Clasificación de sistemas lineales

a) Matriz ampliada. Cada fila recoge los coeficientes de $x$, $y$, $z$ de una ecuación y, separado por la barra, su término independiente:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 2\\ 2& -1& 1& 3\\ 1& 1& 1& 6\end{array}\right)$$

En forma matricial, $AX=B$ con $A$ la parte de la izquierda de la barra, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$.

b) Sustituimos cada punto en las tres ecuaciones.

Solo $Q$ cumple las tres: es la solución. $P$ cumple dos de las tres ecuaciones y aun así no es solución: una solución tiene que cumplirlas todas.

a) Reducción. Sumando las dos ecuaciones, $3x=6$, luego $x=2$ y, de la segunda, $y=3-2=1$. Hay una única solución, $(2,1)$: es un SCD. Geométricamente, dos rectas secantes que se cortan en el punto $(2,1)$. Se podía prever: los coeficientes $2,-1$ y $1,1$ no son proporcionales.

b) Comparamos las ecuaciones. Multiplicando la segunda por $-2$ queda $2x-4y=-2$. El sistema pide que $2x-4y$ valga a la vez $6$ y $-2$, lo cual es imposible: es un SI. Son dos rectas paralelas distintas (mismos coeficientes salvo un factor, distinto término independiente).

c) Comparamos las ecuaciones. La primera, dividida entre $-3$, es $-x+2y=-3$: la misma que la segunda. Solo hay una condición, $x-2y=3$, y el sistema es un SCI: las dos rectas son coincidentes. Tomando $y=t$, $x=3+2t$:

$$(x,y)=(3+2t,t),t\in \mathbb{R}$$

Comprobación con $t=1$: $(5,1)$ cumple $3\cdot 5-6=9$ y $-5+2=-3$.

a) Las dos primeras ecuaciones. Sumándolas desaparecen $y$ y $z$: $3x=3$, luego $x=1$. Sustituyendo en la primera, $1+y-z=2$, es decir, $y=1+z$. Con $z=t$:

$$(x,y,z)=(1,1+t,t),t\in \mathbb{R}$$

Es un SCI: dos planos no paralelos que se cortan en una recta $r$.

b) Idea clave. Las soluciones de las tres ecuaciones son los puntos de $r$ que además cumplen la tercera. Sustituimos el punto genérico de $r$ en $x+ay+z=b$:

$$1+a(1+t)+t=b⟺(a+1)t=b-1-a$$

Esta es una ecuación de primer grado en $t$, y hay tres posibilidades:

1. Si $a+1\ne 0$, hay un único $t$: un único punto. SCD.
2. Si $a+1=0$ y $b-1-a=0$, queda $0\cdot t=0$: vale para todo $t$, toda la recta es solución. SCI.
3. Si $a+1=0$ y $b-1-a\ne 0$, queda $0\cdot t=$ número no nulo: ningún $t$. SI.

El SCI exige $a=-1$ y $b=1+a=0$. Con esos valores el tercer plano, $x-y+z=0$, contiene a la recta $r$: los tres planos pasan por la misma recta.

c) Caso $a=-1$, $b=3$. Estamos en la posibilidad 3: $0\cdot t=3-1+1=3$, imposible. El sistema es SI. Geométricamente, el plano $x-y+z=3$ es paralelo a la recta $r$ pero no la contiene. Además, sus coeficientes $(1,-1,1)$ no son proporcionales a $(1,1,-1)$ ni a $(2,-1,1)$, así que no es paralelo a ninguno de los otros dos planos: cada pareja de planos se corta en una recta y las tres rectas son paralelas. Es el caso del prisma.

d) Caso $a=2$, $b=5$. Posibilidad 1: $(2+1)t=5-1-2$, luego $3t=2$ y $t=\frac{2}{3}$. Sustituyendo en $r$:

$$(x,y,z)=\left(1,\frac{5}{3},\frac{2}{3}\right)$$

Comprobación en la tercera ecuación: $1+2\cdot \frac{5}{3}+\frac{2}{3}=1+\frac{12}{3}=5$. Los tres planos se cortan en un único punto (SCD).

