Matemáticas II · Rectas y planos en el espacio · Apartado 1 de 6

Ecuaciones de la recta en el espacio

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Una recta del espacio queda fijada por un punto y un vector director. A partir de ahí se puede escribir de cuatro formas distintas, y en la PAU hay que pasar de una a otra con soltura: casi todos los problemas de rectas empiezan por ahí.

Recta determinada por un punto y un vector

De esta condición salen las cuatro formas de escribir la recta:

Forma	Ecuación
Vectorial	$(x, y, z) = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + λ (d_{1}, d_{2}, d_{3})$
Paramétricas	$x = x_{0} + λ d_{1}, y = y_{0} + λ d_{2}, z = z_{0} + λ d_{3}$
Continua	$\frac{x - x _{0}}{d _{1}} = \frac{y - y _{0}}{d _{2}} = \frac{z - z _{0}}{d _{3}}$
Implícitas	dos ecuaciones $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0, A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$

Cada valor de $λ$ da un punto de la recta: $λ = 0$ da $P$ . Como el vector director se puede multiplicar por cualquier número distinto de cero y el punto puede ser cualquiera de la recta, una misma recta tiene infinitas ecuaciones. Si una componente de $d$ es $0$ , la ecuación continua se escribe con esa coordenada igualada a una constante: por ejemplo, para $d = (2, 0, 3)$ es $\frac{x - 1}{2} = \frac{z - 5}{3}, y = 4$ .

Recta por dos puntos

Si la recta pasa por $A$ y $B$ , se toma como vector director $A B = B - A$ y como punto cualquiera de los dos. Un punto $C$ está en la recta si $A C$ es proporcional a $A B$ , la misma condición de la colinealidad del tema anterior.

Las implícitas: recta como intersección de dos planos

Una ecuación $A x + B y + C z + D = 0$ es un plano (se estudia en el apartado siguiente). La recta es la intersección de dos planos que no son paralelos, y por eso sus ecuaciones implícitas son dos.

Hay un atajo: el vector director de $r$ es perpendicular a los dos vectores normales $n_{1} = (A_{1}, B_{1}, C_{1})$ y $n_{2} = (A_{2}, B_{2}, C_{2})$ , luego $d = n_{1} \times n_{2}$ . Un punto se obtiene dando un valor a una incógnita y resolviendo el sistema que queda.

Para el camino contrario, de las paramétricas o la continua a las implícitas, se eliminan el parámetro o se escriben dos igualdades de la ecuación continua: $\frac{x - x _{0}}{d _{1}} = \frac{y - y _{0}}{d _{2}}$ y $\frac{y - y _{0}}{d _{2}} = \frac{z - z _{0}}{d _{3}}$ (o la primera con la tercera).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Recta por dos puntos y puntos de la recta

Sea $r$ la recta que pasa por $A (1, 2, - 1)$ y $B (3, 1, 2)$ .

a) Halla un vector director de $r$ .

b) Halla el punto de $r$ que corresponde a $λ = 2$ en la ecuación $(x, y, z) = A + λ d$ .

c) ¿Para qué valor de $λ$ obtienes el punto $Q (- 1, 3, - 4)$ ?

Solución

a) $d = A B = B - A = (2, - 1, 3)$ .

b) $(x, y, z) = (1, 2, - 1) + 2 (2, - 1, 3) = (5, 0, 5)$ .

c) Hay que resolver $(- 1, 3, - 4) = (1, 2, - 1) + λ (2, - 1, 3)$ . De la primera coordenada, $- 1 = 1 + 2 λ$ , luego $λ = - 1$ . Comprobamos en las otras: $2 - λ = 3$ y $- 1 + 3 λ = - 4$ . Se cumplen, así que $Q$ está en $r$ para $λ = - 1$ .

