Matemáticas II · Propiedades métricas en el espacio · Apartado 3 de 7

Distancias entre rectas y planos

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Todas las distancias entre figuras se reducen a la de un punto a algo, salvo el caso de dos rectas que se cruzan, que tiene su propia fórmula con el producto mixto. Aquí aprendes a elegir el método según la posición relativa, que es lo que se pide primero en el examen.

Distancia entre figuras paralelas

Cuando las dos figuras son paralelas (o coincidentes, con distancia $0$ ), basta tomar un punto de una y calcular su distancia a la otra, porque todos sus puntos están a la misma distancia.

Figuras	Cómo se calcula
Dos rectas paralelas	$d (r, s) = d (Q, r)$ con $Q \in s$
Recta paralela a un plano	$d (r, π) = d (P, π)$ con $P \in r$
Dos planos paralelos	$d (π_{1}, π_{2}) = d (P, π_{2})$ con $P \in π_{1}$

Para dos planos paralelos con la misma ecuación normal, $A x + B y + C z + D_{1} = 0$ y $A x + B y + C z + D_{2} = 0$ , queda la fórmula directa

$d (π_{1}, π_{2}) = \frac{∣ D _{1} - D _{2} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$

Si los coeficientes de uno son un múltiplo del otro, primero hay que dividir para que coincidan.

Distancia entre dos rectas que se cruzan

La interpretación es la del volumen: el numerador es el volumen del paralelepípedo de aristas $d_{r}$ , $d_{s}$ y $P Q$ ; el denominador es el área de su base (el paralelogramo de $d_{r}$ y $d_{s}$ ). Volumen entre área de la base es la altura, que es la distancia entre las dos rectas. Otra forma de verlo: es la distancia de $Q$ al plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ .

Si usas la fórmula de las rectas que se cruzan con rectas paralelas, el denominador es $0$ y no puedes dividir; por eso hay que decidir antes la posición relativa.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Planos paralelos y recta paralela a un plano

Sea $π_{1} : 2 x - 2 y + z - 3 = 0$ , el plano $π_{2} : 2 x - 2 y + z + 6 = 0$ , la recta $r : (x, y, z) = (1, 1, 2) + λ (1, 1, 0)$ y el plano $π_{3} : x - y - 4 = 0$ .

a) Calcula la distancia entre $π_{1}$ y $π_{2}$ .

b) Calcula la distancia entre $r$ y $π_{3}$ (la recta es paralela al plano).

Solución

a) Mismo normal: $d = \frac{∣ - 3 - 6∣}{4 + 4 + 1} = \frac{9}{3} = 3$ .

b) $d \cdot n = (1, 1, 0) \cdot (1, - 1, 0) = 0$ , luego la recta es paralela al plano. Tomando $P (1, 1, 2)$ : $d = \frac{∣1 - 1 - 4∣}{2} = \frac{4}{2} = 22$ .

Ejemplo 2 Medio

Distancia entre rectas paralelas

Sean $r : (x, y, z) = λ (1, 2, 2)$ y $s : (x, y, z) = (0, 3, 0) + μ (- 2, - 4, - 4)$ .

a) Calcula $O Q \times d_{r}$ , con $O$ el origen y $Q (0, 3, 0)$ .

b) Calcula la distancia entre $r$ y $s$ .

Solución

Los directores son proporcionales ( $d_{s} = - 2 d_{r}$ ) y $Q \in / r$ (con $(0, 3, 0) = λ (1, 2, 2)$ saldría $λ = 0$ y $y = 0$ ): son paralelas.

a) $O Q \times d_{r} = (0, 3, 0) \times (1, 2, 2) = (3 \cdot 2 - 0 \cdot 2, 0 \cdot 1 - 0 \cdot 2, 0 \cdot 2 - 3 \cdot 1) = (6, 0, - 3)$ .

b) $d (r, s) = d (Q, r) = \frac{∣ ( 6 , 0 , - 3 ) ∣}{∣ ( 1 , 2 , 2 ) ∣} = \frac{45}{3} = 5$ .

Ejemplo 3 Difícil

Distancia entre rectas que se cruzan

Sean $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (0, 1, 1)$ y $s : (x, y, z) = (0, 0, 2) + μ (1, 0, 1)$ .

a) Calcula $d_{r} \times d_{s}$ .

b) Calcula $[d_{r}, d_{s}, P Q]$ con $P (1, 0, 0)$ y $Q (0, 0, 2)$ .

c) Calcula la distancia entre $r$ y $s$ .

