Matemáticas II · Propiedades métricas en el espacio · Cierre del tema

Problemas de síntesis de propiedades métricas

12 problemas con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Estos doce problemas mezclan las propiedades métricas con las rectas y los planos del tema anterior. Resuélvelos por escrito, justificando cada fórmula, como en el examen; los que llevan puntuación imitan el estilo de la PAU.

Problemas de síntesis

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Problema 1 Medio

Sean $A (1, 2, 3)$ y $B (4, 2, - 1)$ .

a) Calcula la distancia entre $A$ y $B$ .

b) Halla el plano mediador del segmento $A B$ como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

c) Calcula la distancia de $A$ al plano mediador.

Solución paso a paso

a) $A B = (3, 0, - 4)$ y $d = 5$ .

b) El punto medio es $M (\frac{5}{2}, 2, 1)$ y el normal $(3, 0, - 4)$ . Con $M$ : $\frac{15}{2} - 4 + D = 0 \Rightarrow D = - \frac{7}{2}$ . Multiplicando por $2$ : $6 x - 8 z - 7 = 0$ . Tupla $(6, 0, - 8, - 7)$ .

c) $d (A, π) = \frac{∣6 - 24 - 7∣}{10} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$ , la mitad de $∣ A B ∣$ .

Problema 2 Medio

Sean los planos $π_{1} : x + y + z = 3$ y $π_{2} : x - y + z = 1$ .

a) Calcula el coseno del ángulo entre $π_{1}$ y $π_{2}$ .

b) Calcula el producto vectorial de los normales (en este orden), que es el director de su recta de corte.

c) Calcula la distancia del origen a $π_{1}$ .

Solución paso a paso

a) $n_{1} \cdot n_{2} = 1 - 1 + 1 = 1$ y $∣ n_{1} ∣ = ∣ n_{2} ∣ = 3$ : $cos θ = \frac{1}{3}$ .

b) $(1, 1, 1) \times (1, - 1, 1) = (1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1, 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1) = (2, 0, - 2)$ .

c) $d = \frac{∣ - 3∣}{3} = 3$ .

Problema 3 Medio

Sean $P (3, 3, 0)$ y el plano $π : 2 x - 2 y + z = 9$ .

a) Halla la proyección ortogonal de $P$ sobre $π$ .

b) Halla el simétrico de $P$ respecto de $π$ .

c) Calcula la distancia de $P$ a $π$ .

Solución paso a paso

a) La perpendicular por $P$ es $(3 + 2 t, 3 - 2 t, t)$ . En $π$ : $2 (3 + 2 t) - 2 (3 - 2 t) + t = 9 t = 9 \Rightarrow t = 1$ . La proyección es $Q = (5, 1, 1)$ . Comprobación: $10 - 2 + 1 = 9$ ✓.

b) $P^{'} = 2 Q - P = (10 - 3, 2 - 3, 2 - 0) = (7, - 1, 2)$ .

c) $d = ∣ P Q ∣ = ∣ (2, - 2, 1) ∣ = 3$ .

Problema 4 Medio

Sean $u = (1, 2, 2)$ , $v = (2, 1, - 2)$ y $w = (0, 0, 1)$ .

a) Calcula el área del paralelogramo de lados $u$ y $v$ .

b) Calcula el volumen del paralelepípedo de aristas $u$ , $v$ y $w$ .

c) Calcula la altura de ese paralelepípedo sobre la base formada por $u$ y $v$ .

Solución paso a paso

a) $u \times v = (- 6, 6, - 3)$ , de módulo $9$ . El área es $9$ .

b) $120210 2 - 2 1 = 1 \cdot (1 - 0) - 2 \cdot (2 - 0) + 2 \cdot 0 = 1 - 4 = - 3$ . El volumen es $3$ .

c) $h = \frac{V}{a ˊ rea base} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .

Problema 5 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran la recta $r : (x, y, z) = λ (1, 2, 2)$ y el plano $π : 2 x - 2 y + z = m$ .

a) Halla los valores de $m$ para los que la distancia entre $r$ y $π$ es $3$ . (0,75 puntos)

b) Para el mayor de esos valores de $m$ , calcula el coseno del ángulo entre $π$ y el plano $z = 0$ . (0,75 puntos)

c) Para el mayor de esos valores de $m$ , halla la proyección ortogonal del origen sobre $π$ . (1 punto)

Solución paso a paso

a) $d \cdot n = (1, 2, 2) \cdot (2, - 2, 1) = 0$ : la recta es paralela al plano (o está contenida). Su distancia es la del origen, que está en $r$ : $d = \frac{∣ - m ∣}{4 + 4 + 1} = \frac{∣ m ∣}{3} = 3 \Rightarrow m = \pm 9$ .

b) Para $m = 9$ : $n = (2, - 2, 1)$ y el normal de $z = 0$ es $(0, 0, 1)$ . $cos θ = \frac{1}{3}$ .

c) La perpendicular por el origen es $(2 t, - 2 t, t)$ . En $π$ : $9 t = 9 \Rightarrow t = 1$ y la proyección es $(2, - 2, 1)$ .

