Matemáticas II · Rectas y planos en el espacio · Apartado 5 de 6

Posición relativa de dos y tres planos

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Dos planos pueden coincidir, ser paralelos o cortarse en una recta; con tres planos hay hasta ocho disposiciones distintas. Todas se clasifican con el rango del sistema de sus ecuaciones (Rouché-Frobenius) o comparando sus vectores normales. Este apartado conecta de forma directa la Geometría con la discusión de sistemas del Álgebra.

Dos planos

Sean $π_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ y $π_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ , con normales $n_{1}$ y $n_{2}$ .

Método B (vectores). Se comparan los normales:

Si $n_{1}$ y $n_{2}$ no son proporcionales, los planos son secantes y se cortan en una recta, de director $n_{1} \times n_{2}$ .
Si son proporcionales: los planos son coincidentes cuando además $(A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2})$ es proporcional a $(A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1})$ (también el término independiente) y paralelos en caso contrario.

Método A (rangos). Sean $M$ la matriz de coeficientes ( $2 \times 3$ ) y $M^{*}$ la ampliada ( $2 \times 4$ ).

$rg (M)$	$rg (M^{*})$	Posición
2	2	Secantes (recta)
1	1	Coincidentes
1	2	Paralelos

Tres planos

Con tres planos, el sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas. Sean $M$ la matriz $3 \times 3$ y $M^{*}$ la ampliada.

Método A (rangos).

$rg (M)$	$rg (M^{*})$	Sistema	Posición
3	3	SCD	Se cortan en un punto
2	2	SCI	Comparten una recta (haz de tres planos; o dos coincidentes y uno secante)
2	3	SI	Prisma triangular (se cortan dos a dos en rectas paralelas) o dos paralelos y un tercero que los corta
1	1	SCI	Los tres coincidentes
1	2	SI	Dos coincidentes y uno paralelo, o los tres paralelos y distintos

Cuando $rg (M) = 2$ hay que mirar los planos de dos en dos para distinguir las configuraciones. Si dos de los normales son proporcionales, hay dos planos paralelos (o coincidentes); si ninguna pareja lo es, y el sistema es incompatible, hay un prisma triangular.

Método B (vectores). Se estudia si los tres normales son coplanarios con el producto mixto:

$[n_{1}, n_{2}, n_{3}] \neq = 0$ : los normales son independientes y los planos se cortan en un punto.
$[n_{1}, n_{2}, n_{3}] = 0$ : hay dependencia. Se miran las parejas de normales: si ninguna es proporcional, se estudia si el sistema es compatible (recta común) o no (prisma); si alguna pareja es proporcional, hay planos paralelos o coincidentes.

El determinante de $M$ es justamente ese producto mixto de los normales, así que ambos métodos arrancan del mismo cálculo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Dos planos con normales proporcionales

Sean $π_{1} : x + 2 y - z = 3$ y $π_{2} : 2 x + 4 y - 2 z = 8$ .

a) Calcula $n_{1} \times n_{2}$ .

b) Indica la posición relativa de los planos.

Solución

a) $n_{1} = (1, 2, - 1)$ y $n_{2} = (2, 4, - 2) = 2 n_{1}$ , luego $n_{1} \times n_{2} = (0, 0, 0)$ .

b) Los normales son proporcionales, pero $D$ no sigue la proporción: $2 \cdot 3 = 6 \neq = 8$ . Los planos son paralelos (distintos). Con rangos: $rg (M) = 1$ y $rg (M^{*}) = 2$ .

Ejemplo 2 Medio

Tres planos que se cortan en un punto

Sean $π_{1} : x + y + z = 6$ , $π_{2} : x - y + z = 2$ y $π_{3} : 2 x + y - z = 1$ .

a) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes.

b) Halla el punto de corte.

