Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Junio 2018

a) La matriz de coeficientes es

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ -1& 0& 1\\ -a& 1& -1\end{array}\right).$$

1. Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:

$$|A|=0-1\cdot ((-1)(-1)-1\cdot (-a))+(-1)\cdot ((-1)\cdot 1-0\cdot (-a))=-(1+a)+1=-a.$$

2. Si $a\ne 0$, $|A|\ne 0$ y $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3$ = número de incógnitas: por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado.
3. Si $a=0$, $|A|=0$ y hay que estudiarlo aparte (apartado c).

Resultado: compatible determinado si $a\ne 0$.

b) Con $a=3$ el sistema es

$$\{\begin{array}{rl}y-z& =-2\\ -x+z& =5\\ -3x+y-z& =1\end{array}$$

1. De la primera ecuación, $y-z=-2$. Sustituyendo en la tercera: $-3x+(y-z)=1\Rightarrow -3x-2=1\Rightarrow x=-1$.
2. De la segunda: $z=5+x=4$.
3. De la primera: $y=z-2=2$.
4. Comprobación: $2-4=-2$; $1+4=5$; $3+2-4=1$.

Resultado: $(x,y,z)=(-1,2,4)$

c) El sistema no es compatible determinado solo si $a=0$. Con $a=0$:

$$\{\begin{array}{rl}y-z& =1\\ -x+z& =5\\ y-z& =1\end{array}$$

1. La tercera ecuación es idéntica a la primera: el sistema equivale a dos ecuaciones con tres incógnitas.
2. Las dos ecuaciones restantes son independientes ($\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2<3$): es compatible indeterminado, con un parámetro.
3. Tomamos $z=\lambda$. Entonces $y=1+\lambda$ y $x=z-5=\lambda -5$.
4. Comprobación: $(1+\lambda )-\lambda =1$ y $-(\lambda -5)+\lambda =5$.

Resultado: $a=0$: $(x,y,z)=(\lambda -5,1+\lambda ,\lambda )$, $\lambda \in \mathbb{R}$.

Resultado: a) compatible determinado si $a\ne 0$; b) $(-1,2,4)$; c) para $a=0$: $(x,y,z)=(\lambda -5,1+\lambda ,\lambda )$, $\lambda \in \mathbb{R}$

a) Si $AC$ es la hipotenusa, el ángulo recto está en $B$, es decir, $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}$.

1. $\overrightarrow{BA}=(-1-2,2-3,\lambda -5)=(-3,-1,\lambda -5)$ y $\overrightarrow{BC}=(3-2,5-3,3-5)=(1,2,-2)$.
2. Imponemos producto escalar nulo:

$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-3-2-2(\lambda -5)=5-2\lambda =0\Rightarrow \lambda =\frac{5}{2}.$$

Resultado: $\lambda =\frac{5}{2}$

b) Con $\lambda =6$: $\overrightarrow{BA}=(-3,-1,1)$ y $\overrightarrow{BC}=(1,2,-2)$.

1. Producto vectorial:

$$\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -3& -1& 1\\ 1& 2& -2\end{array}\right|=(2-2,1-6,-6+1)=(0,-5,-5).$$

2. Su módulo es $\sqrt{0+25+25}=5\sqrt{2}$.
3. El área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,54{\text{ u}}^2.$$

Resultado: $S=\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,54$ u${}^2$

c) El vector normal del plano es el producto vectorial anterior, o uno proporcional: $\vec{n}=(0,1,1)$.

1. El plano es $y+z+D=0$.
2. Pasa por $B(2,3,5)$: $3+5+D=0\Rightarrow D=-8$.
3. Comprobación: $A(-1,2,6)$ cumple $2+6=8$ y $C(3,5,3)$ cumple $5+3=8$.

Resultado: $y+z=8$

Resultado: a) $\lambda =\frac{5}{2}$; b) $\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,54$ u${}^2$; c) $y+z-8=0$

a) El denominador se anula si $x^2-x=x(x-1)=0$, es decir, en $x=0$ y $x=1$. Por tanto $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{0,1\}$.

1. Asíntotas verticales: en los puntos donde el denominador se anula y el numerador no.
   • En $x=0$: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x(x-1)}=\pm \infty$ (por la izquierda $x<0$ y $x-1<0$, producto positivo: $+\infty$; por la derecha, $-\infty$). Asíntota vertical $x=0$.
   • En $x=1$: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x(x-1)}=\pm \infty$ (por la izquierda $-\infty$, por la derecha $+\infty$). Asíntota vertical $x=1$.
2. Asíntota horizontal: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x^2-x}=0$, luego $y=0$ es asíntota horizontal en $+\infty$ y en $-\infty$.
3. Al haber asíntota horizontal, no hay asíntotas oblicuas.

