Matemáticas II · Rectas y planos en el espacio · Apartado 3 de 6

Posición relativa de dos rectas en el espacio

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Dos rectas del espacio pueden coincidir, ser paralelas, cortarse en un punto o cruzarse sin cortarse. Para decidirlo hay dos caminos igual de válidos: el de los rangos del sistema formado por sus ecuaciones y el de los vectores y el producto mixto. Aquí aprendes los dos y cuándo conviene cada uno.

Los cuatro casos

En el plano dos rectas se cortan o son paralelas, pero en el espacio hay una posibilidad más: pueden cruzarse, es decir, no ser paralelas y no cortarse nunca (como un cable que pasa por encima de una calle).

Posición	Puntos comunes	¿Paralelas?	¿Coplanarias?
Coincidentes	infinitos (todos)	sí	sí
Paralelas	ninguno	sí	sí
Secantes	uno	no	sí
Se cruzan	ninguno	no	no

Sean $r : P + λ d_{r}$ y $s : Q + μ d_{s}$ . «Coplanarias» quiere decir que existe un plano que contiene a las dos rectas.

Método B: con vectores y puntos

Se usan los vectores directores $d_{r}$ y $d_{s}$ y el vector $P Q$ que une un punto de cada recta.

La razón del paso 3: si $d_{r}$ y $d_{s}$ no son paralelos y los tres vectores están en un plano, las rectas están en ese plano y, al no ser paralelas, se cortan. Si el producto mixto no es cero, no hay ningún plano que las contenga: se cruzan. Esta es la aplicación de la coplanaridad del tema anterior.

Método A: rangos y determinantes

Se escriben las dos rectas en forma implícita (dos ecuaciones cada una) y se estudia el sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas con Rouché-Frobenius. Sean $M$ la matriz de coeficientes ( $4 \times 3$ ) y $M^{*}$ la ampliada ( $4 \times 4$ ).

$rg (M)$	$rg (M^{*})$	Sistema	Posición
3	3	SCD (una solución)	Secantes
3	4	SI	Se cruzan
2	2	SCI (una recta)	Coincidentes
2	3	SI	Paralelas

La lógica es la misma que en Álgebra: una solución única es un punto de corte; sin solución, no se cortan; con infinitas, comparten toda la recta. El rango de $M$ dice si hay paralelismo (rango $2$ ) o no (rango $3$ ).

Hay una variante muy cómoda cuando las rectas están en forma paramétrica o vectorial: los rangos de ${d_{r}, d_{s}}$ y de ${d_{r}, d_{s}, P Q}$ (matrices de filas) cuentan la misma historia que $rg (M) - 1$ y $rg (M^{*}) - 1$ .

¿Cuál elegir? Con rectas dadas por punto y vector (lo más habitual), el método B es inmediato. Con rectas dadas por ecuaciones implícitas, el método A evita tener que pasar a paramétricas. Con un parámetro, ambos llevan a un determinante que se iguala a cero.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Rectas paralelas o coincidentes

Sean $r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ (1, 2, - 1)$ y $s : (x, y, z) = (2, 2, 0) + μ (2, 4, - 2)$ .

a) Halla el rango del conjunto ${d_{r}, d_{s}}$ .

b) Halla el valor de $λ$ para el que $r$ pasa por el punto $Q (2, 2, 0)$ de $s$ .

c) Indica la posición relativa de $r$ y $s$ .

Solución

a) $d_{s} = (2, 4, - 2) = 2 d_{r}$ , luego son paralelos y el rango es $1$ .

b) Buscamos $λ$ con $(1 + λ, 2 λ, 1 - λ) = (2, 2, 0)$ . De la primera, $λ = 1$ ; se comprueba en las otras: $2 λ = 2$ ✓ y $1 - λ = 0$ ✓. Luego $Q \in r$ para $λ = 1$ .

c) Los directores son paralelos y un punto de $s$ está en $r$ : las rectas son coincidentes.

Ejemplo 2 Medio

Rectas secantes por los dos métodos

Sean $r : (x, y, z) = (1, 2, 0) + λ (1, - 1, 1)$ y $s : (x, y, z) = (1, 0, 2) + μ (1, 1, - 1)$ .

a) Calcula $[d_{r}, d_{s}, P Q]$ con $P (1, 2, 0)$ y $Q (1, 0, 2)$ .

b) Halla el punto de corte.

c) Indica la posición relativa.

