Matemáticas II · Rectas y planos en el espacio · Apartado 2 de 6

Ecuaciones del plano

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Un plano queda fijado por un punto y dos vectores, o por un punto y un vector normal. La ecuación general $A x + B y + C z + D = 0$ es la más usada en la PAU porque sus tres primeros coeficientes son el vector normal. Aquí aprendes a obtenerla en cada situación.

Un punto y dos vectores

La ecuación general

Como $P X$ , $u$ y $v$ son coplanarios cuando $X \in π$ , su producto mixto es cero:

$x - x_{0} u_{1} v_{1} y - y_{0} u_{2} v_{2} z - z_{0} u_{3} v_{3} = 0$

Al desarrollar el determinante queda la ecuación general (o implícita) del plano:

¿Por qué $(A, B, C)$ es normal? Si $P$ y $Q$ son dos puntos del plano, al restar sus ecuaciones queda $A (x_{Q} - x_{P}) + B (y_{Q} - y_{P}) + C (z_{Q} - z_{P}) = 0$ , es decir, $n \cdot P Q = 0$ : $n$ es perpendicular a todos los vectores del plano.

Los coeficientes se pueden multiplicar por cualquier número distinto de cero y el plano es el mismo: $x + y - 2 = 0$ y $3 x + 3 y - 6 = 0$ son el mismo plano. El valor de $D$ se calcula sustituyendo un punto del plano.

Según los datos, $u$ y $v$ salen así:

Tres puntos no alineados $A$ , $B$ , $C$ : $u = A B$ , $v = A C$ .
Una recta y un punto exterior: $u$ es el director de la recta y $v = P Q$ , con $P$ de la recta y $Q$ el punto.
Dos rectas que se cortan o son paralelas: los dos directores (o un director y el vector entre dos puntos si son paralelas).
Un punto y un plano paralelo: se usa el mismo normal.

Si los tres puntos estuvieran alineados, $A B \times A C = 0$ y no habría un único plano.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Plano por un punto y con un vector normal

Halla el plano que pasa por $A (1, 2, 3)$ y tiene vector normal $n = (2, - 1, 4)$ .

a) Halla el término independiente $D$ de la ecuación $2 x - y + 4 z + D = 0$ .

b) Halla el punto en que el plano corta al eje $O Z$ .

Solución

a) Sustituimos $A$ : $2 \cdot 1 - 2 + 4 \cdot 3 + D = 0 \Rightarrow 12 + D = 0 \Rightarrow D = - 12$ . El plano es $2 x - y + 4 z - 12 = 0$ .

b) En el eje $O Z$ se cumple $x = 0$ , $y = 0$ . Entonces $4 z - 12 = 0$ y $z = 3$ : el punto es $(0, 0, 3)$ .

Ejemplo 2 Medio

Plano por tres puntos

Sean $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ y $C (0, 0, 3)$ .

a) Calcula $A B \times A C$ .

b) Halla el término independiente $D$ de la ecuación del plano $A x + B y + C z + D = 0$ que los contiene, tomando como $(A, B, C)$ el vector del apartado a).

Solución

a) $A B = (- 1, 2, 0)$ y $A C = (- 1, 0, 3)$ :

$A B \times A C = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 3, (- 1) \cdot 0 - 2 \cdot (- 1)) = (6, 3, 2)$

b) El plano es $6 x + 3 y + 2 z + D = 0$ . Sustituyendo $A (1, 0, 0)$ : $6 + D = 0$ , luego $D = - 6$ .

Comprobación con los otros puntos: $B$ : $6 + 0 - 6 = 0$ ✓; $C$ : $6 - 6 = 0$ ✓. El plano $6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$ corta a los ejes en $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 3$ .