Resultado: $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{0,1\}$; asíntotas verticales $x=0$ y $x=1$; asíntota horizontal $y=0$.

b) Derivamos:

$$f^{\prime }(x)=-\frac{2x-1}{(x^2-x{)}^2}.$$

1. El denominador $(x^2-x{)}^2$ es positivo en todo el dominio, así que el signo de $f^{\prime }$ es el de $-(2x-1)$.
2. $f^{\prime }(x)>0⟺2x-1<0⟺x<\frac{1}{2}$, y $f^{\prime }(x)<0⟺x>\frac{1}{2}$.
3. Hay que excluir del dominio $x=0$ y $x=1$, de modo que los intervalos quedan separados por $0$, $\frac{1}{2}$ y $1$.

4. En $x=\frac{1}{2}$ hay un máximo relativo, con $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}=-4$.

Resultado: $f$ crece en $(-\infty ,0)\cup \left(0,\frac{1}{2}\right)$ y decrece en $\left(\frac{1}{2},1\right)\cup (1,+\infty )$.

c) En $[2,3]$ la función es continua y positiva ($x^2-x>0$), así que el área es la integral.

1. Descomponemos en fracciones simples: $\frac{1}{x(x-1)}=\frac{-1}{x}+\frac{1}{x-1}$.
2. Primitiva: $\int \frac{dx}{x^2-x}=\ln |x-1|-\ln |x|=\ln \left|\frac{x-1}{x}\right|$.
3. Por la regla de Barrow:

$$\text{Aˊrea}={\left[\ln \frac{x-1}{x}\right]}_2^3=\ln \frac{2}{3}-\ln \frac{1}{2}=\ln \frac{4}{3}\approx 0,288{\text{ u}}^2.$$

Resultado: área $=\ln \frac{4}{3}\approx 0,288$ u${}^2$

Resultado: a) $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{0,1\}$, asíntotas verticales $x=0$ y $x=1$, horizontal $y=0$; b) crece en $(-\infty ,0)\cup (0,\frac{1}{2})$ y decrece en $(\frac{1}{2},1)\cup (1,+\infty )$; c) $\ln \frac{4}{3}\approx 0,288$ u${}^2$

a) Sacamos factor común $A$ en la igualdad dada:

$$A^2+2A=3I⟺A(A+2I)=3I⟺A\cdot \frac{A+2I}{3}=I.$$

1. Por la definición de matriz inversa, $A$ es invertible y $A^{-1}=\frac{A+2I}{3}=\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}I$.
2. Comparando con $A^{-1}=aA+bI$: $a=\frac{1}{3}$ y $b=\frac{2}{3}$.

Resultado: $a=\frac{1}{3}$, $b=\frac{2}{3}$

b) De la condición se despeja $A^2=3I-2A$. Con ella reducimos las potencias:

1. $A^3=A\cdot A^2=A(3I-2A)=3A-2A^2=3A-2(3I-2A)=7A-6I$.
2. $A^4=A\cdot A^3=A(7A-6I)=7A^2-6A=7(3I-2A)-6A=21I-20A$.
3. Por tanto $A^4=-20A+21I$.

Resultado: $\alpha =-20$, $\beta =21$

c) Usamos $|kM|=k^n|M|$ para una matriz de orden $n$ y $|B^{-1}|=\frac{1}{|B|}$.

1. $|2B^{-1}|=2^3|B^{-1}|=8\cdot \frac{1}{|B|}=8\cdot \frac{1}{2}=4$.

Resultado: $|2B^{-1}|=4$

Resultado: a) $a=\frac{1}{3}$, $b=\frac{2}{3}$; b) $\alpha =-20$, $\beta =21$; c) $4$

a) La recta $r$ pasa por $P=(3,-1,0)$ con vector director $\vec{d}=(-1,3,2)$. Sus puntos son $Q(t)=(3-t,-1+3t,2t)$.

1. La recta $s$ pasa por $A$ y por el punto $Q$ donde corta a $r$, de modo que su vector director es $\overrightarrow{AQ}=(-2-t,-8+3t,2t-3)$.
2. Perpendicular a $r$: $\overrightarrow{AQ}\cdot \vec{d}=0$:

$$(2+t)+3(-8+3t)+2(2t-3)=2+t-24+9t+4t-6=14t-28=0\Rightarrow t=2.$$

3. El punto de corte es $Q=(1,5,4)$ y $\overrightarrow{AQ}=(-4,-2,1)$.
4. Comprobación: $\overrightarrow{AQ}\cdot \vec{d}=4-6+2=0$.

