Matemáticas II · Álgebra de matrices · Apartado 7 de 7

Ecuaciones matriciales

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Una ecuación matricial es una ecuación cuya incógnita es una matriz $X$ . Se resuelve como una ecuación de primer grado, pero sin dividir: se despeja $X$ multiplicando por la inversa por el lado correcto. Es uno de los ejercicios que más se repiten en el bloque de Álgebra de la PAU.

Qué es una ecuación matricial

Por ejemplo, $(1021) X = (51)$ es una ecuación matricial cuya incógnita $X$ es una matriz columna $2 \times 1$ . Con números, $a x = b$ se resuelve dividiendo entre $a$ . Con matrices no existe la división: lo que hace su papel es multiplicar por la matriz inversa, y como el producto no es conmutativo, importa por qué lado se multiplica.

Los tres despejes básicos

Si $A$ es invertible, multiplicar los dos miembros de $A X = B$ por la izquierda por $A^{- 1}$ deja $X$ sola:

$A X = B \Rightarrow A^{- 1} (A X) = A^{- 1} B \Rightarrow (A^{- 1} A) X = A^{- 1} B \Rightarrow I X = A^{- 1} B \Rightarrow X = A^{- 1} B$

Cada paso usa una propiedad: la asociativa del producto, $A^{- 1} A = I$ y $I X = X$ .

La regla para no equivocarse: la inversa se coloca en el mismo lado en el que estaba la matriz que quieres quitar. En $X A = C$ la $A$ está a la derecha de $X$ , así que $A^{- 1}$ va a la derecha de $C$ . En general $A^{- 1} C \neq = C A^{- 1}$ , de modo que equivocarse de lado da otra matriz (y el ejercicio está mal).

Las dimensiones también salen de la ecuación. Si $A$ es $2 \times 2$ y $C$ es $2 \times 3$ , en $A X = C$ la incógnita $X$ tiene que ser $2 \times 3$ : tantas filas como columnas tiene $A$ y tantas columnas como $C$ .

Agrupar los términos con X

Cuando $X$ aparece en varios términos, se pasan todos a un miembro y se saca factor común por el mismo lado:

$A X + B = C X \Rightarrow C X - A X = B \Rightarrow (C - A) X = B \Rightarrow X = (C - A)^{- 1} B$

siempre que $C - A$ sea invertible. Dos detalles que deciden el ejercicio:

Un número que multiplica a $X$ se convierte en una matriz al sacar factor común: $A X + X = A X + I X = (A + I) X$ , y $X A - 2 X = X (A - 2 I)$ . Escribir $(A + 1) X$ no tiene sentido, porque no se puede sumar una matriz y un número.
Solo se saca factor común si $X$ está en el mismo lado en todos los términos. $A X + X B$ no se puede escribir como un producto de una matriz por $X$ ; esas ecuaciones se resuelven planteando las incógnitas (ver más abajo).

Ecuaciones con traspuestas

Se usan las propiedades de la traspuesta: $(A^{t})^{t} = A$ , $(A + B)^{t} = A^{t} + B^{t}$ y, sobre todo, $(A B)^{t} = B^{t} A^{t}$ (cambia el orden). La estrategia es trasponer la ecuación entera para que $X$ aparezca sin trasponer. Por ejemplo:

$X^{t} A = B \Rightarrow (X^{t} A)^{t} = B^{t} \Rightarrow A^{t} X = B^{t} \Rightarrow X = (A^{t})^{- 1} B^{t}$

Si la matriz no tiene inversa, o aparece X²

Si la matriz que habría que invertir no tiene inversa, o la incógnita aparece al cuadrado ( $X^{2}$ ), o en dos lados distintos ( $A X = X B$ ), no se puede despejar. Entonces se escribe $X$ con incógnitas, por ejemplo $X = (x z y t)$ , se hacen las operaciones y se iguala elemento a elemento: sale un sistema de ecuaciones, que puede tener una solución, infinitas o ninguna.

Por ejemplo, $A = (1224)$ no tiene inversa ( $1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$ ). Para resolver $A X = (13)$ con $X = (x y)$ hay que resolver $x + 2 y = 1$ y $2 x + 4 y = 3$ . Multiplicando la primera por $2$ queda $2 x + 4 y = 2 \neq = 3$ : no hay solución.

