Matemáticas II · Rectas y planos en el espacio · Cierre del tema

Problemas de síntesis de rectas y planos

12 problemas con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Estos doce problemas mezclan todo el tema: ecuaciones de rectas y planos, posiciones relativas por rangos y por vectores, y haces de planos. Los que llevan puntuación imitan el estilo de la PAU; intenta resolver cada uno razonando por escrito, como en el examen.

Problemas de síntesis

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Problema 1 Medio

Sea $r$ la recta que pasa por $A (1, 0, 2)$ y $B (3, - 2, 6)$ .

a) Halla un vector director de $r$ .

b) Halla el punto de $r$ que está a mitad de camino entre $A$ y $B$ .

c) Halla el punto de corte de $r$ con el plano $z = 0$ .

Solución paso a paso

a) $d = A B = (2, - 2, 4)$ .

b) Es el punto medio: $(\frac{1 + 3}{2}, \frac{0 - 2}{2}, \frac{2 + 6}{2}) = (2, - 1, 4)$ .

c) Los puntos de $r$ son $(1 + 2 λ, - 2 λ, 2 + 4 λ)$ . Con $z = 0$ : $λ = - \frac{1}{2}$ , y el punto es $(0, 1, 0)$ .

Problema 2 Medio

Sean $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 1, 0)$ y $C (0, 0, 1)$ .

a) Calcula $A B \times A C$ .

b) Halla el término independiente $D$ del plano $x + y + z + D = 0$ que contiene a los tres puntos.

c) Calcula el valor de $x + y + z - 1$ en el punto $E (1, 1, - 1)$ y decide si $E$ pertenece al plano.

Solución paso a paso

a) $A B = (- 1, 1, 0)$ y $A C = (- 1, 0, 1)$ , con $A B \times A C = (1, 1, 1)$ .

b) El normal es $(1, 1, 1)$ y, con $A$ : $1 + D = 0 \Rightarrow D = - 1$ . El plano es $x + y + z - 1 = 0$ .

c) En $E$ : $1 + 1 - 1 - 1 = 0$ . Por tanto $E$ pertenece al plano.

Problema 3 Medio

Sean $r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ (1, - 1, 0)$ y $s : {x + y z = 3 = 3$

a) Calcula el producto vectorial de los normales de $s$ , $(1, 1, 0) \times (0, 0, 1)$ , que es su vector director.

b) Indica la posición relativa de $r$ y $s$ .

Solución paso a paso

a) $(1, 1, 0) \times (0, 0, 1) = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = (1, - 1, 0)$ .

b) Los directores coinciden. El punto $(1, 2, 3)$ de $r$ está en $s$ : $1 + 2 = 3$ y $z = 3$ . Las rectas son coincidentes.

Problema 4 Medio

Sean la recta $r : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ (1, 2, 1)$ y el plano $π : x - y + z = 3$ .

a) Calcula $d \cdot n$ .

b) Indica la posición relativa de $r$ y $π$ .

c) Halla el plano paralelo a $π$ que contiene a $r$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con primer coeficiente igual a $1$ .

Solución paso a paso

a) $n = (1, - 1, 1)$ y $d \cdot n = 1 - 2 + 1 = 0$ .

b) El origen no está en $π$ ( $0 \neq = 3$ ), luego la recta es paralela al plano.

c) El plano del haz paralelo a $π$ que pasa por el origen es $x - y + z = 0$ . Contiene a $r$ porque $d \cdot n = 0$ y el origen pertenece al plano. La tupla es $(1, - 1, 1, 0)$ .

