Matemáticas II · Propiedades métricas en el espacio · Apartado 1 de 7

Ángulos entre rectas y planos

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Los tres ángulos del espacio se calculan con el producto escalar de vectores directores y normales. Hay que recordar dos cosas: se trabaja con valor absoluto (el ángulo entre rectas o planos es siempre agudo o recto) y el ángulo recta-plano usa el seno, no el coseno.

Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas es el menor de los que forman sus direcciones: se calcula con sus vectores directores.

El valor absoluto aparece porque un vector director puede tomarse en cualquiera de sus dos sentidos: los ángulos $θ$ y $18 0^{\circ} - θ$ describen las mismas rectas, y se elige el agudo. Las rectas son perpendiculares cuando $d_{r} \cdot d_{s} = 0$ . Si se cruzan, el ángulo es el de sus direcciones, aunque no se corten.

Ángulo entre una recta y un plano

Es el ángulo que forma la recta con su proyección sobre el plano; es el complementario del que forma la recta con el vector normal.

Si $d \cdot n = 0$ , el ángulo es $0^{\circ}$ (recta paralela al plano o contenida). Si $d$ es paralelo a $n$ , el ángulo es $9 0^{\circ}$ (recta perpendicular al plano). Con el coseno, en cambio, se obtendría el ángulo entre $d$ y $n$ , que es el complementario.

Ángulo entre dos planos

El ángulo entre dos planos es el que forman sus vectores normales.

Los planos son perpendiculares cuando $n_{1} \cdot n_{2} = 0$ y paralelos cuando los normales son proporcionales. Si un plano viene dado por una recta (la intersección de dos planos), hay que calcular antes su vector director con el producto vectorial.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Ángulo entre dos rectas

Sea $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (1, 2, 2)$ .

a) Calcula el coseno del ángulo que forma $r$ con la recta $s$ de vector director $(0, 0, 1)$ .

b) Calcula el coseno del ángulo que forma $r$ con la recta $s^{'}$ de vector director $(0, 0, - 1)$ .

Solución

a) $d_{r} \cdot d_{s} = 2$ , $∣ d_{r} ∣ = 3$ y $∣ d_{s} ∣ = 1$ , luego $cos θ = \frac{2}{3}$ .

b) Ahora $d_{r} \cdot d_{s^{'}} = - 2$ , y con el valor absoluto $cos θ = \frac{∣ - 2∣}{3} = \frac{2}{3}$ . Las rectas $s$ y $s^{'}$ son la misma recta (el vector director opuesto describe la misma dirección), y por eso el ángulo es el mismo.

Ejemplo 2 Medio

Ángulo entre recta y plano y entre planos

Sean $r : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ (1, 2, 2)$ , el plano $π : 2 x - y + 2 z - 5 = 0$ y el plano $π^{'} : x = 0$ .

a) Calcula el seno del ángulo entre $r$ y $π$ .

b) Calcula el coseno del ángulo entre $π$ y $π^{'}$ .

Solución

a) $n = (2, - 1, 2)$ , $∣ n ∣ = 3$ , $∣ d ∣ = 3$ y $d \cdot n = 2 - 2 + 4 = 4$ . Entonces $sin θ = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$ .

b) $n^{'} = (1, 0, 0)$ y $n \cdot n^{'} = 2$ , luego $cos θ = \frac{2}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Recta, plano y ejes con parámetro

Sea la recta $r : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ (2, 1, m)$ y el plano $π : x + 2 y - z = 0$ .

a) Halla $m$ para que $r$ sea paralela a $π$ .

b) Para $m = 1$ , halla el ángulo entre $r$ y $π$ , en grados.

c) Para $m = 1$ , halla el coseno del ángulo entre $r$ y el eje $O X$ .

Solución

a) $n = (1, 2, - 1)$ y $d \cdot n = 2 + 2 - m = 4 - m$ . Es paralela (o contenida) si $4 - m = 0$ , es decir, $m = 4$ .

b) Con $m = 1$ : $d = (2, 1, 1)$ , $∣ d ∣ = 6$ , $∣ n ∣ = 6$ y $d \cdot n = 3$ . Entonces $sin θ = \frac{3}{6 \cdot 6} = \frac{1}{2}$ , luego $θ = 3 0^{\circ}$ .

c) El eje $O X$ tiene director $(1, 0, 0)$ y $d \cdot (1, 0, 0) = 2$ . Así, $cos θ = \frac{2}{6 \cdot 1} = \frac{2}{6} = \frac{6}{3}$ .

