Matemáticas II · Vectores en el espacio · Apartado 4 de 5

Producto vectorial

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

El producto vectorial de dos vectores es otro vector, perpendicular a los dos, cuyo módulo es el área del paralelogramo que forman. Con él se calculan áreas de triángulos en el espacio y se obtienen vectores normales a un plano, algo que necesitarás en cuanto empieces con planos.

Definición

Este módulo es exactamente el área del paralelogramo de lados $u$ y $v$ (base por altura, con altura $∣ v ∣ sin θ$ ). Por eso el producto vectorial vale $0$ cuando $u$ y $v$ son paralelos ( $sin θ = 0$ ).

Cálculo con el determinante

Si $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ y $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ , se calcula desarrollando por la primera fila un determinante simbólico:

$u \times v =  u_{1} v_{1}  u_{2} v_{2} k u_{3} v_{3} = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}, u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}, u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})$

Por ejemplo, $(1, 2, 3) \times (2, - 1, 1) = (2 \cdot 1 - 3 \cdot (- 1), 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1, 1 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2) = (5, 5, - 5)$ . Cuidado con el signo de la componente central: es $u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}$ (el desarrollo del determinante da el signo menos al adjunto del medio).

Áreas

Con esto se obtiene también la altura de un triángulo: si el lado $A B$ es la base, $h = \frac{2 \cdot a ˊ rea}{∣ A B ∣}$ . Y como $A B \times A C$ es perpendicular al plano del triángulo, sirve de vector normal a ese plano.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Calcular un producto vectorial y comprobarlo

Sean $u = (1, 2, 3)$ y $v = (2, - 1, 1)$ .

a) Calcula $u \times v$ .

b) Calcula $(u \times v) \cdot u$ para comprobar que es perpendicular a $u$ .

c) Calcula $v \times u$ .

Solución

a) Por la fórmula:

$u \times v = (2 \cdot 1 - 3 \cdot (- 1), 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1, 1 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2) = (5, 5, - 5)$

b) $(5, 5, - 5) \cdot (1, 2, 3) = 5 + 10 - 15 = 0$ . Efectivamente es perpendicular a $u$ (también lo es a $v$ : $10 - 5 - 5 = 0$ ).

c) Es el opuesto: $v \times u = (- 5, - 5, 5)$ .

Ejemplo 2 Medio

Área y altura de un triángulo en el espacio

Sean los puntos $A (1, 0, 1)$ , $B (3, 2, 0)$ y $C (2, 3, 3)$ .

a) Calcula $A B \times A C$ .

b) Calcula el área del triángulo $A B C$ .

c) Calcula la altura del triángulo respecto del lado $A B$ .

Solución

a) $A B = (2, 2, - 1)$ y $A C = (1, 3, 2)$ :

$A B \times A C = (2 \cdot 2 - (- 1) \cdot 3, (- 1) \cdot 1 - 2 \cdot 2, 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1) = (7, - 5, 4)$

b) $∣ A B \times A C ∣ = 49 + 25 + 16 = 90 = 310$ , luego el área es $\frac{3 10}{2}$ .

c) Con base $A B$ , de longitud $∣ A B ∣ = 4 + 4 + 1 = 3$ , la altura es $h = \frac{2 \cdot a ˊ rea}{base} = \frac{3 10}{3} = 10$ .

Ejemplo 3 Difícil

Vector perpendicular de módulo dado

Sean $u = (1, 1, 0)$ y $v = (1, 0, - 2)$ .

a) Calcula $u \times v$ .

b) Calcula el área del paralelogramo que forman.

c) Halla el vector perpendicular a $u$ y a $v$ que tiene módulo $6$ y tercera componente positiva.

Solución

a) $u \times v = (1 \cdot (- 2) - 0 \cdot 0, 0 \cdot 1 - 1 \cdot (- 2), 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (- 2, 2, - 1)$ .

b) $∣ u \times v ∣ = 4 + 4 + 1 = 3$ , así que el área es $3$ .

c) Los vectores perpendiculares a ambos son $λ (- 2, 2, - 1)$ . Su módulo es $3∣ λ ∣ = 6$ , luego $λ = \pm 2$ , que da $(- 4, 4, - 2)$ o $(4, - 4, 2)$ . Con tercera componente positiva, es $λ = - 2$ : $w = (4, - 4, 2)$ .