Problema 5 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran las rectas $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (1, 1, 1)$ y $s : (x, y, z) = (0, 1, m) + μ (1, 0, 1)$ .

a) Halla el valor de $m$ para el que las rectas son secantes. (0,75 puntos)

b) Para ese valor de $m$ , halla el punto de corte. (0,75 puntos)

c) Para ese valor de $m$ , halla el plano que contiene a las dos rectas, como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo. (1 punto)

Solución paso a paso

a) Los directores $(1, 1, 1)$ y $(1, 0, 1)$ no son proporcionales. Con $P Q = (- 1, 1, m)$ :

$11 - 1 101 11 m = 1 \cdot (0 - 1) - 1 \cdot (m + 1) + 1 \cdot (1 - 0) = - m - 1$

Son secantes si $m = - 1$ .

b) Con $m = - 1$ : $(1 + λ, λ, λ) = (μ, 1, - 1 + μ)$ . De la segunda, $λ = 1$ ; de la primera, $μ = 2$ ; la tercera: $1 = - 1 + 2$ ✓. El punto de corte es $(2, 1, 1)$ .

c) El normal es el producto vectorial de los directores: $(1, 1, 1) \times (1, 0, 1) = (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (1, 0, - 1)$ . El plano es $x - z + D = 0$ ; con $(1, 0, 0)$ : $1 + D = 0 \Rightarrow D = - 1$ . La tupla es $(1, 0, - 1, - 1)$ . Comprobación: $(2, 1, 1)$ da $2 - 1 - 1 = 0$ ✓.

Para el examen: dos rectas secantes determinan un plano único; su normal es el producto vectorial de los directores.

Problema 6 Difícil

Sean la recta $r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ (1, 2, - 1)$ y el plano $π : 2 x - y + m z = 3$ .

a) Halla el valor de $m$ para el que la recta es paralela a $π$ (o está contenida en él).

b) Para $m = 1$ , halla el punto de corte de $r$ y $π$ .

c) Para $m = 1$ , halla el plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $π$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con primer coeficiente igual a $1$ .

Solución paso a paso

a) $n = (2, - 1, m)$ y $d \cdot n = 2 - 2 - m = - m = 0 \Rightarrow m = 0$ . (Para $m = 0$ , el punto $(1, 1, 1)$ da $2 - 1 = 1 \neq = 3$ : es paralela.)

b) Con $m = 1$ : $2 (1 + λ) - (1 + 2 λ) + (1 - λ) = 2 - λ = 3 \Rightarrow λ = - 1$ . El punto es $(0, - 1, 2)$ . Comprobación: $0 + 1 + 2 = 3$ ✓.

c) El plano pedido tiene como vectores directores el de la recta, $(1, 2, - 1)$ , y el normal de $π$ , $(2, - 1, 1)$ (ser perpendicular a $π$ equivale a contener la dirección de su normal). Su normal es el producto vectorial: $(1, 2, - 1) \times (2, - 1, 1) = (2 \cdot 1 - (- 1) (- 1), (- 1) \cdot 2 - 1 \cdot 1, 1 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2) = (1, - 3, - 5)$ . El plano es $x - 3 y - 5 z + D = 0$ ; con $(1, 1, 1)$ : $1 - 3 - 5 + D = 0 \Rightarrow D = 7$ . La tupla es $(1, - 3, - 5, 7)$ .

Problema 7 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran los puntos $A (1, 0, 1)$ , $B (2, 1, 0)$ , $C (0, 1, 1)$ y la recta $r$ que pasa por el origen con vector director $(1, 1, 1)$ .

a) Halla la ecuación del plano que contiene a $A$ , $B$ y $C$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo. (1 punto)

b) Halla el punto de corte de ese plano con la recta $r$ . (0,75 puntos)

c) Calcula el área del triángulo $A B C$ . (0,75 puntos)

Solución paso a paso

a) $A B = (1, 1, - 1)$ y $A C = (- 1, 1, 0)$ , con $A B \times A C = (1 \cdot 0 - (- 1) \cdot 1, (- 1) (- 1) - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1)) = (1, 1, 2)$ . El plano es $x + y + 2 z + D = 0$ ; con $A$ : $1 + 2 + D = 0 \Rightarrow D = - 3$ . La tupla es $(1, 1, 2, - 3)$ . Comprobación: $B$ : $2 + 1 + 0 - 3 = 0$ ✓; $C$ : $0 + 1 + 2 - 3 = 0$ ✓.

b) Los puntos de $r$ son $(λ, λ, λ)$ . En el plano: $λ + λ + 2 λ - 3 = 4 λ - 3 = 0 \Rightarrow λ = \frac{3}{4}$ . El punto es $(\frac{3}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ .

c) El área es $\frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣ = \frac{1}{2} 1 + 1 + 4 = \frac{6}{2}$ .

