Matemáticas II · Vectores en el espacio · Cierre del tema

Problemas de síntesis de vectores

12 problemas con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Estos doce problemas mezclan todo el tema: puntos, vectores, bases, ángulos, áreas y volúmenes. Intenta cada uno sin mirar la solución y revisa después dónde has perdido puntos; los que llevan puntuación imitan el estilo de la PAU.

Problemas de síntesis

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Problema 1 Medio

Sean los puntos $A (1, 2, 3)$ , $B (3, 3, 5)$ y $C (2, 0, 3)$ .

a) Calcula los vectores $A B$ y $A C$ .

b) Calcula el producto escalar $A B \cdot A C$ .

c) Calcula el área del triángulo $A B C$ .

Solución paso a paso

a) $A B = (2, 1, 2)$ y $A C = (1, - 2, 0)$ .

b) $A B \cdot A C = 2 - 2 + 0 = 0$ : el ángulo en $A$ es recto.

c) $A B \times A C = (1 \cdot 0 - 2 \cdot (- 2), 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0, 2 \cdot (- 2) - 1 \cdot 1) = (4, 2, - 5)$ , de módulo $45 = 35$ . El área es $\frac{3 5}{2}$ . (Coincide con $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5$ , porque el triángulo es rectángulo en $A$ .)

Problema 2 Medio

Sean $u = (1, 2, 2)$ y $v = (2, 1, - 2)$ .

a) Calcula $u \cdot v$ .

b) Calcula $u \times v$ .

c) Calcula el área del paralelogramo que forman y comprueba que coincide con $∣ u ∣∣ v ∣$ . ¿Por qué?

Solución paso a paso

a) $u \cdot v = 2 + 2 - 4 = 0$ : son ortogonales.

b) $u \times v = (2 \cdot (- 2) - 2 \cdot 1, 2 \cdot 2 - 1 \cdot (- 2), 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = (- 6, 6, - 3)$ .

c) El área es $∣ u \times v ∣ = 36 + 36 + 9 = 9$ . Como $∣ u ∣ = ∣ v ∣ = 3$ , se tiene $∣ u ∣∣ v ∣ = 9$ . Coincide porque el ángulo es recto ( $sin 9 0^{\circ} = 1$ ): el paralelogramo es un rectángulo.

Problema 3 Medio

Sean $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 1, 0)$ , $C (0, 0, 1)$ y $D (1, 1, 1)$ .

a) Calcula el volumen del tetraedro $A B C D$ .

b) Calcula el área del triángulo $A B C$ .

c) Calcula la altura del tetraedro desde $D$ sobre la base $A B C$ .

Solución paso a paso

a) $[A B, A C, A D] = - 1 - 1 0 101011 = 2$ , luego $V = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

b) $A B \times A C = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 1, (- 1) \cdot 0 - 1 \cdot (- 1)) = (1, 1, 1)$ , de módulo $3$ . El área es $\frac{3}{2}$ .

c) $h = \frac{3 V}{a ˊ rea} = \frac{3 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}$ .

Problema 4 Medio

Sean $u = (1, - 1, m)$ y $v = (2, m, - 1)$ .

a) Halla $m$ para que sean ortogonales.

b) Para ese valor de $m$ , calcula $u \times v$ .

c) Para ese valor de $m$ , calcula el área del paralelogramo que forman.

Solución paso a paso

a) $u \cdot v = 2 - m - m = 2 - 2 m = 0 \Rightarrow m = 1$ .

b) Con $m = 1$ : $u = (1, - 1, 1)$ y $v = (2, 1, - 1)$ , y $u \times v = ((- 1) (- 1) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 2 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 2) = (0, 3, 3)$ .

c) El área es $∣ u \times v ∣ = 18 = 32$ . Comprobación: $∣ u ∣∣ v ∣ = 3 \cdot 6 = 18$ , porque son ortogonales.

Problema 5 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran los vectores $u = (1, 1, 0)$ , $v = (0, 1, 1)$ y $w = (1, 0, m)$ .

a) Halla los valores de $m$ para los que los tres vectores son coplanarios. (0,75 puntos)

b) Para $m = 1$ , calcula el volumen del paralelepípedo que forman. (0,75 puntos)

c) Para $m = 1$ , halla las coordenadas del vector $p = (2, 3, 1)$ respecto de la base ${u, v, w}$ . (1 punto)

Solución paso a paso

a) $[u, v, w] = 101110 01 m = 1 \cdot m - 1 \cdot (0 - 1) + 0 = m + 1$ . Son coplanarios solo si $m = - 1$ .

b) Con $m = 1$ el producto mixto es $2$ y el volumen es $2$ .

c) Con $m = 1$ , $w = (1, 0, 1)$ . Se plantea $(2, 3, 1) = x (1, 1, 0) + y (0, 1, 1) + z (1, 0, 1)$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x + z x + y y + z = 2 = 3 = 1$

Sumando, $x + y + z = 3$ , luego $y = 1$ , $z = 0$ y $x = 2$ . Las coordenadas son $(2, 1, 0)$ .