Para el examen: si dices que la recta es paralela al plano, justifícalo con $d \cdot n = 0$ antes de usar la distancia de un punto.

Problema 6 Difícil

Sean $r : (x, y, z) = λ (1, 1, 0)$ y $s : (x, y, z) = (1, 0, 2) + μ (0, 1, 1)$ .

a) Indica su posición relativa.

b) Calcula la distancia entre las rectas.

c) Halla un vector director de la perpendicular común, como $d_{r} \times d_{s}$ .

d) Halla el plano que contiene a $s$ y a la perpendicular común como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

Solución paso a paso

a) $d_{r} \times d_{s} = (1, 1, 0) \times (0, 1, 1) = (1, - 1, 1)$ y $P Q = (1, 0, 2)$ con producto escalar $1 + 2 = 3 \neq = 0$ . Las rectas se cruzan.

b) $d = \frac{3}{3} = 3$ .

c) $(1, - 1, 1)$ .

d) El plano contiene a $d_{s} = (0, 1, 1)$ y a $w = (1, - 1, 1)$ : su normal es $d_{s} \times w = (1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1) = (2, 1, - 1)$ . Pasa por $Q (1, 0, 2)$ : $2 + 0 - 2 + D = 0 \Rightarrow D = 0$ . La tupla es $(2, 1, - 1, 0)$ .

Problema 7 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Sean $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 1, 0)$ y $C (0, 0, c)$ , con $c$ un parámetro real.

a) Calcula el área del triángulo $A B C$ en función de $c$ . (0,75 puntos)

b) Halla los valores de $c$ para los que el ángulo en $A$ es de $6 0^{\circ}$ . (0,75 puntos)

c) Para $c = 1$ , calcula el volumen del tetraedro $O A B C$ , con $O$ el origen. (0,5 puntos)

d) Para $c = 1$ , calcula la distancia de $O$ al plano $A B C$ . (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) $A B = (- 1, 1, 0)$ y $A C = (- 1, 0, c)$ , con $A B \times A C = (c, c, 1)$ . El área es $\frac{1}{2} 2 c^{2} + 1$ .

b) $A B \cdot A C = 1$ , $∣ A B ∣ = 2$ , $∣ A C ∣ = 1 + c^{2}$ . $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2 1 + c ^{2}} \Rightarrow 2 (1 + c^{2}) = 2 \Rightarrow c^{2} = 1$ . Los valores son $c = \pm 1$ .

c) Con $c = 1$ : $O A = (1, 0, 0)$ , $O B = (0, 1, 0)$ , $O C = (0, 0, 1)$ , determinante $1$ ; volumen $\frac{1}{6}$ .

d) El plano $A B C$ es $x + y + z = 1$ y $d (O, π) = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ . (Comprobación: $h = \frac{3 V}{a ˊ rea} = \frac{1/2}{3 /2} = \frac{1}{3}$ con área $\frac{3}{2}$ .)

Para el examen: en b) el ángulo en $A$ se mide entre los vectores que salen de $A$ , sin valor absoluto, pero aquí el producto escalar es positivo y no hay dudas.

Problema 8 Difícil

Sean los planos $π_{1} : x + 2 y - 2 z - 3 = 0$ y $π_{2} : 2 x - 2 y + z + 3 = 0$ .

a) Halla los planos que equidistan de $π_{1}$ y $π_{2}$ (los bisectores), como un conjunto de dos tuplas $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente no negativo.

b) Calcula el coseno del ángulo entre $π_{1}$ y $π_{2}$ .

Solución paso a paso

a) Los dos normales tienen módulo $3$ , así que la igualdad de distancias es $x + 2 y - 2 z - 3 = \pm (2 x - 2 y + z + 3)$ .

Signo $+$ : $x + 2 y - 2 z - 3 = 2 x - 2 y + z + 3 \Rightarrow - x + 4 y - 3 z - 6 = 0 \Rightarrow x - 4 y + 3 z + 6 = 0$ . Tupla $(1, - 4, 3, 6)$ .
Signo $-$ : $x + 2 y - 2 z - 3 = - 2 x + 2 y - z - 3 \Rightarrow 3 x - z = 0$ . Tupla $(3, 0, - 1, 0)$ .

b) $n_{1} \cdot n_{2} = 2 - 4 - 2 = - 4$ , con valor absoluto $4$ : $cos θ = \frac{4}{9}$ .

Problema 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran el plano $π : x + y + z = 3$ y la recta $r : (x, y, z) = λ (1, 2, 3)$ .

a) Halla el punto de corte de $r$ y $π$ . (0,5 puntos)

b) Calcula el seno del ángulo entre $r$ y $π$ . (0,75 puntos)

c) Halla el simétrico del origen respecto de $π$ . (0,75 puntos)

d) Calcula la distancia del origen a $π$ . (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) $λ + 2 λ + 3 λ = 3 \Rightarrow λ = \frac{1}{2}$ . El punto es $(\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2})$ .

b) $d \cdot n = 6$ , $∣ d ∣ = 14$ y $∣ n ∣ = 3$ : $sin θ = \frac{6}{42} = \frac{42}{7}$ .

c) La perpendicular por el origen es $(t, t, t)$ ; en $π$ : $3 t = 3 \Rightarrow t = 1$ , proyección $(1, 1, 1)$ . El simétrico es $(2, 2, 2)$ .

d) $d = \frac{∣ - 3∣}{3} = 3$ .

