Matemáticas II · Álgebra de matrices · Apartado 3 de 7

Producto de matrices

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

El producto de matrices se hace «fila por columna» y solo existe cuando las dimensiones encajan. Es la operación que más se usa en la PAU y la que más errores provoca, porque no es conmutativo: $A B$ y $B A$ suelen ser distintas.

Cuándo se pueden multiplicar dos matrices

Para multiplicar $A$ por $B$ , el número de columnas de $A$ tiene que ser igual al número de filas de $B$ . El resultado tiene las filas de $A$ y las columnas de $B$ :

$m \times n A \cdot n \times p B = m \times p C$

Una forma de recordarlo: escribe las dimensiones una al lado de la otra. Los dos números «de dentro» deben coincidir y los dos «de fuera» dan la dimensión del producto. Por ejemplo, $(2 \times 3) \cdot (3 \times 4)$ da una matriz $2 \times 4$ , pero $(3 \times 4) \cdot (2 \times 3)$ no existe.

Definición: fila por columna

Por ejemplo, con $A$ de dimensión $2 \times 2$ y $B$ de dimensión $2 \times 3$ , el producto es $2 \times 3$ :

$(23 - 1 0) (1205 4 - 1) = (2 \cdot 1 + (- 1) \cdot 2 3 \cdot 1 + 0 \cdot 2 2 \cdot 0 + (- 1) \cdot 5 3 \cdot 0 + 0 \cdot 5 2 \cdot 4 + (- 1) \cdot (- 1) 3 \cdot 4 + 0 \cdot (- 1)) = (03 - 5 0 912) .$

El elemento $c_{13} = 9$ sale de la fila 1 de $A$ , $(2, - 1)$ , y de la columna 3 de $B$ , $(4, - 1)$ : $2 \cdot 4 + (- 1) \cdot (- 1) = 9$ . Ahora se entiende la condición de dimensiones: para multiplicar una fila por una columna «elemento a elemento», las dos tienen que tener la misma longitud.

Prueba la animación: elige las dimensiones, cambia los números y pulsa en cualquier elemento del resultado para ver qué fila y qué columna lo producen. Fíjate en qué pasa con el resultado cuando intercambias el orden de los factores.

Propiedades del producto

La asociativa dice que da igual qué producto hagas primero, siempre que no cambies el orden de las matrices. Por ejemplo, con $P = (12)$ , $Q = (31)$ y $R = (2 - 1)$ : $(P Q) R = (5) (2 - 1) = (10 - 5)$ , y $P (QR)$ da lo mismo. La identidad hace el papel del 1: cada fila de $I$ «elige» una sola fila de $A$ .

Si $A$ es cuadrada, tiene sentido multiplicarla por sí misma: $A^{2} = A \cdot A$ , $A^{3} = A \cdot A \cdot A$ , etc. Si $A$ no es cuadrada, $A^{2}$ no existe. Las potencias se estudian a fondo en el apartado potencias de matrices.

El producto no es conmutativo

La razón es que en $A B$ se usan las filas de $A$ y las columnas de $B$ , y en $B A$ justo al revés: son cuentas diferentes. Por eso, en una igualdad de matrices hay que respetar el lado: si multiplicas un miembro por $C$ por la izquierda, el otro también se multiplica por $C$ por la izquierda.

Para hallar todas las matrices que conmutan con una dada, se escribe una matriz genérica $X = (a c b d)$ , se calculan $A X$ y $X A$ y se igualan elemento a elemento: sale un sistema lineal en $a$ , $b$ , $c$ , $d$ (lo verás en el ejemplo 3).

Más diferencias con los números

Con números reales, si $ab = 0$ entonces $a = 0$ o $b = 0$ , y si $ab = a c$ con $a \neq = 0$ se puede «tachar» la $a$ . Con matrices ninguna de las dos cosas es cierta:

$(1111) (1 - 1 - 1 1) = (0000),$

y ninguno de los dos factores es la matriz nula. Del mismo modo, con $A = (1111)$ , $B = I$ y $C = (0110)$ se tiene $A B = A C = A$ y, sin embargo, $B \neq = C$ . Lo de «tachar» solo se podrá hacer cuando $A$ tenga inversa (lo verás en el apartado de matriz inversa).