Solución

Método B.

a) $d_{r} = (1, - 1, 1)$ y $d_{s} = (1, 1, - 1)$ no son proporcionales. Además $P Q = (0, - 2, 2)$ y

$110 - 1 1 - 2 1 - 1 2 = 1 \cdot (2 - 2) - (- 1) \cdot (2 - 0) + 1 \cdot (- 2 - 0) = 0 + 2 - 2 = 0$

b) Igualamos los puntos: $(1 + λ, 2 - λ, λ) = (1 + μ, μ, 2 - μ)$ . De la primera, $λ = μ$ ; de la segunda, $2 - λ = λ$ , luego $λ = μ = 1$ ; la tercera, $1 = 2 - 1$ , se cumple. El punto de corte es $(2, 1, 1)$ .

c) Directores no proporcionales y producto mixto $0$ : las rectas son secantes.

Método A (comprobación). Pasando a implícitas: $r : x + y = 3, y + z = 2$ y $s : x - y = 1, y + z = 2$ . La matriz de coeficientes tiene filas $(1, 1, 0)$ , $(0, 1, 1)$ , $(1, - 1, 0)$ , $(0, 1, 1)$ , con rango $3$ ; la ampliada añade la columna $(3, 2, 1, 2)$ , y la cuarta fila repite a la segunda, así que su rango también es $3$ . Con $rg (M) = rg (M^{*}) = 3$ , el sistema es compatible determinado: secantes, con solución $x = 2, y = 1, z = 1$ .

Ejemplo 3 Difícil

Posición relativa según un parámetro

Sean $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (1, 1, m)$ y $s : (x, y, z) = (0, 1, 2) + μ (2, - 1, 1)$ .

a) Halla el valor de $m$ para el que las rectas son secantes.

b) Halla el punto de corte para ese valor de $m$ .

c) Indica la posición relativa de las rectas cuando $m = 0$ .

Solución

a) Directores. $(1, 1, m)$ y $(2, - 1, 1)$ no son proporcionales para ningún $m$ , porque ya las dos primeras componentes lo impiden ( $1/2 \neq = - 1/1$ ). Luego solo pueden ser secantes o cruzarse. Con $P Q = (- 1, 1, 2)$ :

$12 - 1 1 - 1 1 m 12 = 1 \cdot (- 2 - 1) - 1 \cdot (4 + 1) + m \cdot (2 - 1) = m - 8$

Son secantes si $m - 8 = 0$ , es decir, $m = 8$ .

b) Con $m = 8$ : $(1 + λ, λ, 8 λ) = (2 μ, 1 - μ, 2 + μ)$ . De la primera y la segunda: $1 + λ = 2 μ$ y $λ = 1 - μ$ , de donde $2 - μ = 2 μ$ , $μ = \frac{2}{3}$ , $λ = \frac{1}{3}$ . La tercera: $8 λ = \frac{8}{3} = 2 + \frac{2}{3}$ ✓. El punto es $(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{8}{3})$ .

c) Con $m = 0$ el producto mixto vale $- 8 \neq = 0$ : las rectas se cruzan.

Para el examen: razona primero que los directores no son paralelos para ningún $m$ ; si fueran paralelos en algún valor, ese caso se estudia aparte (coincidentes o paralelas).

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

Sean $r : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ (1, 2, 3)$ y $s : (x, y, z) = (1, 0, 0) + μ (- 2, - 4, - 6)$ .

a) Halla el rango del conjunto ${d_{r}, d_{s}}$ .

b) Indica la posición relativa de las rectas.

Solución paso a paso

a) $d_{s} = - 2 d_{r}$ , luego el rango es $1$ .

b) Directores paralelos. El punto $Q (1, 0, 0)$ de $s$ está en $r$ solo si $(1, 0, 0) = λ (1, 2, 3)$ , pero entonces $λ = 1$ y $2 λ = 2 \neq = 0$ . No está, así que las rectas son paralelas.

Ejercicio 2 Básico

Sean $r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ (1, 0, 2)$ y $s : (x, y, z) = (0, 2, - 1) + μ (0, 1, 1)$ .

a) Calcula $[d_{r}, d_{s}, P Q]$ con $P (1, 1, 1)$ y $Q (0, 2, - 1)$ .

b) Indica la posición relativa de las rectas.

Solución paso a paso

a) $P Q = (- 1, 1, - 2)$ y $10 - 1 011 21 - 2 = 1 \cdot (- 2 - 1) - 0 + 2 \cdot (0 + 1) = - 3 + 2 = - 1$ .

b) Los directores no son proporcionales y el producto mixto no es cero: las rectas se cruzan.

Ejercicio 3 Básico

Sean $r : (x, y, z) = (2, 1, 0) + λ (1, - 1, 2)$ y $s : (x, y, z) = (3, 0, 2) + μ (0, 1, 1)$ .

a) Calcula $[d_{r}, d_{s}, P Q]$ con $P (2, 1, 0)$ y $Q (3, 0, 2)$ .

b) Halla el punto de corte.

c) Indica la posición relativa.

