Matemáticas II · Propiedades métricas en el espacio · Apartado 6 de 7

Áreas y volúmenes con vectores

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Con el producto vectorial se calculan áreas y con el producto mixto, volúmenes. En este apartado se juntan con alturas y distancias para resolver los problemas típicos: áreas de triángulos con vértices en rectas o planos, volúmenes de tetraedros y pirámides y puntos que cumplen una condición de área o volumen.

Áreas

Ya conoces las fórmulas del tema de vectores; aquí se recopilan:

Figura	Área
Paralelogramo de lados $A B$ y $A C$	$∣ A B \times A C ∣$
Triángulo $A B C$	$\frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣$
Triángulo (con base y altura)	$\frac{1}{2} base \cdot altura$ , con $h = d (C, recta A B)$

El producto vectorial da también un vector normal al plano de la figura, lo que sirve para escribir el plano que la contiene.

Volúmenes

Cuerpo	Volumen
Paralelepípedo de aristas $u, v, w$	$∣[u, v, w]∣$
Tetraedro $A B C D$	$\frac{1}{6} ∣[A B, A C, A D]∣$
Pirámide (de cualquier base)	$\frac{1}{3} \cdot (a ˊ rea de la base) \cdot (altura)$

La altura de una pirámide o un tetraedro desde un vértice $D$ sobre la base $A B C$ es la distancia de $D$ al plano de la base. Se puede calcular con la ecuación del plano o con $h = \frac{3 V}{a ˊ rea base}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Triángulo y tetraedro en los ejes

Sean $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ , $C (0, 0, 3)$ y $O$ el origen.

a) Calcula el área del triángulo $A B C$ .

b) Calcula el volumen del tetraedro $O A B C$ .

Solución

a) $A B = (- 1, 2, 0)$ y $A C = (- 1, 0, 3)$ , con $A B \times A C = (6, 3, 2)$ , de módulo $7$ . El área es $\frac{7}{2}$ .

b) $O A = (1, 0, 0)$ , $O B = (0, 2, 0)$ y $O C = (0, 0, 3)$ forman un determinante diagonal de valor $6$ . El volumen es $\frac{6}{6} = 1$ .

Ejemplo 2 Medio

Pirámide de base rectangular

Una pirámide tiene por base el rectángulo $A (0, 0, 0)$ , $B (2, 0, 0)$ , $C (2, 3, 0)$ , $D (0, 3, 0)$ y por vértice $V (1, 1, 4)$ .

a) Calcula el área de la base.

b) Calcula el volumen de la pirámide.

c) Calcula la longitud de la arista $V A$ .

Solución

a) La base es un rectángulo de lados $2$ y $3$ : área $6$ . (O bien $∣ A B \times A D ∣ = ∣ (2, 0, 0) \times (0, 3, 0) ∣ = ∣ (0, 0, 6) ∣ = 6$ .)

b) La altura es la distancia de $V$ al plano $z = 0$ : $4$ . El volumen es $\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 4 = 8$ .

c) $A V = (1, 1, 4)$ y $∣ A V ∣ = 1 + 1 + 16 = 18 = 32$ .

Ejemplo 3 Difícil

Punto de una recta que da un área y un volumen

Sean $A (0, 0, 0)$ , $B (2, 0, 0)$ y $D (0, 0, 3)$ , y la recta $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (0, 1, 1)$ .

a) Halla los puntos $C$ de $r$ tales que el área del triángulo $A B C$ sea $22$ .

b) Para cada uno de esos puntos, calcula el volumen del tetraedro $A B C D$ .

Solución

a) Un punto de $r$ es $C = (1, λ, λ)$ . $A B = (2, 0, 0)$ y $A C = (1, λ, λ)$ :

$A B \times A C = (0 \cdot λ - 0 \cdot λ, 0 \cdot 1 - 2 \cdot λ, 2 \cdot λ - 0 \cdot 1) = (0, - 2 λ, 2 λ)$

Su módulo es $22 ∣ λ ∣$ , y el área es $2 ∣ λ ∣$ . Imponiendo $2 ∣ λ ∣ = 22$ : $∣ λ ∣ = 2$ . Los puntos son $C = (1, 2, 2)$ y $C^{'} = (1, - 2, - 2)$ .

b) $A D = (0, 0, 3)$ . Para $C = (1, 2, 2)$ : $210020023 = 2 \cdot (6 - 0) = 12$ , luego $V = \frac{12}{6} = 2$ . Para $C^{'} = (1, - 2, - 2)$ el determinante es $2 \cdot (- 6) = - 12$ y el volumen es también $2$ .