Sistemas de ecuaciones matriciales

Con dos incógnitas $X$ e $Y$ se usa reducción o sustitución, como con números, pero sin dividir y respetando el orden de los productos. Por ejemplo:

${X + Y A X + Y = B = C \Rightarrow A X - X = C - B \Rightarrow (A - I) X = C - B$

Si $A - I$ es invertible, $X = (A - I)^{- 1} (C - B)$ y después $Y = B - X$ . Cuando los coeficientes son números ( $2 X + Y = A$ , $X - Y = B$ ), el sistema se resuelve como en el apartado de suma, resta y producto por un escalar.

La inversa a partir de una relación

Si una matriz cuadrada cumple una relación como $A^{2} - 2 A + I = O$ , se puede obtener $A^{- 1}$ sin hacer ninguna cuenta: se deja $I$ sola en un miembro y se saca $A$ factor común.

$A^{2} - 2 A + I = O \Rightarrow 2 A - A^{2} = I \Rightarrow A (2 I - A) = I$

Como también $(2 I - A) A = 2 A - A^{2} = I$ , la matriz $2 I - A$ es la inversa de $A$ : $A^{- 1} = 2 I - A$ .

La intuición: $A (A + p I) = A^{2} + p A = - q I$ , y dividir entre el número $- q$ sí está permitido. Si $q = 0$ el truco no funciona (la relación $A^{2} = A$ , por ejemplo, la cumple $O$ , que no tiene inversa).

Ecuaciones con parámetro

Si las matrices dependen de un parámetro $m$ , la matriz que hay que invertir puede tener inversa para unos valores de $m$ y no para otros. Para una matriz $2 \times 2$ , $(a c b d)$ tiene inversa si y solo si $a d - b c \neq = 0$ (es la condición de la fórmula de la inversa $2 \times 2$ ; en el tema siguiente verás que ese número es el determinante). Así que se resuelve $a d - b c = 0$ , y:

para los demás valores de $m$ , la ecuación se despeja como siempre y tiene una única solución;
para los valores que anulan $a d - b c$ , se estudia aparte, planteando las incógnitas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

AX=B frente a XA=B

Sean $A = (2312)$ y $B = (4712)$ .

a) Resuelve la ecuación $A X = B$ .

b) Resuelve la ecuación $X A = B$ .

Solución

La inversa de $A$ . Con la fórmula $2 \times 2$ : $a d - b c = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 1 \neq = 0$ , así que $A$ es invertible y $A^{- 1} = \frac{1}{1} (2 - 3 - 1 2) = (2 - 3 - 1 2)$

a) $A$ está a la izquierda de $X$ : multiplicamos por $A^{- 1}$ por la izquierda, $X = A^{- 1} B$ . $X = (2 - 3 - 1 2) (4712) = (8 - 7 - 12 + 14 2 - 2 - 3 + 4) = (1201)$ Comprobación: $A X = (2 + 2 3 + 4 0 + 1 0 + 2) = (4712) = B$ .

b) Ahora $A$ está a la derecha de $X$ : multiplicamos por $A^{- 1}$ por la derecha, $X = B A^{- 1}$ . $X = (4712) (2 - 3 - 1 2) = (8 - 3 14 - 6 - 4 + 2 - 7 + 4) = (58 - 2 - 3)$

Las dos soluciones son distintas: las ecuaciones $A X = B$ y $X A = B$ son ecuaciones diferentes, porque el producto de matrices no es conmutativo.