Solución paso a paso

a) $P Q = (1, - 1, 2) = d_{r}$ , luego el determinante tiene dos filas iguales y vale $0$ .

b) El punto $Q (3, 0, 2)$ está en $r$ para $λ = 1$ : $(2 + 1, 1 - 1, 0 + 2) = (3, 0, 2)$ . Es el punto de corte.

c) Directores no proporcionales y producto mixto $0$ : secantes.

Ejercicio 4 Medio

Sean $r : {x + y y - z = 2 = 0$ y $s : {x - y z = 0 = 1$

a) Halla $rg (M)$ y $rg (M^{*})$ del sistema formado por las cuatro ecuaciones, en este orden.

b) Indica la posición relativa y, si se cortan, el punto de corte.

Solución paso a paso

a) La matriz de coeficientes tiene filas $(1, 1, 0)$ , $(0, 1, - 1)$ , $(1, - 1, 0)$ , $(0, 0, 1)$ y la ampliada añade la columna $(2, 0, 0, 1)$ . Las filas primera, tercera y cuarta son independientes (la primera y la tercera dan $x$ e $y$ , la cuarta, $z$ ), luego $rg (M) = 3$ . La ampliada tiene rango $3$ porque el sistema es compatible: de $x - y = 0$ y $x + y = 2$ sale $x = y = 1$ ; de $z = 1$ , y $y - z = 0$ se cumple.

b) $rg (M) = rg (M^{*}) = 3$ : sistema compatible determinado, las rectas son secantes en el punto $(1, 1, 1)$ .

Ejercicio 5 Medio

Sean $r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ (1, m, 2)$ y $s : (x, y, z) = (0, 1, 1) + μ (2, 4, n)$ .

a) Halla $m$ y $n$ para que los directores sean proporcionales.

b) Con esos valores, indica la posición relativa de las rectas.

Solución paso a paso

a) $d_{s} = 2 d_{r}$ : de la primera componente, la razón es $2$ ; entonces $2 m = 4$ , $m = 2$ , y $n = 2 \cdot 2 = 4$ .

b) Con $m = 2$ , $n = 4$ : $P Q = (- 1, - 1, - 2)$ . ¿Es proporcional a $d_{r} = (1, 2, 2)$ ? La primera componente daría $- 1$ , y la segunda $- \frac{1}{2}$ : no. Luego $Q \in / r$ y las rectas son paralelas.

Ejercicio 6 Medio

Dos tuberías rectas atraviesan un sótano. La primera pasa por el punto $(0, 0, 3)$ con dirección $(1, 0, 0)$ , y la segunda pasa por el origen con dirección $(0, 1, 0)$ , con las coordenadas en metros.

a) Calcula $[d_{r}, d_{s}, P Q]$ , con $P (0, 0, 3)$ y $Q (0, 0, 0)$ .

b) ¿Chocan las tuberías, son paralelas o se cruzan sin tocarse?

Solución paso a paso

a) $P Q = (0, 0, - 3)$ y $100010 00 - 3 = - 3$ .

b) Las direcciones no son proporcionales y el producto mixto no es cero: las tuberías se cruzan, sin tocarse (una pasa $3$ metros por encima de la otra).

Ejercicio 7 Medio

Sean $r : (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ (1, 2, - 1)$ y $s : (x, y, z) = (4, 7, - 3) + μ (- 2, - 4, 2)$ .

a) Halla el número $k$ tal que $d_{s} = k d_{r}$ .

b) Halla el valor de $λ$ para el que $r$ pasa por $Q (4, 7, - 3)$ .

c) Indica la posición relativa.

Solución paso a paso

a) $d_{s} = - 2 d_{r}$ , luego $k = - 2$ .

b) $(1 + λ, 1 + 2 λ, - λ) = (4, 7, - 3)$ da $λ = 3$ , que se cumple en las tres componentes.

c) Directores paralelos y un punto de $s$ en $r$ : coincidentes.

Ejercicio 8 Difícil

Sean $r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ (1, 2, 1)$ y $s : (x, y, z) = (0, m, - 1) + μ (1, 1, 0)$ .

a) Halla el valor de $m$ para el que las rectas son secantes.

b) Halla el punto de corte para ese valor de $m$ .

