Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Julio 2017

a) 1. Pasamos todo al mismo miembro: $A^2=-A-I⟺A^2+A=-I⟺A(-A-I)=I$.

2. Hemos encontrado una matriz, $-A-I$, que multiplicada por $A$ da la identidad. Por tanto $A$ es invertible y $$A^{-1}=-A-I.$$

3. Calculamos $A^3$ usando la relación dada: $$A^3=A\cdot A^2=A(-A-I)=A{A}^{-1}=I.$$ (También: $A^3=-A^2-A=(A+I)-A=I$.)

Resultado: $A$ es invertible, con $A^{-1}=-A-I$, y $A^3=I$.

b) 1. Tomamos determinantes en $2B^3=B$. Como $B$ es de orden $3$, $|2B^3|=2^3|B{|}^3=8|B{|}^3$: $$8|B{|}^3=|B|.$$

2. Pasamos todo a un miembro y sacamos factor común: $$|B|(8|B{|}^2-1)=0.$$

3. Entonces $|B|=0$ o $|B{|}^2=\frac{1}{8}$, es decir, $|B|=\pm \frac{1}{2\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Resultado: $|B|\in \left\{0,\frac{\sqrt{2}}{4},-\frac{\sqrt{2}}{4}\right\}$

c) 1. Como $B$ tiene inversa, $|B|\ne 0$, y de $2B^3=B$ podemos multiplicar por $B^{-1}$: $$2B^2=I\Rightarrow B^2=\frac{1}{2}I.$$

2. Para una matriz de orden $3$, $\left|\frac{1}{2}I\right|={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$.

3. Comprobación con el apartado b): $|B^2|=|B{|}^2=\frac{1}{8}$.

Resultado: $|B^2|=\frac{1}{8}$

Resultado: a) $A^{-1}=-A-I$ y $A^3=I$; b) $|B|=0$ o $|B|=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$; c) $|B^2|=\frac{1}{8}$

Datos previos de la recta.

1. Vector director de $r$: producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen, $$\vec{d}=(1,-2,-2)\times (1,3,-1)=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& -2\\ 1& 3& -1\end{array}\right|=(2+6,-2+1,3+2)=(8,-1,5).$$

2. Un punto de $r$: con $z=0$ queda $x-2y=1$ y $x+3y=1$, de donde $y=0$, $x=1$. Así, $P=(1,0,0)\in r$.

3. El vector normal del plano es $\vec{n}=(2,1,m)$.

a) 1. La recta y el plano se cortan en un único punto cuando la recta no es paralela al plano, es decir, cuando $\vec{d}\cdot \vec{n}\ne 0$: $$\vec{d}\cdot \vec{n}=16-1+5m=15+5m\ne 0⟺m\ne -3.$$

2. En ese caso el punto de corte existe para cualquier valor de $n$ (que solo desplaza el plano).

Resultado: $m\ne -3$ y cualquier valor de $n$.

b) 1. Para que no se corten, la recta debe ser paralela al plano y no estar contenida en él. Paralela: $\vec{d}\cdot \vec{n}=0⟺m=-3$.

2. Con $m=-3$, el plano es $2x+y-3z=n$. Sustituimos el punto $P=(1,0,0)$ de la recta: $2=n$ sería la condición para que $P$ esté en el plano.

3. Si $n\ne 2$, $P\notin \pi$, y como $r$ es paralela a $\pi$, no hay ningún punto común.

Resultado: $m=-3$ y $n\ne 2$.

c) 1. La recta está contenida en el plano si es paralela a él ($m=-3$) y además uno de sus puntos está en el plano: $P\in \pi ⟺n=2$.

Resultado: $m=-3$ y $n=2$.

Resultado: a) $m\ne -3$ y $n$ cualquiera; b) $m=-3$ y $n\ne 2$; c) $m=-3$ y $n=2$

a) Cortes con los ejes.

1. Con el eje $OY$ ($x=0$): $f(0)=0$, punto $(0,0)$.
2. Con el eje $OX$ ($f(x)=0$): $x^3-ax=x(x^2-a)=0⟺x=0$ o $x=\pm \sqrt{a}$ (existen porque $a>0$). Puntos $(0,0)$, $(\sqrt{a},0)$ y $(-\sqrt{a},0)$.

Monotonía.

3. Derivamos: $f^{\prime }(x)=3x^2-a$.
4. $f^{\prime }(x)=0⟺x^2=\frac{a}{3}⟺x=\pm \sqrt{\frac{a}{3}}$.
5. Signo de $f^{\prime }$: es positiva si $|x|>\sqrt{a/3}$ y negativa si $|x|<\sqrt{a/3}$.

Resultado: cortes en $(0,0)$, $(\sqrt{a},0)$ y $(-\sqrt{a},0)$. $f$ es creciente en $\left(-\infty ,-\sqrt{a/3}\right)\cup \left(\sqrt{a/3},+\infty \right)$ y decreciente en $\left(-\sqrt{a/3},\sqrt{a/3}\right)$.

b) Con $a=9$: $f(x)=x^3-9x$.

