Discusión de sistemas con parámetros

a) 1. Determinante de $A$ (Sarrus):

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& m\\ 2& 3& 4\end{array}\right|=(8+2m+3)-(4+3m+4)=3-m$$

2. Valor crítico: $|A|=0⟺m=3$.

3. Si $m\ne 3$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, el número de incógnitas. SCD.

4. Si $m=3$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 7\end{array}\right)$$

La tercera fila de $A^{\ast }$ es la suma de las dos primeras: $(1,1,1,3)+(1,2,3,4)=(2,3,4,7)$. Así que $\mathrm{rg}(A^{\ast })\le 2$. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$, y por tanto $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$. SCI con un parámetro.

Discusión: $m=3$, SCI; $m\ne 3$, SCD.

b) Con $m=3$ basta con las dos primeras ecuaciones. Con $z=t$:

$$\{\begin{array}{rl}x+y& =3-t\\ x+2y& =4-3t\end{array}$$

Restando, $y=1-2t$; entonces $x=3-t-(1-2t)=2+t$.

$$(x,y,z)=(2+t,1-2t,t),t\in \mathbb{R}$$

Comprobación en la tercera ecuación: $2(2+t)+3(1-2t)+4t=7=3+4$.

a) 1. Sumamos la tercera fila a la cuarta ($F_4+F_3$, no cambia el determinante): la cuarta fila pasa a ser $(1,0,m,2)$.

$$|A^{\ast }|=\left|\begin{array}{cccc}m& 0& 1& 1\\ 1& 0& -1& 1\\ 0& -1& 1& 1\\ 1& 0& m& 2\end{array}\right|$$

2. La segunda columna solo tiene un elemento no nulo, el $-1$ de la posición $(3,2)$, cuyo signo es $(-1{)}^{3+2}=-1$. Desarrollando por esa columna:

$$|A^{\ast }|=(-1)\cdot (-1)\left|\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& m& 2\end{array}\right|=m(-2-m)-(2-1)+(m+1)=-m^2-m=-m(m+1)$$

b) 1. Lo que se sabe sin cuentas. $A$ es $4\times 3$: $\mathrm{rg}(A)\le 3$. Si $|A^{\ast }|\ne 0$, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=4$ y el sistema es SI. Eso ocurre para $m\ne 0$ y $m\ne -1$.

2. Rango de $A$. El menor de las tres primeras filas es

$$\left|\begin{array}{ccc}m& 0& 1\\ 1& 0& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right|=-(m+1)$$

(desarrollando por la segunda columna). Para $m\ne -1$ es distinto de cero y $\mathrm{rg}(A)=3$.

3. Si $m=0$: $|A^{\ast }|=0$, así que $\mathrm{rg}(A^{\ast })\le 3$, y $\mathrm{rg}(A)=3$. Luego $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=n$. SCD.

4. Si $m=-1$: las dos primeras ecuaciones son $-x+z=1$ y $x-z=1$. La primera dice $x-z=-1$ y la segunda $x-z=1$: imposible. SI. Con rangos: los cuatro menores de orden 3 de $A$ se anulan y $\mathrm{rg}(A)=2$ (por ejemplo, $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$), mientras que el menor de $A^{\ast }$ formado por las filas 1, 2, 3 y las columnas 2, 3 y la de términos independientes vale $\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& -1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right|=-2\ne 0$, así que $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$.

Discusión: $m=0$, SCD; $m=-1$, SI; cualquier otro valor, SI.

c) Solo es compatible para $m=0$. Las ecuaciones son $z=1$, $x-z=1$, $-y+z=1$ y $x+y-z=1$. De las tres primeras: $z=1$, $x=2$, $y=0$. Comprobación en la cuarta: $2+0-1=1$.

$$(x,y,z)=(2,0,1)$$

Observa que en $m=-1$ también se anula $|A^{\ast }|$ y, aun así, el sistema es incompatible: $|A^{\ast }|=0$ solo dice que $\mathrm{rg}(A^{\ast })\le 3$, no que coincida con $\mathrm{rg}(A)$.

a) 1. Determinante de $A$ (Sarrus):

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& m& 1\\ m& 1& 1\end{array}\right|=(-m+0+1)-(m^2-1+0)=-m^2-m+2=-(m-1)(m+2)$$

2. Valores críticos: $m=1$ y $m=-2$.

3. Si $m\ne 1$ y $m\ne -2$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.

4. Si $m=1$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 2\\ 1& 1& 1& 2\end{array}\right)$$

Las filas 2 y 3 son iguales: $\mathrm{rg}(A^{\ast })\le 2$. El menor $\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$. Luego $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$. SCI con un parámetro.