Resultado: $s:(x,y,z)=(5,7,3)+\lambda (-4,-2,1)$, es decir, $\frac{x-5}{-4}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z-3}{1}$ (corta a $r$ en $Q=(1,5,4)$).

b) Como $s$ es perpendicular a $r$ y pasa por $A$, la distancia de $A$ a $r$ es la longitud del segmento $AQ$:

$$d(A,r)=|\overrightarrow{AQ}|=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}\approx 4,58\text{ u}.$$

Comprobación con la fórmula $\frac{|\overrightarrow{PA}\times \vec{d}|}{|\vec{d}|}$: $\overrightarrow{PA}=(2,8,3)$ y $\overrightarrow{PA}\times \vec{d}=(16-9,-3-4,6+8)=(7,-7,14)$, de módulo $7\sqrt{6}$; dividido entre $|\vec{d}|=\sqrt{14}$ da $7\sqrt{6/14}=\sqrt{21}$.

Resultado: $d(A,r)=\sqrt{21}\approx 4,58$ u

c) El plano es perpendicular a $r$, así que su vector normal es $\vec{d}=(-1,3,2)$.

1. $\pi :-x+3y+2z+D=0$. Pasa por $(3,-1,0)$: $-3-3+0+D=0\Rightarrow D=6$.
2. $\pi :-x+3y+2z+6=0$, o también $x-3y-2z-6=0$.
3. Distancia de $B(1,1,1)$ al plano:

$$d(B,\pi )=\frac{|-1+3+2+6|}{\sqrt{1+9+4}}=\frac{10}{\sqrt{14}}=\frac{5\sqrt{14}}{7}\approx 2,67\text{ u}.$$

Resultado: $d(B,\pi )=\frac{5\sqrt{14}}{7}\approx 2,67$ u

Resultado: a) $\frac{x-5}{-4}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z-3}{1}$; b) $\sqrt{21}\approx 4,58$ u; c) $\frac{5\sqrt{14}}{7}\approx 2,67$ u

a) 1. Triángulo equilátero de perímetro $x$: lado $\ell =\frac{x}{3}$, altura $\frac{\sqrt{3}}{2}\ell$ y área

$$A_T=\frac{1}{2}\ell \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\ell =\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{x}{3}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{36}{x}^2.$$

2. Cuadrado de perímetro $100-x$: lado $\frac{100-x}{4}$ y área

$$A_C={\left(\frac{100-x}{4}\right)}^2=\frac{(100-x{)}^2}{16}.$$

3. La suma de áreas es

$$S(x)=\frac{\sqrt{3}}{36}{x}^2+\frac{(100-x{)}^2}{16},0\le x\le 100.$$

Resultado: $S(x)=\frac{\sqrt{3}}{36}{x}^2+\frac{(100-x{)}^2}{16}$

b) 1. Derivamos:

$$S^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{3}}{18}x-\frac{100-x}{8}.$$

2. Igualamos a cero y multiplicamos por $72$: $4\sqrt{3}x-9(100-x)=0\Rightarrow (9+4\sqrt{3})x=900$.
3. Despejamos y racionalizamos:

$$x=\frac{900}{9+4\sqrt{3}}=\frac{900(9-4\sqrt{3})}{81-48}=\frac{300(9-4\sqrt{3})}{11}\approx 56,50\text{ cm}.$$

4. $S^{\prime \prime }(x)=\frac{\sqrt{3}}{18}+\frac{1}{8}>0$ para todo $x$: el punto crítico es un mínimo (y $S$ es una parábola convexa).

Resultado: el mínimo se alcanza en $x=\frac{900}{9+4\sqrt{3}}=\frac{300(9-4\sqrt{3})}{11}\approx 56,50$ cm.

c) Como $S$ es convexa, en $[0,100]$ su máximo está en uno de los extremos:

1. $S(0)=\frac{100^2}{16}=625$ cm${}^2$.
2. $S(100)=\frac{\sqrt{3}}{36}\cdot 100^2=\frac{2500\sqrt{3}}{9}\approx 481,13$ cm${}^2$.
3. El mayor valor es $S(0)=625$ cm${}^2$, en $x=0$.

Interpretación: el área total es máxima cuando no se construye el triángulo (se usa $0$ cm de alambre para él) y todo el alambre se emplea en formar un cuadrado de lado $25$ cm.

Resultado: el máximo se alcanza en $x=0$ (todo el alambre para el cuadrado), con área $625$ cm${}^2$.

Resultado: a) $S(x)=\frac{\sqrt{3}}{36}{x}^2+\frac{(100-x{)}^2}{16}$; b) $x=\frac{300(9-4\sqrt{3})}{11}\approx 56,50$ cm; c) $x=0$ (área $625$ cm${}^2$: solo cuadrado)