Matemáticas II · Propiedades métricas en el espacio · Apartado 4 de 7

Proyecciones ortogonales y simétricos

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

La proyección de un punto sobre una recta o un plano es el punto más cercano, y se halla con la perpendicular que pasa por él. El simétrico es el punto que queda «al otro lado», a la misma distancia: se obtiene duplicando la proyección. Son dos de los problemas que más aparecen en la PAU.

Simétrico respecto de un punto

El simétrico de $P$ respecto de un punto $M$ es el punto $P^{'}$ tal que $M$ es el punto medio de $P P^{'}$ :

$P^{'} = 2 M - P$

Proyección de un punto sobre un plano

Proyección de un punto sobre una recta

Otra forma de hallar $Q$ : el plano $α$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ (con normal $d$ ) corta a $r$ en $Q$ .

Proyección y simétrico de una recta

Para proyectar una recta sobre un plano, se proyectan dos de sus puntos (o un punto y se usa el director proyectado). Si la recta es paralela al plano, su proyección es otra recta paralela a ella; si no, la proyección es la recta intersección de $π$ con el plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $π$ . El simétrico de una recta respecto de un plano se obtiene simetrizando dos de sus puntos; si la recta es paralela al plano, es la recta paralela a $r$ por el simétrico de uno de sus puntos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Proyección y simétrico de un punto respecto de un plano

Sean $P (1, 2, 3)$ y el plano $π : x + y + z = 0$ .

a) Halla la proyección ortogonal de $P$ sobre $π$ .

b) Halla el simétrico de $P$ respecto de $π$ .

Solución

a) La recta perpendicular por $P$ es $(1 + t, 2 + t, 3 + t)$ . En $π$ : $6 + 3 t = 0 \Rightarrow t = - 2$ . La proyección es $Q = (- 1, 0, 1)$ .

b) $P^{'} = 2 Q - P = (- 2 - 1, 0 - 2, 2 - 3) = (- 3, - 2, - 1)$ .

Comprobación: el punto medio de $P P^{'}$ es $Q$ y $P^{'}$ cumple $- 3 - 2 - 1 = - 6 = - (1 + 2 + 3)$ : está al otro lado del plano a la misma distancia.

Ejemplo 2 Medio

Proyección y simétrico de un punto respecto de una recta

Sean $P (2, 3, 1)$ y la recta $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (0, 1, 1)$ .

a) Halla la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$ .

b) Halla el simétrico de $P$ respecto de $r$ .

Solución

a) $A P = (1, 3, 1)$ y $d = (0, 1, 1)$ , con $A P \cdot d = 4$ y $∣ d ∣^{2} = 2$ . Entonces $λ = 2$ y $Q = (1, 2, 2)$ . Comprobación: $P Q = (- 1, - 1, 1)$ y $P Q \cdot d = 0$ .

b) $P^{'} = 2 Q - P = (2 - 2, 4 - 3, 4 - 1) = (0, 1, 3)$ .

Ejemplo 3 Difícil

Recta paralela a un plano: proyección y simétrica

Sean el plano $π : x + y + z = 0$ y la recta $r : (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ (1, - 1, 0)$ .

a) Halla la proyección ortogonal del punto $A (1, 0, 2)$ de $r$ sobre $π$ .

b) Halla el simétrico de $A$ respecto de $π$ .

c) Halla el punto con $λ = 2$ de la recta simétrica de $r$ respecto de $π$ , dada en la forma $A^{'} + λ (1, - 1, 0)$ , con $A^{'}$ el simétrico de $A$ .

Solución

La recta es paralela al plano: $d \cdot n = (1, - 1, 0) \cdot (1, 1, 1) = 0$ .

a) La perpendicular por $A$ es $(1 + t, t, 2 + t)$ ; en $π$ : $3 + 3 t = 0 \Rightarrow t = - 1$ . La proyección es $Q = (0, - 1, 1)$ .

b) $A^{'} = 2 Q - A = (- 1, - 2, 0)$ .

c) Como $r$ es paralela a $π$ , su proyección es $(0, - 1, 1) + λ (1, - 1, 0)$ y su simétrica es $A^{'} + λ (1, - 1, 0)$ , que mantiene el mismo director. Con $λ = 2$ : $(- 1 + 2, - 2 - 2, 0) = (1, - 4, 0)$ .