5. Si $m=-2$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 1& 1\\ 1& -2& 1& -1\\ -2& 1& 1& -1\end{array}\right)$$

El menor $\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& -2\end{array}\right|=2\ne 0$ y $|A|=0$: $\mathrm{rg}(A)=2$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& -2& -1\\ -2& 1& -1\end{array}\right|=-1(2+1)-0+1(1-4)=-6\ne 0$$

$\mathrm{rg}(A^{\ast })=3\ne \mathrm{rg}(A)$. SI.

Discusión:

b) Cramer con $m$ como letra ($m\ne 1,-2$). Los tres determinantes, por Sarrus:

$$|A_x|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ m+1& m& 1\\ m+1& 1& 1\end{array}\right|=(m-1)+(m+1)(1-m)=-m(m-1)$$

$$|A_y|=\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& m+1& 1\\ m& m+1& 1\end{array}\right|=-m(m-1),|A_z|=\left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& m& m+1\\ m& 1& m+1\end{array}\right|=-2(m-1)(m+1)$$

Dividiendo entre $|A|=-(m-1)(m+2)$ y simplificando el factor $(m-1)$, que no es cero porque $m\ne 1$:

$$x=\frac{m}{m+2},y=\frac{m}{m+2},z=\frac{2(m+1)}{m+2}$$

Comprobación con $m=0$: el sistema queda $-x+z=1$, $x+z=1$, $y+z=1$, cuya solución es $(0,0,1)$; la fórmula da $\left(0,0,\frac{2}{2}\right)=(0,0,1)$.

c) Para $m=1$ nos quedamos con las ecuaciones del menor no nulo, la 1 y la 2: $-x+z=1$ y $x+y+z=2$. Con $z=t$: $x=t-1$ e $y=2-x-z=2-(t-1)-t=3-2t$.

$$(x,y,z)=(t-1,3-2t,t),t\in \mathbb{R}$$

Comprobación con $t=1$: $(0,1,1)$ cumple $-0+1=1$, $0+1+1=2$ y $0+1+1=2$.

Para el examen: la discusión (determinante, valores críticos y los dos rangos de cada caso) suele valer la mitad de la nota; cada caso crítico sin el rango de $A^{\ast }$ justificado pierde su parte. En el SCD, escribe la condición «$m\ne 1,-2$» junto a la fórmula, y no la uses para $m=1$: allí daría un punto concreto, cuando en realidad hay infinitas soluciones.

a) 1. $|A|=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& m\end{array}\right|=m-4$. Valor crítico: $m=4$.

2. Si $m\ne 4$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. SCD: las rectas se cortan en un punto.

3. Si $m=4$: la segunda ecuación es $2x+4y=6$, el doble de la primera. Las dos filas de $A^{\ast }$ son proporcionales: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=1<2$. SCI: es la misma recta escrita dos veces.

b) Por Cramer, para $m\ne 4$:

$$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ m+2& m\end{array}\right|}{m-4}=\frac{3m-2m-4}{m-4}=1,y=\frac{\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& m+2\end{array}\right|}{m-4}=\frac{m+2-6}{m-4}=1$$

La solución es $(1,1)$ para todo $m\ne 4$: todas las rectas $2x+my=m+2$ pasan por el punto $(1,1)$, que también está en $x+2y=3$.

c) Con $m=4$ queda $x+2y=3$. Con $y=t$: $x=3-2t$. Soluciones $(3-2t,t)$, $t\in \mathbb{R}$.

a) 1. Determinante. Restando la primera fila a la segunda ($F_2-F_1$), la segunda fila de $A$ pasa a ser $(0,m,0)$. Desarrollando por ella:

$$|A|=m\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ m-1& 1\end{array}\right|=m(1-m+1)=m(2-m)$$

Valores críticos: $m=0$ y $m=2$.