1. Cortes con los ejes: $x(x^2-9)=0\Rightarrow x=0,\pm 3$. Puntos $(-3,0)$, $(0,0)$ y $(3,0)$.
2. Extremos: $f^{\prime }(x)=3x^2-9=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$. Por el apartado anterior, hay un máximo relativo en $x=-\sqrt{3}$ y un mínimo relativo en $x=\sqrt{3}$: $$f(-\sqrt{3})=-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}=6\sqrt{3}\approx 10,39,f(\sqrt{3})=3\sqrt{3}-9\sqrt{3}=-6\sqrt{3}\approx -10,39.$$
3. Curvatura: $f^{\prime \prime }(x)=6x$, que es negativa para $x<0$ (cóncava) y positiva para $x>0$ (convexa); punto de inflexión en $(0,0)$.
4. Comportamiento en el infinito: $f(x)\to -\infty$ si $x\to -\infty$ y $f(x)\to +\infty$ si $x\to +\infty$. La función es impar (simétrica respecto del origen).
5. Con estos datos, la gráfica es una cúbica que viene desde abajo a la izquierda, corta al eje en $(-3,0)$, sube hasta el máximo $(-\sqrt{3},6\sqrt{3})$, baja pasando por el origen hasta el mínimo $(\sqrt{3},-6\sqrt{3})$, y vuelve a subir cortando el eje en $(3,0)$.

Resultado: cúbica con máximo relativo en $(-\sqrt{3},6\sqrt{3})$, mínimo relativo en $(\sqrt{3},-6\sqrt{3})$, cortes en $x=-3,0,3$ e inflexión en el origen.

c) 1. Puntos de corte de las curvas: $x^3=ax⟺x(x^2-a)=0⟺x=0,\pm \sqrt{a}$. En el primer cuadrante, la región está entre $x=0$ y $x=\sqrt{a}$. 2. Para $a>1$ y $0<x<\sqrt{a}$, la recta está por encima de la cúbica ($ax>x^3$, pues $x^2<a$). Entonces $$A={\int }_0^{\sqrt{a}}(ax-x^3)dx={\left[\frac{a{x}^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^{\sqrt{a}}=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{4}.$$

Resultado: $A=\frac{a^2}{4}$ u${}^2$

d) 1. Área bajo $y=x^3$ entre $x=0$ y $x=2$: $${\int }_0^2{x}^{3}dx={\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=4.$$ 2. Igualamos: $\frac{a^2}{4}=4\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=\pm 4$. Como $a>0$ (y $a>1$), $a=4$.

Resultado: $a=4$

Resultado: a) cortes en $(0,0)$, $(\pm \sqrt{a},0)$; creciente fuera de $\left[-\sqrt{a/3},\sqrt{a/3}\right]$ y decreciente dentro; b) máximo $(-\sqrt{3},6\sqrt{3})$, mínimo $(\sqrt{3},-6\sqrt{3})$ y cortes en $-3,0,3$; c) $\frac{a^2}{4}$; d) $a=4$

a) 1. Determinante, desarrollando por la primera fila (el único elemento no nulo es el $-1$ de la tercera columna): $$|A|=(-1)\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=(-1)(0-1)=1\ne 0.$$ Como $|A|\ne 0$, $A$ tiene inversa.

2. Calculamos la inversa por adjuntos: $A^{-1}=\frac{1}{|A|}(\mathrm{Adj}A{)}^T$. Los adjuntos son $$\begin{array}{rlrlrl}{A}_{11}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right|=0,& A_{12}& =-\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right|=0,& A_{13}& =\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1,\\ A_{21}& =-\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right|=0,& A_{22}& =\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right|=1,& A_{23}& =-\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right|=0,\\ A_{31}& =\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right|=1,& A_{32}& =-\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right|=0,& A_{33}& =\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=0.\end{array}$$

3. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right).$$

4. Comprobación: $A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I$.

Resultado: $|A|=1\ne 0$ y $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$

b) 1. Calculamos $A^2$: $$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

2. Entonces $$A^4=A^2\cdot A^2={\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I.$$

Resultado: $A^2=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$ y $A^4=I$.

c) 1. Como $A^4=I$, las potencias se repiten con periodo $4$: $A^{4k+r}=A^r$.

2. $A^3=A^4{A}^{-1}=A^{-1}$, es decir, $A^3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$.

3. $7=4\cdot 1+3\Rightarrow A^7=A^3=A^{-1}$.

4. $30=4\cdot 7+2\Rightarrow A^{30}=A^2$.

5. $100=4\cdot 25\Rightarrow A^{100}=I$.

Resultado: $A^7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$, $A^{30}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$, $A^{100}=I$.

