Matemáticas II · Rectas y planos en el espacio · Apartado 4 de 6

Posición relativa de una recta y un plano

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Una recta y un plano pueden no tocarse, tocarse en un punto o tener la recta entera dentro del plano. Se decide comparando el vector director de la recta con el normal del plano, o estudiando el rango del sistema formado por sus ecuaciones. Si se cortan, el punto de corte sale al sustituir.

Los tres casos

Posición	Puntos comunes
Recta contenida en el plano	infinitos (toda la recta)
Recta paralela al plano	ninguno
Recta y plano secantes	uno

Sean $r : P + λ d$ y $π : A x + B y + C z + D = 0$ con normal $n = (A, B, C)$ .

Método B: con vectores y puntos

La idea geométrica es que $d$ es paralelo al plano si y solo si es perpendicular a su normal.

Un caso particular: la recta es perpendicular al plano cuando $d$ es proporcional a $n$ . No confundir con $d \cdot n = 0$ , que significa justo lo contrario (paralela).

Método A: rangos y determinantes

Se forma el sistema con las dos ecuaciones implícitas de la recta y la del plano: tres ecuaciones con tres incógnitas. Sean $M$ la matriz de coeficientes y $M^{*}$ la ampliada.

$rg (M)$	$rg (M^{*})$	Sistema	Posición
3	3	SCD (un punto)	Secantes
2	2	SCI (una recta)	Recta contenida
2	3	SI	Paralela

Como la matriz $M$ es $3 \times 3$ , basta mirar su determinante: si $∣ M ∣ \neq = 0$ , son secantes. Si $∣ M ∣ = 0$ , se compara el rango de la ampliada para distinguir entre contenida y paralela. Con un parámetro, se iguala $∣ M ∣ = 0$ y se estudia cada valor.

¿Cuál elegir? Con la recta en forma paramétrica o vectorial y el plano en forma general, el método B es lo más rápido. Con la recta en implícitas, el método A.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Recta que corta a un plano

Sean $r : (x, y, z) = (1, 2, 0) + λ (1, - 1, 2)$ y $π : 2 x + y - z - 5 = 0$ .

a) Calcula $d \cdot n$ .

b) Halla el punto de corte de $r$ con $π$ .

c) Indica la posición relativa.

Solución

a) $n = (2, 1, - 1)$ y $d \cdot n = 2 - 1 - 2 = - 1$ .

b) Sustituimos el punto genérico de $r$ , $(1 + λ, 2 - λ, 2 λ)$ , en $π$ :

$2 (1 + λ) + (2 - λ) - 2 λ - 5 = - λ - 1 = 0 \Rightarrow λ = - 1$

El punto es $(0, 3, - 2)$ . Comprobación en $π$ : $0 + 3 + 2 - 5 = 0$ ✓.

c) Como $d \cdot n \neq = 0$ , la recta y el plano son secantes.

Ejemplo 2 Medio

Recta paralela al plano

Sean $r : (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ (1, 2, - 1)$ y $π : x - y - z - 1 = 0$ .

a) Calcula $d \cdot n$ .

b) Calcula el valor de $x - y - z - 1$ en el punto $P (1, 0, 2)$ de $r$ .

c) Indica la posición relativa.

Solución

a) $n = (1, - 1, - 1)$ y $d \cdot n = 1 - 2 + 1 = 0$ : el director de la recta es paralelo al plano.

b) $1 - 0 - 2 - 1 = - 2 \neq = 0$ : $P$ no está en $π$ .

c) $d \cdot n = 0$ y $P \in / π$ : la recta es paralela al plano. (Si $P$ estuviera en $π$ , la recta estaría contenida en él.)

Ejemplo 3 Difícil

Recta y plano según dos parámetros

Sean $r : (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ (1, m, 1)$ y $π : x + 2 y - z = k$ .

a) Halla $m$ y $k$ para que $r$ esté contenida en $π$ .

b) Indica la posición relativa para $m = 0$ y $k = 5$ .

c) Halla el punto de corte para $m = 1$ y $k = 7$ .

Solución

El punto genérico de $r$ es $(1 + λ, 1 + mλ, λ)$ . Al sustituirlo en $π$ :

$(1 + λ) + 2 (1 + mλ) - λ = 3 + 2 mλ = k$

a) Para que se cumpla para todo $λ$ , el coeficiente de $λ$ debe ser $0$ ( $m = 0$ ) y el término constante igual a $k$ ( $k = 3$ ). Así: $m = 0$ y $k = 3$ . (Con vectores: $d \cdot n = 1 + 2 m - 1 = 2 m = 0$ y $P (1, 1, 0) \in π$ si $1 + 2 = k$ .)

b) Con $m = 0$ y $k = 5$ : $3 = 5$ , imposible para todo $λ$ . La recta es paralela (con $m = 0$ , $d \cdot n = 0$ y $P \in / π$ ).

c) Con $m = 1$ y $k = 7$ : $3 + 2 λ = 7 \Rightarrow λ = 2$ . El punto es $(3, 3, 2)$ . Comprobación: $3 + 6 - 2 = 7$ ✓.