2. Si $m\ne 0$ y $m\ne 2$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.

3. Si $m=0$: las dos primeras ecuaciones son $x-y+z=2$ y $x-y+z=1$: mismo primer miembro y distinto segundo miembro. SI. Con rangos: el menor $\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=-2\ne 0$ (filas 1 y 3, columnas 2 y 3) da $\mathrm{rg}(A)=2$, y su orlado con la segunda fila y los términos independientes es $\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& 2\\ -1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=-2\ne 0$, así que $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$.

4. Si $m=2$: las ecuaciones segunda y tercera son las dos $x+y+z=1$. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right|=2\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$ y, como dos filas de $A^{\ast }$ son iguales, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. SCI.

Discusión: $m=0$, SI; $m=2$, SCI; cualquier otro valor, SCD.

b) Para $m=2$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$ con $3$ incógnitas, así que las soluciones dependen de $3-2=1$ parámetro.

a) La tercera fila de $A$ es la suma de las dos primeras: $(1,1,1)+(1,-1,1)=(2,0,2)$. Así que $|A|=0$. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-2\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$, para cualquier $m$ (la matriz $A$ no depende de $m$).

b) Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 3\\ 2& 0& m\end{array}\right|=1(-m-0)-1(m-6)+1(0+2)=8-2m$$

• Si $m=4$: vale $0$, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2=\mathrm{rg}(A)<3$. SCI.
• Si $m\ne 4$: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3\ne \mathrm{rg}(A)$. SI.

Tiene sentido: como el primer miembro de la tercera ecuación es la suma de los otros dos, su término independiente debe ser $1+3=4$.

c) Para $m=4$ basta con las dos primeras ecuaciones. Con $z=t$: $x+y=1-t$ y $x-y=3-t$. Sumando, $2x=4-2t$, $x=2-t$; restando, $2y=-2$, $y=-1$.

$$(x,y,z)=(2-t,-1,t),t\in \mathbb{R}$$

a) 1. Determinante. Restando la primera fila a las otras dos ($F_2-F_1$, $F_3-F_1$) queda una matriz triangular:

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& m-1& 0\\ 0& 0& m-1\end{array}\right|=(m-1{)}^2$$

Único valor crítico: $m=1$ (raíz doble).

2. Si $m\ne 1$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.

3. Si $m=1$: las tres ecuaciones son $x+y+z=1$. Todas las filas de $A^{\ast }$ son iguales: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=1<3$. SCI con $3-1=2$ parámetros.

Discusión: $m=1$, SCI; $m\ne 1$, SCD.

b) Las mismas operaciones de fila sobre el sistema dan

$$\{\begin{array}{rl}x+y+z& =1\\ (m-1)y& =m-1\\ (m-1)z& =m^2-1\end{array}$$

Como $m\ne 1$, se puede dividir entre $m-1$: $y=1$ y $z=\frac{(m-1)(m+1)}{m-1}=m+1$. Entonces $x=1-1-(m+1)=-m-1$.

$$(x,y,z)=(-m-1,1,m+1)$$

Comprobación con $m=0$: $(-1,1,1)$ cumple $-1+1+1=1$, $-1+0+1=0$ y $-1+1+0=0$.

c) Para $m=1$ queda una sola ecuación, $x+y+z=1$. Con $y=s$, $z=t$: $x=1-s-t$.

$$(x,y,z)=(1-s-t,s,t),s,t\in \mathbb{R}$$

a) Restando la primera fila a la tercera ($F_3-F_1$), la tercera fila de $A^{\ast }$ queda $(0,0,m-1,3m-3)=(m-1)(0,0,1,3)$. Sacamos el factor $m-1$:

$$|A^{\ast }|=(m-1)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 3\\ 1& 0& 2& m+2\end{array}\right|$$

En el determinante que queda, restamos a la cuarta columna el triple de la tercera ($C_4-3C_3$): la tercera fila pasa a ser $(0,0,1,0)$ y la cuarta $(1,0,2,m-4)$. Desarrollando por la tercera fila y después por la última columna:

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 2& m-4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& -1& 0\\ 1& 0& m-4\end{array}\right|=(m-4)(-1-1)=-2(m-4)$$

Así que $|A^{\ast }|=-2(m-1)(m-4)$.

b) 1. Rango de $A$. El menor de las filas 1, 2 y 4 es $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right|=-3\ne 0$ y no depende de $m$: $\mathrm{rg}(A)=3$ siempre.