Ejemplo 2 Medio

Sacar factor común por la derecha

Resuelve la ecuación matricial $X A - B = 2 X$ , siendo $A = (4313), B = (1021)$

Solución

Agrupamos los términos con $X$ . $X A - 2 X = B$ .
Factor común por la derecha. En los dos términos $X$ está a la izquierda, así que el factor común queda a la derecha: $X A - 2 X = X A - X (2 I) = X (A - 2 I)$ . La ecuación es $X (A - 2 I) = B$
La matriz que hay que invertir. $A - 2 I = (4 - 2 3 1 3 - 2) = (2311)$ Como $2 \cdot 1 - 1 \cdot 3 = - 1 \neq = 0$ , es invertible: $(A - 2 I)^{- 1} = \frac{1}{- 1} (1 - 3 - 1 2) = (- 1 3 1 - 2)$
Despejamos por la derecha. $X = B (A - 2 I)^{- 1}$ : $X = (1021) (- 1 3 1 - 2) = (- 1 + 6 3 1 - 4 - 2) = (53 - 3 - 2)$
Comprobación. $X A = (20 - 9 12 - 6 5 - 9 3 - 6) = (116 - 4 - 3)$ y $B + 2 X = (1 + 10 0 + 6 2 - 6 1 - 4) = (116 - 4 - 3)$ . Coinciden, así que $X A - B = 2 X$ .

El error típico aquí es escribir $(A - 2) X$ o despejar $X = (A - 2 I)^{- 1} B$ : como $X$ está a la izquierda, la inversa tiene que ir a la derecha.

Ejemplo 3 Difícil

Una relación que da la inversa sin cálculos

Se considera la matriz $A = 011101110$

a) Halla los números reales $α$ y $β$ tales que $A^{2} = α A + β I$ .

b) Usa la relación anterior para justificar que $A$ es invertible y calcular $A^{- 1}$ .

c) Resuelve la ecuación $A X = X + B$ , siendo $B = 204022$ .

Solución

a) 1. Calculamos $A^{2}$ . Cada elemento de la diagonal es la suma de dos productos $1 \cdot 1$ , y cada elemento de fuera, un solo producto $1 \cdot 1$ : $A^{2} = 211121112$

Igualamos. $α A + β I = β α α α β α α α β$ . Comparando con $A^{2}$ , los elementos de la diagonal dan $β = 2$ y los de fuera $α = 1$ . Todas las posiciones se cumplen con esos valores, así que $A^{2} = A + 2 I$

b) 1. Dejamos $I$ sola. $A^{2} - A = 2 I$ , es decir, $A (A - I) = 2 I$ .

Dividimos entre el número $2$ : $A \cdot \frac{1}{2} (A - I) = I$ . Además $\frac{1}{2} (A - I) A = \frac{1}{2} (A^{2} - A) = I$ , así que el producto da $I$ por los dos lados. Por la definición de inversa, $A$ es invertible y $A^{- 1} = \frac{1}{2} (A - I) = \frac{1}{2} - 1 11 1 - 1 1 11 - 1 = - \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ Sin la relación habría que hacer Gauss-Jordan con una matriz $3 \times 3$ ; aquí basta con restar $I$ y dividir entre $2$ .

c) 1. Agrupamos. $A X - X = B$ , es decir, $(A - I) X = B$ (factor común por la izquierda; el $X$ suelto es $I X$ ). Como $A$ es $3 \times 3$ y $B$ es $3 \times 2$ , $X$ es $3 \times 2$ .

¿Tiene inversa $A - I$ ? La misma relación lo responde: $A (A - I) = 2 I$ se puede leer como $(A - I) \cdot \frac{1}{2} A = I$ (y también $\frac{1}{2} A (A - I) = I$ ). Por tanto $A - I$ es invertible y $(A - I)^{- 1} = \frac{1}{2} A$ .
Despejamos por la izquierda. $X = (A - I)^{- 1} B = \frac{1}{2} A B$ : $A B = 011101110204022 = 462422 \Rightarrow X = 231211$
Comprobación. $A X = 435233$ y $X + B = 435233$ .

Para el examen: en b) no basta con escribir la fórmula de $A^{- 1}$ ; hay que mostrar el producto $A \cdot \frac{1}{2} (A - I) = I$ , que es lo que justifica que existe la inversa. En c), fíjate en que la relación también da la inversa de $A - I$ : aprovechar lo que el problema ya ha calculado es lo que se espera en el último apartado.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Ejercicio 1 Básico

Resuelve la ecuación matricial $X A = B$ , siendo $A = (1123), B = (2051)$

Solución paso a paso

Inversa de $A$ . $a d - b c = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 1 \neq = 0$ , así que $A$ es invertible y $A^{- 1} = (3 - 1 - 2 1)$
Despeje. $A$ está a la derecha de $X$ , así que multiplicamos por $A^{- 1}$ por la derecha: $X = B A^{- 1}$ . $X = (2051) (3 - 1 - 2 1) = (6 - 5 - 1 - 4 + 5 1) = (1 - 1 11)$
Comprobación. $X A = (1 + 1 - 1 + 1 2 + 3 - 2 + 3) = (2051) = B$ .