Para el examen: el producto vectorial del apartado a) se reutiliza en c): calcúlalo una sola vez.

Problema 8 Difícil

Se consideran los planos $π_{1} : x + y + z = 1$ , $π_{2} : 2 x + y + m z = 2$ y $π_{3} : x + m y + z = 1$ .

a) Clasifica el sistema según los valores de $m$ , con las claves "m=1", "m=2" y "otro".

b) Halla el punto de corte para $m = 0$ .

Solución paso a paso

a) Determinante. $121 11 m 1 m 1 = 1 \cdot (1 - m^{2}) - 1 \cdot (2 - m) + 1 \cdot (2 m - 1) = - m^{2} + 3 m - 2 = - (m - 1) (m - 2)$ . Se anula para $m = 1$ y $m = 2$ .

$m = 1$ : $π_{3}$ es $x + y + z = 1$ , igual que $π_{1}$ , y $π_{2}$ es $2 x + y + z = 2$ . Los rangos son $rg (M) = rg (M^{*}) = 2$ : sistema compatible indeterminado, SCI (los tres planos comparten una recta: $x = 1, y + z = 0$ ).
$m = 2$ : las filas son $(1, 1, 1)$ , $(2, 1, 2)$ , $(1, 2, 1)$ , con $rg (M) = 2$ (la suma $(1, 1, 1) + (1, 0, 1)$ explica las otras dos). Las ecuaciones $π_{2} - π_{1}$ y $π_{3} - π_{1}$ dan $x + z = 1$ e $y = 0$ , compatibles con $π_{1}$ : SCI.
Otro valor: $∣ M ∣ \neq = 0$ , SCD.

b) Con $m = 0$ : $x + y + z = 1$ , $2 x + y = 2$ , $x + z = 1$ . De la tercera, $z = 1 - x$ ; en la primera, $x + y + 1 - x = 1$ , luego $y = 0$ ; en la segunda, $2 x = 2$ , $x = 1$ , y $z = 0$ . El punto es $(1, 0, 0)$ .

Problema 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se considera la recta $r : {x + y y - z = 2 = 0$

a) Halla un vector director de $r$ con primera componente igual a $- 1$ . (0,5 puntos)

b) Halla el plano del haz de $r$ que pasa por $P (0, 0, 1)$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con primer coeficiente igual a $1$ . (0,75 puntos)

c) Halla el plano del haz de $r$ que es paralelo al eje $O X$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con primer coeficiente igual a $0$ y segundo coeficiente igual a $1$ . (0,5 puntos)

d) Halla el plano del haz de $r$ que es perpendicular al plano $z = 0$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con primer coeficiente igual a $1$ . (0,75 puntos)

Solución paso a paso

a) $(1, 1, 0) \times (0, 1, - 1) = (1 \cdot (- 1) - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = (- 1, 1, 1)$ .

b) El haz es $α (x + y - 2) + β (y - z) = 0$ . Con $P$ : $α \cdot (- 2) + β \cdot (- 1) = 0 \Rightarrow β = - 2 α$ . Con $α = 1$ : $(x + y - 2) - 2 (y - z) = x - y + 2 z - 2 = 0$ . La tupla es $(1, - 1, 2, - 2)$ . Comprobación: $0 - 0 + 2 - 2 = 0$ ✓.

c) El normal es $α (1, 1, 0) + β (0, 1, - 1) = (α, α + β, - β)$ . Paralelo al eje $O X$ : la primera componente es $0$ , luego $α = 0$ . El plano es $y - z = 0$ : la tupla es $(0, 1, - 1, 0)$ .

d) Perpendicular al plano $z = 0$ exige que la tercera componente del normal sea $0$ : $- β = 0$ , luego $β = 0$ . El plano es $x + y - 2 = 0$ : la tupla es $(1, 1, 0, - 2)$ .