Para el examen: al imponer un área o un volumen aparece un valor absoluto, y por tanto dos soluciones. Si das una sola, pierdes la mitad del apartado.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

Sean $u = (2, 1, 0)$ y $v = (0, 1, 3)$ .

a) Calcula el área del paralelogramo que forman.

b) Calcula el área del triángulo con esos dos lados.

Solución paso a paso

a) $u \times v = (1 \cdot 3 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 2 \cdot 3, 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = (3, - 6, 2)$ , de módulo $9 + 36 + 4 = 7$ .

b) La mitad: $\frac{7}{2}$ .

Ejercicio 2 Básico

Sean $u = (2, 0, 0)$ , $v = (0, 3, 0)$ y $w = (1, 1, 4)$ .

a) Calcula el volumen del paralelepípedo de aristas $u$ , $v$ y $w$ .

b) Calcula el volumen del tetraedro con esas tres aristas desde un vértice.

Solución paso a paso

a) $201031004 = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ , volumen $24$ .

b) $\frac{24}{6} = 4$ .

Ejercicio 3 Básico

Una pirámide tiene por base el cuadrado $A (0, 0, 0)$ , $B (4, 0, 0)$ , $C (4, 4, 0)$ , $D (0, 4, 0)$ y por vértice $V (2, 2, 3)$ .

a) Calcula el área de la base.

b) Calcula el volumen de la pirámide.

Solución paso a paso

a) La base es un cuadrado de lado $4$ : área $16$ .

b) La altura es $3$ (distancia de $V$ al plano $z = 0$ ): $V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 16$ .

Ejercicio 4 Medio

Sean $A (1, 1, 1)$ , $B (3, 1, 1)$ , $C (1, 4, 1)$ y $D (1, 1, 6)$ .

a) Calcula el volumen del tetraedro $A B C D$ .

b) Calcula el área del triángulo $A B C$ .

c) Calcula la altura del tetraedro desde $D$ sobre la base $A B C$ .

Solución paso a paso

a) $A B = (2, 0, 0)$ , $A C = (0, 3, 0)$ , $A D = (0, 0, 5)$ ; el determinante es $30$ y $V = \frac{30}{6} = 5$ .

b) $A B \times A C = (0, 0, 6)$ : área $3$ .

c) $h = \frac{3 V}{a ˊ rea} = \frac{15}{3} = 5$ .

Ejercicio 5 Medio

Sean $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 1, 0)$ y $C (0, 0, c)$ . Halla los valores de $c$ para los que el área del triángulo $A B C$ es $\frac{3}{2}$ .

Solución paso a paso

$A B = (- 1, 1, 0)$ y $A C = (- 1, 0, c)$ , con $A B \times A C = (c, c, 1)$ . El área es $\frac{1}{2} 2 c^{2} + 1$ . Imponiendo $\frac{1}{2} 2 c^{2} + 1 = \frac{3}{2}$ : $2 c^{2} + 1 = 9 \Rightarrow c^{2} = 4$ , luego $c = \pm 2$ .

Ejercicio 6 Medio

Una tienda de campaña tiene forma de pirámide de base cuadrada de $3$ metros de lado y $2$ metros de altura, con el vértice sobre el centro de la base.

a) Calcula su volumen.

b) Calcula la superficie de tela de las cuatro caras laterales.

Solución paso a paso

a) $V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2 = 6$ m³.

b) Cada cara es un triángulo de base $3$ . Su altura es la distancia del vértice al punto medio de un lado de la base: el vértice está a $2$ de altura y el punto medio del lado está a $1, 5$ del centro, luego la altura de la cara es $2^{2} + 1, 5^{2} = 2, 5$ . Cada cara tiene área $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2, 5 = 3, 75$ y las cuatro suman $15$ m².

Ejercicio 7 Medio

Sean $A (1, 2, 3)$ , $B (3, 3, 5)$ y $C (2, 0, 3)$ .

a) Calcula el área del triángulo $A B C$ .

b) Calcula la altura del triángulo respecto del lado $A B$ .

Solución paso a paso

a) $A B = (2, 1, 2)$ y $A C = (1, - 2, 0)$ , con $A B \times A C = (4, 2, - 5)$ , de módulo $45 = 35$ . El área es $\frac{3 5}{2}$ .

b) $∣ A B ∣ = 3$ y $h = \frac{2 \cdot a ˊ rea}{3} = 5$ .

