Matemáticas II · Vectores en el espacio · Apartado 1 de 5

Puntos y vectores en R³

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Un punto de $R^{3}$ se describe con tres coordenadas y un vector con tres componentes. En este apartado aprendes a pasar de puntos a vectores, a medir distancias y a resolver los problemas básicos de la PAU: punto medio, baricentro, puntos alineados y cuarto vértice de un paralelogramo.

Puntos y vectores

Un punto del espacio se escribe con sus tres coordenadas, $P (x, y, z)$ . Un vector se escribe con sus tres componentes, $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ , y se dibuja como una flecha: tiene módulo (longitud), dirección y sentido. Aunque se escriben igual, no son lo mismo: un punto indica dónde está algo, un vector indica cómo desplazarse.

Dos flechas con el mismo módulo, dirección y sentido son el mismo vector, estén donde estén. Por eso un vector se identifica con sus componentes, y solo con ellas.

Por ejemplo, para $A (1, 2, - 1)$ y $B (4, 0, 3)$ se tiene $A B = (4 - 1, 0 - 2, 3 - (- 1)) = (3, - 2, 4)$ y $B A = (- 3, 2, - 4)$ .

Operaciones con vectores

Se hacen componente a componente. Si $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ , $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ y $k \in R$ :

$u + v = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}, u_{3} + v_{3}) k u = (k u_{1}, k u_{2}, k u_{3})$

Una combinación lineal de $u$ y $v$ es cualquier vector $a u + b v$ con $a, b \in R$ . Si $k > 0$ , $k u$ tiene el mismo sentido que $u$ ; si $k < 0$ , el contrario; y su longitud se multiplica por $∣ k ∣$ . Dos vectores son paralelos cuando uno es múltiplo del otro.

También se puede mover un punto con un vector: si partes de $A$ y te desplazas $u$ , llegas al punto $A + u$ . Es la idea que está detrás de casi todos los problemas de este apartado.

Módulo y vector unitario

Es el teorema de Pitágoras dos veces: primero en el plano $X Y$ y luego con la altura. Por ejemplo, $∣ (3, - 2, 4) ∣ = 9 + 4 + 16 = 29$ . Se cumple $∣ k u ∣ = ∣ k ∣ ∣ u ∣$ y $∣ u ∣ = 0$ solo si $u = 0$ .

Con $u = (2, - 3, 6)$ se tiene $∣ u ∣ = 4 + 9 + 36 = 7$ , así que $u_{0} = (\frac{2}{7}, - \frac{3}{7}, \frac{6}{7})$ . Para obtener un vector de módulo $m$ con la misma dirección se multiplica el unitario por $m$ (con sentido contrario si usas $- m$ ), y por eso hay dos vectores de módulo dado paralelos a uno dado.

Punto medio, baricentro y razón

La intuición del punto medio es que desde $A$ avanzas la mitad del vector: $M = A + \frac{1}{2} A B = A + \frac{1}{2} (B - A) = \frac{A + B}{2}$ . El baricentro está a dos tercios de cada vértice sobre su mediana: $G = A + \frac{2}{3} A M$ , con $M$ el punto medio del lado opuesto.

La misma idea resuelve cualquier problema de razón. Un punto $P$ del segmento $A B$ con $A P : P B = m : n$ cumple $A P = \frac{m}{m + n} A B$ , y entonces $P = A + \frac{m}{m + n} (B - A)$ . Por ejemplo, el punto que está a un tercio del camino de $A$ a $B$ es $P = A + \frac{1}{3} A B$ .

Puntos alineados (colinealidad)

Con un parámetro conviene empezar por la componente que no lo lleva: te da el valor de $k$ y con él despejas el resto. Más adelante verás que los mismos vectores también sirven para decidir si dos rectas son paralelas.

