Perpendicular común a dos rectas que se cruzan

a) $(1,0,0)\times (0,1,0)=(0,0,1)$.

b) $X=(\lambda ,0,3)$ e $Y=(0,\mu ,0)$, con $\overrightarrow{XY}=(-\lambda ,\mu ,-3)$. Perpendicular a ${\vec{d}}_r$: $-\lambda =0$. Perpendicular a ${\vec{d}}_s$: $\mu =0$. Luego $\lambda =\mu =0$, $X=(0,0,3)$ e $Y=(0,0,0)$.

c) $d=|\overrightarrow{XY}|=3$. La perpendicular común es el eje $OZ$.

a) $X=(1,\lambda ,\lambda )$ e $Y=(\mu ,0,2+\mu )$, con $\overrightarrow{XY}=(\mu -1,-\lambda ,2+\mu -\lambda )$.

• Perpendicular a ${\vec{d}}_r=(0,1,1)$: $-\lambda +2+\mu -\lambda =\mu -2\lambda +2=0$.
• Perpendicular a ${\vec{d}}_s=(1,0,1)$: $\mu -1+2+\mu -\lambda =2\mu -\lambda +1=0$.

De la primera, $\mu =2\lambda -2$. En la segunda: $4\lambda -4-\lambda +1=0\Rightarrow \lambda =1$ y $\mu =0$.

Los pies son $X=(1,1,1)$ e $Y=(0,0,2)$.

b) $\overrightarrow{XY}=(-1,-1,1)$, de módulo $\sqrt{3}$. La distancia es $\sqrt{3}$.

c) ${\vec{d}}_r\times {\vec{d}}_s=(1\cdot 1-1\cdot 0,1\cdot 1-0\cdot 1,0\cdot 0-1\cdot 1)=(1,1,-1)$, proporcional a $\overrightarrow{XY}$ ✓. La perpendicular común es $(1,1,1)+t(1,1,-1)$.

a) $\vec{w}=(1,1,0)\times (0,1,1)=(1\cdot 1-0\cdot 1,0\cdot 0-1\cdot 1,1\cdot 1-1\cdot 0)=(1,-1,1)$. El normal de $\alpha$ es $(1,1,0)\times (1,-1,1)=(1\cdot 1-0\cdot (-1),0\cdot 1-1\cdot 1,1\cdot (-1)-1\cdot 1)=(1,-1,-2)$.

b) $\alpha :x-y-2z+D=0$ y pasa por el origen: $D=0$. Tupla $(1,-1,-2,0)$.

c) El normal de $\beta$ es ${\vec{d}}_s\times \vec{w}=(0,1,1)\times (1,-1,1)=(1\cdot 1-1\cdot (-1),1\cdot 1-0\cdot 1,0\cdot (-1)-1\cdot 1)=(2,1,-1)$. Con $Q(1,0,2)$: $2+0-2+D=0\Rightarrow D=0$. Tupla $(2,1,-1,0)$.

La perpendicular común es $t:x-y-2z=0,2x+y-z=0$.

d) El pie $Y$ sobre $s$ es $t\cap s$: $Y=(1,\mu ,2+\mu )$ en $\beta$ da $2+\mu -2-\mu =0$ (se cumple siempre, porque $s\subset \beta$) y en $\alpha$: $1-\mu -4-2\mu =0\Rightarrow \mu =-1$. Entonces $Y=(1,-1,1)$. El pie sobre $r$ es el origen $X=(0,0,0)$ ($\lambda =0$ en $\alpha \cap \beta$). La distancia es $|XY|=|(1,-1,1)|=\sqrt{3}$.