Ejemplo 3 Difícil

Plano que contiene a una recta y a un punto

Sea la recta $r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ (1, 1, 0)$ y el punto $Q (0, 1, 3)$ .

a) Calcula $u \times v$ , donde $u = (1, 1, 0)$ es el director de $r$ y $v = P Q$ con $P (1, 0, 1)$ el punto de $r$ .

b) Halla la ecuación del plano que contiene a $r$ y a $Q$ , escrita con coeficientes enteros coprimos y coeficiente de $x$ positivo, como la tupla $(A, B, C, D)$ .

c) Halla el punto en que ese plano corta al eje $O Y$ .

Solución

a) $P Q = Q - P = (- 1, 1, 2)$ y

$u \times v = (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1, 0 \cdot (- 1) - 1 \cdot 2, 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1)) = (2, - 2, 2)$

b) Es un normal, y se puede simplificar a $(1, - 1, 1)$ . El plano es $x - y + z + D = 0$ ; sustituyendo $P (1, 0, 1)$ : $1 + 1 + D = 0 \Rightarrow D = - 2$ . El plano es $x - y + z - 2 = 0$ .

Comprobación con $Q$ : $0 - 1 + 3 - 2 = 0$ ✓. Y con otro punto de $r$ , $(2, 1, 1)$ ( $λ = 1$ ): $2 - 1 + 1 - 2 = 0$ ✓.

c) En el eje $O Y$ : $x = 0$ , $z = 0$ , y queda $- y - 2 = 0$ , luego $y = - 2$ : el punto es $(0, - 2, 0)$ .

Para el examen: simplificar el vector normal reduce errores de cuentas posteriores, pero la ecuación sin simplificar también es válida.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

Sea el plano $π : 3 x - y + 2 z - 6 = 0$ .

a) Indica un vector normal a $π$ .

b) Calcula el valor de $3 x - y + 2 z - 6$ en los puntos $P (1, 1, 2)$ y $Q (2, 0, 1)$ , en este orden. ¿Cuál de ellos está en $π$ ?

c) Halla el punto de corte de $π$ con el eje $O X$ .

Solución paso a paso

a) $n = (3, - 1, 2)$ .

b) En $P$ : $3 - 1 + 4 - 6 = 0$ , luego $P \in π$ . En $Q$ : $6 - 0 + 2 - 6 = 2 \neq = 0$ , luego $Q \in / π$ . Los valores son $0$ y $2$ .

c) En el eje $O X$ : $y = z = 0$ , y queda $3 x - 6 = 0$ , es decir, $x = 2$ : el punto es $(2, 0, 0)$ .

Ejercicio 2 Básico

Halla el plano que pasa por $P (1, - 2, 0)$ con vector normal $(1, 2, - 3)$ , escrito como $x + 2 y - 3 z + D = 0$ .

a) Halla $D$ .

b) Halla el punto de corte con el eje $O Z$ .

Solución paso a paso

a) Sustituyendo $P$ : $1 - 4 - 0 + D = 0 \Rightarrow D = 3$ .

b) En el eje $O Z$ : $- 3 z + 3 = 0 \Rightarrow z = 1$ , luego el punto es $(0, 0, 1)$ .

Ejercicio 3 Básico

Un plano tiene por ecuaciones paramétricas $x = 1 + λ + μ, y = 2 - λ, z = 3 + μ$ .

a) Halla $u \times v$ , con $u = (1, - 1, 0)$ y $v = (1, 0, 1)$ los vectores directores.

b) Escribe el plano como $x + y - z + D = 0$ y halla $D$ .

Solución paso a paso

a) $u \times v = ((- 1) \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - (- 1) \cdot 1) = (- 1, - 1, 1)$ .

b) El normal es $(- 1, - 1, 1)$ , proporcional a $(1, 1, - 1)$ . Sustituyendo el punto $(1, 2, 3)$ en $x + y - z + D = 0$ : $1 + 2 - 3 + D = 0 \Rightarrow D = 0$ . El plano pasa por el origen.