Cuarto vértice de un paralelogramo

En un paralelogramo $A B C D$ (vértices en este orden), los lados opuestos son iguales y paralelos: $A B = D C$ . De aquí se despeja el cuarto vértice:

$D = A + B C = A + C - B$

Además, las diagonales se cortan en su punto medio, el centro del paralelogramo, que es el punto medio de $A C$ (y también de $B D$ ). Cuidado: si te dan tres vértices sin decir el orden, hay tres paralelogramos posibles y por tanto tres posiciones del cuarto vértice. Si el enunciado dice « $A B C D$ », el orden está fijado y solo hay uno.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Vector entre dos puntos, módulo y punto medio

Sean los puntos $A (1, 2, - 1)$ y $B (4, 0, 3)$ .

a) Calcula el vector $A B$ .

b) Calcula la distancia entre $A$ y $B$ .

c) Halla el punto medio del segmento $A B$ .

Solución

a) Extremo menos origen.

$A B = B - A = (4 - 1, 0 - 2, 3 - (- 1)) = (3, - 2, 4)$

b) La distancia es el módulo del vector.

$d (A, B) = ∣ A B ∣ = 3^{2} + (- 2)^{2} + 4^{2} = 9 + 4 + 16 = 29$

c) Media de cada coordenada.

$M = \frac{A + B}{2} = (\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{- 1 + 3}{2}) = (\frac{5}{2}, 1, 1)$

Comprobación: $M$ debe estar a la mitad del camino, $A + \frac{1}{2} A B = (1 + \frac{3}{2}, 2 - 1, - 1 + 2) = (\frac{5}{2}, 1, 1)$ .

Ejemplo 2 Medio

Cuarto vértice de un paralelogramo

Los puntos $A (1, 0, 2)$ , $B (3, 1, 1)$ y $C (4, 3, 0)$ son tres vértices consecutivos de un paralelogramo $A B C D$ .

a) Halla las coordenadas del vértice $D$ .

b) Comprueba que $A B = D C$ y calcula el centro del paralelogramo.

Solución

a) Lados opuestos iguales. En $A B C D$ , $A D = B C$ , de donde

$D = A + B C = A + (C - B) = (1, 0, 2) + (1, 2, - 1) = (2, 2, 1)$

Se obtiene lo mismo con la fórmula $D = A + C - B = (1 + 4 - 3, 0 + 3 - 1, 2 + 0 - 1) = (2, 2, 1)$ .

b) Comprobación. $A B = (2, 1, - 1)$ y $D C = C - D = (4 - 2, 3 - 2, 0 - 1) = (2, 1, - 1)$ . Coinciden, luego $A B$ y $D C$ son iguales y paralelos.

Centro. Es el punto medio de la diagonal $A C$ :

$O = \frac{A + C}{2} = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, 1)$

También es el punto medio de $B D$ : $\frac{B + D}{2} = (\frac{3 + 2}{2}, \frac{1 + 2}{2}, \frac{1 + 1}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, 1)$ . Que salga lo mismo confirma que $D$ está bien calculado.

Ejemplo 3 Difícil

Puntos alineados con parámetros y razón

Sean los puntos $A (1, 0, 2)$ , $B (4, 3, - 1)$ y $C (m, 6, n)$ .

a) Halla $m$ y $n$ para que los tres puntos estén alineados.

b) Halla el punto $P$ del segmento $A B$ que cumple $A P : P B = 1 : 2$ .

Solución

a) Vectores desde $A$ .

$A B = (3, 3, - 3) A C = (m - 1, 6, n - 2)$

Proporcionalidad. Buscamos $k$ con $A C = k A B$ . La segunda componente no tiene incógnitas y da el valor de $k$ :

$6 = 3 k \Rightarrow k = 2$

Con $k = 2$ en las otras dos componentes:

$m - 1 = 2 \cdot 3 = 6 \Rightarrow m = 7 n - 2 = 2 \cdot (- 3) = - 6 \Rightarrow n = - 4$

Es la única solución, porque $k$ queda fijado por la segunda componente. Con $C (7, 6, - 4)$ se tiene $A C = 2 A B$ : $B$ es justo el punto medio de $A C$ .

b) Razón. Si $A P : P B = 1 : 2$ , el segmento $A B$ se reparte en $3$ partes y $P$ está a una de ellas de $A$ : $A P = \frac{1}{3} A B$ . Entonces

$P = A + \frac{1}{3} A B = (1, 0, 2) + (1, 1, - 1) = (2, 1, 1)$

Comprobación: $P B = (2, 2, - 2) = 2 A P$ , luego $P B$ es el doble de $A P$ , como se pedía.

