Producto escalar

a) $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\cdot 1+(-1)\cdot 4+3\cdot (-2)=2-4-6=-8$.

b) Módulos: $|\vec{u}|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$ y $|\vec{v}|=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}$. Entonces

$$\cos \theta =\frac{-8}{\sqrt{14}\sqrt{21}}=\frac{-8}{\sqrt{294}}=\frac{-8}{7\sqrt{6}}=-\frac{4\sqrt{6}}{21}$$

Es negativo: el ángulo es obtuso, como anticipaba el signo del producto escalar.

a) Producto escalar igual a cero.

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=m(m-5)+(-1)(-2)+2\cdot 2=m^2-5m+6=0$$

Las raíces son $m=2$ y $m=3$.

b) Con $m=3$, $\vec{u}=(3,-1,2)$ y $|\vec{u}|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$.

Datos previos. $\vec{u}\cdot \vec{v}=8-2+3=9$ y $|\vec{v}|=\sqrt{4+4+1}=3$, luego $|\vec{v}{|}^2=9$.

a) ${\text{proy}}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{9}{3}=3$.

b) $\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}{|}^2}\vec{v}=\frac{9}{9}(2,-2,1)=(2,-2,1)$. Casualmente coincide con $\vec{v}$.

c) ${\vec{u}}_{\perp }=\vec{u}-(2,-2,1)=(2,3,2)$. Comprobación: ${\vec{u}}_{\perp }\cdot \vec{v}=4-6+2=0$.

d) El vector de posición de $P$ es $\vec{u}$. El punto de la recta más cercano a $P$ es el extremo de la proyección, y la distancia es el módulo de la componente perpendicular:

$$d=|{\vec{u}}_{\perp }|=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}$$

Para el examen: al proyectar, el denominador es $|\vec{v}{|}^2$ en el vector y $|\vec{v}|$ en la proyección escalar. Comprueba siempre que lo que queda es perpendicular (producto escalar nulo).

a) $\vec{u}\cdot \vec{v}=4-2-6=-4$.

b) $|\vec{u}|=\sqrt{14}$ y $|\vec{v}|=\sqrt{21}$. Entonces $\cos \theta =\frac{-4}{\sqrt{14}\sqrt{21}}=\frac{-4}{7\sqrt{6}}=-\frac{2\sqrt{6}}{21}$. El ángulo es obtuso.

a) $\vec{u}\cdot \vec{v}=3-2-1=0$; $\vec{u}\cdot \vec{w}=2+2-4=0$; $\vec{v}\cdot \vec{w}=6-1+4=9$. Luego $\vec{u}$ es ortogonal a $\vec{v}$ y a $\vec{w}$.

b) $(k,3,2)\cdot (1,2,-1)=k+6-2=k+4=0\Rightarrow k=-4$.

a) $\vec{u}\cdot \vec{v}=1$ y $|\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt{2}$, luego $\cos \theta =\frac{1}{2}$.

b) $\theta =\arccos \frac{1}{2}=60^{\circ }$.

a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(2,1,2)$ y $\overrightarrow{AC}=C-A=(1,-2,0)$. Entonces $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2-2+0=0$: el ángulo en $A$ es recto.

b) Como es rectángulo en $A$, el área es $\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \sqrt{5}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

c) $\overrightarrow{BA}=(-2,-1,-2)$, $\overrightarrow{BC}=(-1,-3,-2)$. Su producto escalar es $2+3+4=9$; $|\overrightarrow{BA}|=3$ y $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{14}$. Entonces $\cos B=\frac{9}{3\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{14}}=\frac{3\sqrt{14}}{14}$.

$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$. Con $\vec{u}\cdot \vec{v}=1$, $|\vec{u}|=\sqrt{2}$ y $|\vec{v}|=\sqrt{1+m^2}$:

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}}⟹\sqrt{2(1+m^2)}=2⟹2+2m^2=4⟹m^2=1$$

Los valores son $m=1$ y $m=-1$. Ambos sirven, porque el producto escalar (que vale $1>0$) no depende de $m$.

a) $W=30\cdot 2+20\cdot 1+10\cdot 3=60+20+30=110$ julios.

b) $|\vec{F}|=\sqrt{900+400+100}=\sqrt{1400}=10\sqrt{14}$ y $|\vec{d}|=\sqrt{14}$. Entonces $\cos \theta =\frac{110}{10\sqrt{14}\cdot \sqrt{14}}=\frac{110}{140}=\frac{11}{14}$.

$\vec{u}\cdot \vec{v}=2+6+2=10$ y $|\vec{v}|=3$, con $|\vec{v}{|}^2=9$.

a) ${\text{proy}}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{10}{3}$.

b) $\frac{10}{9}(1,2,2)=\left(\frac{10}{9},\frac{20}{9},\frac{20}{9}\right)$.

a) Dos condiciones. $\vec{w}\cdot \vec{u}=x+y=0$ y $\vec{w}\cdot \vec{v}=x-2z=0$. De la segunda, $x=2z$; de la primera, $y=-x=-2z$. Los vectores son $\vec{w}=(2z,-2z,z)=z(2,-2,1)$.

b) Módulo. $|\vec{w}|=|z|\sqrt{4+4+1}=3|z|=9$, así que $z=\pm 3$. La primera componente $2z$ es negativa si $z=-3$, y entonces $\vec{w}=(-6,6,-3)$.

Para el examen: da siempre el conjunto de soluciones (aquí, múltiplos de $(2,-2,1)$) y después aplica la condición adicional.

a) $\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)$ y $\overrightarrow{AC}=(m-1,2,1)$. El ángulo en $A$ es recto si $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$:

$$-(m-1)+2-1=2-m=0\Rightarrow m=2$$

b) Con $m=2$: $\overrightarrow{AC}=(1,2,1)$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3}$ y $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6}$. Al ser rectángulo en $A$, el área es $\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\frac{1}{2}\sqrt{18}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

c) $C(2,2,3)$. $\overrightarrow{BA}=(1,-1,1)$ y $\overrightarrow{BC}=(2,1,2)$: producto escalar $2-1+2=3$, $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{3}$ y $|\overrightarrow{BC}|=3$. Luego $\cos B=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

d) Con el orden $ABDC$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ y $D=B+C-A=(0+2-1,1+2-0,1+3-2)=(1,3,2)$. Como además el ángulo en $A$ es recto, es un rectángulo.

Para el examen: escribe la condición «$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$» antes de sustituir; es lo que puntúa.

1. Desarrollar el producto. Por la propiedad distributiva y la conmutativa:

$$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\cdot \vec{a}-\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{a}-\vec{b}\cdot \vec{b}=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2$$

2. Equivalencia. Los vectores son ortogonales si y solo si ese producto vale $0$, es decir, $|\vec{a}{|}^2=|\vec{b}{|}^2$, que equivale a $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ (los módulos son positivos).

3. Interpretación. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son dos lados de un paralelogramo, $\vec{a}+\vec{b}$ y $\vec{a}-\vec{b}$ son sus diagonales. El resultado dice que las diagonales son perpendiculares si y solo si los dos lados tienen igual longitud: es decir, si el paralelogramo es un rombo.