Para el examen: cuando se añade una ecuación a un sistema ya resuelto, sustituir la solución general en la ecuación nueva convierte el problema en una ecuación en $t$, y los tres casos (SCD, SCI, SI) se leen directamente. Explica qué pasa en cada caso con una frase: la interpretación geométrica suele valer parte de la nota.

a) 1. Ordenamos cada ecuación con las incógnitas en el orden $x$, $y$, $z$, $w$ a la izquierda y el número a la derecha, poniendo coeficiente $0$ a las incógnitas que faltan:

$$\{\begin{array}{rl}x+y+2z+0w& =4\\ -x+0y+0z+3w& =2\\ 0x-2y+z-w& =-1\end{array}$$

(la tercera se obtiene pasando $2y+w$ a la izquierda y $-1$ a la derecha).

2. Matriz ampliada:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 2& 0& 4\\ -1& 0& 0& 3& 2\\ 0& -2& 1& -1& -1\end{array}\right)$$

b) Hay 3 ecuaciones y 4 incógnitas: $A$ es $3\times 4$ y $A^{\ast }$, que tiene una columna más, es $3\times 5$.

a) 1. Primera ecuación (no depende de $k$): $1-2+3=2$. Se cumple.

2. Segunda ecuación: $k\cdot 1-(-2)+3=7$, es decir, $k+5=7$, luego $k=2$.

3. Tercera ecuación con $k=2$: $2\cdot 1+2\cdot (-2)-3=2-4-3=-5$. Se cumple.

Por tanto, $k=2$. El paso 3 no se puede saltar: si la tercera ecuación no se cumpliera con $k=2$, no habría ningún valor válido.

b) La segunda ecuación no ha cambiado y sigue exigiendo $k=2$. La tercera exige ahora $2-2k-3=1$, es decir, $-2k=2$ y $k=-1$. Las dos condiciones son incompatibles: no hay ningún valor de $k$.

a) La segunda ecuación es exactamente el doble de la primera ($6x-4y=2$ es $2\cdot (3x-2y=1)$). Solo hay una condición: SCI, rectas coincidentes.

b) Los coeficientes de la segunda son el doble de los de la primera ($2x+6y$), pero el término independiente no ($5\ne 2\cdot 2$). Si $x+3y=2$, entonces $2x+6y=4\ne 5$: SI, rectas paralelas.

c) Los coeficientes no son proporcionales ($4/1\ne -1/2$): SCD, rectas secantes. (Resolviendo: de la primera $y=4x-7$; en la segunda, $x+8x-14=4$, $x=2$, $y=1$; se cortan en $(2,1)$.)

a) 1. Relación entre ecuaciones. La tercera es la suma de las dos primeras: $(x+y+z)+(x-y+2z)=2x+3z$ y $3+2=5$. Se puede quitar sin cambiar las soluciones (sistema equivalente).

2. Resolvemos las dos primeras. Restándolas: $2y-z=1$, luego $y=\frac{1+z}{2}$. De la primera, $x=3-y-z=3-\frac{1+z}{2}-z=\frac{5-3z}{2}$. Con $z=t$:

$$(x,y,z)=\left(\frac{5-3t}{2},\frac{1+t}{2},t\right),t\in \mathbb{R}$$

Es un SCI: ningún par de planos es paralelo y los tres pasan por la misma recta.

b) Los coeficientes de la segunda ecuación son el doble de los de la primera, pero $5\ne 2\cdot 1$: los dos primeros planos son paralelos y distintos. Ya no puede haber ningún punto común: SI. El tercer plano, $(1,-1,1)$, no es paralelo a ellos y los corta.

c) 1. Ningún par de planos es paralelo: los coeficientes $(1,1,0)$, $(0,1,1)$ y $(1,0,-1)$ no son proporcionales dos a dos.

2. Combinamos. Restando la segunda ecuación a la primera, $x-z=0$, que contradice la tercera, $x-z=1$. SI.

3. Interpretación. Cada pareja de planos se corta en una recta y las tres rectas son paralelas: los planos forman un prisma.

