$ y $b = - 2$ .
Un punto de $r$ : tomamos, por ejemplo, $a = 3$ , $b = - 2$ y resolvemos

${x + y + z 3 x - 2 y + z = 1 = 0$

Con $y = 0$ : $x + z = 1$ y $3 x + z = 0$ , de donde $2 x = - 1$ , $x = - \frac{1}{2}$ , $z = \frac{3}{2}$ . El punto es $(- \frac{1}{2}, 0, \frac{3}{2})$ .

En general, restando las ecuaciones de los dos planos y tomando $y = 0$ , se obtiene el punto $(\frac{1}{1 - a}, 0, \frac{a}{a - 1})$ de $r$ , para cada $a \neq = 1$ (con $a = 3$ resulta el punto anterior).
Comprobación del director con $a = 3$ , $b = - 2$ : $(1, 1, 1) \times (3, - 2, 1) = (1 + 2, 3 - 1, - 2 - 3) = (3, 2, - 5)$ .

Resultado: $3 a + 2 b = 5$ con $a \neq = 1$ ; por ejemplo $a = 3$ , $b = - 2$ , y un punto de $r$ es $(- \frac{1}{2}, 0, \frac{3}{2})$ .

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