Ejemplo 2 Medio

De las implícitas a las paramétricas

Sea la recta $r : {x + y - z 2 x - y + z = 2 = 1$

a) Escribe sus ecuaciones paramétricas tomando $z = t$ como parámetro.

b) Halla el valor de $t$ para el que $r$ pasa por el punto $(1, 3, 2)$ .

Solución

a) Resolvemos el sistema con $z = t$ . Sumando las dos ecuaciones: $3 x = 3$ , luego $x = 1$ . De la primera, $y = 2 - x + z = 1 + t$ . Las paramétricas son

$x = 1, y = 1 + t, z = t$

Comprobamos en la segunda ecuación: $2 - (1 + t) + t = 1$ . Se cumple. El vector director es $(0, 1, 1)$ . (Con el atajo: $(1, 1, - 1) \times (2, - 1, 1) = (0, - 3, - 3)$ , paralelo a $(0, 1, 1)$ .)

b) Para el punto $(1, 3, 2)$ : $z = t = 2$ y $y = 1 + t = 3$ , que coincide. Luego $t = 2$ .

Ejemplo 3 Difícil

Pertenencia, corte con un plano coordenado y distancia

Sea la recta $r : x = 1 + 2 λ, y = λ, z = 2 - λ$ .

a) Halla $m$ y $n$ para que el punto $P (m, 2, n)$ pertenezca a $r$ .

b) Halla el punto de corte de $r$ con el plano $X Y$ (el de ecuación $z = 0$ ).

c) Calcula la distancia entre los puntos de $r$ correspondientes a $λ = 0$ y a $λ = 2$ .

Solución

a) La coordenada $y$ del punto es $λ = 2$ . Entonces $m = 1 + 2 \cdot 2 = 5$ y $n = 2 - 2 = 0$ .

b) Imponemos $z = 0$ : $2 - λ = 0 \Rightarrow λ = 2$ , y el punto es $(1 + 4, 2, 0) = (5, 2, 0)$ .

c) Los puntos son $A (1, 0, 2)$ para $λ = 0$ y $B (5, 2, 0)$ para $λ = 2$ . Su distancia es $∣ A B ∣ = ∣ (4, 2, - 2) ∣ = 16 + 4 + 4 = 24 = 26$ . También es $2 ∣ d ∣ = 26$ , porque se avanzan dos veces el vector director.

Para el examen: si te piden «un punto de la recta» o «un vector director», con la ecuación a la vista se lee directamente. Lo que puntúa es justificar de dónde sale cada dato.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

La recta $r$ pasa por $A (2, - 1, 3)$ con vector director $d = (1, 4, - 2)$ .

a) Halla el punto de $r$ que se obtiene con $λ = - 1$ .

b) ¿Para qué valor de $λ$ obtienes el punto $(4, 7, - 1)$ ?

Solución paso a paso

a) $(2, - 1, 3) - 1 \cdot (1, 4, - 2) = (1, - 5, 5)$ .

b) De $2 + λ = 4$ sale $λ = 2$ ; comprobando, $- 1 + 8 = 7$ y $3 - 4 = - 1$ . Se cumple.

Ejercicio 2 Básico

Sea $r$ la recta que pasa por $P (1, 1, 1)$ y $Q (4, 3, - 1)$ .

a) Halla un vector director de $r$ .

b) Halla el punto medio del segmento $P Q$ .

Solución paso a paso

a) $d = P Q = (3, 2, - 2)$ .

b) $M = \frac{P + Q}{2} = (\frac{5}{2}, 2, 0)$ .

Ejercicio 3 Básico

Sea $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z}{4}$ .

a) Indica un punto de $r$ y un vector director de $r$ , en este orden.

b) Halla el punto de $r$ que corresponde al valor $λ = \frac{1}{2}$ del parámetro cuando se escribe $(x, y, z) = (punto) + λ (director)$ .

Solución paso a paso

a) Se lee en la ecuación: punto $(1, - 3, 0)$ y vector director $(2, - 1, 4)$ .

b) $(1, - 3, 0) + \frac{1}{2} (2, - 1, 4) = (2, - \frac{7}{2}, 2)$ .