Para el examen: con el método de planos, la perpendicular común queda dada directamente por dos ecuaciones; con el de puntos, se obtiene la recta por dos puntos. Elige el que pida el enunciado.

a) $(1,0,0)\times (0,1,0)=(0,0,1)$.

b) $X=(\lambda ,0,0)$ e $Y=(0,\mu ,4)$: $\overrightarrow{XY}=(-\lambda ,\mu ,4)$. Las condiciones $-\lambda =0$ y $\mu =0$ dan $\lambda =\mu =0$.

c) $|\overrightarrow{XY}|=|(0,0,4)|=4$.

a) $(0,1,0)\times (1,0,0)=(1\cdot 0-0\cdot 0,0\cdot 1-0\cdot 0,0\cdot 0-1\cdot 1)=(0,0,-1)$.

b) $X=(1,\lambda ,0)$ e $Y=(\mu ,0,3)$: $\overrightarrow{XY}=(\mu -1,-\lambda ,3)$. Perpendicular a ${\vec{d}}_r=(0,1,0)$: $-\lambda =0$. Perpendicular a ${\vec{d}}_s=(1,0,0)$: $\mu -1=0$. Luego $\lambda =0$ y $\mu =1$.

c) $X=(1,0,0)$, $Y=(1,0,3)$ y la distancia es $3$.

a) $\overrightarrow{XY}=(-1,-1,1)$.

b) $d(r,s)=|\overrightarrow{XY}|=\sqrt{3}$.

c) $M=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$.

a) $X=(\lambda ,\lambda ,0)$ e $Y=(\mu ,2-\mu ,1)$: $\overrightarrow{XY}=(\mu -\lambda ,2-\mu -\lambda ,1)$.

• Con ${\vec{d}}_r=(1,1,0)$: $\mu -\lambda +2-\mu -\lambda =2-2\lambda =0\Rightarrow \lambda =1$.
• Con ${\vec{d}}_s=(1,-1,0)$: $\mu -\lambda -2+\mu +\lambda =2\mu -2=0\Rightarrow \mu =1$.

b) $X=(1,1,0)$ (y $Y=(1,1,1)$).

c) $\overrightarrow{XY}=(0,0,1)$, luego la distancia es $1$.

a) ${\vec{d}}_r\times {\vec{d}}_s=(1,0,1)\times (0,1,0)=(0\cdot 0-1\cdot 1,1\cdot 0-1\cdot 0,1\cdot 1-0\cdot 0)=(-1,0,1)$, de módulo $\sqrt{2}$. Con $\overrightarrow{PQ}=(1,1,0)$: producto escalar $-1$. La distancia es $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

b) $X=(\lambda ,0,\lambda )$ e $Y=(1,1+\mu ,0)$: $\overrightarrow{XY}=(1-\lambda ,1+\mu ,-\lambda )$. Con ${\vec{d}}_r$: $1-\lambda -\lambda =0\Rightarrow \lambda =\frac{1}{2}$. Con ${\vec{d}}_s$: $1+\mu =0\Rightarrow \mu =-1$.

Comprobación: $X=\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$, $Y=(1,0,0)$ y $|\overrightarrow{XY}|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.

a) $(1,0,0)\times (0,0,1)=(0\cdot 1-0\cdot 0,0\cdot 0-1\cdot 1,0)=(0,-1,0)$.

b) $X=(\lambda ,0,0)$ e $Y=(0,3,4+\mu )$: $\overrightarrow{XY}=(-\lambda ,3,4+\mu )$. Las condiciones son $-\lambda =0$ y $4+\mu =0$: $\lambda =0$ y $\mu =-4$. La distancia es $|(0,3,0)|=3$ metros.

c) El punto del poste es $Y=(0,3,0)$.

a) ${\vec{d}}_r\times {\vec{d}}_s=(1,0,1)\times (1,1,0)=(0\cdot 0-1\cdot 1,1\cdot 1-1\cdot 0,1\cdot 1-0\cdot 1)=(-1,1,1)$, de módulo $\sqrt{3}$. $\overrightarrow{PQ}=(-1,-1,2)$ y el producto escalar es $1-1+2=2$. Distancia: $\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

b) $X=(1+\lambda ,1,\lambda )$ e $Y=(\mu ,\mu ,2)$: $\overrightarrow{XY}=(\mu -1-\lambda ,\mu -1,2-\lambda )$. Con ${\vec{d}}_r$: $\mu -1-\lambda +2-\lambda =\mu +1-2\lambda =0$. Con ${\vec{d}}_s$: $\mu -1-\lambda +\mu -1=2\mu -2-\lambda =0$. De la segunda, $\lambda =2\mu -2$; en la primera: $\mu +1-4\mu +4=0\Rightarrow \mu =\frac{5}{3}$ y $\lambda =\frac{4}{3}$.