Para el examen: los planos que salen con $α = 0$ o $β = 0$ son los dos planos que definen la recta: es normal que aparezcan.

Problema 10 Difícil

Sean $r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ (1, 2, - 1)$ y $s : (x, y, z) = (0, 0, 2) + μ (1, 1, - 1)$ .

a) Calcula $[d_{r}, d_{s}, P Q]$ con $P (1, 0, 1)$ y $Q (0, 0, 2)$ .

b) Halla el punto de corte.

c) Halla el plano que contiene a las dos rectas, como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

Solución paso a paso

a) $P Q = (- 1, 0, 1)$ y $11 - 1 210 - 1 - 1 1 = 1 \cdot (1 - 0) - 2 \cdot (1 - 1) + (- 1) \cdot (0 + 1) = 1 - 0 - 1 = 0$ .

b) Los directores no son proporcionales y el producto mixto es $0$ : secantes. Igualando: $(1 + λ, 2 λ, 1 - λ) = (μ, μ, 2 - μ)$ . De las dos primeras, $1 + λ = 2 λ$ , luego $λ = 1$ y $μ = 2$ ; la tercera: $0 = 0$ ✓. El punto es $(2, 2, 0)$ .

c) El normal es $d_{r} \times d_{s} = (2 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 1, (- 1) \cdot 1 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) = (- 1, 0, - 1)$ , proporcional a $(1, 0, 1)$ . El plano es $x + z + D = 0$ ; con $P (1, 0, 1)$ : $2 + D = 0 \Rightarrow D = - 2$ . La tupla es $(1, 0, 1, - 2)$ . Comprobación: $Q$ : $0 + 2 - 2 = 0$ ✓.

Problema 11 DifícilDemostración

Sean dos rectas $r$ y $s$ .

a) Demuestra que si $r$ y $s$ se cruzan, no existe ningún plano que contenga a las dos.

b) Demuestra que si $r$ y $s$ son secantes, existe un único plano que las contiene.

Solución paso a paso

a) Supongamos que existe un plano $π$ que contiene a las dos rectas. Entonces los vectores $d_{r}$ , $d_{s}$ y $P Q$ (con $P \in r$ y $Q \in s$ ) son vectores contenidos en $π$ , luego son coplanarios y su producto mixto es $0$ . Pero si las rectas se cruzan, ese producto mixto es distinto de $0$ . Contradicción: no existe tal plano.

b) Si $r$ y $s$ son secantes, sus directores no son proporcionales, y su producto vectorial $d_{r} \times d_{s} \neq = 0$ . El plano que pasa por el punto de corte con ese vector normal contiene a las dos rectas, porque cada recta pasa por el punto de corte y tiene dirección perpendicular a $d_{r} \times d_{s}$ . Es único: cualquier plano que contenga a las dos tiene como vectores directores $d_{r}$ y $d_{s}$ (independientes) y pasa por el punto de corte, y esos datos determinan un único plano.

Problema 12 Difícil

Un dron vuela siguiendo la trayectoria $(x, y, z) = (0, 0, 20) + t (4, 3, - 1)$ , con las coordenadas en metros y el tiempo $t$ en segundos. Se acerca a un tejado plano de ecuación $x + y + 2 z = 90$ .

a) ¿En qué punto toca el tejado?

b) ¿Cuántos segundos tarda en tocarlo?

c) ¿Qué distancia recorre hasta tocarlo?

d) ¿Por qué punto de su trayectoria pasa cuando está a $15$ metros de altura ( $z = 15$ )?

Solución paso a paso

a) Los puntos de la trayectoria son $(4 t, 3 t, 20 - t)$ . Sustituyendo en el plano: $4 t + 3 t + 2 (20 - t) = 5 t + 40 = 90 \Rightarrow t = 10$ . El punto es $(40, 30, 10)$ .

b) Tarda $t = 10$ segundos.

c) La velocidad es $∣ (4, 3, - 1) ∣ = 26$ metros por segundo, así que recorre $1026$ metros.

d) Con $z = 20 - t = 15 \Rightarrow t = 5$ , y el punto es $(20, 15, 15)$ .

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