Para el examen: al sustituir, queda una ecuación $aλ = b$ en $λ$ : si $a \neq = 0$ , un punto de corte; si $a = 0$ y $b = 0$ , recta contenida; si $a = 0$ y $b \neq = 0$ , paralela. Es una forma rápida y completa de justificar los tres casos.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

Sean $r : (x, y, z) = (0, 1, 2) + λ (1, 1, 1)$ y $π : x + y + z - 6 = 0$ .

a) Calcula $d \cdot n$ .

b) Halla el punto de corte.

Solución paso a paso

a) $n = (1, 1, 1)$ y $d \cdot n = 3 \neq = 0$ : son secantes.

b) $λ + (1 + λ) + (2 + λ) - 6 = 3 λ - 3 = 0 \Rightarrow λ = 1$ . El punto es $(1, 2, 3)$ .

Ejercicio 2 Básico

Sean $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (0, 1, 1)$ y $π : y - z = 0$ .

a) Calcula $d \cdot n$ .

b) Calcula el valor de $y - z$ en el punto $P (1, 0, 0)$ .

c) Indica la posición relativa.

Solución paso a paso

a) $n = (0, 1, - 1)$ y $d \cdot n = 0 + 1 - 1 = 0$ .

b) $0 - 0 = 0$ : $P \in π$ .

c) Director paralelo al plano y punto en el plano: la recta está contenida en el plano.

Ejercicio 3 Básico

Sean $r : x = 1 + 2 λ, y = - λ, z = 3$ y $π : x + 2 y - 4 = 0$ .

a) Calcula $d \cdot n$ .

b) Calcula el valor de $x + 2 y - 4$ en el punto $(1, 0, 3)$ de $r$ .

c) Indica la posición relativa.

Solución paso a paso

a) $d = (2, - 1, 0)$ y $n = (1, 2, 0)$ : $d \cdot n = 2 - 2 = 0$ .

b) $1 + 0 - 4 = - 3 \neq = 0$ .

c) La recta es paralela al plano.

Ejercicio 4 Medio

Sean la recta $r : {x + y y + z = 1 = 2$ y el plano $π : x + y + z = 3$ .

a) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes del sistema formado por las tres ecuaciones.

b) Halla el punto de corte.

Solución paso a paso

a) $101111011 = 1 \cdot (1 - 1) - 1 \cdot (0 - 1) + 0 = 1 \neq = 0$ : sistema compatible determinado (secantes).

b) De $x + y = 1$ y $x + y + z = 3$ sale $z = 2$ . De $y + z = 2$ , $y = 0$ , y de $x + y = 1$ , $x = 1$ . El punto es $(1, 0, 2)$ .

Ejercicio 5 Medio

Sean $r : (x, y, z) = (1, 2, 0) + λ (1, m, 2)$ y $π : x + y - z = k$ .

a) Halla $m$ para que $r$ sea paralela al plano o esté contenida en él.

b) Con ese valor de $m$ , halla $k$ para que $r$ esté contenida en $π$ .

Solución paso a paso

a) $n = (1, 1, - 1)$ y $d \cdot n = 1 + m - 2 = m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1$ .

b) Con $m = 1$ , el punto $P (1, 2, 0)$ debe estar en $π$ : $1 + 2 - 0 = 3 = k$ .

Ejercicio 6 Medio

Un rayo láser sale del punto $A (0, 0, 4)$ en la dirección $(1, 2, - 2)$ y llega al suelo, que es el plano $z = 0$ . Las coordenadas están en metros.

a) ¿En qué punto toca el suelo?

b) ¿Qué distancia recorre el rayo hasta tocar el suelo?

Solución paso a paso

a) Los puntos del rayo son $(λ, 2 λ, 4 - 2 λ)$ . Con $z = 0$ : $λ = 2$ y el punto es $(2, 4, 0)$ .

b) La distancia es $λ ∣ d ∣ = 2 \cdot 1 + 4 + 4 = 2 \cdot 3 = 6$ metros.

Ejercicio 7 Medio

Sea $r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ (1, - 1, 3)$ . Halla los puntos de corte de $r$ con el plano $X Y$ ( $z = 0$ ) y con el plano $X Z$ ( $y = 0$ ), en este orden.