Para el examen: conecta los apartados: en c) puedes usar que el determinante del a) es distinto de cero para justificar que es una base.

Problema 6 Difícil

Sean $O (0, 0, 0)$ , $A (2, 0, 0)$ , $B (0, 3, 0)$ y $C (0, 0, 6)$ .

a) Calcula el área del triángulo $A B C$ .

b) Calcula el volumen del tetraedro $O A B C$ .

c) Calcula la altura del tetraedro desde $O$ sobre la base $A B C$ .

Solución paso a paso

a) $A B = (- 2, 3, 0)$ y $A C = (- 2, 0, 6)$ , con $A B \times A C = (18, 12, 6) = 6 (3, 2, 1)$ , de módulo $614$ . El área es $314$ .

b) Los vectores desde $O$ son $(2, 0, 0)$ , $(0, 3, 0)$ y $(0, 0, 6)$ , con producto mixto $36$ . El volumen es $\frac{36}{6} = 6$ .

c) $h = \frac{3 V}{a ˊ rea} = \frac{18}{3 14} = \frac{6}{14} = \frac{3 14}{7}$ .

Para el examen: el mismo tetraedro permite dos caminos para la altura; vale la pena comprobar el resultado por el que no hayas usado.

Problema 7 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran los puntos $A (1, 0, 2)$ , $B (0, 1, 1)$ , $C (2, 2, 3)$ y $E (1, 1, 5)$ .

a) Comprueba que el ángulo en $A$ del triángulo $A B C$ es recto. (0,5 puntos)

b) Calcula el área del rectángulo $A B D C$ que tiene esos tres vértices. (0,75 puntos)

c) Halla las coordenadas del vértice $D$ . (0,5 puntos)

d) Calcula el volumen del tetraedro $A B C E$ . (0,75 puntos)

Solución paso a paso

a) $A B = (- 1, 1, - 1)$ y $A C = (1, 2, 1)$ ; su producto escalar es $- 1 + 2 - 1 = 0$ .

b) El rectángulo tiene lados $∣ A B ∣ = 3$ y $∣ A C ∣ = 6$ , y área $18 = 32$ .

c) $D = B + C - A = (0 + 2 - 1, 1 + 2 - 0, 1 + 3 - 2) = (1, 3, 2)$ .

d) $A E = (0, 1, 3)$ y $- 1 10 121 - 1 13 = - 1 \cdot 5 - 1 \cdot 3 + (- 1) \cdot 1 = - 9$ . El volumen es $\frac{∣ - 9∣}{6} = \frac{3}{2}$ .

Para el examen: el volumen es un valor absoluto; no dejes el $- 9$ sin explicar.

Problema 8 Difícil

Sean los puntos $A (k, 0, 0)$ , $B (0, k, 0)$ y $C (0, 0, k)$ con $k > 0$ , y $O$ el origen.

a) Calcula el área del triángulo $A B C$ en función de $k$ .

b) Calcula el volumen del tetraedro $O A B C$ en función de $k$ .

c) Halla el valor de $k$ para el que el área del triángulo $A B C$ vale $23$ .

d) Calcula el volumen del tetraedro para ese valor de $k$ .

Solución paso a paso

a) $A B = (- k, k, 0)$ y $A C = (- k, 0, k)$ , con $A B \times A C = (k^{2}, k^{2}, k^{2})$ , de módulo $3 k^{2}$ . El área es $\frac{3}{2} k^{2}$ .

b) El producto mixto de $O A, O B, O C$ es $k^{3}$ y el volumen es $\frac{k ^{3}}{6}$ .

c) $\frac{3}{2} k^{2} = 23 \Rightarrow k^{2} = 4 \Rightarrow k = 2$ (porque $k > 0$ ).

d) $V = \frac{2 ^{3}}{6} = \frac{4}{3}$ .

