Matemáticas II · Propiedades métricas en el espacio · Apartado 7 de 7

Problemas de Geometría tipo PAU

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

En el examen, la Geometría suele ser un problema de varios apartados que mezcla todo el bloque. Aquí aprendes a leer qué te piden, a elegir la herramienta adecuada y a ordenar la resolución para sacar la nota completa, y practicas con problemas completos.

Cómo leer un problema

Casi todos los problemas se resuelven bien si, antes de calcular, haces tres cosas:

Anota los datos como puntos, vectores directores y normales. Si una recta viene como intersección de dos planos, calcula su director con el producto vectorial.
Dibuja un esquema aunque sea feo. Aclara qué es una proyección, qué es una distancia y dónde están los puntos.
Pasa cada apartado a una herramienta:

Si piden…	Usa…
Ecuación de un plano	punto + normal ( $u \times v$ ) y calcular $D$
Ecuación de una recta	punto + director
Posición relativa	rangos (Rouché) o vectores y producto mixto
Ángulo	producto escalar (coseno; seno si es recta-plano)
Distancia punto-plano	fórmula con valor absoluto
Distancia punto-recta	$∣ A P \times d ∣/∣ d ∣$
Distancia entre rectas que se cruzan	$∣ [d_{r}, d_{s}, P Q] ∣/∣ d_{r} \times d_{s} ∣$
Proyección / simétrico	recta o plano perpendicular y punto medio
Área / volumen	producto vectorial / mixto con $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{3}$

Cómo se puntúa

Cada apartado de la PAU suele valer entre $0, 5$ y $1$ punto. Un error de cuentas al principio no te cuesta el problema entero si el resto del razonamiento es correcto y sigues con tus datos; por eso conviene escribir las fórmulas antes de sustituir.
Se valora justificar: «los directores no son proporcionales y el producto mixto no es cero, luego se cruzan».
Si un apartado necesita un resultado anterior que no has conseguido, usa un valor genérico, indica que lo haces y sigue: así no pierdes los apartados siguientes.
Las comprobaciones rápidas (un punto en el plano, producto escalar nulo) dan seguridad y no cuestan puntos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Plano por tres puntos, distancia y ángulo

Sean $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ y $C (0, 0, 3)$ .

a) Halla el plano que los contiene como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

b) Calcula la distancia del origen a ese plano.

c) Calcula el coseno del ángulo que forma ese plano con el plano $z = 0$ .

Solución

a) $A B \times A C = (6, 3, 2)$ . El plano es $6 x + 3 y + 2 z + D = 0$ y con $A$ : $D = - 6$ . La tupla es $(6, 3, 2, - 6)$ .

b) $d (O, π) = \frac{∣ - 6∣}{36 + 9 + 4} = \frac{6}{7}$ .

c) Los normales son $(6, 3, 2)$ y $(0, 0, 1)$ : $cos θ = \frac{2}{7 \cdot 1} = \frac{2}{7}$ .

Ejemplo 2 Medio

Rectas que se cruzan: posición, distancia, perpendicular común y plano

Sean $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (0, 1, 1)$ y $s : (x, y, z) = (0, 0, 2) + μ (1, 0, 1)$ .

a) Indica su posición relativa.

b) Calcula la distancia entre ellas.

c) Halla el pie de la perpendicular común sobre $r$ .

d) Halla el plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

Solución

a) Los directores $(0, 1, 1)$ y $(1, 0, 1)$ no son proporcionales. $d_{r} \times d_{s} = (1, 1, - 1)$ y $P Q = (- 1, 0, 2)$ con producto escalar $- 3 \neq = 0$ . Las rectas se cruzan.

b) $d = \frac{3}{3} = 3$ .

c) Con puntos genéricos (resuelto en el apartado de la perpendicular común), $λ = 1$ y $μ = 0$ : el pie sobre $r$ es $(1, 1, 1)$ .

d) El normal es $d_{r} \times d_{s} = (1, 1, - 1)$ y el plano pasa por $P (1, 0, 0)$ : $x + y - z - 1 = 0$ . La tupla es $(1, 1, - 1, - 1)$ .