Solución paso a paso

Con $z = 0$ : $3 + 3 λ = 0 \Rightarrow λ = - 1$ , y el punto es $(0, 3, 0)$ . Con $y = 0$ : $2 - λ = 0 \Rightarrow λ = 2$ , y el punto es $(3, 0, 9)$ .

Ejercicio 8 Difícil

Sean $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$ y $π : x + a y + z = b$ .

a) Halla $a$ para que $r$ sea paralela al plano o esté contenida en él.

b) Con ese valor de $a$ , halla $b$ para que $r$ esté contenida en $π$ .

c) Para $a = 0$ y $b = 3$ , halla el punto de corte.

Solución paso a paso

a) $d = (2, 1, - 1)$ y $n = (1, a, 1)$ : $d \cdot n = 2 + a - 1 = a + 1 = 0 \Rightarrow a = - 1$ .

b) El punto $P (1, 0, - 1)$ debe estar en $π$ : $1 + 0 - 1 = 0 = b$ . Luego $b = 0$ .

c) Los puntos de $r$ son $(1 + 2 λ, λ, - 1 - λ)$ . En $x + z = 3$ : $(1 + 2 λ) + (- 1 - λ) = λ = 3$ . El punto es $(7, 3, - 4)$ .

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran la recta $r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ (1, 1, 2)$ y el plano $π : x - y + m z = 2$ .

a) Halla $m$ para que $r$ sea paralela a $π$ (o esté contenida en él). (0,75 puntos)

b) Para $m = 1$ , halla el punto de corte de $r$ y $π$ . (0,75 puntos)

c) Para $m = 1$ , halla un vector director de la recta que pasa por ese punto de corte y es perpendicular a $π$ , con primera componente igual a $1$ . (0,5 puntos)

d) Halla el punto de corte de $r$ con el plano $z = 0$ . (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) $n = (1, - 1, m)$ y $d \cdot n = 1 - 1 + 2 m = 2 m = 0 \Rightarrow m = 0$ . (Con $m = 0$ , $P (1, 0, 1)$ da $1 \neq = 2$ : es paralela.)

b) Con $m = 1$ , el punto genérico $(1 + λ, λ, 1 + 2 λ)$ en $π$ da $(1 + λ) - λ + (1 + 2 λ) = 2 + 2 λ = 2 \Rightarrow λ = 0$ . El punto es $(1, 0, 1)$ .

c) Una recta perpendicular a $π$ tiene como director el normal $n = (1, - 1, 1)$ , que ya tiene primera componente $1$ .

d) Con $z = 1 + 2 λ = 0 \Rightarrow λ = - \frac{1}{2}$ y el punto es $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 0)$ .

Para el examen: en c) basta decir que el director es el normal del plano; no hace falta resolver nada.

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Demuestra que si $d \cdot n = 0$ y el punto $P$ de la recta $r : P + λ d$ pertenece al plano $π : A x + B y + C z + D = 0$ , entonces toda la recta $r$ está contenida en $π$ .

Solución paso a paso

Un punto cualquiera de $r$ . Es $X_{λ} = P + λ d$ , con coordenadas $(x_{0} + λ d_{1}, y_{0} + λ d_{2}, z_{0} + λ d_{3})$ .
Sustituir en el plano.

$A (x_{0} + λ d_{1}) + B (y_{0} + λ d_{2}) + C (z_{0} + λ d_{3}) + D = = 0 (P \in π) (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D) + λ = n \cdot d = 0 (A d_{1} + B d_{2} + C d_{3}) = 0$

Conclusión. Se cumple la ecuación del plano para todo $λ$ , luego todos los puntos de $r$ están en $π$ .

Resumen

Recta y plano: contenida, paralela o secante.
Método B: $d \cdot n \neq = 0 \Rightarrow$ secantes (el punto sale al sustituir en el plano). $d \cdot n = 0$ : contenida si $P \in π$ , paralela si no.
Método A: sistema $3 \times 3$ con las dos implícitas de la recta y el plano. $∣ M ∣ \neq = 0$ : secantes. $∣ M ∣ = 0$ : $rg (M) = rg (M^{*}) = 2$ contenida; $rg (M^{*}) = 3$ paralela.
Al sustituir en el plano queda $aλ = b$ : $a \neq = 0$ un punto; $a = b = 0$ contenida; $a = 0, b \neq = 0$ paralela.
La recta es perpendicular al plano cuando $d$ es proporcional a $n$ .

Sigue estudiando

Clases de matemáticas en Aldaia y online

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Primera consulta gratuita: vemos tu nivel, el examen que te espera y montamos un plan. Álvaro responde por WhatsApp.

Escribir por WhatsApp