Solución

a) $d_{r} \times d_{s} = (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (1, 1, - 1)$ .

b) $P Q = (- 1, 0, 2)$ . El producto mixto es el producto escalar de $d_{r} \times d_{s}$ con $P Q$ : $(1, 1, - 1) \cdot (- 1, 0, 2) = - 1 - 2 = - 3$ . Como no es cero y los directores no son proporcionales, las rectas se cruzan.

c) $d (r, s) = \frac{∣ - 3∣}{∣ ( 1 , 1 , - 1 ) ∣} = \frac{3}{3} = 3$ .

Comprobación: el plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ tiene normal $(1, 1, - 1)$ y pasa por $P$ : $x + y - z - 1 = 0$ . La distancia de $Q$ a él es $\frac{∣0 + 0 - 2 - 1∣}{3} = 3$ . Coincide.

Para el examen: la comprobación con el plano paralelo es un buen segundo camino si tienes tiempo; además suele pedirse la ecuación de ese plano en el mismo problema.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

a) Calcula la distancia entre los planos $x + 2 y - 2 z - 1 = 0$ y $x + 2 y - 2 z + 8 = 0$ .

b) Calcula la distancia entre los planos $2 x + 4 y - 4 z - 1 = 0$ y $x + 2 y - 2 z + 8 = 0$ .

Solución paso a paso

a) Mismo normal, $∣ D_{1} - D_{2} ∣ = 9$ y $∣ n ∣ = 3$ : $d = 3$ .

b) Multiplicando la segunda por $2$ queda $2 x + 4 y - 4 z + 16 = 0$ . Ahora $∣ - 1 - 16∣ = 17$ y $∣ n ∣ = 6$ : $d = \frac{17}{6}$ .

Ejercicio 2 Básico

Sean $r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ (1, 1, 0)$ y el plano $π : x - y - 5 = 0$ . Comprueba que $r$ es paralela a $π$ y calcula la distancia entre ambos.

Solución paso a paso

$d \cdot n = (1, 1, 0) \cdot (1, - 1, 0) = 0$ y el punto $(1, 2, 3)$ no está en el plano ( $1 - 2 - 5 = - 6$ ), luego son paralelos. La distancia es $d = \frac{∣ - 6∣}{2} = 32$ .

Ejercicio 3 Básico

a) Calcula la distancia entre los planos $z = 1$ y $z = - 3$ .

b) Calcula la distancia entre las rectas $r : λ (0, 0, 1)$ y $s : (3, 4, 0) + μ (0, 0, 1)$ .

Solución paso a paso

a) $d = ∣1 - (- 3) ∣ = 4$ .

b) Son paralelas (ambas verticales). La distancia es la que hay en el plano $X Y$ entre $(0, 0)$ y $(3, 4)$ : $9 + 16 = 5$ .

Ejercicio 4 Medio

Sean $r : (x, y, z) = λ (1, 0, 0)$ y $s : (x, y, z) = (0, 0, 2) + μ (0, 1, 1)$ . Calcula la distancia entre $r$ y $s$ .

Solución paso a paso

$d_{r} \times d_{s} = (1, 0, 0) \times (0, 1, 1) = (0 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (0, - 1, 1)$ , de módulo $2$ . Con $P Q = (0, 0, 2)$ : $(0, - 1, 1) \cdot (0, 0, 2) = 2$ . La distancia es $\frac{2}{2} = 2$ .

Ejercicio 5 Medio

Sean $r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ (2, - 2, 1)$ y $s : (x, y, z) = (2, 2, 1) + μ (4, - 4, 2)$ . Calcula la distancia entre $r$ y $s$ .

Solución paso a paso

Son paralelas ( $d_{s} = 2 d_{r}$ ) y $Q (2, 2, 1) \in / r$ . Tomamos $P (1, 1, 1)$ : $P Q = (1, 1, 0)$ y $P Q \times d_{r} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot (- 2), 0 \cdot 2 - 1 \cdot 1, 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot 2) = (1, - 1, - 4)$ , de módulo $18 = 32$ . Con $∣ d_{r} ∣ = 3$ : $d = \frac{3 2}{3} = 2$ .

Ejercicio 6 Medio

Dos cables rectos cruzan una nave. El primero pasa por $(0, 0, 5)$ con dirección $(1, 1, 0)$ y el segundo pasa por el origen con dirección $(1, - 1, 0)$ , con las coordenadas en metros.

a) Calcula el producto vectorial de las direcciones, en este orden.

b) ¿A qué distancia pasa un cable del otro?

Solución paso a paso

a) $(1, 1, 0) \times (1, - 1, 0) = (0, 0, - 2)$ .

b) $P Q = (0, 0, - 5)$ con $P (0, 0, 5)$ y $Q (0, 0, 0)$ . El producto mixto es $(0, 0, - 2) \cdot (0, 0, - 5) = 10$ y $∣ (0, 0, - 2) ∣ = 2$ , luego $d = 5$ metros. (Es la diferencia de alturas, porque ambos cables son horizontales.)