1. Resolvemos $S_1$. Sumando las ecuaciones, $3x=3$, luego $x=1$ e $y=2$. $S_1$ es un SCD con solución única $(1,2)$.

2. Condición. Para que $S_2$ sea equivalente, su única solución debe ser también $(1,2)$. En primer lugar, $(1,2)$ debe cumplir $S_2$:

$$p+2=4\Rightarrow p=2,1-2q=-5\Rightarrow q=3$$

3. No basta con eso: hay que comprobar que $S_2$ no tiene más soluciones. Con $p=2$, $q=3$, $S_2$ es $2x+y=4$, $x-3y=-5$. De la primera, $y=4-2x$; en la segunda, $x-12+6x=-5$, $7x=7$, $x=1$, $y=2$. Solución única: $(1,2)$.

Los sistemas son equivalentes para $p=2$, $q=3$.

1. Sustituimos el punto en cada ecuación. Ahora las incógnitas son $a$, $b$ y $c$:

$$\{\begin{array}{rl}a-1+2b& =3\\ 1-b+2c& =6\\ c+a+2& =4\end{array}⟺\{\begin{array}{rl}a+2b& =4\\ -b+2c& =5\\ a+c& =2\end{array}$$

Es un sistema lineal en $a$, $b$, $c$, aunque el de partida tenga $a$, $b$, $c$ como coeficientes.

2. Resolvemos. De la primera, $a=4-2b$; de la tercera, $c=2-a=2b-2$. Sustituyendo en la segunda: $-b+4b-4=5$, $3b=9$, $b=3$. Entonces $a=-2$ y $c=4$.

3. Comprobación. El sistema queda $-2x+y+3z=3$, $x+3y+4z=6$, $4x+2y+z=4$, y con $(1,-1,2)$: $-2-1+6=3$, $1-3+8=6$, $4-2+2=4$.

$a=-2$, $b=3$, $c=4$.

a) Planteamiento. Número de entradas y dinero total:

$$\{\begin{array}{rl}x+y+z& =10\\ 8x+5y+4z& =64\end{array}$$

Son dos planos no paralelos (los coeficientes $(1,1,1)$ y $(8,5,4)$ no son proporcionales), que se cortan en una recta: SCI.

b) Resolución. Restando a la segunda ecuación la primera multiplicada por $5$: $3x-z=14$, luego $x=\frac{14+z}{3}$. De la primera, $y=10-x-z=\frac{30-14-z-3z}{3}=\frac{16-4z}{3}$. Con $z=t$:

$$(x,y,z)=\left(\frac{14+t}{3},\frac{16-4t}{3},t\right)$$

c) Condición añadida: $y=4z$, es decir, $\frac{16-4t}{3}=4t$, luego $16-4t=12t$ y $t=1$. Sustituyendo, $x=5$, $y=4$, $z=1$: 5 entradas de adulto, 4 de niño y 1 de jubilado. Comprobación: $5+4+1=10$ y $40+20+4=64$ euros.

Con la condición nueva el sistema pasa a tener tres ecuaciones y una sola solución. Sin ella, por el contexto, solo valen las soluciones con números naturales: $t=1$ da $(5,4,1)$ y $t=4$ da $(6,0,4)$; ningún otro $t$ da tres naturales.

a) SCI = rectas coincidentes. Las dos ecuaciones deben ser proporcionales, incluido el término independiente. Como $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, la primera ecuación debe ser $\frac{2}{3}$ de la segunda:

$$a=\frac{2}{3}\cdot 3=2,2=\frac{2}{3}b\Rightarrow b=3$$

Con $a=2$, $b=3$: $2x+2y=4$ y $3x+3y=6$, las dos equivalen a $x+y=2$.

b) 1. Que $(2,1)$ sea solución: $2a+2=4\Rightarrow a=1$ y $6+b=6\Rightarrow b=0$.

2. Que sea la única: con $a=1$, $b=0$ el sistema es $x+2y=4$, $3x=6$. La segunda da $x=2$ y la primera $y=1$: solución única. Las rectas son secantes (coeficientes $(1,2)$ y $(3,0)$ no proporcionales).

c) Con $b=1$, la segunda ecuación es $3x+y=6$, luego $y=6-3x$. En la primera: $ax+12-6x=4$, es decir, $(a-6)x=-8$.

• Si $a\ne 6$, $x=\frac{-8}{a-6}$ y hay una solución.
• Si $a=6$, queda $0\cdot x=-8$: imposible. SI.