Solución

a) $112 1 - 1 1 11 - 1 = 1 \cdot (1 - 1) - 1 \cdot (- 1 - 2) + 1 \cdot (1 + 2) = 0 + 3 + 3 = 6$ .

b) Como el determinante no es cero, $rg (M) = rg (M^{*}) = 3$ y los planos se cortan en un punto. Sumando $π_{1}$ y $π_{2}$ : $2 x + 2 z = 8$ , es decir, $x + z = 4$ ; restando, $y = 2$ . De $π_{3}$ : $2 x + 2 - z = 1$ , $2 x - z = - 1$ . Con $x + z = 4$ : $3 x = 3$ , luego $x = 1$ , $z = 3$ . El punto es $(1, 2, 3)$ .

Ejemplo 3 Difícil

Tres planos con parámetro

Sean $π_{1} : x + y + m z = 1$ , $π_{2} : x + m y + z = 1$ y $π_{3} : m x + y + z = 1$ .

a) Clasifica el sistema formado por los tres planos según los valores de $m$ , con las claves "m=1", "m=-2" y "otro".

b) Interpreta geométricamente el caso $m = - 2$ .

c) Halla el punto de corte para $m = 2$ .

Solución

a) Determinante. $11 m 1 m 1 m 11 = - (m - 1)^{2} (m + 2)$ . Se anula para $m = 1$ y $m = - 2$ .

$m = 1$ : los tres planos son $x + y + z = 1$ . Son el mismo plano: $rg (M) = rg (M^{*}) = 1$ , SCI.
$m = - 2$ : los planos son $x + y - 2 z = 1$ , $x - 2 y + z = 1$ y $- 2 x + y + z = 1$ . Sumando las tres ecuaciones queda $0 = 3$ : SI. Además $rg (M) = 2$ , porque dos normales cualesquiera no son proporcionales.
Otro valor: $∣ M ∣ \neq = 0$ , SCD.

b) Para $m = - 2$ : $rg (M) = 2$ , $rg (M^{*}) = 3$ y ninguna pareja de planos es paralela. Los tres planos se cortan dos a dos en rectas paralelas, formando un prisma triangular.

c) Con $m = 2$ : $x + y + 2 z = 1$ , $x + 2 y + z = 1$ , $2 x + y + z = 1$ . Sumando: $4 (x + y + z) = 3$ , luego $x + y + z = \frac{3}{4}$ . Restando esa igualdad a cada ecuación: $z = \frac{1}{4}$ , $y = \frac{1}{4}$ , $x = \frac{1}{4}$ . El punto es $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ .

Para el examen: si pide «posición relativa», no basta con los rangos: hay que añadir la interpretación geométrica (prisma, recta común, punto…). Y si $rg (M) = 2$ e incompatible, comprueba que no hay normales proporcionales para decir «prisma».

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

Sean $π_{1} : 2 x - y + 3 z = 5$ y $π_{2} : 4 x - 2 y + 6 z = 10$ .

a) Calcula $n_{1} \times n_{2}$ .

b) Indica la posición relativa.

Solución paso a paso

a) $n_{2} = 2 n_{1}$ , luego el producto vectorial es $(0, 0, 0)$ .

b) Además $10 = 2 \cdot 5$ : todos los coeficientes siguen la proporción. Los planos son coincidentes.

Ejercicio 2 Básico

Sean $π_{1} : x + y - z = 2$ y $π_{2} : 2 x + 2 y - 2 z = 3$ .

a) Halla $rg (M)$ y $rg (M^{*})$ , en este orden.

b) Indica la posición relativa.

Solución paso a paso

a) La matriz de coeficientes es $(1212 - 1 - 2)$ , de rango $1$ . La ampliada añade la columna $(2, 3)$ , y las filas $(1, 1, - 1, 2)$ y $(2, 2, - 2, 3)$ no son proporcionales: rango $2$ .

b) $rg (M) = 1$ y $rg (M^{*}) = 2$ : los planos son paralelos.

Ejercicio 3 Básico

Sean $π_{1} : x - y + z = 1$ y $π_{2} : 2 x + y - z = 5$ .

a) Indica la posición relativa.

b) Escribe la recta de intersección tomando $z = t$ como parámetro, como una tupla en $t$ .