Ejercicio 7 Medio

Sea $r : (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ (1, 2, - 1)$ y el plano $π : x - y - z + k = 0$ . Sabiendo que $r$ es paralela a $π$ , halla $k$ para que la distancia entre ambos sea $3$ .

Solución paso a paso

Comprobación: $d \cdot n = 1 - 2 + 1 = 0$ . La distancia es la de $P (1, 0, 2)$ al plano: $\frac{∣1 - 0 - 2 + k ∣}{3} = \frac{∣ k - 1∣}{3} = 3 \Rightarrow ∣ k - 1∣ = 3$ . Entonces $k = 4$ o $k = - 2$ .

Ejercicio 8 Difícil

Sean $r : (x, y, z) = λ (1, 1, 0)$ y $s : (x, y, z) = (1, 0, m) + μ (0, 1, 1)$ .

a) Calcula $d_{r} \times d_{s}$ .

b) Halla $m$ para que las rectas sean secantes.

c) Para $m = 2$ , calcula la distancia entre $r$ y $s$ .

d) Halla los valores de $m$ para los que la distancia entre las rectas es $23$ .

Solución paso a paso

a) $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1) = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = (1, - 1, 1)$ , de módulo $3$ .

b) Con $P Q = (1, 0, m)$ ( $P$ el origen): $(1, - 1, 1) \cdot (1, 0, m) = 1 + m$ . Son secantes si $1 + m = 0$ : $m = - 1$ .

c) Con $m = 2$ : $\frac{∣3∣}{3} = 3$ .

d) $\frac{∣1 + m ∣}{3} = 23 \Rightarrow ∣1 + m ∣ = 6$ , luego $m = 5$ o $m = - 7$ .

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran las rectas $r : (x, y, z) = (0, 1, 0) + λ (1, 0, 1)$ y $s : (x, y, z) = (1, 0, 2) + μ (0, 1, 1)$ .

a) Indica su posición relativa. (0,5 puntos)

b) Calcula la distancia entre las dos rectas. (0,75 puntos)

c) Halla el plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo. (0,75 puntos)

d) Calcula la distancia del origen a ese plano. (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) $d_{r} = (1, 0, 1)$ y $d_{s} = (0, 1, 1)$ no son proporcionales. $d_{r} \times d_{s} = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (- 1, - 1, 1)$ y $P Q = (1, - 1, 2)$ , con $(- 1, - 1, 1) \cdot (1, - 1, 2) = - 1 + 1 + 2 = 2 \neq = 0$ . Las rectas se cruzan.

b) $d = \frac{∣2∣}{∣ ( - 1 , - 1 , 1 ) ∣} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}$ .

c) El normal es $d_{r} \times d_{s}$ , proporcional a $(1, 1, - 1)$ . El plano es $x + y - z + D = 0$ ; con $P (0, 1, 0)$ : $1 + D = 0 \Rightarrow D = - 1$ . La tupla es $(1, 1, - 1, - 1)$ . Comprobación: $r$ está en el plano ( $d_{r} \cdot n = 1 + 0 - 1 = 0$ ) y $s$ es paralela.

d) $d (O, π) = \frac{∣ - 1∣}{3} = \frac{3}{3}$ .

Para el examen: el plano del apartado c) permite comprobar b): la distancia de $Q$ a ese plano es $\frac{∣1 + 0 - 2 - 1∣}{3} = \frac{2}{3}$ , el mismo valor.

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Demuestra que la distancia entre los planos paralelos $π_{1} : A x + B y + C z + D_{1} = 0$ y $π_{2} : A x + B y + C z + D_{2} = 0$ es $\frac{∣ D _{1} - D _{2} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

Solución paso a paso

Un punto de $π_{1}$ . Sea $P (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in π_{1}$ . Entonces $A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} = - D_{1}$ .
Distancia de $P$ a $π_{2}$ . Por la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

$d (P, π_{2}) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D _{2} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}} = \frac{∣ - D _{1} + D _{2} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$

Todos los puntos de $π_{1}$ están a la misma distancia. Como el resultado no depende de $P$ , la distancia entre los planos es $\frac{∣ D _{1} - D _{2} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

Resumen

Paralelas o coincidentes: se toma un punto de una figura y se calcula su distancia a la otra. Dos planos paralelos con el mismo normal: $\frac{∣ D _{1} - D _{2} ∣}{∣ n ∣}$ .
Rectas que se cruzan: $d (r, s) = \frac{∣ [ d _{r} , d _{s} , P Q ] ∣}{∣ d _{r} \times d _{s} ∣}$ . Es la distancia de $Q$ al plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ .
Antes de elegir la fórmula, hay que decidir la posición relativa.
Secantes o coincidentes: distancia $0$ .

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