2. Si $m\ne 1$ y $m\ne 4$: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=4\ne 3$. SI.

3. Si $m=1$ o $m=4$: $|A^{\ast }|=0$, luego $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=\mathrm{rg}(A)=n$. SCD en los dos casos.

Discusión: $m=1$, SCD; $m=4$, SCD; cualquier otro valor, SI.

c) En los dos casos, las ecuaciones 1, 2 y 4 (las del menor no nulo) tienen solución única y la tercera sobra.

• $m=1$: $x=y$, $2x+z=3$, $x+2z=3$. Restando las dos últimas, $x-z=0$, así que $x=z$, y entonces $3x=3$: $(x,y,z)=(1,1,1)$.
• $m=4$: $x=y$, $2x+z=3$, $x+2z=6$. Del doble de la tercera menos la segunda: $3z=9$, $z=3$, y $x=0$: $(x,y,z)=(0,0,3)$. Comprobación en la tercera: $0+0+4\cdot 3=12=3\cdot 4$.

Este sistema enseña que en un 4×3 un valor crítico no tiene por qué ser «el caso raro»: aquí los dos valores críticos son justo los únicos en los que hay solución.

a) 1. Sin cuentas. $A$ es $3\times 4$: $\mathrm{rg}(A)\le 3<4$. Nunca es SCD.

2. Menor de orden 2. $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-2\ne 0$ (filas 1 y 2, columnas 1 y 2). $\mathrm{rg}(A)\ge 2$.

3. Orlados dentro de $A$, con la tercera fila y la columna 3 o la columna 4:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 2& 0& m^2+1\end{array}\right|=2-2m^2,\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& -1\\ 2& 0& m^2-1\end{array}\right|=2-2m^2$$

Los dos se anulan si y solo si $m=1$ o $m=-1$.

4. Si $m\ne \pm 1$: $\mathrm{rg}(A)=3$ y, como $A^{\ast }$ tiene 3 filas, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3<4$. SCI con un parámetro.

5. Si $m=\pm 1$: $\mathrm{rg}(A)=2$. Orlamos con la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& -1& 0\\ 2& 0& m+1\end{array}\right|=2-2m$$

• $m=1$: vale $0$, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2=\mathrm{rg}(A)$. SCI con $4-2=2$ parámetros.
• $m=-1$: vale $4\ne 0$, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3\ne \mathrm{rg}(A)$. SI.

Discusión: $m=1$, SCI (2 parámetros); $m=-1$, SI; cualquier otro valor, SCI (1 parámetro).

b) Para $m=1$ la tercera ecuación es $2x+2z=2$, la suma de las dos primeras, y sobra. Con $z=s$, $w=t$: $x+y=2-s-t$ y $x-y=-s+t$. Sumando, $2x=2-2s$; restando, $2y=2-2t$:

$$(x,y,z,w)=(1-s,1-t,s,t),s,t\in \mathbb{R}$$

c) Para $m=0$ el sistema es $x+y+z+w=2$, $x-y+z-w=0$, $2x+z-w=1$. Con $w=t$: sumando las dos primeras, $x+z=1$; restándolas, $y+w=1$, así que $y=1-t$. Sustituyendo $z=1-x$ en la tercera: $2x+1-x-t=1$, luego $x=t$ y $z=1-t$.

$$(x,y,z,w)=(t,1-t,1-t,t),t\in \mathbb{R}$$

a) 1. El sistema.

$$\{\begin{array}{rl}2x+y+2z& =14\\ x+y+z& =9\\ x+2y+kz& =13\end{array}$$

2. Determinante. $|A|=2(k-2)-1(k-1)+2(2-1)=k-1$. Valor crítico: $k=1$.

3. Si $k\ne 1$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.

4. Si $k=1$: el menor $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=1\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$. Orlando con la tercera fila y la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 14\\ 1& 1& 9\\ 1& 2& 13\end{array}\right|=2(13-18)-1(13-9)+14(2-1)=-10-4+14=0$$

$\mathrm{rg}(A^{\ast })=2=\mathrm{rg}(A)<3$. SCI. (La tercera ecuación es el triple de la segunda menos la primera.)