Las fórmulas notables cambian

Al desarrollar con la distributiva, el orden de los factores se mantiene:

$(A + B)^{2} (A + B) (A - B) = (A + B) (A + B) = A^{2} + A B + B A + B^{2}, = A^{2} - A B + B A - B^{2} .$

Basta comparar: $(A + B)^{2} - (A^{2} + 2 A B + B^{2}) = B A - A B$ , y $(A + B) (A - B) - (A^{2} - B^{2}) = B A - A B$ . Las dos diferencias son nulas exactamente cuando $A$ y $B$ conmutan.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Producto de una 2×3 por una 3×2, y al revés

Dadas las matrices $A = (1023 - 1 2), B = 2 - 1 3 104,$

a) Calcula $A B$ .

b) Calcula $B A$ .

Solución

1. Dimensiones. $A$ es $2 \times 3$ y $B$ es $3 \times 2$ . Para $A B$ : $(2 \times 3) \cdot (3 \times 2)$ , coinciden los de dentro (3) y el resultado es $2 \times 2$ . Para $B A$ : $(3 \times 2) \cdot (2 \times 3)$ , coinciden (2) y el resultado es $3 \times 3$ . Los dos productos existen, pero ni siquiera tienen la misma dimensión.

2. Cálculo de $A B$ (fila de $A$ por columna de $B$ ):

$c_{11} c_{12} c_{21} c_{22} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 3 = 2 - 2 - 3 = - 3, = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + (- 1) \cdot 4 = 1 + 0 - 4 = - 3, = 0 \cdot 2 + 3 \cdot (- 1) + 2 \cdot 3 = 0 - 3 + 6 = 3, = 0 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 8.$

$A B = (- 3 3 - 3 8) .$

3. Cálculo de $B A$ (fila de $B$ por columna de $A$ ). La primera fila de $B$ es $(2, 1)$ ; por las tres columnas de $A$ da $2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2$ , $2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 7$ y $2 \cdot (- 1) + 1 \cdot 2 = 0$ . Con las otras dos filas, $(- 1, 0)$ y $(3, 4)$ , se hace igual:

$B A = 2 - 1 3 7 - 2 18 015 .$

4. Conclusión. $A B$ y $B A$ son matrices de dimensiones distintas: el orden de los factores importa.

Ejemplo 2 Medio

¿Vale el cuadrado de una suma?

Sean $A = (1012), B = (0110) .$

a) Calcula $(A + B)^{2}$ .

b) Calcula $A^{2} + 2 A B + B^{2}$ y explica por qué no coincide con el resultado del apartado a).

Solución

1. Apartado a). Primero se suma y después se multiplica la suma por sí misma:

$A + B = (1122), (A + B)^{2} = (1122) (1122) = (1 + 2 1 + 2 2 + 4 2 + 4) = (3366) .$

2. Las piezas del apartado b).

$A^{2} = (1034), A B = (1210), B^{2} = (1001) = I .$

3. Suma.

$A^{2} + 2 A B + B^{2} = (1034) + (2420) + (1001) = (4455) .$

4. Por qué no coinciden. Desarrollando, $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ . La fórmula «de siempre» sustituye $A B + B A$ por $2 A B$ , y eso solo es correcto si $A B = B A$ . Aquí

$B A = (0121) \neq = A B,$

y de hecho la diferencia es $(A + B)^{2} - (A^{2} + 2 A B + B^{2}) = B A - A B = (- 1 - 1 11)$ , como se comprueba restando los dos resultados.

Ejemplo 3 Difícil

Todas las matrices que conmutan con una dada

Halla todas las matrices $X = (a c b d)$ que conmutan con $A = (1011) .$

Solución

1. Planteamiento. «Conmutar» significa $A X = X A$ . Como no sabemos nada de $X$ , la escribimos con cuatro incógnitas y calculamos los dos productos.

2. Los dos productos.

$A X = (1011) (a c b d) = (a + c c b + d d), X A = (a c b d) (1011) = (a c a + b c + d) .$

3. Igualamos elemento a elemento. Dos matrices son iguales si lo son todos sus elementos:

$⎩ ⎨ ⎧ a + c b + d c d = a = a + b = c = c + d ⟹ {c d = 0 = a$

La tercera ecuación se cumple siempre y la cuarta repite $c = 0$ . Sobre $a$ y $b$ no hay ninguna condición: quedan libres.

