Matemáticas II · Propiedades métricas en el espacio · Apartado 2 de 7

Distancias de un punto a un punto, una recta y un plano

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Hay una fórmula para cada distancia: entre dos puntos es el módulo del vector que los une, de un punto a una recta se usa el producto vectorial y de un punto a un plano se sustituye en la ecuación general. Con ellas se resuelven los lugares geométricos habituales: el plano mediador y los planos bisectores.

Distancia entre dos puntos

$d (A, B) = ∣ A B ∣ = (b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}$

Distancia de un punto a un plano

El numerador es el valor de la ecuación del plano en $P$ (sin signo) y el denominador, el módulo del vector normal. La distancia es la longitud del segmento perpendicular desde $P$ al plano; si $P \in π$ , vale $0$ . Si el valor sin valor absoluto es positivo o negativo, indica en qué lado del plano está $P$ .

Distancia de un punto a una recta

La razón: $∣ A P \times d ∣$ es el área del paralelogramo de lados $A P$ y $d$ , y dividida por la base $∣ d ∣$ da su altura, que es justamente la distancia de $P$ a la recta. Otra forma, que se verá con las proyecciones, es proyectar $P$ sobre $r$ y medir.

Lugares geométricos

Para hallarlo, el normal es $A B$ y se sustituye $M$ para calcular $D$ . Como comprobación, $A$ y $B$ deben dar valores opuestos al sustituir en la ecuación.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Distancias entre puntos y punto-plano

Sean $P (1, 2, 3)$ , el plano $π : 2 x - 2 y + z - 6 = 0$ y el punto $Q (4, - 2, 15)$ .

a) Calcula la distancia de $P$ a $π$ .

b) Calcula la distancia entre $P$ y $Q$ .

Solución

a) $d (P, π) = \frac{∣2 - 4 + 3 - 6∣}{4 + 4 + 1} = \frac{∣ - 5∣}{3} = \frac{5}{3}$ .

b) $P Q = (3, - 4, 12)$ y $d = 9 + 16 + 144 = 169 = 13$ .

Ejemplo 2 Medio

Distancia de un punto a una recta

Sea $P (1, 2, 3)$ y la recta $r : (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ (1, 2, 2)$ .

a) Calcula $A P \times d$ , con $A (0, 1, 1)$ el punto de $r$ y $d = (1, 2, 2)$ .

b) Calcula la distancia de $P$ a $r$ .

Solución

a) $A P = (1, 1, 2)$ y $A P \times d = (1 \cdot 2 - 2 \cdot 2, 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2, 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (- 2, 0, 1)$ .

b) $∣ A P \times d ∣ = 4 + 0 + 1 = 5$ y $∣ d ∣ = 3$ , luego $d (P, r) = \frac{5}{3}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Plano mediador y puntos equidistantes

Sean $A (1, 0, 2)$ y $B (3, 2, 0)$ .

a) Halla el plano mediador del segmento $A B$ como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

b) Halla el punto del eje $O Z$ que equidista de $A$ y de $B$ .

c) Calcula la distancia de $A$ al plano mediador.

Solución

a) El punto medio es $M (2, 1, 1)$ y $A B = (2, 2, - 2)$ , proporcional a $(1, 1, - 1)$ . El plano es $x + y - z + D = 0$ ; con $M$ : $2 + 1 - 1 + D = 0 \Rightarrow D = - 2$ . La tupla es $(1, 1, - 1, - 2)$ . Comprobación: $A$ da $1 + 0 - 2 - 2 = - 3$ y $B$ da $3 + 2 - 0 - 2 = 3$ : valores opuestos.

b) Un punto $(0, 0, z)$ equidista si $1 + (z - 2)^{2} = 9 + 4 + z^{2}$ , es decir, $z^{2} - 4 z + 5 = 13 + z^{2} \Rightarrow z = - 2$ . El punto es $(0, 0, - 2)$ . (Es la intersección del eje con el plano mediador: $- z - 2 = 0$ .)

c) $d (A, π) = \frac{∣ - 3∣}{3} = 3$ . Es la mitad de $∣ A B ∣ = 12$ , como debe ser.