Discusión: $k=1$, SCI; $k\ne 1$, SCD.

b) Con $k=1$ basta con las dos primeras ecuaciones. Restándolas, $x+z=5$, así que $x=5-t$; y de la segunda, $y=9-x-z=4$.

$$(x,y,z)=(5-t,4,t)$$

c) Hacen falta $t\ge 0$ entero y $5-t\ge 0$, es decir, $t\in \{0,1,2,3,4,5\}$. Hay 6 planes posibles, todos con 4 sillas.

d) Con $k=3$ el sistema es SCD. Como antes, de las dos primeras ecuaciones $x=5-z$ e $y=4$. En la tercera: $5-z+8+3z=13$, luego $2z=0$ y $z=0$. Se fabrican 5 mesas, 4 sillas y ninguna estantería. Comprobación: $10+4=14$, $5+4=9$, $5+8=13$.

a) 1. Determinante. Restando la tercera fila a las dos primeras ($F_1-F_3$, $F_2-F_3$):

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}a-1& 0& 0\\ 0& b-1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=(a-1)(b-1)$$

Se anula si $a=1$ o si $b=1$.

2. Si $a\ne 1$ y $b\ne 1$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.

3. Si $a=1$ (cualquier $b$): la primera ecuación es $x+y+z=2$ y la tercera $x+y+z=1$. Mismo primer miembro, distinto término independiente: SI. Con rangos: las filas 1 y 3 de $A$ son iguales, así que $\mathrm{rg}(A)\le 2$, mientras que el menor de $A^{\ast }$ formado por esas dos filas, la columna 1 y la de términos independientes es $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$. Con la segunda fila: si $b\ne 1$, $\mathrm{rg}(A)=2$ y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$; si $b=1$, las tres filas de $A$ son iguales, $\mathrm{rg}(A)=1$ y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. En los dos casos los rangos son distintos.

4. Si $b=1$ y $a\ne 1$: las filas 2 y 3 de $A^{\ast }$ son iguales, $(1,1,1,1)$, así que una sobra y $\mathrm{rg}(A^{\ast })\le 2$. El menor $\left|\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=a-1\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$. Rangos iguales a $2<3$: SCI.

Discusión:

• $a=1$ (cualquier $b$): SI.
• $a\ne 1$ y $b=1$: SCI con un parámetro.
• $a\ne 1$ y $b\ne 1$: SCD.

b) Con las mismas operaciones de fila, el sistema queda

$$\{\begin{array}{rl}(a-1)x& =1\\ (b-1)y& =0\\ x+y+z& =1\end{array}$$

Como $a\ne 1$ y $b\ne 1$: $x=\frac{1}{a-1}$, $y=0$ y $z=1-\frac{1}{a-1}=\frac{a-2}{a-1}$.

$$(x,y,z)=\left(\frac{1}{a-1},0,\frac{a-2}{a-1}\right)$$

La solución no depende de $b$: el parámetro $b$ solo decide si el sistema es determinado o no.

c) Para $b=1$ y $a\ne 1$ nos quedamos con las ecuaciones 1 y 3: $ax+y+z=2$ y $x+y+z=1$. Restándolas, $(a-1)x=1$, $x=\frac{1}{a-1}$. Con $z=t$:

$$(x,y,z)=\left(\frac{1}{a-1},\frac{a-2}{a-1}-t,t\right),t\in \mathbb{R}$$

Para el examen: con $|A|=(a-1)(b-1)$ hay tres situaciones, no dos: $a=1$, $b=1$ y las dos a la vez. Aquí el cruce $a=b=1$ queda dentro de «$a=1$» porque también es SI, pero hay que comprobarlo ($\mathrm{rg}(A)=1$, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$) antes de agruparlo.

a) Sumando las dos ecuaciones, $3x=6$ y $x=2$. Entonces $y-z=-1$; con $z=t$, $y=t-1$.

$$(x,y,z)=(2,t-1,t),t\in \mathbb{R}$$

Es una recta de soluciones (la recta en la que se cortan los dos planos).

b) Idea: el nuevo sistema tiene infinitas soluciones si y solo si la nueva ecuación la cumplen todos los puntos de la recta del apartado a). Si solo la cumplen algunos, habrá uno o ninguno.

1. Sustituimos la solución general en $x+ay+3z=b$:

$$2+a(t-1)+3t=b⟺(a+3)t=b+a-2$$

2. Esta igualdad se cumple para todo $t$ si y solo si el coeficiente de $t$ y el término independiente son cero: $a+3=0$ y $b+a-2=0$, es decir, $a=-3$ y $b=5$.