Para el examen: en b) escribe «seno» y no «coseno»: es la diferencia entre acertar y no hacerlo en los ejercicios recta-plano.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

Sean $r$ de vector director $(1, - 1, 0)$ y $s$ de vector director $(0, 1, - 1)$ .

a) Calcula el coseno del ángulo entre $r$ y $s$ .

b) Calcula ese ángulo en grados.

Solución paso a paso

a) $d_{r} \cdot d_{s} = - 1$ , $∣ d_{r} ∣ = ∣ d_{s} ∣ = 2$ . Con valor absoluto: $cos θ = \frac{1}{2}$ .

b) $θ = 6 0^{\circ}$ .

Ejercicio 2 Básico

Sean la recta $r$ de vector director $(2, 1, 2)$ y el plano $π : x = 0$ . Calcula el seno del ángulo entre $r$ y $π$ .

Solución paso a paso

$n = (1, 0, 0)$ , $d \cdot n = 2$ , $∣ d ∣ = 3$ y $∣ n ∣ = 1$ . Entonces $sin θ = \frac{2}{3}$ .

Ejercicio 3 Básico

Calcula el coseno del ángulo entre los planos $π_{1} : x + y + z = 1$ y $π_{2} : z = 0$ .

Solución paso a paso

$n_{1} = (1, 1, 1)$ y $n_{2} = (0, 0, 1)$ . Su producto escalar es $1$ , y $∣ n_{1} ∣ = 3$ , $∣ n_{2} ∣ = 1$ . Luego $cos θ = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ .

Ejercicio 4 Medio

Sean los puntos $A (1, 2, 3)$ , $B (3, 3, 5)$ y $C (2, 0, 3)$ .

a) Calcula el coseno del ángulo del triángulo en $B$ .

b) Calcula el coseno del ángulo del triángulo en $C$ .

Solución paso a paso

a) $B A = (- 2, - 1, - 2)$ y $B C = (- 1, - 3, - 2)$ : producto escalar $2 + 3 + 4 = 9$ , $∣ B A ∣ = 3$ , $∣ B C ∣ = 14$ . Entonces $cos B = \frac{9}{3 14} = \frac{3}{14} = \frac{3 14}{14}$ .

b) $C A = (- 1, 2, 0)$ y $C B = (1, 3, 2)$ : producto escalar $- 1 + 6 + 0 = 5$ , $∣ C A ∣ = 5$ , $∣ C B ∣ = 14$ . Entonces $cos C = \frac{5}{70} = \frac{70}{14}$ .

(En el triángulo no se usa valor absoluto: los ángulos de un triángulo se miden entre los vectores que salen del vértice.)

Ejercicio 5 Medio

Sea $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (1, - 1, 2)$ y $s : {x + y z = 0 = 0$

a) Calcula un vector director de $s$ como producto vectorial de los normales, en el orden en que aparecen las ecuaciones.

b) Calcula el coseno del ángulo entre $r$ y $s$ .

Solución paso a paso

a) $(1, 1, 0) \times (0, 0, 1) = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = (1, - 1, 0)$ .

b) $d_{r} \cdot d_{s} = 1 + 1 + 0 = 2$ , $∣ d_{r} ∣ = 6$ y $∣ d_{s} ∣ = 2$ . Entonces $cos θ = \frac{2}{12} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ .

Ejercicio 6 Medio

Un tejado plano tiene ecuación $3 x + 4 z = 12$ , con $z$ la altura.

a) Calcula el coseno del ángulo que forma con el suelo ( $z = 0$ ).

b) Calcula el coseno del ángulo que forma con la pared $x = 0$ .

Solución paso a paso

a) $n = (3, 0, 4)$ , $∣ n ∣ = 5$ . Con el suelo, $n^{'} = (0, 0, 1)$ : $cos θ = \frac{4}{5}$ (unos $3 7^{\circ}$ ).

b) Con $n^{''} = (1, 0, 0)$ : $cos θ = \frac{3}{5}$ .

Ejercicio 7 Medio

Sean $r$ de vector director $(m, 1, 2)$ y $s$ de vector director $(1, m, - 3)$ .

a) Halla $m$ para que $r$ y $s$ sean perpendiculares.

b) Para $m = 0$ , calcula el coseno del ángulo que forman.

Solución paso a paso

a) $d_{r} \cdot d_{s} = m + m - 6 = 2 m - 6 = 0 \Rightarrow m = 3$ .

b) Con $m = 0$ : $d_{r} = (0, 1, 2)$ , $d_{s} = (1, 0, - 3)$ , producto escalar $- 6$ , módulos $5$ y $10$ . Con valor absoluto: $cos θ = \frac{6}{50} = \frac{6}{5 2} = \frac{3 2}{5}$ .