Resultado: a) $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$; b) $A^2=\mathrm{diag}(-1,1,-1)$ y $A^4=I$; c) $A^7=A^{-1}$, $A^{30}=A^2$, $A^{100}=I$

Datos previos: la recta $r$ pasa por $P=(1,0,1)$ y tiene vector director $\vec{d}=(4,a,-1)$; el plano $\pi$ tiene vector normal $\vec{n}=(2,-1,b)$.

a) 1. Con $a=1$ y $b=-1$: $r:(x,y,z)=(1+4t,t,1-t)$ y $\pi :2x-y-z=0$.

2. Sustituimos las ecuaciones de la recta en el plano: $$2(1+4t)-t-(1-t)=0⟺2+8t-t-1+t=0⟺1+8t=0⟺t=-\frac{1}{8}.$$

3. El punto de corte es $$\left(1-\frac{1}{2},-\frac{1}{8},1+\frac{1}{8}\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{8},\frac{9}{8}\right).$$

4. Comprobación en el plano: $2\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{8}-\frac{9}{8}=1+\frac{1}{8}-\frac{9}{8}=0$.

Resultado: $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{8},\frac{9}{8}\right)$

b) 1. Con $a=b=4$: $\vec{d}=(4,4,-1)$ y $\vec{n}=(2,-1,4)$, y $\pi :2x-y+4z=0$.

2. $\vec{d}\cdot \vec{n}=8-4-4=0$: la recta es paralela al plano (o está contenida en él).

3. El punto $P=(1,0,1)$ de la recta no está en el plano: $2-0+4=6\ne 0$. Por tanto $r$ es paralela a $\pi$ y su distancia es la de cualquiera de sus puntos al plano.

4. Distancia de $P$ a $\pi$: $$d(r,\pi )=d(P,\pi )=\frac{|2\cdot 1-0+4\cdot 1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+4^2}}=\frac{6}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}\approx 1,31\text{ u}.$$

Resultado: $d(r,\pi )=\frac{6}{\sqrt{21}}\approx 1,31$ u

c) 1. Calculamos $\vec{d}\cdot \vec{n}=8-a-b$.

2. Si $a+b\ne 8$, $\vec{d}\cdot \vec{n}\ne 0$: la recta no es paralela al plano y se cortan en un punto.

3. Si $a+b=8$, $\vec{d}\cdot \vec{n}=0$: la recta es paralela al plano o está contenida en él. Depende de si $P=(1,0,1)\in \pi$: $$2\cdot 1-0+b\cdot 1=2+b=0⟺b=-2(\text{y entonces }a=10).$$

4. Si $a+b=8$ y $b=-2$: $P\in \pi$, y la recta está contenida en el plano. Si $a+b=8$ y $b\ne -2$: $P\notin \pi$, y son paralelos (sin puntos comunes).

Resultado: si $a+b\ne 8$, se cortan en un punto; si $a+b=8$ y $b=-2$ (es decir, $a=10$), la recta está contenida en el plano; si $a+b=8$ y $b\ne -2$, son paralelos.

Resultado: a) $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{8},\frac{9}{8}\right)$; b) $\frac{6}{\sqrt{21}}\approx 1,31$ u; c) se cortan si $a+b\ne 8$; la recta está contenida si $a=10$ y $b=-2$; paralelos si $a+b=8$ y $b\ne -2$

a) 1. El lado $AB$ es horizontal, de $(0,y)$ a $(x,y)$, y mide $x$. El lado $OB$ es vertical y mide $y$. El triángulo es rectángulo en $B$ y su área es $$S=\frac{xy}{2}.$$

2. El lado $OA$ mide $\sqrt{x^2+y^2}$. La condición $OA+AB=30$ es $$\sqrt{x^2+y^2}+x=30⟺x^2+y^2=(30-x{)}^2=900-60x+x^2⟺y^2=900-60x.$$

3. Como $y>0$: $y=\sqrt{900-60x}$, y para que exista, $x<15$. Entonces $0<x<15$ y $$S(x)=\frac{x\sqrt{900-60x}}{2}.$$

Resultado: $S(x)=\frac{x\sqrt{900-60x}}{2}$, con $0<x<15$.

b) 1. Como $S(x)>0$ en el intervalo, $S$ es máxima donde lo es $S^2$: $$S^2=\frac{x^2(900-60x)}{4}=225x^2-15x^3.$$

2. Derivamos: ${\left(S^2\right)}^{\prime }=450x-45x^2=45x(10-x)$.

3. Se anula en $x=10$ (en $(0,15)$, $x=0$ no está). Signo: positiva para $0<x<10$ y negativa para $10<x<15$, luego $S^2$, y con ella $S$, pasa de crecer a decrecer en $x=10$: es un máximo.

Resultado: $x=10$ m

c) 1. Con $x=10$: $y=\sqrt{900-600}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$. 2. $S(10)=\frac{10\cdot 10\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}\approx 86,6{\text{m}}^2$.

Resultado: $S_{\max }=50\sqrt{3}\approx 86,6$ m${}^2$

Resultado: a) $S(x)=\frac{x\sqrt{900-60x}}{2}$; b) $x=10$ m; c) $50\sqrt{3}\approx 86,6$ m${}^2$