Para el examen: equidistar de dos puntos es pertenecer a su plano mediador; es un atajo que evita plantear raíces.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

Sean $P (2, 1, - 1)$ y el plano $π : x - 2 y + 2 z - 3 = 0$ .

a) Calcula la distancia de $P$ a $π$ .

b) Calcula la distancia de $P$ al punto $Q (2, 1, 5)$ .

Solución paso a paso

a) $d (P, π) = \frac{∣2 - 2 - 2 - 3∣}{1 + 4 + 4} = \frac{5}{3}$ .

b) $P Q = (0, 0, 6)$ , luego $d = 6$ .

Ejercicio 2 Básico

Sean $A (1, 2, 3)$ y $B (4, 6, 3)$ .

a) Calcula la distancia entre $A$ y $B$ .

b) Calcula el punto medio del segmento $A B$ .

Solución paso a paso

a) $A B = (3, 4, 0)$ y $d = 9 + 16 = 5$ .

b) $M = (\frac{5}{2}, 4, 3)$ .

Ejercicio 3 Básico

Sea el plano $π : 3 x + 4 y - 12 = 0$ .

a) Calcula la distancia del origen a $π$ .

b) Calcula la distancia de $P (1, 1, 1)$ a $π$ .

Solución paso a paso

a) $d (O, π) = \frac{∣ - 12∣}{9 + 16} = \frac{12}{5}$ .

b) $d (P, π) = \frac{∣3 + 4 - 12∣}{5} = \frac{5}{5} = 1$ .

Ejercicio 4 Medio

Sean $P (0, 0, 3)$ y la recta $r : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ (2, 1, 2)$ .

a) Calcula $O P \times d$ , con $O$ el origen y $d = (2, 1, 2)$ .

b) Calcula la distancia de $P$ a $r$ .

Solución paso a paso

a) $O P \times d = (0 \cdot 2 - 3 \cdot 1, 3 \cdot 2 - 0 \cdot 2, 0 \cdot 1 - 0 \cdot 2) = (- 3, 6, 0)$ .

b) $∣ O P \times d ∣ = 9 + 36 = 35$ y $∣ d ∣ = 3$ . La distancia es $5$ .

Ejercicio 5 Medio

Halla el plano mediador del segmento de extremos $A (1, 2, 3)$ y $B (3, 0, 1)$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

Solución paso a paso

El punto medio es $M (2, 1, 2)$ y $A B = (2, - 2, - 2)$ , proporcional a $(1, - 1, - 1)$ . El plano es $x - y - z + D = 0$ ; con $M$ : $2 - 1 - 2 + D = 0 \Rightarrow D = 1$ . La ecuación es $x - y - z + 1 = 0$ . Comprobación: $A$ da $1 - 2 - 3 + 1 = - 3$ y $B$ da $3 - 0 - 1 + 1 = 3$ .

Ejercicio 6 Medio

Un dron está en el punto $(2, 3, 10)$ sobre un terreno plano de ecuación $x + 2 y + 2 z - 4 = 0$ . Las unidades son metros.

a) ¿A qué distancia del terreno está?

b) El dron aterriza en el punto $(0, 0, 2)$ del terreno. ¿Qué distancia recorre en línea recta desde donde estaba?

Solución paso a paso

a) $d = \frac{∣2 + 6 + 20 - 4∣}{1 + 4 + 4} = \frac{24}{3} = 8$ metros.

b) El vector que va de $(2, 3, 10)$ a $(0, 0, 2)$ es $(- 2, - 3, - 8)$ , de módulo $4 + 9 + 64 = 77$ metros. (Es mayor que $8$ porque no desciende perpendicularmente.)

Ejercicio 7 Medio

Halla los puntos del eje $O X$ que están a distancia $3$ del plano $2 x - y + 2 z - 6 = 0$ .

Solución paso a paso

Los puntos del eje son $(t, 0, 0)$ y $d = \frac{∣2 t - 6∣}{3} = 3$ , es decir, $∣2 t - 6∣ = 9$ . Entonces $2 t - 6 = 9$ o $2 t - 6 = - 9$ , de donde $t = \frac{15}{2}$ o $t = - \frac{3}{2}$ . Los puntos son $(\frac{15}{2}, 0, 0)$ y $(- \frac{3}{2}, 0, 0)$ .