Para el examen: al imponer la alineación se compara el cociente en las tres componentes, no en dos. Si te piden un punto «en razón $m : n$ », escribe primero $A P = \frac{m}{m + n} A B$ y deja constancia de que lo has deducido.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

Sean $P (2, - 1, 3)$ y $Q (- 1, 4, 0)$ .

a) Calcula el vector $P Q$ .

b) Calcula la distancia entre $P$ y $Q$ .

c) Halla el punto medio del segmento $P Q$ .

Solución paso a paso

a) $P Q = Q - P = (- 1 - 2, 4 - (- 1), 0 - 3) = (- 3, 5, - 3)$ .

b) $d (P, Q) = ∣ P Q ∣ = (- 3)^{2} + 5^{2} + (- 3)^{2} = 9 + 25 + 9 = 43$ .

c) $M = \frac{P + Q}{2} = (\frac{2 - 1}{2}, \frac{- 1 + 4}{2}, \frac{3 + 0}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ .

Ejercicio 2 Básico

Sean $u = (1, - 2, 2)$ y $v = (3, 0, - 4)$ .

a) Calcula $2 u - 3 v$ .

b) Calcula $∣ u ∣$ y $∣ v ∣$ , en este orden.

c) Halla el vector unitario con la misma dirección y sentido que $v$ .

Solución paso a paso

a) $2 u = (2, - 4, 4)$ y $3 v = (9, 0, - 12)$ , luego $2 u - 3 v = (2 - 9, - 4 - 0, 4 + 12) = (- 7, - 4, 16)$ .

b) $∣ u ∣ = 1 + 4 + 4 = 3$ y $∣ v ∣ = 9 + 0 + 16 = 5$ .

c) Se divide $v$ por su módulo: $v_{0} = \frac{1}{5} (3, 0, - 4) = (\frac{3}{5}, 0, - \frac{4}{5})$ . Su módulo es $\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$ .

Ejercicio 3 Básico

Sean $A (1, 2, 3)$ , $B (3, 5, 6)$ y $C (7, 11, 12)$ .

a) Halla el número $k$ tal que $A C = k A B$ . ¿Están alineados los tres puntos?

b) Halla el punto $A^{'}$ simétrico de $A$ respecto de $B$ (es decir, aquel para el que $B$ es el punto medio de $A A^{'}$ ).

Solución paso a paso

a) $A B = (2, 3, 3)$ y $A C = (6, 9, 9)$ . Cada componente de $A C$ es el triple de la de $A B$ : $k = 3$ . Como el mismo $k$ sirve para las tres componentes, los vectores son paralelos y, al partir del mismo punto $A$ , los tres puntos están alineados.

b) Si $B$ es el punto medio de $A A^{'}$ , entonces $B = \frac{A + A ^{'}}{2}$ , de donde $A^{'} = 2 B - A = (6 - 1, 10 - 2, 12 - 3) = (5, 8, 9)$ .

Ejercicio 4 Medio

El triángulo $A B C$ tiene vértices $A (1, 2, 3)$ , $B (4, - 2, 0)$ y $C (- 2, 5, 6)$ .

a) Halla el baricentro $G$ del triángulo.

b) Halla el vector $A M$ , donde $M$ es el punto medio del lado $B C$ .

c) Halla el número $k$ tal que $A G = k A M$ .

Solución paso a paso

a) $G = \frac{A + B + C}{3} = (\frac{1 + 4 - 2}{3}, \frac{2 - 2 + 5}{3}, \frac{3 + 0 + 6}{3}) = (1, \frac{5}{3}, 3)$ .

b) $M = \frac{B + C}{2} = (1, \frac{3}{2}, 3)$ , luego $A M = M - A = (0, - \frac{1}{2}, 0)$ .

c) $A G = G - A = (0, - \frac{1}{3}, 0)$ . Comparando con $A M$ : $- \frac{1}{3} = k \cdot (- \frac{1}{2})$ , luego $k = \frac{2}{3}$ . Es la propiedad del baricentro: está a dos tercios del vértice sobre la mediana.

