Producto mixto

a) $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right|=1\cdot (1-0)-2\cdot (0-6)+0=1+12=13$.

b) El volumen es el valor absoluto: $13$.

c) Al intercambiar dos vectores cambia el signo: $[\vec{v},\vec{u},\vec{w}]=-13$.

a) $\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$, $\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$ y $\overrightarrow{AD}=(0,1,1)$:

$$\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ -1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=-1\cdot (0-1)-1\cdot (-1-0)+0=1+1=2$$

No es cero: los cuatro puntos no son coplanarios y forman un tetraedro.

b) $V=\frac{1}{6}\cdot |2|=\frac{1}{3}$.

a) $\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1,2,0)$ y $\overrightarrow{AD}=(0,m,m-1)$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 2& 0\\ 0& m& m-1\end{array}\right|=1\cdot (2(m-1)-0)-1\cdot ((-1)(m-1)-0)+(-1)\cdot ((-1)m-0)=2m-2+m-1+m=4m-3$$

Es cero para $m=\frac{3}{4}$.

b) Con $m=2$ el producto mixto es $4\cdot 2-3=5$, así que $V=\frac{5}{6}$.

c) Área de la base. $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1\cdot 0-(-1)\cdot 2,(-1)(-1)-1\cdot 0,1\cdot 2-1\cdot (-1))=(2,1,3)$, de módulo $\sqrt{14}$. El área de $ABC$ es $\frac{\sqrt{14}}{2}$.

Altura. $h=\frac{3V}{\text{aˊrea base}}=\frac{3\cdot \frac{5}{6}}{\frac{\sqrt{14}}{2}}=\frac{5}{\sqrt{14}}=\frac{5\sqrt{14}}{14}$.

Para el examen: en a) escribe el determinante entero y su desarrollo; en b), recuerda el $\frac{1}{6}$ y el valor absoluto.

a) La matriz es triangular: $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 1& 1& 3\end{array}\right|=1\cdot 2\cdot 3=6$.

b) El volumen es $|6|=6$.

a) $\vec{v}=2\vec{u}$, así que el determinante tiene dos filas proporcionales y vale $0$.

b) Son coplanarios (el producto mixto es cero). El rango es $2$: $\vec{u}$ y $\vec{w}$ no son paralelos y $\vec{v}$ depende de $\vec{u}$.

a) Los vectores son $(2,0,0)$, $(0,3,0)$ y $(0,0,6)$, y el determinante de una matriz diagonal es el producto: $2\cdot 3\cdot 6=36$.

b) $V=\frac{36}{6}=6$.

a) $\left|\begin{array}{ccc}2& m& 0\\ 0& 1& m\\ 1& 0& m\end{array}\right|=2(m-0)-m(0-m)+0=2m+m^2=m(m+2)$. Se anula para $m=0$ y $m=-2$.

b) Con $m=1$ el producto mixto es $1\cdot 3=3$ y el volumen es $3$.

a) $\overrightarrow{AB}=(1,-1,0)$, $\overrightarrow{AC}=(2,-1,-1)$ y $\overrightarrow{AD}=(0,1,-1)$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 2& -1& -1\\ 0& 1& -1\end{array}\right|=1\cdot (1+1)-(-1)\cdot (-2-0)+0=2-2=0$$

Son coplanarios.

b) $\overrightarrow{AE}=(1,1,z-1)$. Imponemos coplanaridad:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 2& -1& -1\\ 1& 1& z-1\end{array}\right|=1\cdot (-(z-1)+1)+1\cdot (2(z-1)+1)=(2-z)+(2z-1)=z+1=0$$

Luego $z=-1$.

a) Los vectores desde $A$ son $(4,0,0)$, $(0,3,0)$ y $(0,0,5)$, con producto mixto $4\cdot 3\cdot 5=60$. El volumen es $\frac{60}{6}=10$ m³.

b) $10\cdot 1000=10000$ litros.

a) $\overrightarrow{AB}=(1,2,0)$, $\overrightarrow{AC}=(-1,1,1)$, $\overrightarrow{AD}=(0,1,3)$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ -1& 1& 1\\ 0& 1& 3\end{array}\right|=1\cdot (3-1)-2\cdot (-3-0)+0=2+6=8$$

El volumen del paralelepípedo es $8$.

b) El del tetraedro es $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$.

a) $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ m& 0& 1\end{array}\right|=1\cdot (1-0)-1\cdot (0-m)+0=1+m$.

b) El volumen es $|m+1|=5$, que da $m+1=5$ o $m+1=-5$: $m=4$ o $m=-6$.

Para el examen: una ecuación con valor absoluto tiene dos soluciones; si solo das una, pierdes la mitad.

a) $\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)$, $\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)$ y $\overrightarrow{AD}=(0,1,m)$:

$$\left|\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ -1& 0& 3\\ 0& 1& m\end{array}\right|=-1\cdot (0-3)-2\cdot (-m-0)+0=3+2m$$

Es cero para $m=-\frac{3}{2}$.

b) Con $m=3$ el producto mixto vale $9$ y $V=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$.

c) El volumen del paralelepípedo es $|9|=9$.

d) El área de la base $ABC$ es $\frac{7}{2}$ (porque $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(6,3,2)$, de módulo $7$). Entonces $h=\frac{3V}{\text{aˊrea}}=\frac{3\cdot \frac{3}{2}}{\frac{7}{2}}=\frac{9}{7}$.

Para el examen: indica qué cuerpo calculas en cada apartado; la diferencia entre b) y c) es exactamente el factor $\frac{1}{6}$.

1. Producto vectorial. Desarrollamos $(\vec{v}+\vec{w})\times (\vec{w}+\vec{u})$ con la propiedad distributiva, usando $\vec{w}\times \vec{w}=\vec{0}$ y la anticonmutatividad:

$$(\vec{v}+\vec{w})\times (\vec{w}+\vec{u})=\vec{v}\times \vec{w}+\vec{v}\times \vec{u}+\vec{w}\times \vec{w}+\vec{w}\times \vec{u}=\vec{v}\times \vec{w}-\vec{u}\times \vec{v}+\vec{w}\times \vec{u}$$

2. Producto escalar con $\vec{u}+\vec{v}$. Multiplicando escalarmente por $\vec{u}+\vec{v}$, cada término en el que aparece repetido uno de los vectores se anula (el producto mixto con dos vectores iguales es cero). Quedan solo dos:

$$\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})+\vec{v}\cdot (\vec{w}\times \vec{u})=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]$$

3. Permutación cíclica. Como $[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$, el total es $2[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$.

Para el examen: esta demostración se puede hacer también con propiedades de los determinantes (sumando filas); es una buena comprobación.