Ejercicio 8 Difícil

Sean los planos $π_{1} : x + y + m z = 0$ y $π_{2} : z = 0$ .

a) Halla los valores de $m$ para los que el ángulo entre ellos es de $4 5^{\circ}$ .

b) Para $m = 2$ , calcula el coseno del ángulo entre ellos.

Solución paso a paso

a) $n_{1} = (1, 1, m)$ y $n_{2} = (0, 0, 1)$ . $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2} = \frac{∣ m ∣}{2 + m ^{2}}$ . Elevando al cuadrado: $\frac{1}{2} = \frac{m ^{2}}{2 + m ^{2}} \Rightarrow 2 + m^{2} = 2 m^{2} \Rightarrow m^{2} = 2$ , luego $m = \pm 2$ .

b) Con $m = 2$ : $cos θ = \frac{2}{6} = \frac{6}{3}$ .

Para el examen: al elevar al cuadrado puedes meter soluciones falsas; aquí no, porque ya había valor absoluto y los dos signos de $m$ valen.

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran la recta $r : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ (1, - 1, 2)$ y el plano $π : x - y + m z = 2$ .

a) Halla $m$ para que $r$ sea perpendicular a $π$ . (0,5 puntos)

b) Para $m = 0$ , calcula el seno del ángulo entre $r$ y $π$ . (0,75 puntos)

c) Para $m = 0$ , calcula el ángulo entre $π$ y el plano $z = 0$ , en grados. (0,5 puntos)

d) Calcula el coseno del ángulo entre $r$ y el eje $O X$ . (0,75 puntos)

Solución paso a paso

a) $r$ es perpendicular a $π$ si $d = (1, - 1, 2)$ es proporcional al normal $(1, - 1, m)$ : $m = 2$ .

b) Con $m = 0$ : $n = (1, - 1, 0)$ , $d \cdot n = 2$ , $∣ d ∣ = 6$ , $∣ n ∣ = 2$ . Entonces $sin θ = \frac{2}{12} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ .

c) Los normales son $(1, - 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$ , con producto escalar $0$ : el ángulo es de $9 0^{\circ}$ (planos perpendiculares).

d) El director del eje es $(1, 0, 0)$ : $cos θ = \frac{1}{6} = \frac{6}{6}$ .

Para el examen: en c), una respuesta correcta es «los normales son ortogonales, luego los planos son perpendiculares», sin necesidad de más cálculo.

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Sea $φ$ el ángulo entre el vector director $d$ de una recta y el vector normal $n$ de un plano, con $0^{\circ} \leq φ \leq 18 0^{\circ}$ . Demuestra que el ángulo $θ$ entre la recta y el plano (con $0^{\circ} \leq θ \leq 9 0^{\circ}$ ) cumple $sin θ = ∣ cos φ ∣$ .

Solución paso a paso

Relación geométrica. El ángulo entre la recta y el plano es el que forma la recta con su proyección sobre el plano. Como $n$ es perpendicular al plano, el ángulo entre la recta y la normal (en su forma aguda, $φ^{'} = min (φ, 18 0^{\circ} - φ)$ ) y el ángulo entre la recta y el plano suman $9 0^{\circ}$ : $θ = 9 0^{\circ} - φ^{'}$ .
Seno y coseno complementarios. Entonces $sin θ = sin (9 0^{\circ} - φ^{'}) = cos φ^{'}$ .
Valor absoluto. Como $φ^{'}$ es agudo, $cos φ^{'} = ∣ cos φ ∣$ (si $φ$ es obtuso, $cos φ < 0$ y $∣ cos φ ∣ = cos (18 0^{\circ} - φ)$ ).
Conclusión. $sin θ = ∣ cos φ ∣ = \frac{∣ d \cdot n ∣}{∣ d ∣∣ n ∣}$ , que es la fórmula del teorema.

Resumen

Entre dos rectas: $cos θ = \frac{∣ d _{r} \cdot d _{s} ∣}{∣ d _{r} ∣∣ d _{s} ∣}$ . Perpendiculares si $d_{r} \cdot d_{s} = 0$ .
Entre recta y plano: $sin θ = \frac{∣ d \cdot n ∣}{∣ d ∣∣ n ∣}$ (seno, no coseno).
Entre dos planos: $cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣}$ .
Entre rectas, entre planos o entre recta y plano, el ángulo es agudo o recto: se usa valor absoluto.
Si una recta viene como intersección de dos planos, su director es $n_{1} \times n_{2}$ .

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