Ejercicio 2 Básico

Sean $A = (3512)$ y $B = (120123)$ .

a) ¿Qué dimensión tiene que tener una matriz $X$ que cumpla $A X = B$ ?

b) Resuelve la ecuación $A X = B$ .

Solución paso a paso

a) Para que exista $A X$ , $X$ tiene que tener tantas filas como columnas tiene $A$ , es decir, $2$ . El producto $A X$ tiene tantas columnas como $X$ , y debe ser igual a $B$ , que tiene $3$ . Por tanto $X$ es $2 \times 3$ .

b) 1. Inversa de $A$ . $a d - b c = 6 - 5 = 1 \neq = 0$ : $A^{- 1} = (2 - 5 - 1 3)$

Despeje por la izquierda. $X = A^{- 1} B$ : $X = (2 - 5 - 1 3) (120123) = (2 - 2 - 5 + 6 0 - 1 0 + 3 4 - 3 - 10 + 9) = (01 - 1 3 1 - 1)$

Observa que aquí $B A^{- 1}$ ni siquiera se puede calcular ( $2 \times 3$ por $2 \times 2$ ): las dimensiones también avisan de cuál es el lado correcto.

Ejercicio 3 Básico

Resuelve la ecuación matricial $A X B = C$ , siendo $A = (1011), B = (2111), C = (5321)$

Solución paso a paso

Despeje. Multiplicamos por $A^{- 1}$ por la izquierda y por $B^{- 1}$ por la derecha: $X = A^{- 1} C B^{- 1}$ (si las dos inversas existen).
Inversas. Para $A$ : $a d - b c = 1 \neq = 0$ y $A^{- 1} = (10 - 1 1)$ . Para $B$ : $a d - b c = 2 - 1 = 1 \neq = 0$ y $B^{- 1} = (1 - 1 - 1 2)$ .
Primer producto. $A^{- 1} C = (10 - 1 1) (5321) = (2311)$
Segundo producto. $X = (2311) (1 - 1 - 1 2) = (2 - 1 3 - 1 - 2 + 2 - 3 + 2) = (12 0 - 1)$

El orden de los factores en $A^{- 1} C B^{- 1}$ no se puede cambiar; sí se puede elegir qué producto se hace primero (propiedad asociativa).

Ejercicio 4 Medio

Sean $A = 000100020, B = 121011$

a) Calcula la inversa de $A + I$ por el método de Gauss-Jordan.

b) Resuelve la ecuación matricial $A X + X = B$ .

Solución paso a paso

a) $A + I = 100110021$ . Escribimos $(A + I ∣ I)$ y hacemos ceros por encima de la diagonal, de abajo arriba: $100110021100010001 F_{2} - 2 F_{3} 100110001100010 0 - 2 1 F_{1} - F_{2} 100010001100 - 1 10 2 - 2 1$ A la izquierda ha quedado $I$ , así que $A + I$ es invertible y $(A + I)^{- 1} = 100 - 1 10 2 - 2 1$

b) 1. Factor común. $A X + X = A X + I X = (A + I) X$ , así que la ecuación es $(A + I) X = B$ . $X$ es $3 \times 2$ .

Despeje por la izquierda con la inversa de a): $X = (A + I)^{- 1} B = 100 - 1 10 2 - 2 1 121011 = 1 - 2 + 2 2 - 2 1 0 - 1 + 2 1 - 2 1 = 101 1 - 1 1$
Comprobación. $A X = 020 - 1 20$ y $A X + X = 121011 = B$ .