Para el examen: si te piden un vector perpendicular a otros dos con una condición de módulo, calcula primero el producto vectorial y luego «ajusta» el módulo con $λ$ .

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Nivel

Soluciones

Ejercicio 1 Básico

Sean $u = (2, 0, 1)$ y $v = (1, 3, - 1)$ .

a) Calcula $u \times v$ .

b) Calcula $v \times u$ .

Solución paso a paso

a) $u \times v = (0 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3, 1 \cdot 1 - 2 \cdot (- 1), 2 \cdot 3 - 0 \cdot 1) = (- 3, 3, 6)$ .

b) Es el opuesto: $v \times u = (3, - 3, - 6)$ .

Comprobación: $(- 3, 3, 6) \cdot (2, 0, 1) = - 6 + 0 + 6 = 0$ .

Ejercicio 2 Básico

Sean $u = (1, 0, 2)$ y $v = (0, 1, 3)$ .

a) Calcula $u \times v$ .

b) Calcula el área del paralelogramo que forman.

Solución paso a paso

a) $u \times v = (0 \cdot 3 - 2 \cdot 1, 2 \cdot 0 - 1 \cdot 3, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (- 2, - 3, 1)$ .

b) El área es el módulo: $4 + 9 + 1 = 14$ .

Ejercicio 3 Básico

Sean $u = (1, - 2, 3)$ y $v = (- 2, 4, - 6)$ .

a) Calcula $u \times v$ .

b) Halla el número $k$ tal que $v = k u$ .

Solución paso a paso

a) $u \times v = ((- 2) (- 6) - 3 \cdot 4, 3 \cdot (- 2) - 1 \cdot (- 6), 1 \cdot 4 - (- 2) (- 2)) = (12 - 12, - 6 + 6, 4 - 4) = (0, 0, 0)$ .

b) $v = - 2 u$ , así que $k = - 2$ . El producto vectorial nulo confirma que son paralelos.

Ejercicio 4 Medio

Sean $A (1, 1, 1)$ , $B (2, 3, 1)$ y $C (4, 2, 3)$ .

a) Calcula el área del triángulo $A B C$ .

b) Calcula la altura respecto de la base $A B$ .

Solución paso a paso

a) $A B = (1, 2, 0)$ y $A C = (3, 1, 2)$ . Su producto vectorial es $(2 \cdot 2 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 3 - 1 \cdot 2, 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) = (4, - 2, - 5)$ , de módulo $16 + 4 + 25 = 45 = 35$ . El área es $\frac{3 5}{2}$ .

b) $∣ A B ∣ = 5$ . La altura es $h = \frac{2 \cdot \frac{3 5}{2}}{5} = 3$ .

Ejercicio 5 Medio

Sean $u = (1, 2, 2)$ y $v = (2, 1, - 2)$ .

a) Calcula $u \times v$ .

b) Halla el vector unitario perpendicular a $u$ y a $v$ con primera componente positiva.

Solución paso a paso

a) $u \times v = (2 \cdot (- 2) - 2 \cdot 1, 2 \cdot 2 - 1 \cdot (- 2), 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = (- 6, 6, - 3)$ .

b) Su módulo es $36 + 36 + 9 = 9$ . Los unitarios perpendiculares son $\pm \frac{1}{9} (- 6, 6, - 3)$ . Con primera componente positiva se toma el signo opuesto: $(\frac{2}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ .

Ejercicio 6 Medio

Un panel solar triangular tiene sus vértices en $A (0, 0, 0)$ , $B (4, 0, 3)$ y $C (0, 5, 0)$ , con las coordenadas en metros.

a) Calcula su superficie en metros cuadrados.

b) Si cada metro cuadrado cuesta $120$ euros, ¿cuánto cuesta el panel?

Solución paso a paso

a) $A B = (4, 0, 3)$ y $A C = (0, 5, 0)$ : $A B \times A C = (0 \cdot 0 - 3 \cdot 5, 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0, 4 \cdot 5 - 0 \cdot 0) = (- 15, 0, 20)$ , de módulo $225 + 400 = 25$ . La superficie es $\frac{25}{2} = 12, 5$ m².

b) $12, 5 \cdot 120 = 1500$ euros.