3. Comprobación con rangos. $|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& -1& 1\\ 1& a& 3\end{array}\right|=-3(a+3)$, que se anula solo para $a=-3$; con $a=-3$, el orlado $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 5\\ 1& -3& b\end{array}\right|=15-3b$ se anula solo para $b=5$. Mismo resultado.

c) Con $a=-3$ y $b=0$, la ecuación del paso 1 queda $0\cdot t=-5$, que no se cumple para ningún $t$. SI. (Con rangos: $\mathrm{rg}(A)=2$ y el orlado vale $15\ne 0$, así que $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$.) El tercer plano es paralelo a la recta y no la toca.

d) Con $a=1$ y $b=2$ la ecuación del paso 1 es $4t=1$, así que $t=\frac{1}{4}$ y hay una sola solución:

$$(x,y,z)=\left(2,-\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)$$

Comprobación: $2-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=1$, $4+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=5$ y $2-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=2$.

Para el examen: sustituir la solución general en la ecuación nueva convierte la pregunta en «¿para cuántos $t$ se cumple?»: para todos (SCI), para uno (SCD) o para ninguno (SI). Es más rápido que repetir la discusión, pero conviene confirmarlo con los rangos.

a) 1. Determinante de $A$ (desarrollando por la primera fila):

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& m& 0\\ 1& 1& m\end{array}\right|=1\cdot m^2-1\cdot m+(-1)(1-m)=m^2-1=(m-1)(m+1)$$

Valores críticos: $m=1$ y $m=-1$.

2. Si $m\ne \pm 1$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.

3. Si $m=1$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ 1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$$

El menor $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right|=1\ne 0$ (filas 1 y 2, columnas 2 y 3) da $\mathrm{rg}(A)=2$. La columna de términos independientes, $(1,1,1)$, es igual a la primera columna de $A$, así que añadirla no aumenta el rango: por ejemplo, el orlado $\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=0$ tiene dos columnas iguales. $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2=\mathrm{rg}(A)<3$. SCI.

4. Si $m=-1$: la primera ecuación es $x+y-z=1$ y la tercera $x+y-z=-1$. Mismo primer miembro, distinto segundo: SI. Con rangos: $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-2\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$, y el orlado $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& -1\\ 1& 1& -1\end{array}\right|=4\ne 0$ (filas 1, 2, 3; columnas 1, 2 y términos independientes) da $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$.

Discusión: $m=1$, SCI; $m=-1$, SI; $m\ne \pm 1$, SCD.

b) Para $m=1$, restando la primera ecuación a la segunda: $z=0$. Queda $x+y=1$; con $y=t$, $x=1-t$.

$$(x,y,z)=(1-t,t,0),t\in \mathbb{R}$$

Ojo: aquí $z$ no puede hacer de parámetro, porque vale $0$ en todas las soluciones. Por eso el enunciado pide $y=t$.

c) Por Cramer, para $m\ne \pm 1$:

$$|A_x|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ m& m& 0\\ m& 1& m\end{array}\right|=m(m-1),|A_y|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& m& 0\\ 1& m& m\end{array}\right|=m(m-1),|A_z|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& m& m\\ 1& 1& m\end{array}\right|=(m-1{)}^2$$

Dividiendo entre $(m-1)(m+1)$ y simplificando $m-1\ne 0$:

$$x=\frac{m}{m+1},y=\frac{m}{m+1},z=\frac{m-1}{m+1}$$

Comprobación con $m=0$: $(0,0,-1)$ cumple $0+0+1=1$, $0=0$ y $0=0$.

d) Con $m\ne \pm 1$, la condición $x=2z$ es

$$\frac{m}{m+1}=\frac{2(m-1)}{m+1}⟺m=2m-2⟺m=2$$

que no es crítico. Para $m=2$ la solución es $\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$ y, en efecto, $\frac{2}{3}=2\cdot \frac{1}{3}$.

Para el examen: en a) se puntúa cada caso (general y cada valor crítico) con sus dos rangos justificados. En d) hay que decir que $m=2$ no es un valor crítico; si la ecuación hubiera dado $m=1$ o $m=-1$, la respuesta sería que no existe tal $m$, porque ahí el sistema no es compatible determinado.