Solución paso a paso

a) Los directores $(1, 2, 1)$ y $(1, 1, 0)$ no son proporcionales. Con $P Q = (- 1, m, - 2)$ :

$11 - 1 21 m 10 - 2 = 1 \cdot (- 2 - 0) - 2 \cdot (- 2 - 0) + 1 \cdot (m + 1) = - 2 + 4 + m + 1 = m + 3$

Son secantes si $m = - 3$ (y para cualquier otro valor se cruzan).

b) Con $m = - 3$ : $(1 + λ, 2 λ, 1 + λ) = (μ, - 3 + μ, - 1)$ . La tercera da $λ = - 2$ ; la primera, $μ = - 1$ ; y la segunda: $2 λ = - 4 = - 3 - 1$ ✓. El punto es $(- 1, - 4, - 1)$ .

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran las rectas $r : (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ (1, - 1, 1)$ y $s : (x, y, z) = (0, 1, 2) + μ (m, 1, 2)$ .

a) Halla el valor de $m$ para el que las rectas son secantes. (1 punto)

b) Para $m = 0$ , calcula el producto mixto $[d_{r}, d_{s}, P Q]$ e indica la posición relativa. (0,75 puntos)

c) Para el valor de $m$ del apartado a), halla el punto de corte. (0,75 puntos)

Solución paso a paso

a) Los directores $(1, - 1, 1)$ y $(m, 1, 2)$ no son proporcionales para ningún $m$ (la segunda componente exigiría la razón $- 1$ y la tercera, $2$ ). Con $P Q = (- 1, 0, 2)$ :

$1 m - 1 - 1 10 122 = 1 \cdot (2 - 0) - (- 1) \cdot (2 m + 2) + 1 \cdot (0 + 1) = 2 + 2 m + 2 + 1 = 2 m + 5$

Son secantes si $2 m + 5 = 0$ : $m = - \frac{5}{2}$ .

b) Para $m = 0$ el producto mixto es $5$ , distinto de cero: las rectas se cruzan.

c) Con $m = - \frac{5}{2}$ : $(1 + λ, 1 - λ, λ) = (- \frac{5}{2} μ, 1 + μ, 2 + 2 μ)$ . De la segunda, $- λ = μ$ ; en la primera, $1 - μ = - \frac{5}{2} μ$ , luego $μ = - \frac{2}{3}$ y $λ = \frac{2}{3}$ . La tercera: $\frac{2}{3} = 2 - \frac{4}{3}$ ✓. El punto es $(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ .

Para el examen: escribe siempre la conclusión «como el producto mixto es cero y los directores no son paralelos, son secantes».

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Sean dos rectas que se cruzan, $r : P + λ d_{r}$ y $s : Q + μ d_{s}$ . Demuestra que el valor del producto mixto $[d_{r}, d_{s}, P Q]$ no cambia si se eligen otros puntos $P^{'} \in r$ y $Q^{'} \in s$ (y que, por tanto, el criterio de la posición relativa no depende de los puntos elegidos).

Solución paso a paso

Relación entre los vectores. Como $P^{'} \in r$ y $Q^{'} \in s$ , existen $a, b \in R$ con $P^{'} = P + a d_{r}$ y $Q^{'} = Q + b d_{s}$ . Entonces

$P^{'} Q^{'} = Q^{'} - P^{'} = P Q + b d_{s} - a d_{r}$

Propiedades del producto mixto. Es lineal en el tercer vector y vale $0$ si dos vectores son proporcionales:

$[d_{r}, d_{s}, P^{'} Q^{'}] = [d_{r}, d_{s}, P Q] + b [d_{r}, d_{s}, d_{s}] - a [d_{r}, d_{s}, d_{r}] = [d_{r}, d_{s}, P Q]$

porque los dos últimos productos mixtos tienen dos vectores repetidos y valen $0$ .

Conclusión. El valor es el mismo. Su valor absoluto es, de hecho, el volumen del paralelepípedo de aristas $d_{r}$ , $d_{s}$ y $P Q$ , que no depende de los puntos elegidos.

Resumen

Posiciones relativas de dos rectas en el espacio: coincidentes, paralelas, secantes, se cruzan.
Método B (vectores): directores proporcionales $\Rightarrow$ coincidentes si $Q \in r$ , paralelas si no. Si no son proporcionales: $[d_{r}, d_{s}, P Q] = 0 \Rightarrow$ secantes; $\neq = 0 \Rightarrow$ se cruzan.
Método A (rangos): sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas. $(rg M, rg M^{*})$ : $(3, 3)$ secantes; $(3, 4)$ se cruzan; $(2, 2)$ coincidentes; $(2, 3)$ paralelas.
Rectas que no se cortan no son necesariamente paralelas: pueden cruzarse.
Con un parámetro, se iguala a cero el producto mixto (o el determinante de $M^{*}$ ).

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