4. Resultado. Las matrices que conmutan con $A$ son exactamente

$X = (a 0 b a), a, b \in R .$

5. Comprobación rápida. Con $a = 2$ , $b = 5$ : $A X = (2072)$ y $X A = (2072)$ . Coinciden. Observa que la identidad ( $a = 1$ , $b = 0$ ) y la propia $A$ ( $a = 1$ , $b = 1$ ) están en la familia, como debía ser.

Para el examen: en este tipo de ejercicio se puntúa el planteamiento ( $A X = X A$ con una matriz genérica), los dos productos bien hechos y la resolución del sistema. La respuesta debe ser una familia de matrices que dependa de parámetros, no una sola matriz: si te sale una única matriz, revisa el sistema.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Ejercicio 1 Básico

Sean la matriz fila $A = (12 - 1)$ y la matriz columna $B = 3 - 1 2$ .

a) Calcula $A B$ .

b) Calcula $B A$ .

Solución paso a paso

1. Dimensiones. $A$ es $1 \times 3$ y $B$ es $3 \times 1$ . $A B$ es $(1 \times 3) \cdot (3 \times 1) = 1 \times 1$ , y $B A$ es $(3 \times 1) \cdot (1 \times 3) = 3 \times 3$ .

2. Apartado a). Una sola fila por una sola columna:

$A B = (1 \cdot 3 + 2 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 2) = (3 - 2 - 2) = (- 1) .$

3. Apartado b). Cada fila de $B$ tiene un solo número, y cada columna de $A$ también, así que $c_{ij} = b_{i 1} a_{1 j}$ : la fila $i$ del resultado es la fila de $A$ multiplicada por el elemento $i$ de $B$ .

$B A = 3 - 1 2 (12 - 1) = 3 - 1 2 6 - 2 4 - 3 1 - 2 .$

Fila por columna da un número; columna por fila da una matriz entera.

Ejercicio 2 Básico

Sean $A$ una matriz de dimensión $3 \times 2$ , $B$ una de dimensión $2 \times 4$ y $C$ una de dimensión $4 \times 3$ . Indica la dimensión de cada uno de estos productos:

a) $A B$

b) $A B C$

c) $C A B$

d) $B C A$

Solución paso a paso

Para cada producto se encadenan las dimensiones: los números de dentro tienen que coincidir y se quedan los de fuera.

1. Apartado a). $(3 \times 2) \cdot (2 \times 4)$ : coincide el 2. $A B$ es $3 \times 4$ .

2. Apartado b). $A B$ es $3 \times 4$ y $C$ es $4 \times 3$ : $(3 \times 4) \cdot (4 \times 3)$ , coincide el 4. $A B C$ es $3 \times 3$ .

3. Apartado c). $C A$ es $(4 \times 3) \cdot (3 \times 2) = 4 \times 2$ , y $(4 \times 2) \cdot (2 \times 4) = 4 \times 4$ . $C A B$ es $4 \times 4$ .

4. Apartado d). $B C$ es $(2 \times 4) \cdot (4 \times 3) = 2 \times 3$ , y $(2 \times 3) \cdot (3 \times 2) = 2 \times 2$ . $B C A$ es $2 \times 2$ .

Observa que, con estas mismas tres matrices, $B A$ no existe: $(2 \times 4) \cdot (3 \times 2)$ y $4 \neq = 3$ .

Ejercicio 3 Básico

Dadas $A = (21 - 1 3), B = (04 1 - 2),$

a) Calcula $A B$ .

b) Calcula $B A$ . ¿Conmutan $A$ y $B$ ?

Solución paso a paso

1. Apartado a). Fila de $A$ por columna de $B$ :

$A B = (2 \cdot 0 + (- 1) \cdot 4 1 \cdot 0 + 3 \cdot 4 2 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 2) 1 \cdot 1 + 3 \cdot (- 2)) = (- 4 12 4 - 5) .$

2. Apartado b). Fila de $B$ por columna de $A$ :

$B A = (0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 4 \cdot 2 + (- 2) \cdot 1 0 \cdot (- 1) + 1 \cdot 3 4 \cdot (- 1) + (- 2) \cdot 3) = (16 3 - 10) .$

3. Conclusión. $A B \neq = B A$ (basta con que un elemento sea distinto; aquí lo son todos), así que $A$ y $B$ no conmutan.

Ejercicio 4 Medio

Sean $A = (2 - 4 - 1 2), B = (1 y x 4) .$

a) Halla $x$ e $y$ para que $A B = O$ .

b) Con esos valores, calcula $B A$ . ¿Es también la matriz nula?