Geométricamente, con $a=6$ la primera recta es $6x+2y=4$, o sea $3x+y=2$, paralela a $3x+y=6$.

Para el examen: en un sistema $2\times 2$, SCI significa coeficientes y términos independientes proporcionales, y SI significa coeficientes proporcionales pero términos no. En b) no te quedes en sustituir el punto: hay que justificar que la solución es única.

a) Restando las ecuaciones, $2y=2$ e $y=1$. En la primera, $x+z=2$, luego $x=2-z$. Con $z=t$:

$$(x,y,z)=(2-t,1,t),t\in \mathbb{R}$$

Es la recta $r$ en la que se cortan los dos planos.

b) Sustituimos el punto genérico de $r$ en $\alpha x+\beta z=5$:

$$\alpha (2-t)+\beta t=5⟺(\beta -\alpha )t=5-2\alpha$$

Para que todos los puntos de $r$ cumplan la ecuación (SCI) hace falta que la igualdad valga para todo $t$: $\beta -\alpha =0$ y $5-2\alpha =0$. Luego $\alpha =\beta =\frac{5}{2}$.

Comprobación: la ecuación $\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}z=5$ equivale a $x+z=2$, que es la media de las dos ecuaciones dadas. Es combinación de ellas, como debe ser.

c) Con $\beta =1$: $(1-\alpha )t=5-2\alpha$.

• Si $\alpha \ne 1$, hay un único $t$: SCD.
• Si $\alpha =1$, queda $0\cdot t=3$: imposible, SI.

Con $\alpha =1$, $\beta =1$ la ecuación añadida es $x+z=5$, mientras que en todos los puntos de $r$ se cumple $x+z=2$: el tercer plano es paralelo a la recta $r$ sin contenerla.

Para el examen: la herramienta es la misma en b) y en c): sustituir la solución general en la ecuación nueva y estudiar la ecuación $kt=h$ que resulta ($k\ne 0$: SCD; $k=h=0$: SCI; $k=0\ne h$: SI). Escribe los tres casos aunque solo pregunten por uno.

a) Cada solución da una condición en cada ecuación.

1. Primera ecuación. Con $X_1$: $1+2p+0=5\Rightarrow p=2$. Con $X_2$: $3+p+q=5\Rightarrow q=2-p=0$.

2. Segunda ecuación. Con $X_1$: $1+2-0=r\Rightarrow r=3$. Con $X_2$: $3+1-1=3$, que coincide (si no coincidiera, no habría solución).

3. Tercera ecuación. Con $X_1$: $2+2+0=4$, se cumple para cualquier $s$. Con $X_2$: $6+1+s=4\Rightarrow s=-3$.

$p=2$, $q=0$, $r=3$, $s=-3$, y el sistema es

$$\{\begin{array}{rl}x+2y& =5\\ x+y-z& =3\\ 2x+y-3z& =4\end{array}$$

b) El sistema tiene al menos dos soluciones distintas, $X_1$ y $X_2$. Un sistema lineal con dos soluciones distintas tiene infinitas, porque todos los puntos $X_1+\lambda (X_2-X_1)$ son solución. Es un SCI.

c) Resolución. De la primera, $x=5-2y$. En la segunda: $5-2y+y-z=3$, luego $y=2-z$ y $x=5-2(2-z)=1+2z$. Con $z=t$:

$$(x,y,z)=(1+2t,2-t,t),t\in \mathbb{R}$$

Comprobación en la tercera: $2(1+2t)+(2-t)-3t=4$. Se cumple para todo $t$ (la tercera ecuación es combinación de las otras dos). Además, $t=0$ da $X_1$ y $t=1$ da $X_2$: es la recta que pasa por los dos puntos dados, como predice b).

d) $x=0⟺1+2t=0⟺t=-\frac{1}{2}$, que da

$$(x,y,z)=\left(0,\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$$

Para el examen: en a), sustituye cada punto en cada ecuación y comprueba las condiciones que no se usan para despejar. En b) se pide justificar «sin resolver»: la frase clave es «un sistema lineal con dos soluciones distintas tiene infinitas». Clasificar por el número de ecuaciones y de incógnitas no puntúa.