Ejercicio 7 Medio

Sean $u = (1, m, - 2)$ y $v = (n, 6, 4)$ .

a) Halla $m$ y $n$ para que $u \times v = 0$ .

b) Halla el número $k$ tal que $v = k u$ en ese caso.

Solución paso a paso

a) $u \times v = 0$ si y solo si son paralelos: $v = k u$ . La tercera componente da $4 = - 2 k$ , luego $k = - 2$ . Entonces $n = k \cdot 1 = - 2$ y $6 = k m = - 2 m$ , de donde $m = - 3$ .

b) $k = - 2$ .

Ejercicio 8 Difícil

Sean $u = (1, 0, m)$ y $v = (0, 1, 1)$ , con $m$ un parámetro real.

a) Calcula $u \times v$ en función de $m$ .

b) Calcula el área del paralelogramo que forman, en función de $m$ .

c) Halla el valor de $m$ para el que ese área es mínima, y calcula esa área mínima.

Solución paso a paso

a) $u \times v = (0 \cdot 1 - m \cdot 1, m \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (- m, - 1, 1)$ .

b) Área $= m^{2} + 1 + 1 = m^{2} + 2$ .

c) La expresión $m^{2} + 2$ es mínima cuando $m^{2}$ lo es, es decir, para $m = 0$ , y entonces el área mínima es $2$ .

Para el examen: para minimizar una raíz basta minimizar lo que hay dentro, sin derivar.

Ejercicio 9 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se considera el triángulo de vértices $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ y $C (0, 0, 3)$ .

a) Calcula $A B \times A C$ . (0,75 puntos)

b) Calcula el área del triángulo. (0,5 puntos)

c) Calcula la altura del triángulo respecto del lado $B C$ . (0,75 puntos)

d) Halla el vector unitario perpendicular al triángulo con todas sus componentes positivas. (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) $A B = (- 1, 2, 0)$ y $A C = (- 1, 0, 3)$ :

$A B \times A C = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 3, (- 1) \cdot 0 - 2 \cdot (- 1)) = (6, 3, 2)$

b) $∣ A B \times A C ∣ = 36 + 9 + 4 = 7$ , luego el área es $\frac{7}{2}$ .

c) $B C = (0, - 2, 3)$ , con $∣ B C ∣ = 13$ . La altura es $h = \frac{2 \cdot \frac{7}{2}}{13} = \frac{7}{13} = \frac{7 13}{13}$ .

d) $(6, 3, 2)$ es perpendicular al triángulo y tiene módulo $7$ , así que el unitario con componentes positivas es $(\frac{6}{7}, \frac{3}{7}, \frac{2}{7})$ .

Para el examen: calcula una sola vez el producto vectorial y reutilízalo para el área, la altura y el vector normal.

Ejercicio 10 DifícilDemostración

Demuestra la identidad de Lagrange: $∣ u \times v ∣^{2} + (u \cdot v)^{2} = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2}$ .

Solución paso a paso

Usar las definiciones geométricas. Si $θ$ es el ángulo entre $u$ y $v$ , se tiene $∣ u \times v ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣ sin θ$ y $u \cdot v = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ$ .
Elevar al cuadrado y sumar.

$∣ u \times v ∣^{2} + (u \cdot v)^{2} = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} sin^{2} θ + ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} cos^{2} θ = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} (sin^{2} θ + cos^{2} θ)$

Conclusión. Como $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ , queda $∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2}$ . Esta identidad permite calcular el área del paralelogramo sin hacer el producto vectorial: $a ˊ rea = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} - (u \cdot v)^{2}$ .

Resumen

$u \times v$ es un vector perpendicular a $u$ y a $v$ , de módulo $∣ u ∣∣ v ∣ sin θ$ y sentido dado por la regla de la mano derecha.
Se calcula con $(u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}, u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}, u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})$ ; cuidado con el signo de la componente central.
Es anticonmutativo y vale $0$ si y solo si los vectores son paralelos.
Área del paralelogramo: $∣ A B \times A C ∣$ ; área del triángulo: la mitad. Altura: $h = 2 a ˊ rea / base$ .
Un vector perpendicular a otros dos es múltiplo de su producto vectorial.

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