Para el examen: si la recta es paralela al plano, no hace falta simetrizar más de un punto: la recta simétrica mantiene el vector director.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

Sea $P (2, - 1, 3)$ y el plano $z = 0$ .

a) Halla la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano.

b) Halla el simétrico de $P$ respecto del plano.

Solución paso a paso

a) La perpendicular por $P$ es vertical: la proyección es $(2, - 1, 0)$ .

b) $P^{'} = 2 (2, - 1, 0) - (2, - 1, 3) = (2, - 1, - 3)$ .

Ejercicio 2 Básico

Sea $A (1, 2, 3)$ y $M (2, 0, 1)$ .

a) Halla el simétrico de $A$ respecto del punto $M$ .

b) Halla el simétrico de $A$ respecto del origen.

Solución paso a paso

a) $A^{'} = 2 M - A = (4 - 1, 0 - 2, 2 - 3) = (3, - 2, - 1)$ .

b) $A^{''} = - A = (- 1, - 2, - 3)$ .

Ejercicio 3 Básico

Sea $P (3, - 2, 5)$ y el eje $O X$ .

a) Halla la proyección ortogonal de $P$ sobre el eje $O X$ .

b) Halla el simétrico de $P$ respecto del eje $O X$ .

Solución paso a paso

a) El eje $O X$ es la recta $(t, 0, 0)$ con $d = (1, 0, 0)$ , y la proyección conserva la primera coordenada: $(3, 0, 0)$ .

b) $P^{'} = 2 (3, 0, 0) - (3, - 2, 5) = (3, 2, - 5)$ .

Ejercicio 4 Medio

Sean $P (3, 0, 3)$ y el plano $π : 2 x - y + 2 z - 3 = 0$ .

a) Halla la proyección ortogonal de $P$ sobre $π$ .

b) Halla el simétrico de $P$ respecto de $π$ .

c) Calcula la distancia de $P$ a $π$ .

Solución paso a paso

a) La perpendicular por $P$ es $(3 + 2 t, - t, 3 + 2 t)$ . En $π$ : $2 (3 + 2 t) - (- t) + 2 (3 + 2 t) - 3 = 9 + 9 t = 0 \Rightarrow t = - 1$ . La proyección es $Q = (1, 1, 1)$ .

b) $P^{'} = 2 Q - P = (- 1, 2, - 1)$ .

c) $d = ∣ P Q ∣ = ∣ (- 2, 1, - 2) ∣ = 3$ . (También $\frac{∣6 - 0 + 6 - 3∣}{3} = 3$ .)

Ejercicio 5 Medio

Sean $P (0, 1, 0)$ y la recta $r : (x, y, z) = (1, - 1, 0) + λ (2, 1, 2)$ .

a) Halla la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$ .

b) Halla el simétrico de $P$ respecto de $r$ .

Solución paso a paso

a) $A P = (- 1, 2, 0)$ y $d = (2, 1, 2)$ : $A P \cdot d = - 2 + 2 + 0 = 0$ . Entonces $λ = 0$ y $Q = A = (1, - 1, 0)$ .

b) $P^{'} = 2 Q - P = (2, - 2, 0) - (0, 1, 0) = (2, - 3, 0)$ .

Ejercicio 6 Medio

Un foco luminoso está en $P (3, 0, 3)$ y delante hay un espejo plano de ecuación $x + 2 y + 2 z = 0$ .

a) Halla el punto del espejo más cercano al foco.

b) Halla dónde se ve la imagen del foco en el espejo, es decir, su simétrico respecto del plano.

Solución paso a paso

a) La perpendicular por $P$ es $(3 + t, 2 t, 3 + 2 t)$ . En el espejo: $(3 + t) + 4 t + 2 (3 + 2 t) = 9 + 9 t = 0 \Rightarrow t = - 1$ . El punto más cercano es $Q = (2, - 2, 1)$ .

b) La imagen es $P^{'} = 2 Q - P = (4 - 3, - 4 - 0, 2 - 3) = (1, - 4, - 1)$ . Comprobación: $1 - 8 - 2 = - 9$ , el opuesto del valor de $P$ ( $3 + 0 + 6 = 9$ ), luego están a lados opuestos a la misma distancia.

Ejercicio 7 Medio

Halla el simétrico del origen respecto del plano $2 x - 2 y + z = 9$ .