Ejercicio 5 Medio

Resuelve la ecuación matricial $(X A)^{t} = B$ , siendo $A = (2111), B = (1032)$

Solución paso a paso

Quitamos la traspuesta. Trasponiendo los dos miembros y usando $(M^{t})^{t} = M$ : $X A = B^{t}$ .
Despeje por la derecha. $X = B^{t} A^{- 1}$ . La inversa existe porque $a d - b c = 2 - 1 = 1 \neq = 0$ : $A^{- 1} = (1 - 1 - 1 2), B^{t} = (1302)$
Cálculo. $X = (1302) (1 - 1 - 1 2) = (1 3 - 2 - 1 - 3 + 4) = (11 - 1 1)$
Comprobación. $X A = (2 - 1 2 + 1 1 - 1 1 + 1) = (1302)$ , y su traspuesta es $(1032) = B$ .

Un error frecuente es escribir $(X A)^{t} = X^{t} A^{t}$ : el orden cambia, $(X A)^{t} = A^{t} X^{t}$ . Trasponer toda la ecuación evita ese problema.

Ejercicio 6 Medio

Para enviar mensajes cifrados, dos amigos sustituyen cada letra por su posición en el alfabeto español de 27 letras ( $A = 1$ , $B = 2$ , …, $N = 14$ , $N ~ = 15$ , $O = 16$ , …, $Z = 27$ ). Colocan las letras de una palabra de 6 letras por columnas en una matriz $M$ de dimensión $2 \times 3$ (la primera columna son las letras 1 y 2, la segunda las letras 3 y 4, la tercera las letras 5 y 6) y envían la matriz $C = A M$ , con $A = (2111)$

a) Calcula la matriz $A^{- 1}$ , que es la que usa el receptor para descifrar.

b) El receptor recibe $C = (221917133023)$ . Halla la matriz $M$ y la palabra que se ha enviado.

Solución paso a paso

a) $a d - b c = 2 - 1 = 1 \neq = 0$ , así que $A$ es invertible: $A^{- 1} = \frac{1}{1} (1 - 1 - 1 2) = (1 - 1 - 1 2)$

b) 1. La ecuación. $A M = C$ con $M$ desconocida. Multiplicando por $A^{- 1}$ por la izquierda, $M = A^{- 1} C$ .

Cálculo. $M = (1 - 1 - 1 2) (221917133023) = (22 - 19 - 22 + 38 17 - 13 - 17 + 26 30 - 23 - 30 + 46) = (31649716)$
Lectura por columnas. $3, 16, 4, 9, 7, 16$ corresponden a $C, O, D, I, G, O$ . La palabra es CODIGO.

El cifrado funciona porque $A$ tiene inversa: si no la tuviera, dos mensajes distintos podrían dar la misma $C$ y el receptor no podría distinguirlos.

Ejercicio 7 Medio

Halla todas las matrices triangulares superiores $X = (a 0 b c)$ , con $a, b, c$ reales, que cumplen $X^{2} = (4059)$

Solución paso a paso

No se puede despejar (no existe la «raíz cuadrada» de una matriz como operación), así que operamos con las incógnitas: $X^{2} = (a 0 b c) (a 0 b c) = (a^{2} 0 ab + b c c^{2}) = (a^{2} 0 b (a + c) c^{2})$
Igualamos elemento a elemento: $a^{2} = 4$ , $c^{2} = 9$ y $b (a + c) = 5$ .
Casos. $a = \pm 2$ y $c = \pm 3$ . En los cuatro casos $a + c \neq = 0$ , así que $b = \frac{5}{a + c}$ :

$a$	$c$	$a + c$	$b$
$2$	$3$	$5$	$1$
$2$	$- 3$	$- 1$	$- 5$
$- 2$	$3$	$1$	$5$
$- 2$	$- 3$	$- 5$	$- 1$

Hay cuatro matrices: $(2013), (20 - 5 - 3), (- 2 0 53), (- 2 0 - 1 - 3)$

Una ecuación con $X^{2}$ puede tener varias soluciones, igual que $x^{2} = 4$ tiene dos; quedarse solo con la de números positivos es dejar el ejercicio incompleto.

Ejercicio 8 Difícil

Se consideran las matrices $A = (3313), B = 120013$ y la ecuación matricial $(A X)^{t} = B + X^{t}$ .

a) Indica qué dimensión debe tener $X$ y demuestra que la ecuación es equivalente a $(A - I) X = B^{t}$ .

b) Resuelve la ecuación.