Ejemplo 3 Difícil

Punto, recta y plano: proyección, simétrico y paralelos

Sean $P (1, 5, 0)$ y la recta $r : (x, y, z) = (0, 0, 1) + λ (1, 2, 2)$ . Sea $π$ el plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ .

a) Halla la ecuación de $π$ como la tupla $(A, B, C, D)$ con primer coeficiente positivo y coeficientes enteros coprimos.

b) Halla la proyección de $P$ sobre $r$ .

c) Halla el simétrico de $P$ respecto de $r$ .

d) Calcula la distancia de $P$ a $r$ .

Solución

a) El normal de $π$ es el director de $r$ : $x + 2 y + 2 z + D = 0$ . Con $P$ : $1 + 10 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = - 11$ . La tupla es $(1, 2, 2, - 11)$ .

b) La proyección es $r \cap π$ : $(λ, 2 λ, 1 + 2 λ)$ en $π$ da $λ + 4 λ + 2 + 4 λ - 11 = 9 λ - 9 = 0 \Rightarrow λ = 1$ , y el punto es $Q = (1, 2, 3)$ .

c) $P^{'} = 2 Q - P = (2 - 1, 4 - 5, 6 - 0) = (1, - 1, 6)$ .

d) $d (P, r) = ∣ P Q ∣ = ∣ (0, - 3, 3) ∣ = 32$ . (Con la fórmula: $A P \times d$ , con $A (0, 0, 1)$ , es $(1, 5, - 1) \times (1, 2, 2) = (12, - 3, - 3)$ , de módulo $92$ , y dividido por $3$ da $32$ ✓.)

Para el examen: hallar el plano perpendicular por $P$ es la forma más cómoda de proyectar un punto sobre una recta, y deja la distancia para después.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

Sean $A (2, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ y $C (0, 0, 2)$ .

a) Halla el plano que los contiene como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

b) Calcula el área del triángulo $A B C$ .

c) Calcula la distancia del origen al plano.

Solución paso a paso

a) $A B = (- 2, 2, 0)$ y $A C = (- 2, 0, 2)$ , con producto vectorial $(4, 4, 4)$ , proporcional a $(1, 1, 1)$ . El plano es $x + y + z + D = 0$ y con $A$ : $D = - 2$ . Tupla $(1, 1, 1, - 2)$ .

b) El módulo del producto vectorial es $43$ , luego el área es $23$ .

c) $d = \frac{∣ - 2∣}{3} = \frac{2 3}{3}$ .

Ejercicio 2 Básico

Sean la recta $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (1, 1, 1)$ y el plano $π : x + y + z = 7$ .

a) Halla el punto de corte de $r$ y $π$ .

b) Calcula el seno del ángulo entre $r$ y $π$ .

Solución paso a paso

a) $(1 + λ) + λ + λ = 7 \Rightarrow λ = 2$ . El punto es $(3, 2, 2)$ .

b) $d = (1, 1, 1)$ es paralelo al normal $(1, 1, 1)$ : $sin θ = \frac{3}{3 3} = 1$ . La recta es perpendicular al plano.

Ejercicio 3 Básico

Sean $A (0, 0, 0)$ y $B (2, 2, 1)$ .

a) Calcula la distancia entre $A$ y $B$ .

b) Halla el plano mediador del segmento $A B$ como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

Solución paso a paso

a) $A B = (2, 2, 1)$ y $d = 4 + 4 + 1 = 3$ .

b) El punto medio es $M (1, 1, \frac{1}{2})$ y el normal $(2, 2, 1)$ . Con $M$ : $2 + 2 + \frac{1}{2} + D = 0 \Rightarrow D = - \frac{9}{2}$ . Multiplicando por $2$ : $4 x + 4 y + 2 z - 9 = 0$ . Tupla $(4, 4, 2, - 9)$ . Comprobación: $A$ da $- 9$ y $B$ da $8 + 8 + 2 - 9 = 9$ .