Solución paso a paso

a) Los normales $(1, - 1, 1)$ y $(2, 1, - 1)$ no son proporcionales: los planos son secantes.

b) Sumando las ecuaciones: $3 x = 6 \Rightarrow x = 2$ . Entonces $- y + z = - 1$ y $y = 1 + z = 1 + t$ . La recta es $(2, 1 + t, t)$ .

Ejercicio 4 Medio

Sean $π_{1} : x + y + z = 3$ , $π_{2} : x - y + 2 z = 2$ y $π_{3} : 2 x + 3 z = 5$ .

a) Halla $rg (M)$ y $rg (M^{*})$ , en este orden.

b) Escribe la recta común tomando $z = t$ como parámetro, como una tupla en $t$ .

Solución paso a paso

a) Se observa que $π_{3} = π_{1} + π_{2}$ (sumando las ecuaciones 1 y 2 se obtiene $2 x + 3 z = 5$ ). Por tanto la tercera fila es combinación de las dos primeras, que son independientes: $rg (M) = rg (M^{*}) = 2$ .

b) Resolvemos $π_{1}$ y $π_{2}$ con $z = t$ : sumando, $2 x + 3 t = 5 \Rightarrow x = \frac{5 - 3 t}{2}$ . Y $y = 3 - x - t = \frac{1 + t}{2}$ . La recta común es $(\frac{5 - 3 t}{2}, \frac{1 + t}{2}, t)$ .

Ejercicio 5 Medio

Sean $π_{1} : x + y = 1$ , $π_{2} : y + z = 1$ y $π_{3} : x - z = 1$ .

a) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes.

b) Halla $rg (M)$ y $rg (M^{*})$ , en este orden. ¿Qué disposición forman los tres planos?

Solución paso a paso

a) $101110 01 - 1 = 1 \cdot (- 1 - 0) - 1 \cdot (0 - 1) + 0 = - 1 + 1 = 0$ .

b) Las dos primeras filas son independientes, luego $rg (M) = 2$ . La ampliada: restando $π_{2}$ a $π_{1}$ se obtiene $x - z = 0$ , que contradice $π_{3}$ ( $x - z = 1$ ): sistema incompatible, $rg (M^{*}) = 3$ . Como no hay normales proporcionales, los planos forman un prisma triangular.

Ejercicio 6 Medio

Una pieza se talla con tres cortes planos que se encuentran en un vértice. Los planos de corte son $x + y = 3$ , $y + z = 5$ y $x + z = 4$ , con las coordenadas en centímetros.

a) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes.

b) Halla las coordenadas del vértice.

Solución paso a paso

a) $101110011 = 1 \cdot (1 - 0) - 1 \cdot (0 - 1) + 0 = 2$ .

b) Sumando las tres ecuaciones: $2 (x + y + z) = 12$ , luego $x + y + z = 6$ . Restando cada ecuación: $z = 3$ , $x = 1$ , $y = 2$ . El vértice es $(1, 2, 3)$ .

Ejercicio 7 Medio

Sean $π_{1} : m x + 2 y - z = 1$ y $π_{2} : 2 x + 4 y - 2 z = n$ .

a) Halla $m$ para que los planos sean paralelos o coincidentes.

b) Con ese valor, halla $n$ para que sean coincidentes.

Solución paso a paso

a) Los normales $(m, 2, - 1)$ y $(2, 4, - 2)$ son proporcionales con razón $2$ (de la tercera componente: $- 2 = 2 \cdot (- 1)$ ), luego $m = 1$ .

b) Para coincidir, el término independiente sigue la misma proporción: $n = 2 \cdot 1 = 2$ .

Ejercicio 8 Difícil

Sean $π_{1} : x + y + z = 1$ , $π_{2} : x + k y + z = 1$ y $π_{3} : x + y + k z = 2$ , con $k$ un parámetro.

a) Clasifica el sistema según los valores de $k$ , con las claves "k=1" y "otro".

b) Halla el punto de corte para $k = 2$ .