Ejercicio 5 Medio

Halla todos los vectores de módulo $6$ que son paralelos al vector $w = (1, - 2, 2)$ .

Solución paso a paso

Módulo de $w$ . $∣ w ∣ = 1 + 4 + 4 = 3$ .
Vectores paralelos de módulo 6. Un vector paralelo a $w$ es $λ w$ y su módulo es $∣ λ ∣ \cdot 3$ . Imponiendo $∣ λ ∣ \cdot 3 = 6$ se obtiene $λ = \pm 2$ .
Resultado. Hay dos vectores, de sentidos contrarios: $(2, - 4, 4)$ y $(- 2, 4, - 4)$ .

Ejercicio 6 Medio

Un dron vuela en línea recta desde el punto $A (10, 20, 5)$ hasta el punto $B (50, 50, 125)$ , con todas las coordenadas en metros.

a) ¿Qué distancia recorre?

b) ¿En qué punto se encuentra cuando ha recorrido la quinta parte del trayecto?

c) Si tarda $26$ segundos en ir de $A$ a $B$ a velocidad constante, ¿cuántos metros por segundo recorre?

Solución paso a paso

a) $A B = (40, 30, 120)$ y la distancia es su módulo: $4 0^{2} + 3 0^{2} + 12 0^{2} = 1600 + 900 + 14400 = 16900 = 130$ metros.

b) La quinta parte del trayecto: $A + \frac{1}{5} A B = (10, 20, 5) + (8, 6, 24) = (18, 26, 29)$ .

c) Velocidad $= \frac{130}{26} = 5$ metros por segundo.

Ejercicio 7 Medio

Sean $A (1, 0, 2)$ , $B (3, 2, 3)$ y $C (3, - 1, 4)$ .

a) Calcula las longitudes de los lados $A B$ , $A C$ y $B C$ , en este orden.

b) Indica qué tipo de triángulo es según sus lados y calcula su perímetro.

Solución paso a paso

a) $A B = (2, 2, 1)$ , $A C = (2, - 1, 2)$ , $B C = (0, - 3, 1)$ . Sus módulos son

$∣ A B ∣ = 4 + 4 + 1 = 3 ∣ A C ∣ = 4 + 1 + 4 = 3 ∣ B C ∣ = 0 + 9 + 1 = 10$

b) Dos lados valen $3$ y el tercero $10$ : el triángulo es isósceles con $A B = A C$ . Su perímetro es $3 + 3 + 10 = 6 + 10$ .

Ejercicio 8 Difícil

Sean los puntos $A (1, 0, 1)$ , $B (2, m, 3)$ y $C (4, 6, n)$ .

a) Halla $m$ y $n$ para que $A$ , $B$ y $C$ estén alineados.

b) Con esos valores, halla el punto $D$ tal que $B$ sea el punto medio del segmento $A D$ .

c) Con esos valores, halla el punto $E$ del segmento $A C$ que cumple $A E : E C = 1 : 3$ .

Solución paso a paso

a) $A B = (1, m, 2)$ y $A C = (3, 6, n - 1)$ . La primera componente no tiene incógnitas y da $k = 3$ (de $3 = k \cdot 1$ ). Entonces $6 = 3 m$ , luego $m = 2$ , y $n - 1 = 3 \cdot 2 = 6$ , luego $n = 7$ . Así, $B (2, 2, 3)$ y $C (4, 6, 7)$ .

b) $D = 2 B - A = (4 - 1, 4 - 0, 6 - 1) = (3, 4, 5)$ .

c) Si $A E : E C = 1 : 3$ , el segmento $A C$ se divide en $4$ partes y $E$ está a una de ellas de $A$ : $E = A + \frac{1}{4} A C = (1, 0, 1) + (\frac{3}{4}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}) = (\frac{7}{4}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ .

Para el examen: en el apartado a) indica el valor de $k$ y comprueba las tres componentes; en c) la razón $1 : 3$ da el factor $\frac{1}{4}$ , no $\frac{1}{3}$ , un error muy frecuente.

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran los puntos $A (1, 1, 0)$ , $B (2, m, 1)$ y $C (0, 3, m)$ , con $m$ un parámetro real.

a) Halla el valor de $m$ para que los tres puntos estén alineados. (0,75 puntos)

b) Para $m = 0$ , calcula el perímetro del triángulo $A B C$ . (0,75 puntos)

c) Para $m = 0$ , calcula el baricentro del triángulo $A B C$ . (0,5 puntos)

d) Para $m = 0$ , halla el punto $D$ tal que $A B C D$ sea un paralelogramo. (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) $A B = (1, m - 1, 1)$ y $A C = (- 1, 2, m)$ . La primera componente da $k = - 1$ (de $- 1 = k \cdot 1$ ). Segunda: $2 = - (m - 1)$ , luego $m = - 1$ . Tercera: $m = - 1 \cdot 1 = - 1$ . Las dos condiciones coinciden, así que solo para $m = - 1$ los puntos están alineados.

b) Con $m = 0$ : $B (2, 0, 1)$ y $C (0, 3, 0)$ . Entonces $A B = (1, - 1, 1)$ , $A C = (- 1, 2, 0)$ y $B C = (- 2, 3, - 1)$ , de módulos $3$ , $5$ y $14$ . El perímetro es $3 + 5 + 14$ .

c) $G = \frac{A + B + C}{3} = (\frac{1 + 2 + 0}{3}, \frac{1 + 0 + 3}{3}, \frac{0 + 1 + 0}{3}) = (1, \frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ .

d) Con el orden $A B C D$ , $D = A + C - B = (1 + 0 - 2, 1 + 3 - 0, 0 + 0 - 1) = (- 1, 4, - 1)$ . Comprobación: $D C = (1, - 1, 1) = A B$ .

Para el examen: en a) no basta con una componente: debes comprobar que la solución de una ecuación cumple las otras. En d), nombra el orden de los vértices que usas.

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Demuestra que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera $A B C D$ (en el espacio) son los vértices de un paralelogramo.

Solución paso a paso

Los puntos medios. Sean $M$ , $N$ , $P$ y $Q$ los puntos medios de $A B$ , $B C$ , $C D$ y $D A$ :

$M = \frac{A + B}{2} N = \frac{B + C}{2} P = \frac{C + D}{2} Q = \frac{D + A}{2}$

Dos lados opuestos del cuadrilátero $M N P Q$ . Calculamos

$M N = N - M = \frac{C - A}{2} QP = P - Q = \frac{C - A}{2}$

Son iguales: $M N = QP$ .

Conclusión. Un cuadrilátero con dos lados opuestos iguales y paralelos ( $M N$ y $QP$ ) es un paralelogramo. Por tanto $M N P Q$ es un paralelogramo, aunque $A B C D$ sea cualquiera (incluso si no es plano). Además, sus lados son paralelos a las diagonales $A C$ y $B D$ del cuadrilátero original, y miden la mitad.

Para el examen: la clave es expresar todo con los puntos y restar: los términos $B$ y $D$ se cancelan.

Resumen

Un vector entre dos puntos es extremo menos origen: $A B = B - A$ .
Módulo: $∣ u ∣ = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}$ ; distancia entre puntos: $d (A, B) = ∣ A B ∣$ . Vector unitario: $u /∣ u ∣$ .
Punto medio: $\frac{A + B}{2}$ . Baricentro: $\frac{A + B + C}{3}$ . Punto que cumple $A P : P B = m : n$ : $P = A + \frac{m}{m + n} A B$ .
Tres puntos están alineados si $A C = k A B$ con el mismo $k$ en las tres componentes.
Cuarto vértice del paralelogramo $A B C D$ : $D = A + C - B$ ; su centro es el punto medio de $A C$ .

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