Problema 10 Difícil

Una pirámide tiene por base el cuadrado $A (0, 0, 0)$ , $B (2, 0, 0)$ , $C (2, 2, 0)$ , $D (0, 2, 0)$ y por vértice $V (1, 1, t)$ , con $t > 0$ .

a) Calcula su volumen en función de $t$ .

b) Halla el valor de $t$ para que el volumen sea $4$ .

c) Para ese valor, calcula el área de la cara $V A B$ .

d) Para ese valor, calcula el coseno del ángulo entre la cara $V A B$ y la base.

Solución paso a paso

a) El área de la base es $4$ y la altura es $t$ : $V = \frac{4 t}{3}$ .

b) $\frac{4 t}{3} = 4 \Rightarrow t = 3$ .

c) Con $V (1, 1, 3)$ : $A B = (2, 0, 0)$ y $A V = (1, 1, 3)$ , con $A B \times A V = (0 \cdot 3 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 1 - 2 \cdot 3, 2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = (0, - 6, 2)$ , de módulo $40 = 210$ . El área es $10$ .

d) El normal de la cara es $(0, - 6, 2) ∥ (0, - 3, 1)$ y el de la base, $(0, 0, 1)$ : $cos θ = \frac{1}{10} = \frac{10}{10}$ .

Problema 11 DifícilDemostración

Sea $P$ un punto, $π$ un plano y $Q$ la proyección ortogonal de $P$ sobre $π$ .

a) Demuestra que para cualquier punto $X \in π$ se cumple $∣ P X ∣ \geq ∣ P Q ∣$ (es decir, $Q$ es el punto de $π$ más cercano a $P$ ).

b) Demuestra que si $P^{'}$ es el simétrico de $P$ respecto de $π$ , entonces $∣ X P ∣ = ∣ X P^{'} ∣$ para todo $X \in π$ .

Solución paso a paso

a) $P X = P Q + QX$ . Como $P Q$ es perpendicular a $π$ y $QX$ está contenido en $π$ , su producto escalar es $0$ . Por Pitágoras, $∣ P X ∣^{2} = ∣ P Q ∣^{2} + ∣ QX ∣^{2} \geq ∣ P Q ∣^{2}$ , con igualdad solo si $X = Q$ .

b) Como $Q$ es el punto medio de $P P^{'}$ y $P P^{'} ⊥ π$ , el plano $π$ es el plano mediador de $P P^{'}$ . Por tanto, todo punto de $π$ equidista de $P$ y de $P^{'}$ . También se ve con Pitágoras: $∣ X P ∣^{2} = ∣ X Q ∣^{2} + ∣ QP ∣^{2}$ y $∣ X P^{'} ∣^{2} = ∣ X Q ∣^{2} + ∣ Q P^{'} ∣^{2}$ , con $∣ QP ∣ = ∣ Q P^{'} ∣$ .

Problema 12 Difícil

Un panel solar plano tiene por ecuación $2 x + y - 2 z = 7$ , con las coordenadas en metros. Un sensor está en el punto $S (1, 2, 3)$ .

a) ¿A qué distancia está el sensor del panel?

b) ¿Cuál es el punto del panel más cercano al sensor?

c) Si el panel fuese un espejo, ¿dónde se vería la imagen del sensor?

d) Calcula el coseno del ángulo que forma el panel con el suelo ( $z = 0$ ).

Solución paso a paso

a) El valor de la ecuación en $S$ es $2 + 2 - 6 - 7 = - 9$ ; la distancia es $\frac{∣ - 9∣}{4 + 1 + 4} = 3$ metros.

b) La perpendicular por $S$ es $(1 + 2 t, 2 + t, 3 - 2 t)$ . En el panel: $2 (1 + 2 t) + (2 + t) - 2 (3 - 2 t) = 9 t - 2 = 7 \Rightarrow t = 1$ . El punto más cercano es $Q = (3, 3, 1)$ . Comprobación: $6 + 3 - 2 = 7$ ✓.

c) $S^{'} = 2 Q - S = (6 - 1, 6 - 2, 2 - 3) = (5, 4, - 1)$ .

d) Los normales son $(2, 1, - 2)$ y $(0, 0, 1)$ : $cos θ = \frac{∣ - 2∣}{3} = \frac{2}{3}$ .

Sigue estudiando

Clases de matemáticas en Aldaia y online

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Primera consulta gratuita: vemos tu nivel, el examen que te espera y montamos un plan. Álvaro responde por WhatsApp.

Escribir por WhatsApp