Ejercicio 4 Medio

Sea la recta $r : {x - y + z 2 x + y - z = 1 = 5$

a) Calcula el producto vectorial de los dos vectores normales, en el orden en que aparecen las ecuaciones.

b) Halla el punto de $r$ con $z = 0$ .

Solución paso a paso

a) $n_{1} = (1, - 1, 1)$ y $n_{2} = (2, 1, - 1)$ , luego $n_{1} \times n_{2} = ((- 1) (- 1) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 2 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 2) = (0, 3, 3)$ . Es un vector director de $r$ (paralelo a $(0, 1, 1)$ ).

b) Con $z = 0$ : $x - y = 1$ y $2 x + y = 5$ . Sumando, $3 x = 6$ , luego $x = 2$ e $y = 1$ . El punto es $(2, 1, 0)$ .

Ejercicio 5 Medio

La recta $r$ pasa por $A (1, 0, - 1)$ y $B (3, 4, 3)$ .

a) Halla $m$ para que el punto $C (2, m, 1)$ pertenezca a $r$ .

b) Halla el punto de corte de $r$ con el plano $x = 0$ .

Solución paso a paso

a) $d = A B = (2, 4, 4)$ y $A C = (1, m, 2)$ . Deben ser proporcionales: de la primera componente, $k = \frac{1}{2}$ , y entonces $2 = 4 k = 2$ (la tercera se cumple) y $m = 4 k = 2$ .

b) Los puntos de $r$ son $(1 + 2 λ, 4 λ, - 1 + 4 λ)$ . Con $x = 0$ : $λ = - \frac{1}{2}$ , y el punto es $(0, - 2, - 3)$ .

Ejercicio 6 Medio

Un avión sigue la trayectoria $(x, y, z) = (100, 200, 3000) + t (30, - 40, 0)$ , con las coordenadas en metros y el tiempo $t$ en segundos.

a) ¿En qué punto está a los $10$ segundos?

b) ¿Cuál es su velocidad en metros por segundo?

c) ¿En qué instante la coordenada $y$ vale $- 600$ ?

Solución paso a paso

a) $(100, 200, 3000) + 10 (30, - 40, 0) = (400, - 200, 3000)$ .

b) La velocidad es el módulo del vector director: $3 0^{2} + 4 0^{2} = 50$ m/s.

c) $200 - 40 t = - 600 \Rightarrow t = 20$ segundos.

Ejercicio 7 Medio

Sea $r : x = 2 + λ, y = 1 - 2 λ, z = 3 λ$ y $A (2, 1, 0)$ . Halla los puntos de $r$ que están a distancia $14$ de $A$ .

Solución paso a paso

El punto de $r$ para el valor $λ$ es $A + λ d$ con $d = (1, - 2, 3)$ , así que su distancia a $A$ es $∣ λ ∣ ∣ d ∣ = ∣ λ ∣ 14$ . Imponiendo $∣ λ ∣ 14 = 14$ se obtiene $λ = \pm 1$ . Los puntos son $(3, - 1, 3)$ y $(1, 3, - 3)$ .

Ejercicio 8 Difícil

Sea $s : {x + y + z x - y + 2 z = 3 = 0$ y sea $r$ la recta paralela a $s$ que pasa por $P (1, 0, 2)$ .

a) Calcula $n_{1} \times n_{2}$ para los normales de $s$ (en el orden en que aparecen las ecuaciones). Es un vector director de $r$ .

b) Halla el punto de $r$ con $λ = 2$ en $(x, y, z) = P + λ d$ , con $d$ el vector del apartado a).

c) Halla el punto de corte de $r$ con el plano $z = 0$ .