Ejercicio 8 Difícil

Sean $A (0, 0, 0)$ , $B (1, 0, 0)$ , $C (0, 1, 0)$ y el punto $D$ de la recta $r : (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ (0, 0, 1)$ .

a) Halla los puntos $D$ de $r$ tales que el tetraedro $A B C D$ tenga volumen $2$ .

b) Calcula la altura del tetraedro desde $D$ en ese caso.

Solución paso a paso

a) $D = (1, 1, λ)$ . $101011 00 λ = λ$ , y el volumen es $\frac{∣ λ ∣}{6} = 2 \Rightarrow λ = \pm 12$ . Los puntos son $(1, 1, 12)$ y $(1, 1, - 12)$ .

b) La base $A B C$ tiene área $\frac{1}{2}$ . Entonces $h = \frac{3 V}{a ˊ rea} = \frac{6}{1/2} = 12$ (es la distancia al plano $z = 0$ de la base).

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Sean $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 1, 0)$ y el punto $C (λ, λ, λ)$ de la recta $r : (x, y, z) = λ (1, 1, 1)$ .

a) Calcula el área del triángulo $A B C$ en función de $λ$ , usando el símbolo lam para $λ$ . (0,75 puntos)

b) Halla el valor de $λ$ para el que el área es mínima y calcula esa área mínima, como la tupla $(λ, a ˊ rea)$ . (0,75 puntos)

c) Para $λ = 1$ , calcula el volumen del tetraedro $O A B C$ , con $O$ el origen. (0,5 puntos)

d) Halla el valor de $λ$ para el que $O$ , $A$ , $B$ y $C$ son coplanarios. (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) $A B = (- 1, 1, 0)$ y $A C = (λ - 1, λ, λ)$ :

$A B \times A C = (1 \cdot λ - 0 \cdot λ, 0 \cdot (λ - 1) - (- 1) \cdot λ, (- 1) \cdot λ - 1 \cdot (λ - 1)) = (λ, λ, 1 - 2 λ)$

El módulo es $2 λ^{2} + (1 - 2 λ)^{2} = 6 λ^{2} - 4 λ + 1$ y el área es $\frac{1}{2} 6 λ^{2} - 4 λ + 1$ .

b) Se minimiza $f (λ) = 6 λ^{2} - 4 λ + 1$ : $f^{'} (λ) = 12 λ - 4 = 0 \Rightarrow λ = \frac{1}{3}$ , y es un mínimo porque $f^{''} > 0$ . Entonces $f (\frac{1}{3}) = \frac{6}{9} - \frac{4}{3} + 1 = \frac{1}{3}$ y el área mínima es $\frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{3}{6}$ .

c) Con $λ = 1$ : $101011001 = 1$ y el volumen es $\frac{1}{6}$ .

d) $[O A, O B, O C] = 10 λ 01 λ 00 λ = λ$ , que se anula solo para $λ = 0$ (cuando $C = O$ ).

Para el examen: minimizar una raíz es lo mismo que minimizar lo de dentro; no hace falta derivar la raíz.

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Demuestra que el área del triángulo $A B C$ es $\frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣$ .

Solución paso a paso

Base y altura. Tomamos como base el lado $A B$ , de longitud $∣ A B ∣$ . Si $θ$ es el ángulo en $A$ , la altura desde $C$ sobre la recta $A B$ es $h = ∣ A C ∣ sin θ$ .
Área. $A ˊ rea = \frac{1}{2} ∣ A B ∣ h = \frac{1}{2} ∣ A B ∣ ∣ A C ∣ sin θ$ .
Producto vectorial. Por definición, $∣ A B \times A C ∣ = ∣ A B ∣ ∣ A C ∣ sin θ$ .
Conclusión. $A ˊ rea = \frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣$ .

Resumen

Área del paralelogramo: $∣ u \times v ∣$ . Área del triángulo: $\frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣$ .
Volumen del paralelepípedo: $∣ [u, v, w] ∣$ . Tetraedro: $\frac{1}{6}$ de eso. Pirámide: $\frac{1}{3} \cdot a ˊ rea base \cdot altura$ .
Altura de un tetraedro: $h = \frac{3 V}{a ˊ rea de la base} = d (D, plano A B C)$ .
Para un punto de una recta con área o volumen dado, se escribe en función de $λ$ y aparece un valor absoluto: dos soluciones.
El volumen y el área nunca son negativos.

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