Ejercicio 4 Medio

Sean $A (1, 1, 0)$ , $B (2, 0, 1)$ y $C (0, 2, 1)$ .

a) Calcula $A B \times A C$ .

b) Escribe la ecuación del plano que los contiene como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

Solución paso a paso

a) $A B = (1, - 1, 1)$ y $A C = (- 1, 1, 1)$ :

$A B \times A C = ((- 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1, 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - (- 1) (- 1)) = (- 2, - 2, 0)$

b) El normal es proporcional a $(1, 1, 0)$ , luego el plano es $x + y + D = 0$ . Con $A$ : $2 + D = 0$ , $D = - 2$ . El plano es $x + y - 2 = 0$ ; comprobación: $B$ : $2 + 0 - 2 = 0$ ✓; $C$ : $0 + 2 - 2 = 0$ ✓. Es paralelo al eje $O Z$ , porque en su ecuación no aparece $z$ .

Ejercicio 5 Medio

Halla el plano paralelo a $π : 3 x - 2 y + z - 5 = 0$ que pasa por $P (2, 1, - 1)$ .

a) Halla el término independiente $D$ de $3 x - 2 y + z + D = 0$ .

b) Halla el punto de corte con el eje $O Y$ .

Solución paso a paso

a) Dos planos paralelos tienen el mismo vector normal, luego el plano es $3 x - 2 y + z + D = 0$ . Sustituyendo $P$ : $6 - 2 - 1 + D = 0 \Rightarrow D = - 3$ .

b) En el eje $O Y$ : $- 2 y - 3 = 0 \Rightarrow y = - \frac{3}{2}$ ; el punto es $(0, - \frac{3}{2}, 0)$ .

Ejercicio 6 Medio

Un tejado plano pasa por los puntos $A (0, 0, 3)$ , $B (4, 0, 5)$ y $C (0, 6, 3)$ , con las coordenadas en metros y $z$ la altura.

a) Halla su ecuación como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

b) ¿A qué altura está el tejado sobre el punto del suelo $(x, y) = (2, 3)$ ?

Solución paso a paso

a) $A B = (4, 0, 2)$ y $A C = (0, 6, 0)$ , con $A B \times A C = (- 12, 0, 24)$ , proporcional a $(- 1, 0, 2)$ , o a $(1, 0, - 2)$ . El plano es $x - 2 z + D = 0$ ; con $A$ : $- 6 + D = 0 \Rightarrow D = 6$ . La ecuación es $x - 2 z + 6 = 0$ (comprobación con $B$ : $4 - 10 + 6 = 0$ ✓).

b) Despejando, $z = \frac{x + 6}{2}$ ; para $x = 2$ , $z = 4$ metros, sea cual sea $y$ .

Ejercicio 7 Medio

Sea la recta $r : (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ (1, 2, - 1)$ y el punto $Q (2, 1, 3)$ .

a) Calcula $u \times P Q$ , con $u$ el director de $r$ y $P (1, 0, 2)$ .

b) Halla el plano que contiene a $r$ y a $Q$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ tomando como $(A, B, C)$ el vector del apartado a).

Solución paso a paso

a) $P Q = (1, 1, 1)$ y $u \times P Q = (2 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1, (- 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) = (3, - 2, - 1)$ .

b) El plano es $3 x - 2 y - z + D = 0$ ; con $P$ : $3 - 0 - 2 + D = 0 \Rightarrow D = - 1$ . Es $3 x - 2 y - z - 1 = 0$ ; comprobación con $Q$ : $6 - 2 - 3 - 1 = 0$ ✓.

Ejercicio 8 Difícil

Halla el plano que pasa por $A (1, 0, 0)$ y $B (0, 1, 0)$ y es paralelo a la recta de vector director $d = (1, 1, 1)$ .

a) Calcula $A B \times d$ .

b) Escribe el plano como la tupla $(A, B, C, D)$ tomando como $(A, B, C)$ el vector del apartado a).

c) Halla el punto en que corta al eje $O Z$ .