Solución paso a paso

1. Calculamos $A B$ en función de $x$ e $y$ .

$A B = (2 - y - 4 + 2 y 2 x - 4 - 4 x + 8) .$

2. Igualamos a la matriz nula. Cada elemento debe valer 0:

$2 - y = 0, 2 x - 4 = 0, - 4 + 2 y = 0, - 4 x + 8 = 0 ⟹ x = 2, y = 2.$

Las cuatro ecuaciones son compatibles (la tercera y la cuarta son las dos primeras multiplicadas por $- 2$ ). Así, $B = (1224)$ . Ni $A$ ni $B$ son nulas y, sin embargo, $A B = O$ .

3. Apartado b).

$B A = (1224) (2 - 4 - 1 2) = (2 - 8 4 - 16 - 1 + 4 - 2 + 8) = (- 6 - 12 36) .$

No es la matriz nula: que $A B = O$ no implica que $B A = O$ .

Ejercicio 5 Medio

Sean $A = (1021), B = (1301) .$

a) Calcula $(A + B) (A - B)$ .

b) Calcula $A^{2} - B^{2}$ .

c) Calcula $B A - A B$ y explica qué relación tiene con los resultados de a) y b).

Solución paso a paso

1. Apartado a).

$A + B = (2322), A - B = (0 - 3 20), (A + B) (A - B) = (0 - 6 0 - 6 4 + 0 6 + 0) = (- 6 - 6 46) .$

2. Apartado b).

$A^{2} = (1041), B^{2} = (1601), A^{2} - B^{2} = (0 - 6 40) .$

No coincide con a).

3. Apartado c).

$A B = (7321), B A = (1327), B A - A B = (- 6 0 06) .$

4. Relación. Desarrollando con la distributiva y sin cambiar el orden, $(A + B) (A - B) = A^{2} - A B + B A - B^{2}$ , luego

$(A + B) (A - B) - (A^{2} - B^{2}) = B A - A B .$

Efectivamente, $(- 6 - 6 46) - (0 - 6 40) = (- 6 0 06)$ . La fórmula «suma por diferencia» falla justo porque $A$ y $B$ no conmutan.

Ejercicio 6 Medio

Sean $A = (x 2 11), B = (34 y 1) .$

a) Halla $x$ e $y$ para que $A$ y $B$ conmuten.

b) Con esos valores, calcula $A B$ .

Solución paso a paso

1. Los dos productos.

$A B = (3 x + 4 10 x y + 1 2 y + 1), B A = (3 x + 2 y 4 x + 2 y + 3 5) .$

2. Igualamos elemento a elemento.

$⎩ ⎨ ⎧ 3 x + 4 x y + 1 10 2 y + 1 = 3 x + 2 y = y + 3 = 4 x + 2 = 5$

De la primera, $2 y = 4$ , es decir, $y = 2$ . De la tercera, $x = 2$ . Hay que comprobar que estos valores cumplen todas las ecuaciones: la segunda da $2 \cdot 2 + 1 = 5 = 2 + 3$ y la cuarta $2 \cdot 2 + 1 = 5$ . Se cumplen, así que $x = 2$ , $y = 2$ .

3. Apartado b). Con $x = y = 2$ :

$A B = (101055),$

y, como deben conmutar, $B A$ da lo mismo (compruébalo).

Ejercicio 7 Medio

Una carpintería recibe pedidos de dos tiendas. La matriz $Q$ da las unidades pedidas (filas: tienda 1 y tienda 2; columnas: mesas, sillas y estanterías) y la matriz $R$ da lo que necesita cada mueble (filas: mesa, silla y estantería; columnas: horas de trabajo y tablones de madera):

$Q = (4210625), R = 524625 .$

Cada hora de trabajo cuesta 20 euros y cada tablón 15 euros.

a) Calcula $QR$ e interpreta sus elementos.

b) Escribe los costes en una matriz columna $p$ y calcula la matriz columna $QR p$ , que da el coste en euros del pedido de cada tienda.

c) La tienda 2 quiere añadir sillas a su pedido sin que su coste total pase de 2000 euros. ¿Cuántas sillas más puede pedir como máximo?