Ejercicio 8 Difícil

Halla los planos que equidistan de $π_{1} : 2 x + y - 2 z - 1 = 0$ y de $π_{2} : 2 x - 2 y + z + 5 = 0$ (los planos bisectores), como un conjunto de dos tuplas $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente no negativo.

Solución paso a paso

Los dos normales tienen módulo $3$ , así que la igualdad de distancias se reduce a $∣2 x + y - 2 z - 1∣ = ∣2 x - 2 y + z + 5∣$ , es decir, $2 x + y - 2 z - 1 = \pm (2 x - 2 y + z + 5)$ .

Signo $+$ : $y - 2 z - 1 = - 2 y + z + 5 \Rightarrow 3 y - 3 z - 6 = 0 \Rightarrow y - z - 2 = 0$ . Tupla $(0, 1, - 1, - 2)$ .
Signo $-$ : $2 x + y - 2 z - 1 = - 2 x + 2 y - z - 5 \Rightarrow 4 x - y - z + 4 = 0$ . Tupla $(4, - 1, - 1, 4)$ .

Cada bisector es un plano, y los dos se cortan en una recta (la de intersección de $π_{1}$ y $π_{2}$ ).

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran el punto $P (0, 0, 3)$ , la recta $r : (x, y, z) = λ (2, 1, 2)$ y el plano $π : 2 x + y + 2 z - 3 = 0$ .

a) Calcula la distancia de $P$ a $r$ . (0,75 puntos)

b) Calcula la distancia de $P$ a $π$ . (0,5 puntos)

c) Halla el plano mediador de $P$ y del origen $O$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente no negativo. (0,75 puntos)

d) Halla los puntos de $r$ que están a distancia $3$ del origen. (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) $O P \times d = (0, 0, 3) \times (2, 1, 2) = (- 3, 6, 0)$ , de módulo $35$ , y $∣ d ∣ = 3$ . La distancia es $5$ .

b) $d (P, π) = \frac{∣0 + 0 + 6 - 3∣}{4 + 1 + 4} = \frac{3}{3} = 1$ .

c) El punto medio de $O P$ es $(0, 0, \frac{3}{2})$ y $O P = (0, 0, 3)$ . El plano es $z = \frac{3}{2}$ , es decir, $2 z - 3 = 0$ : la tupla es $(0, 0, 2, - 3)$ .

d) El punto $λ d$ está a distancia $∣ λ ∣ \cdot 3$ del origen. Con $∣ λ ∣ \cdot 3 = 3$ , $λ = \pm 1$ : los puntos son $(2, 1, 2)$ y $(- 2, - 1, - 2)$ .

Para el examen: en c) basta ver que el segmento es vertical: el plano mediador es horizontal.

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Demuestra la fórmula de la distancia de un punto $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ a un plano $π : A x + B y + C z + D = 0$ .

Solución paso a paso

Pie de la perpendicular. Sea $Q = P + t n$ el punto de $π$ más cercano a $P$ , con $n = (A, B, C)$ . Como $QP$ es paralelo a $n$ , la distancia es $d = ∣ t ∣ ∣ n ∣$ .
Imponer que $Q \in π$ .

$A (x_{0} + t A) + B (y_{0} + tB) + C (z_{0} + tC) + D = 0 \Rightarrow (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D) + t (A^{2} + B^{2} + C^{2}) = 0$

Despejar $t$ . $t = - \frac{A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Distancia. $d = ∣ t ∣ ∣ n ∣ = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}} A^{2} + B^{2} + C^{2} = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

Resumen

$d (A, B) = ∣ A B ∣$ .
$d (P, π) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
$d (P, r) = \frac{∣ A P \times d ∣}{∣ d ∣}$ , con $A \in r$ .
Plano mediador de $A B$ : pasa por el punto medio y tiene normal $A B$ .
Planos bisectores de $π_{1}$ y $π_{2}$ : $\frac{A _{1} x + \dots + D _{1}}{∣ n _{1} ∣} = \pm \frac{A _{2} x + \dots + D _{2}}{∣ n _{2} ∣}$ (dos planos).

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