Ejercicio 4 Medio

Sean $r : (x, y, z) = λ (1, 0, 1)$ y $s : (x, y, z) = (2, 3, 0) + μ (1, 0, - 1)$ .

a) Indica su posición relativa.

b) Calcula la distancia entre las rectas.

c) Halla el plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente no negativo.

Solución paso a paso

a) $d_{r} \times d_{s} = (0, 2, 0)$ y $P Q = (2, 3, 0)$ , con producto escalar $6 \neq = 0$ : las rectas se cruzan.

b) $d = \frac{6}{2} = 3$ .

c) El normal es proporcional a $(0, 1, 0)$ y el plano pasa por el origen: $y = 0$ . La tupla es $(0, 1, 0, 0)$ . (Contiene a $r$ , que tiene $y = 0$ , y $d (Q, π) = 3$ coincide con la distancia.)

Ejercicio 5 Medio

Una pirámide tiene por base el triángulo $A (0, 0, 0)$ , $B (4, 0, 0)$ , $C (0, 3, 0)$ y por vértice $V (0, 0, 6)$ .

a) Calcula el volumen de la pirámide.

b) Calcula el área de la cara $V B C$ .

c) Halla el plano de la cara $V B C$ como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

Solución paso a paso

a) La base tiene área $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ y la altura es $6$ : $V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 = 12$ .

b) $V B = (4, 0, - 6)$ y $V C = (0, 3, - 6)$ , con producto vectorial $(18, 24, 12) = 6 (3, 4, 2)$ , de módulo $629$ . El área es $329$ .

c) El normal es $(3, 4, 2)$ y con $V$ : $12 + D = 0 \Rightarrow D = - 12$ . Tupla $(3, 4, 2, - 12)$ . Comprobación: $B$ da $12 - 12 = 0$ y $C$ da $12 - 12 = 0$ .

Ejercicio 6 Medio

Un cable recto pasa por $(0, 0, 5)$ con dirección $(3, 4, 0)$ y un poste vertical pasa por $(6, 0, 0)$ con dirección $(0, 0, 1)$ , con las coordenadas en metros.

a) Indica la posición relativa del cable y el poste.

b) ¿A qué distancia mínima pasa el cable del poste?

Solución paso a paso

a) $d_{r} \times d_{s} = (3, 4, 0) \times (0, 0, 1) = (4 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 3 \cdot 1, 0) = (4, - 3, 0)$ y $P Q = (6, 0, - 5)$ , con producto escalar $24 \neq = 0$ . Se cruzan.

b) $d = \frac{24}{∣ ( 4 , - 3 , 0 ) ∣} = \frac{24}{5}$ metros.

Ejercicio 7 Medio

Sean la recta $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (1, 2, 2)$ y el plano $π : 2 x - 2 y + z - 3 = 0$ .

a) Calcula $d \cdot n$ .

b) Indica la posición relativa.

c) Calcula la distancia entre $r$ y $π$ .

Solución paso a paso

a) $n = (2, - 2, 1)$ y $d \cdot n = 2 - 4 + 2 = 0$ .

b) El punto $(1, 0, 0)$ da $2 - 3 = - 1 \neq = 0$ : la recta es paralela al plano.

c) $d = \frac{∣ - 1∣}{3} = \frac{1}{3}$ .

Ejercicio 8 Difícil

Sean $A (1, 0, 0)$ y $B (0, 2, 0)$ y la recta $r : (x, y, z) = λ (1, 1, 1)$ .

a) Halla el plano mediador del segmento $A B$ como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo.

b) Halla el punto de $r$ que equidista de $A$ y de $B$ .

c) Calcula el área del triángulo que forman $A$ , $B$ y ese punto.