Solución paso a paso

a) $n_{1} = (1, 1, 1)$ y $n_{2} = (1, - 1, 2)$ :

$n_{1} \times n_{2} = (1 \cdot 2 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2, 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1) = (3, - 1, - 2)$

b) $(1, 0, 2) + 2 (3, - 1, - 2) = (7, - 2, - 2)$ .

c) La coordenada $z$ es $2 - 2 λ = 0 \Rightarrow λ = 1$ , y el punto es $(4, - 1, 0)$ .

Para el examen: «paralela a $s$ » significa que tienen el mismo vector director; no hace falta resolver el sistema de $s$ .

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran los puntos $A (1, 2, - 1)$ y $B (3, 0, 1)$ y la recta $r$ que pasa por ellos.

a) Halla $m$ para que el punto $C (m, 3, - 2)$ pertenezca a $r$ . (0,75 puntos)

b) Halla el punto de $r$ que equidista de $A$ y de $B$ . (0,5 puntos)

c) Halla los puntos de $r$ que están a distancia $23$ de $A$ . (0,75 puntos)

d) Halla el punto de corte de $r$ con el plano $y = 0$ . (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) $d = A B = (2, - 2, 2)$ y $A C = (m - 1, 1, - 1)$ . Proporcionales con $k = - \frac{1}{2}$ (de la segunda componente): $m - 1 = 2 k = - 1$ , luego $m = 0$ ; la tercera componente también se cumple ( $- 1 = 2 k$ ).

b) El único punto de la recta a igual distancia de $A$ y de $B$ es el punto medio: $M = (2, 1, 0)$ .

c) El punto $A + λ d$ está a distancia $∣ λ ∣∣ d ∣ = ∣ λ ∣ \cdot 23$ de $A$ . Para $23$ se necesita $λ = \pm 1$ : son $B (3, 0, 1)$ y $(- 1, 4, - 3)$ .

d) Con $y = 2 - 2 λ = 0$ : $λ = 1$ , es decir, el punto $B (3, 0, 1)$ .

Para el examen: escribe el vector director y la ecuación de la recta antes de empezar a usarla; los demás apartados salen casi solos.

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Sean dos planos secantes $π_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ y $π_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ , con normales $n_{1}$ y $n_{2}$ no paralelas. Demuestra que la recta $r = π_{1} \cap π_{2}$ tiene como vector director $n_{1} \times n_{2}$ .

Solución paso a paso

El director es perpendicular a los dos normales. Si $P$ y $Q$ son dos puntos distintos de $r$ , ambos están en $π_{1}$ , luego $A_{1} (x_{Q} - x_{P}) + B_{1} (y_{Q} - y_{P}) + C_{1} (z_{Q} - z_{P}) = 0$ , es decir, $n_{1} \cdot P Q = 0$ . Igualmente $n_{2} \cdot P Q = 0$ . Así $P Q$ es perpendicular a $n_{1}$ y a $n_{2}$ .
El producto vectorial también. Por definición, $n_{1} \times n_{2}$ es perpendicular a $n_{1}$ y a $n_{2}$ , y no es nulo porque no son paralelos.
Conclusión. Los vectores perpendiculares a dos vectores no paralelos de $R^{3}$ forman una recta (son los múltiplos de uno de ellos), luego $P Q$ es un múltiplo de $n_{1} \times n_{2}$ . Es decir, $n_{1} \times n_{2}$ es un vector director de $r$ .

Resumen

Una recta se determina por un punto $P$ y un vector director $d$ : vectorial, paramétricas, continua e implícitas (dos planos).
Recta por dos puntos $A$ y $B$ : director $A B$ . Un punto $C$ está en ella si $A C$ es proporcional a $A B$ .
De las implícitas a las paramétricas: se resuelve el sistema con una incógnita libre; el director es $n_{1} \times n_{2}$ .
Los coeficientes $(A, B, C)$ de un plano son su vector normal, no el director de una recta.
Cada valor de $λ$ da un punto; una misma recta tiene infinitas ecuaciones.

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