a) El normal de $\alpha$ es ${\vec{d}}_r\times \vec{w}=(1,1,0)\times (0,0,1)=(1\cdot 1-0\cdot 0,0\cdot 0-1\cdot 1,0)=(1,-1,0)$. Pasa por el origen: $x-y=0$. Tupla $(1,-1,0,0)$.

b) El normal de $\beta$ es ${\vec{d}}_s\times \vec{w}=(1,-1,0)\times (0,0,1)=((-1)\cdot 1-0,0\cdot 0-1\cdot 1,0)=(-1,-1,0)$, proporcional a $(1,1,0)$. Con el punto $(0,2,1)$: $x+y-2=0$. Tupla $(1,1,0,-2)$.

La perpendicular común es $x-y=0,x+y=2$, es decir, $x=y=1$.

c) La distancia entre las rectas es el segmento de esa recta entre $z=0$ y $z=1$: vale $1$. (Con la fórmula: ${\vec{d}}_r\times {\vec{d}}_s=(0,0,-2)$, $\overrightarrow{PQ}=(0,2,1)$, y $\frac{|-2|}{2}=1$.)

a) ${\vec{d}}_r=(1,0,1)$ y ${\vec{d}}_s=(1,0,-1)$ no son proporcionales. ${\vec{d}}_r\times {\vec{d}}_s=(0\cdot (-1)-1\cdot 0,1\cdot 1-1\cdot (-1),1\cdot 0-0\cdot 1)=(0,2,0)$ y $\overrightarrow{PQ}=(2,3,0)$ con $(0,2,0)\cdot (2,3,0)=6\ne 0$. Las rectas se cruzan.

b) $d=\frac{|6|}{|(0,2,0)|}=\frac{6}{2}=3$.

c) $X=(\lambda ,0,\lambda )$ e $Y=(2+\mu ,3,-\mu )$: $\overrightarrow{XY}=(2+\mu -\lambda ,3,-\mu -\lambda )$. Con ${\vec{d}}_r$: $2+\mu -\lambda -\mu -\lambda =2-2\lambda =0\Rightarrow \lambda =1$. Con ${\vec{d}}_s$: $2+\mu -\lambda +\mu +\lambda =2+2\mu =0\Rightarrow \mu =-1$. Los pies son $X=(1,0,1)$ e $Y=(1,3,1)$.

d) $M=\left(1,\frac{3}{2},1\right)$.

Para el examen: comprueba que $\overrightarrow{XY}=(0,3,0)$ es proporcional a ${\vec{d}}_r\times {\vec{d}}_s=(0,2,0)$ y que su módulo es la distancia calculada.

1. Descomponer el vector. Como $X,X^{\prime }\in r$, el vector $\overrightarrow{X^{\prime }X}$ es paralelo a ${\vec{d}}_r$; como $Y,Y^{\prime }\in s$, $\overrightarrow{Y{Y}^{\prime }}$ es paralelo a ${\vec{d}}_s$. Entonces

$$\overrightarrow{X^{\prime }{Y}^{\prime }}=\overrightarrow{X^{\prime }X}+\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{Y{Y}^{\prime }}$$

2. El término cruzado es cero. $\overrightarrow{XY}$ es perpendicular a ${\vec{d}}_r$ y a ${\vec{d}}_s$, luego $\overrightarrow{XY}\cdot \overrightarrow{X^{\prime }X}=0$ y $\overrightarrow{XY}\cdot \overrightarrow{Y{Y}^{\prime }}=0$.

3. Pitágoras generalizado. Sea $\vec{u}=\overrightarrow{X^{\prime }X}+\overrightarrow{Y{Y}^{\prime }}$. Como $\overrightarrow{XY}\cdot \vec{u}=0$:

$$|\overrightarrow{X^{\prime }{Y}^{\prime }}{|}^2=|\overrightarrow{XY}{|}^2+|\vec{u}{|}^2\ge |\overrightarrow{XY}{|}^2$$

4. Conclusión. La distancia entre cualesquiera dos puntos de las rectas es al menos $|\overrightarrow{XY}|$, con igualdad si y solo si $\vec{u}=\vec{0}$. Por eso $|\overrightarrow{XY}|$ es la distancia entre las rectas.