Solución paso a paso

1. Apartado a). $Q$ es $2 \times 3$ y $R$ es $3 \times 2$ , así que $QR$ es $2 \times 2$ :

$QR = (4 \cdot 5 + 10 \cdot 2 + 2 \cdot 4 2 \cdot 5 + 6 \cdot 2 + 5 \cdot 4 4 \cdot 6 + 10 \cdot 2 + 2 \cdot 5 2 \cdot 6 + 6 \cdot 2 + 5 \cdot 5) = (48425449) .$

Cada fila es una tienda y cada columna un recurso: el pedido de la tienda 1 necesita 48 horas y 54 tablones; el de la tienda 2, 42 horas y 49 tablones. El producto «encadena» tienda → mueble → recurso: por eso las columnas de $Q$ y las filas de $R$ tienen que hablar de lo mismo (los muebles).

2. Apartado b). El vector de costes va en el orden de las columnas de $R$ (horas, tablones): $p = (2015)$ .

$QR p = (48425449) (2015) = (960 + 810 840 + 735) = (17701575) .$

El pedido de la tienda 1 cuesta 1770 euros y el de la tienda 2, 1575 euros.

3. Apartado c). Por la asociativa, $QR p = Q (R p)$ , y $R p$ da el coste de cada mueble:

$R p = 5 \cdot 20 + 6 \cdot 15 2 \cdot 20 + 2 \cdot 15 4 \cdot 20 + 5 \cdot 15 = 19070155 .$

Cada silla cuesta 70 euros. Si la tienda 2 añade $n$ sillas, su coste es $1575 + 70 n$ , y debe cumplirse $1575 + 70 n \leq 2000$ , es decir, $70 n \leq 425$ , $n \leq 6, 07 \dots$ Como $n$ es entero, puede pedir 6 sillas más como máximo (coste: $1575 + 420 = 1995$ euros).

Ejercicio 8 Difícil

Sean $A = (1023), B = (m 0 12), m \in R .$

a) Calcula $A B - B A$ en función de $m$ .

b) Halla los valores de $m$ para los que $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .

c) Para el valor hallado en b), calcula $(A + B)^{2}$ .

d) Para ese mismo valor, calcula $(A + B) (A - B)$ .

Solución paso a paso

1. Apartado a).

$A B = (m 0 1 + 4 6) = (m 0 56), B A = (m 0 2 m + 3 6),$

$A B - B A = (00 2 - 2 m 0) .$

2. Apartado b). Desarrollando sin cambiar el orden, $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ . Restando,

$(A + B)^{2} - (A^{2} + 2 A B + B^{2}) = B A - A B = (00 2 m - 2 0) .$

La igualdad se cumple si y solo si esta matriz es nula, es decir, si $2 m - 2 = 0$ : $m = 1$ . No hace falta calcular ningún cuadrado: la igualdad equivale a que $A$ y $B$ conmuten.

3. Apartado c). Con $m = 1$ , $A + B = (2035)$ y

$(A + B)^{2} = (2035) (2035) = (40 6 + 15 25) = (402125) .$

4. Apartado d). Con $m = 1$ , $A - B = (0011)$ y

$(A + B) (A - B) = (2035) (0011) = (0055) .$

Como para $m = 1$ las matrices conmutan, también vale $(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$ : en efecto, $A^{2} = (1089)$ , $B^{2} = (1034)$ y $A^{2} - B^{2} = (0055)$ .

Para el examen: la clave es escribir $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ y reducir el problema a $A B = B A$ . Quien calcula los dos cuadrados con $m$ llega al mismo sitio, pero con más cuentas y más riesgo de error.

Ejercicio 9 Difícil

Sea $A = (1224) .$

a) Halla todas las matrices $B = (a c b d)$ tales que $A B = O$ . Exprésalas en función de $c$ y $d$ .

b) De las matrices del apartado a), halla las que además cumplen $B A = O$ . Exprésalas en función de $d$ .

c) Halla la matriz $B$ que cumple $A B = O$ , $B A = O$ y cuyo elemento $b_{11}$ vale 8.

Solución paso a paso

1. Apartado a).

$A B = (a + 2 c 2 a + 4 c b + 2 d 2 b + 4 d) = (0000) .$

La segunda fila es el doble de la primera, así que solo hay dos condiciones: $a = - 2 c$ y $b = - 2 d$ . Por tanto,

$B = (- 2 c c - 2 d d), c, d \in R .$

Intuición: cada columna de $B$ tiene que ser «perpendicular» a la fila $(1, 2)$ de $A$ , y todas esas columnas son múltiplos de $(- 2 1)$ .