Solución paso a paso

a) 1. Dimensión. Para que exista $A X$ con $A$ de dimensión $2 \times 2$ , $X$ tiene $2$ filas; digamos que es $2 \times p$ . Entonces $A X$ es $2 \times p$ y $(A X)^{t}$ es $p \times 2$ , que debe tener la dimensión de $B$ , $3 \times 2$ . Así que $p = 3$ y $X$ es $2 \times 3$ (y $X^{t}$ , $3 \times 2$ , se puede sumar con $B$ ).

Equivalencia. Trasponemos los dos miembros, usando $((A X)^{t})^{t} = A X$ y $(B + X^{t})^{t} = B^{t} + X$ : $A X = B^{t} + X ⟺ A X - X = B^{t} ⟺ (A - I) X = B^{t}$ Como trasponer es reversible (trasponiendo otra vez se vuelve a la ecuación inicial), las dos ecuaciones tienen exactamente las mismas soluciones.

b) 1. La matriz que hay que invertir. $A - I = (2312)$ , con $a d - b c = 4 - 3 = 1 \neq = 0$ , luego es invertible: $(A - I)^{- 1} = (2 - 3 - 1 2)$

Despeje por la izquierda. $X = (A - I)^{- 1} B^{t}$ , con $B^{t} = (102103)$ : $X = (2 - 3 - 1 2) (102103) = (2 - 3 4 - 1 - 6 + 2 - 3 6) = (2 - 3 3 - 4 - 3 6)$
Comprobación. $A X = (3 - 3 5 - 3 - 3 9)$ y $B^{t} + X = (3 - 3 5 - 3 - 3 9)$ . Coinciden, así que también se cumple la ecuación traspuesta.

Para el examen: trasponer la ecuación entera al principio es el paso clave; si se intenta despejar $X^{t}$ directamente hay que usar $(A X)^{t} = X^{t} A^{t}$ y al final volver a trasponer, con muchas más ocasiones de equivocarse. Justificar la dimensión de $X$ y que $A - I$ es invertible suele puntuar por separado.

Ejercicio 9 Difícil

Sea $A$ una matriz cuadrada que cumple $A^{2} - 2 A + I = O$ .

a) Demuestra que $A$ es invertible y que $A^{- 1} = 2 I - A$ .

b) Comprueba que la matriz $M = (31 - 4 - 1)$ cumple esa relación y calcula $M^{- 1}$ usando el apartado a).

c) Resuelve la ecuación $M^{2} X = B$ , siendo $B = (1021)$ , expresando antes $(M^{2})^{- 1}$ como $λ I + μ M$ .

Solución paso a paso

a) De $A^{2} - 2 A + I = O$ se obtiene $2 A - A^{2} = I$ . Sacando $A$ factor común por la izquierda y por la derecha: $A (2 I - A) = 2 A - A^{2} = I, (2 I - A) A = 2 A - A^{2} = I$ El producto de $A$ por $2 I - A$ da $I$ en los dos órdenes, así que, por la definición de inversa, $A$ es invertible y $A^{- 1} = 2 I - A$ .

b) 1. La relación. $M^{2} = (9 - 4 3 - 1 - 12 + 4 - 4 + 1) = (52 - 8 - 3)$ y $M^{2} - 2 M + I = (5 - 6 + 1 2 - 2 + 0 - 8 + 8 + 0 - 3 + 2 + 1) = (0000)$

La inversa. Por a), $M^{- 1} = 2 I - M = (2 - 3 - 1 4 2 + 1) = (- 1 - 1 43)$ . (Se puede comprobar con la fórmula $2 \times 2$ : $a d - b c = - 3 + 4 = 1$ y sale lo mismo.)

c) 1. Inversa de $M^{2}$ . $(M^{2})^{- 1} = (M^{- 1})^{2} = (2 I - M)^{2}$ . Como $I$ y $M$ conmutan, se puede desarrollar como un binomio: $(2 I - M)^{2} = 4 I - 4 M + M^{2}$ y usando la relación, $M^{2} = 2 M - I$ : $(M^{2})^{- 1} = 4 I - 4 M + 2 M - I = 3 I - 2 M = (3 - 6 - 2 8 3 + 2) = (- 3 - 2 85)$ Es decir, $λ = 3$ y $μ = - 2$ .