Problema 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran los vectores $u = (m, 1, 1)$ , $v = (1, m, 1)$ y $w = (1, 1, m)$ .

a) Halla los valores de $m$ para los que los tres vectores son linealmente dependientes. (0,75 puntos)

b) Para $m = 0$ , calcula el volumen del paralelepípedo que forman. (0,5 puntos)

c) Para $m = 0$ , calcula el coseno del ángulo que forman $u$ y $v$ . (0,5 puntos)

d) Para $m = 0$ , calcula $u \times v$ . (0,75 puntos)

Solución paso a paso

a) $m 11 1 m 1 11 m = m^{3} + 1 + 1 - m - m - m = m^{3} - 3 m + 2 = (m - 1)^{2} (m + 2)$ . Son dependientes para $m = 1$ y $m = - 2$ .

b) Con $m = 0$ el producto mixto es $2$ y el volumen es $2$ .

c) $u = (0, 1, 1)$ y $v = (1, 0, 1)$ : $u \cdot v = 1$ y $∣ u ∣ = ∣ v ∣ = 2$ , luego $cos θ = \frac{1}{2}$ .

d) $u \times v = (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (1, 1, - 1)$ .

Para el examen: factoriza el polinomio $m^{3} - 3 m + 2$ probando $m = 1$ (raíz doble) antes de dar los valores.

Problema 10 Difícil

Se consideran los puntos $A (1, 2, 1)$ y $B (4, 1, - 2)$ , y los puntos $P (x, 0, 0)$ del eje $O X$ .

a) Halla los puntos $P$ para los que los vectores $P A$ y $P B$ son perpendiculares (da los valores de $x$ ).

b) Para el mayor de esos valores de $x$ , calcula el área del triángulo $P A B$ .

c) Para ese mismo valor, calcula la distancia de $P$ a $A$ .

Solución paso a paso

a) $P A = (1 - x, 2, 1)$ y $P B = (4 - x, 1, - 2)$ . Su producto escalar es

$(1 - x) (4 - x) + 2 - 2 = x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)$

que se anula para $x = 1$ y $x = 4$ .

b) Con $x = 4$ : $P A = (- 3, 2, 1)$ y $P B = (0, 1, - 2)$ , con $P A \times P B = (- 5, - 6, - 3)$ , de módulo $70$ . El área es $\frac{70}{2}$ .

c) $d (P, A) = ∣ P A ∣ = 9 + 4 + 1 = 14$ .

Problema 11 DifícilDemostración

Sean $u \neq = 0$ , $v$ y $w$ tres vectores.

a) Demuestra que si $u \times v = u \times w$ , entonces $v - w$ es paralelo a $u$ .

b) Demuestra el recíproco: si $v - w$ es paralelo a $u$ , entonces $u \times v = u \times w$ .

Solución paso a paso

a) Por la propiedad distributiva, $u \times (v - w) = u \times v - u \times w = 0$ . Como el producto vectorial de dos vectores es nulo si y solo si son paralelos (y $u \neq = 0$ ), $v - w$ es paralelo a $u$ .

b) Si $v - w = λ u$ , entonces $u \times (v - w) = λ (u \times u) = 0$ , y de nuevo por la propiedad distributiva $u \times v = u \times w$ .

Consecuencia: del hecho de que dos productos vectoriales sean iguales no se puede «simplificar» $u$ y concluir $v = w$ : solo se concluye que difieren en un múltiplo de $u$ .

Problema 12 Difícil

Una carpa tiene forma de tetraedro. Con las coordenadas en metros, sus vértices están en $A (0, 0, 0)$ , $B (3, 0, 0)$ y $C (0, 4, 0)$ , que están en el suelo, y $V (1, 1, 3)$ , que es el punto más alto.

a) Calcula la superficie del suelo que cubre la carpa.

b) Calcula el volumen de aire que encierra.

c) Calcula la altura de la carpa, es decir, la distancia de $V$ al suelo.

d) Calcula la longitud de la arista más larga de la carpa.

Solución paso a paso

a) El suelo es el triángulo $A B C$ , con $A B = (3, 0, 0)$ y $A C = (0, 4, 0)$ ; es rectángulo en $A$ y su área es $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ m².

b) $[A B, A C, A V] = 301041003 = 36$ , luego $V = \frac{36}{6} = 6$ m³.

c) $h = \frac{3 V}{a ˊ rea} = \frac{18}{6} = 3$ m (coincide con la tercera coordenada de $V$ , porque el suelo es el plano $z = 0$ ).

d) Las aristas miden: $A B = 3$ , $A C = 4$ , $B C = 5$ , $A V = 11$ , $B V = 14$ y $C V = 19$ . La mayor es $B C = 5$ m.

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