Solución paso a paso

a) El punto medio es $M (\frac{1}{2}, 1, 0)$ y $A B = (- 1, 2, 0)$ , proporcional a $(1, - 2, 0)$ . El plano es $x - 2 y + D = 0$ ; con $M$ : $\frac{1}{2} - 2 + D = 0 \Rightarrow D = \frac{3}{2}$ . Multiplicando por $2$ : $2 x - 4 y + 3 = 0$ . Tupla $(2, - 4, 0, 3)$ .

b) Los puntos de $r$ son $(λ, λ, λ)$ : $2 λ - 4 λ + 3 = 0 \Rightarrow λ = \frac{3}{2}$ . El punto es $P = (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ .

c) $A B = (- 1, 2, 0)$ y $A P = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ , con $A B \times A P = (3, \frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$ , de módulo $9 + \frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{70}{4} = \frac{70}{2}$ . El área es $\frac{70}{4}$ .

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se considera el tetraedro de vértices $O (0, 0, 0)$ , $A (4, 0, 0)$ , $B (0, 4, 0)$ y $C (0, 0, 4)$ .

a) Calcula su volumen. (0,5 puntos)

b) Halla el plano de la cara $A B C$ como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo. (0,5 puntos)

c) Calcula el área de la cara $A B C$ . (0,75 puntos)

d) Calcula la altura del tetraedro desde $O$ sobre la cara $A B C$ . (0,75 puntos)

Solución paso a paso

a) $400040004 = 64$ y $V = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$ .

b) El plano que corta a los ejes en $4$ es $x + y + z = 4$ . Tupla $(1, 1, 1, - 4)$ .

c) $A B = (- 4, 4, 0)$ y $A C = (- 4, 0, 4)$ , con producto vectorial $(16, 16, 16)$ , de módulo $163$ . El área es $83$ .

d) Por la distancia al plano: $h = \frac{∣ - 4∣}{3} = \frac{4 3}{3}$ . (Comprobación: $h = \frac{3 V}{a ˊ rea} = \frac{32}{8 3} = \frac{4}{3}$ ✓.)

Para el examen: los dos caminos para la altura son una buena comprobación mutua.

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Demuestra que el lugar geométrico de los puntos $X$ que equidistan de dos puntos distintos $A$ y $B$ es el plano que pasa por el punto medio $M$ de $A B$ y es perpendicular a $A B$ .

Solución paso a paso

Condición de equidistancia. $∣ X A ∣ = ∣ X B ∣ ⟺ ∣ X A ∣^{2} = ∣ X B ∣^{2}$ .
Desarrollar. Con vectores de posición, $∣ A - X ∣^{2} = ∣ B - X ∣^{2}$ equivale a $∣ A ∣^{2} - 2 A \cdot X = ∣ B ∣^{2} - 2 B \cdot X$ , es decir,

$2 (B - A) \cdot X = ∣ B ∣^{2} - ∣ A ∣^{2}$

Reescribir con $M$ . Como $M = \frac{A + B}{2}$ , se tiene $(B - A) \cdot (A + B) = ∣ B ∣^{2} - ∣ A ∣^{2}$ , es decir, $(B - A) \cdot 2 M = ∣ B ∣^{2} - ∣ A ∣^{2}$ . Sustituyendo: $2 (B - A) \cdot X = 2 (B - A) \cdot M$ , y por tanto

$A B \cdot (X - M) = 0$

Conclusión. Es la ecuación de los puntos $X$ tales que $M X$ es perpendicular a $A B$ : el plano que pasa por $M$ con normal $A B$ .

Resumen

Antes de calcular: anota datos (puntos, directores, normales), haz un esquema y asigna una herramienta a cada apartado.
Plano: punto y normal ( $u \times v$ ), y se calcula $D$ . Posición relativa: rangos o producto mixto.
Medidas: ángulos con producto escalar; distancias con las fórmulas del tema; proyección y simétrico con la perpendicular; áreas y volúmenes con $\times$ y $[]$ .
En la PAU puntúa justificar el método; usa un resultado genérico si un apartado depende de otro que no has resuelto.
Comprobaciones rápidas: un punto en el plano, producto escalar nulo, dos formas de calcular una distancia.

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