Solución paso a paso

a) $A B = (- 1, 1, 0)$ y $A B \times d = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1, (- 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) = (1, 1, - 2)$ .

b) El plano contiene a $A B$ y es paralelo a $d$ , así que sus vectores directores son $A B$ y $d$ y su normal es el del apartado a). Queda $x + y - 2 z + D = 0$ ; con $A$ : $1 + D = 0 \Rightarrow D = - 1$ . Comprobación con $B$ : $1 - 1 = 0$ ✓.

c) En el eje $O Z$ : $- 2 z - 1 = 0 \Rightarrow z = - \frac{1}{2}$ ; el punto es $(0, 0, - \frac{1}{2})$ .

Para el examen: «paralelo a una recta» quiere decir que el vector director de la recta es uno de los vectores directores del plano.

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran los puntos $A (2, 0, 1)$ , $B (0, 2, 1)$ y $C (1, 1, m)$ .

a) Halla el valor de $m$ para el que $A$ , $B$ y $C$ están alineados. (0,75 puntos)

b) Para $m = 2$ , halla la ecuación del plano que contiene a los tres puntos, como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo. (0,75 puntos)

c) Para $m = 2$ , calcula el área del triángulo $A B C$ . (0,5 puntos)

d) Para $m = 2$ , halla el punto en que ese plano corta al eje $O X$ . (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) $A B = (- 2, 2, 0)$ y $A C = (- 1, 1, m - 1)$ . Son proporcionales con $k = \frac{1}{2}$ en las dos primeras componentes, y la tercera exige $m - 1 = 0$ : $m = 1$ .

b) Con $m = 2$ , $A C = (- 1, 1, 1)$ , y $A B \times A C = (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 1, (- 2) \cdot 1 - 2 \cdot (- 1)) = (2, 2, 0)$ . El normal es proporcional a $(1, 1, 0)$ y el plano es $x + y + D = 0$ ; con $A$ : $2 + D = 0$ . La ecuación es $x + y - 2 = 0$ .

c) El área es la mitad del módulo del producto vectorial: $\frac{1}{2} 4 + 4 = \frac{1}{2} \cdot 22 = 2$ .

d) En el eje $O X$ ( $y = z = 0$ ): $x - 2 = 0$ , luego el punto es $(2, 0, 0)$ (es $A$ ).

Para el examen: en a) explica que alineados significa que los vectores son proporcionales; en b) cita el producto vectorial como vector normal.

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Demuestra que, en el plano de ecuación $A x + B y + C z + D = 0$ , el vector $n = (A, B, C)$ es perpendicular a todos los vectores contenidos en el plano.

Solución paso a paso

Dos puntos del plano. Sean $P (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ y $Q (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ dos puntos cualesquiera del plano. Entonces

$A x_{1} + B y_{1} + C z_{1} + D = 0 y A x_{2} + B y_{2} + C z_{2} + D = 0$

Restar. Al restar las dos igualdades se cancela $D$ :

$A (x_{2} - x_{1}) + B (y_{2} - y_{1}) + C (z_{2} - z_{1}) = 0 ⟺ n \cdot P Q = 0$

Conclusión. Todo vector contenido en el plano es de la forma $P Q$ con $P$ y $Q$ del plano, luego es perpendicular a $n$ .

Resumen

Plano por un punto $P$ y dos vectores no paralelos $u$ y $v$ : $(x, y, z) = P + λ u + μ v$ .
Ecuación general $A x + B y + C z + D = 0$ ; el vector normal es $n = (A, B, C) = u \times v$ . $D$ se obtiene sustituyendo un punto del plano.
Plano por tres puntos: $u = A B$ , $v = A C$ (si el producto vectorial es nulo, están alineados).
Plano por una recta y un punto, o paralelo a una recta: se eligen los dos vectores adecuados y se calcula el producto vectorial.
Planos paralelos tienen el mismo normal (proporcional).

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