Solución paso a paso

La perpendicular por el origen es $(2 t, - 2 t, t)$ . En el plano: $4 t + 4 t + t = 9 t = 9 \Rightarrow t = 1$ , con proyección $(2, - 2, 1)$ . El simétrico es $2 \cdot (2, - 2, 1) = (4, - 4, 2)$ .

Ejercicio 8 Difícil

Sean $P (1, 2, 3)$ y la recta $r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (0, 1, 1)$ .

a) Halla la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$ .

b) Halla el simétrico de $P$ respecto de $r$ .

c) Calcula la distancia de $P$ a $r$ .

Solución paso a paso

a) $A P = (0, 2, 3)$ , $A P \cdot d = 5$ y $∣ d ∣^{2} = 2$ : $λ = \frac{5}{2}$ . La proyección es $Q = (1, \frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ .

b) $P^{'} = 2 Q - P = (2 - 1, 5 - 2, 5 - 3) = (1, 3, 2)$ .

c) $P Q = (0, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ y $d = \frac{2}{2}$ . Comprobación con el producto vectorial: $A P \times d = (2 \cdot 1 - 3 \cdot 1, 3 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = (- 1, 0, 0)$ , de módulo $1$ , y $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ ✓.

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran el plano $π : x + y + z = 3$ , el punto $A (1, 2, 3)$ y la recta $r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ (1, - 1, 0)$ .

a) Halla la proyección ortogonal de $A$ sobre $π$ . (0,75 puntos)

b) Halla el simétrico de $A$ respecto de $π$ . (0,5 puntos)

c) Halla el punto con $λ = 3$ de la proyección ortogonal de $r$ sobre $π$ , dada en la forma (proyección de $A$ ) $+ λ (1, - 1, 0)$ . (0,75 puntos)

d) Calcula la distancia entre $r$ y $π$ . (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) La perpendicular por $A$ es $(1 + t, 2 + t, 3 + t)$ ; en $π$ : $6 + 3 t = 3 \Rightarrow t = - 1$ . La proyección es $Q = (0, 1, 2)$ .

b) $A^{'} = 2 Q - A = (- 1, 0, 1)$ .

c) La recta es paralela al plano ( $d \cdot n = 0$ ), así que su proyección es la recta paralela a ella por $Q$ : $(0, 1, 2) + λ (1, - 1, 0)$ . Con $λ = 3$ : $(3, - 2, 2)$ .

d) Al ser paralela, $d (r, π) = d (A, π) = \frac{∣1 + 2 + 3 - 3∣}{3} = 3$ .

Para el examen: en c), justifica primero que la recta es paralela al plano; es lo que permite proyectar con un solo punto.

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Sea $P^{'}$ el simétrico de $P$ respecto de un plano $π$ . Demuestra que $π$ es el plano mediador del segmento $P P^{'}$ .

Solución paso a paso

Datos. Si $Q$ es la proyección de $P$ sobre $π$ , entonces $P^{'} = 2 Q - P$ , es decir, $Q$ es el punto medio de $P P^{'}$ y $P P^{'} = 2 P Q$ .
El plano pasa por el punto medio. $Q \in π$ , y $Q$ es el punto medio de $P P^{'}$ .
El plano es perpendicular al segmento. $P Q$ es paralelo al normal $n$ de $π$ (por ser la proyección ortogonal), luego $P P^{'} = 2 P Q$ también lo es: $n$ es proporcional a $P P^{'}$ .
Conclusión. $π$ pasa por el punto medio de $P P^{'}$ y tiene normal $P P^{'}$ : es el plano mediador de $P P^{'}$ . Por eso todos los puntos de $π$ equidistan de $P$ y $P^{'}$ .

Resumen

Simétrico de $P$ respecto de un punto $M$ : $P^{'} = 2 M - P$ .
Proyección sobre un plano: corte del plano con la recta $P + t n$ . Sobre una recta: $Q = A + λ d$ con $λ = \frac{A P \cdot d}{∣ d ∣ ^{2}}$ .
El simétrico respecto de un plano o una recta es $P^{'} = 2 Q - P$ , con $Q$ la proyección. $Q$ es el punto medio de $P P^{'}$ .
$d (P, π) = ∣ P Q ∣$ .
Recta paralela a un plano: su proyección y su simétrica son rectas paralelas a ella.

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