2. Apartado b). Multiplicamos la $B$ del apartado anterior por $A$ por la derecha:

$B A = (- 2 c c - 2 d d) (1224) = (- 2 c - 4 d c + 2 d - 4 c - 8 d 2 c + 4 d) .$

Todos los elementos son múltiplos de $c + 2 d$ , así que $B A = O ⟺ c = - 2 d$ . Sustituyendo:

$B = (4 d - 2 d - 2 d d), d \in R .$

3. Apartado c). $b_{11} = 4 d = 8$ , luego $d = 2$ y

$B = (8 - 4 - 4 2) .$

Comprobación: $A B = (8 - 8 16 - 16 - 4 + 4 - 8 + 8) = O$ y $B A = (8 - 8 - 4 + 4 16 - 16 - 8 + 8) = O$ .

Para el examen: este ejercicio demuestra que $A B = O$ no obliga a que $A$ o $B$ sean nulas. Si en otro problema necesitas concluir « $A = O$ o $B = O$ », recuerda que con matrices no se puede.

Ejercicio 10 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se considera la matriz $A = (1221) .$

a) Halla todas las matrices $X = (a c b d)$ que conmutan con $A$ . (1 punto)

b) Halla la matriz $X$ que conmuta con $A$ y cumple $A X = (4554)$ . (0,75 puntos)

c) Sea $B = (0010)$ . Calcula $(A + B)^{2} - (A^{2} + 2 A B + B^{2})$ . (0,75 puntos)

Solución paso a paso

1. Apartado a). Imponemos $A X = X A$ :

$A X = (a + 2 c 2 a + c b + 2 d 2 b + d), X A = (a + 2 b c + 2 d 2 a + b 2 c + d) .$

Igualando elemento a elemento:

$⎩ ⎨ ⎧ a + 2 c b + 2 d 2 a + c 2 b + d = a + 2 b = 2 a + b = c + 2 d = 2 c + d ⟹ {c d = b = a$

(la tercera ecuación repite $d = a$ y la cuarta, $c = b$ ). Las matrices que conmutan con $A$ son

$X = (a b b a), a, b \in R .$

2. Apartado b). Por el apartado a), $X = (a b b a)$ . Entonces

$A X = (a + 2 b 2 a + b 2 a + b a + 2 b) = (4554) ⟹ {a + 2 b 2 a + b = 4 = 5$

Restando la primera ecuación multiplicada por 2 de la segunda: $- 3 b = - 3$ , $b = 1$ , y entonces $a = 2$ . Así,

$X = (2112) .$

Comprobación: $A X = (2 + 2 4 + 1 1 + 4 2 + 2) = (4554)$ .

3. Apartado c). Como $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ , la diferencia pedida es $B A - A B$ , sin necesidad de calcular cuadrados:

$A B = (0012), B A = (2010), (A + B)^{2} - (A^{2} + 2 A B + B^{2}) = B A - A B = (20 0 - 2) .$

Como no es la matriz nula, para estas $A$ y $B$ la fórmula del cuadrado de una suma no vale: $B$ no es de la forma del apartado a), así que no conmuta con $A$ .

Para el examen: en a) se valora el planteamiento $A X = X A$ con la matriz genérica, los productos y el sistema resuelto; la respuesta es una familia con dos parámetros. En b) hay que usar la familia de a), no empezar de cero. En c), escribir $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ y reducir a $B A - A B$ ahorra tiempo y errores; quien calcula los cuadrados por separado también puntúa si las cuentas están bien.

Resumen

$A B$ existe si el número de columnas de $A$ es igual al número de filas de $B$ : $(m \times n) \cdot (n \times p) = m \times p$ .
Cada elemento $c_{ij}$ es la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$ : se multiplica elemento a elemento y se suma.
Se cumplen la asociativa, la distributiva y $A I = I A = A$ . $A^{2} = A \cdot A$ solo existe si $A$ es cuadrada.
No es conmutativo: en general $A B \neq = B A$ . Dos matrices conmutan si $A B = B A$ ; para hallarlas, matriz genérica e igualar elemento a elemento.
$A B = O$ no implica $A = O$ o $B = O$ , y $A B = A C$ no implica $B = C$ .
$(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ . Las fórmulas $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ y $(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$ solo valen si $A B = B A$ .

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