Solución paso a paso

a) Determinante. Restando la primera fila a las otras dos:

$111 1 k 1 11 k = 100 1 k - 1 0 10 k - 1 = (k - 1)^{2}$

Es cero solo para $k = 1$ . En ese caso los planos son $x + y + z = 1$ , $x + y + z = 1$ y $x + y + z = 2$ : los dos primeros coinciden y el tercero es paralelo. Es incompatible: SI. Para cualquier otro valor, $∣ M ∣ \neq = 0$ : SCD.

b) Con $k = 2$ : $x + y + z = 1$ , $x + 2 y + z = 1$ , $x + y + 2 z = 2$ . Restando la primera a la segunda: $y = 0$ ; a la tercera: $z = 1$ ; entonces $x = 0$ . El punto es $(0, 0, 1)$ .

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran los planos $π_{1} : x - y + z = 1$ , $π_{2} : 2 x + y - z = 2$ y $π_{3} : x + 2 y + m z = n$ .

a) Halla los valores de $m$ para los que los tres planos no se cortan en un único punto. (0,75 puntos)

b) Para el valor de $m$ del apartado a), halla $n$ para que los tres planos tengan una recta común. (0,75 puntos)

c) Para $m = 0$ y $n = 3$ , halla el punto de corte. (1 punto)

Solución paso a paso

a) Determinante. $121 - 1 12 1 - 1 m = 1 \cdot (m + 2) + 1 \cdot (2 m + 1) + 1 \cdot (4 - 1) = 3 m + 6$ . Se anula para $m = - 2$ : ese es el único valor para el que no hay punto único.

b) Con $m = - 2$ la tercera fila es $(1, 2, - 2) = (2, 1, - 1) - (1, - 1, 1)$ , es decir, $π_{3}$ es la diferencia $π_{2} - π_{1}$ en los coeficientes. Para que los tres tengan una recta común, el término independiente debe seguir la misma relación: $n = 2 - 1 = 1$ . Si $n \neq = 1$ , el sistema es incompatible (prisma).

c) Con $m = 0$ , $n = 3$ : sumando $π_{1}$ y $π_{2}$ : $3 x = 3$ , luego $x = 1$ . De $π_{1}$ : $- y + z = 0$ , $z = y$ . De $π_{3}$ : $1 + 2 y = 3$ , $y = 1$ . El punto es $(1, 1, 1)$ .

Para el examen: en b) explica la dependencia entre las filas ( $π_{3} = π_{2} - π_{1}$ ) y concluye por Rouché: $rg (M) = rg (M^{*}) = 2$ solo si $n = 1$ .

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Sean dos planos $π_{1} : A x + B y + C z + D = 0$ y $π_{2} : k A x + k B y + k C z + D^{'} = 0$ con $k \neq = 0$ y $D^{'} \neq = k D$ . Demuestra que no tienen ningún punto en común (son paralelos distintos).

Solución paso a paso

Supongamos que existe un punto común. Sea $(x, y, z)$ con $A x + B y + C z + D = 0$ y $k A x + k B y + k C z + D^{'} = 0$ .
Multiplicar la primera por $k$ . Queda $k A x + k B y + k C z + k D = 0$ , es decir, $k A x + k B y + k C z = - k D$ .
Sustituir en la segunda. Entonces $- k D + D^{'} = 0$ , es decir, $D^{'} = k D$ .
Contradicción. Esto contradice $D^{'} \neq = k D$ . Luego no existe ningún punto común: los planos son paralelos y distintos.

Resumen

Dos planos: normales no proporcionales $\Rightarrow$ secantes (recta, director $n_{1} \times n_{2}$ ). Normales proporcionales: coincidentes si también lo es $D$ ; paralelos si no. Con rangos: $(2, 2)$ secantes, $(1, 1)$ coincidentes, $(1, 2)$ paralelos.
Tres planos: $rg (M) = 3 \Rightarrow$ un punto. $rg (M) = 2$ : $rg (M^{*}) = 2$ recta común; $rg (M^{*}) = 3$ prisma o dos paralelos. $rg (M) = 1$ : coincidentes o paralelos.
El determinante de $M$ es el producto mixto de los tres normales.
Con un parámetro: se iguala el determinante a cero y se estudia cada valor con Rouché.
Con rango $2$ e incompatible hay que mirar las parejas de planos para decir «prisma» o «dos paralelos».

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