Despeje por la izquierda. $X = (M^{2})^{- 1} B$ : $X = (- 3 - 2 85) (1021) = (- 3 - 2 - 6 + 8 - 4 + 5) = (- 3 - 2 21)$
Comprobación. $M^{2} X = (52 - 8 - 3) (- 3 - 2 21) = (- 15 + 16 - 6 + 6 10 - 8 4 - 3) = (1021) = B$ .

Para el examen: en a) hay que escribir el producto que da $I$ ; decir «despejando, $A^{- 1} = 2 I - A$ » sin mostrarlo no es una demostración. El desarrollo $(2 I - M)^{2} = 4 I - 4 M + M^{2}$ es válido porque $I$ conmuta con cualquier matriz; con dos matrices cualesquiera no lo sería.

Ejercicio 10 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran las matrices $A = (m 1 2 m + 1), B = (2103), C = (3232)$ donde $m$ es un parámetro real, y el sistema de ecuaciones matriciales ${X + Y A X + Y = B = C$ con incógnitas las matrices $X$ e $Y$ de dimensión $2 \times 2$ .

a) Halla los valores de $m$ para los que la matriz $A - I$ no tiene inversa. (0,75 puntos)

b) Resuelve el sistema para $m = 0$ . (1 punto)

c) Justifica que para $m = 2$ el sistema no tiene solución. (0,75 puntos)

Solución paso a paso

a) $A - I = (m - 1 1 2 m)$ . Una matriz $2 \times 2$ tiene inversa si y solo si $a d - b c \neq = 0$ : $(m - 1) m - 2 \cdot 1 = m^{2} - m - 2 = (m - 2) (m + 1)$ Se anula para $m = 2$ y $m = - 1$ . Por tanto $A - I$ no tiene inversa para $m = 2$ y para $m = - 1$ , y la tiene para cualquier otro valor.

b) 1. Reducción. Restando la primera ecuación a la segunda se elimina $Y$ : $A X - X = C - B ⟺ (A - I) X = C - B, C - B = (11 3 - 1)$

Para $m = 0$ , $A - I = (- 1 1 20)$ , que es invertible por a) ( $a d - b c = - 2 \neq = 0$ ): $(A - I)^{- 1} = \frac{1}{- 2} (0 - 1 - 2 - 1) = (0 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{2})$
Despejamos $X$ por la izquierda. $X = (A - I)^{- 1} (C - B) = (0 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{2}) (11 3 - 1) = (11 - 1 1)$
Despejamos $Y$ de la primera ecuación: $Y = B - X = (2 - 1 1 - 1 0 + 1 3 - 1) = (1012)$
Comprobación. $X + Y = (2103) = B$ y, con $A = (0121)$ , $A X + Y = (2220) + (1012) = (3232) = C$ .

c) Para $m = 2$ , $A - I = (1122)$ no tiene inversa y no se puede despejar. El sistema sigue siendo equivalente a $(A - I) X = C - B$ junto con $Y = B - X$ . Con $X = (x z y t)$ : $(1122) (x z y t) = (x + 2 z x + 2 z y + 2 t y + 2 t)$ Las dos filas de $(A - I) X$ son iguales para cualquier $X$ , mientras que las de $C - B$ son $(1, 3)$ y $(1, - 1)$ , distintas. Igualando, $y + 2 t = 3$ y $y + 2 t = - 1$ a la vez, que es imposible. No existe ninguna $X$ y, por tanto, el sistema no tiene solución.

Para el examen: en a) hay que factorizar y dar los dos valores; en b), escribir el paso $(A - I) X = C - B$ y justificar que la matriz es invertible antes de usar su inversa. En c) no basta con decir « $A - I$ no tiene inversa»: eso solo impide despejar, no prueba que no haya solución. Hay que plantear las incógnitas y llegar a una contradicción.

Resumen

Con matrices no se divide: se multiplica por la inversa en el mismo lado en que estaba la matriz. $A X = B \Rightarrow X = A^{- 1} B$ ; $X A = B \Rightarrow X = B A^{- 1}$ ; $A X B = C \Rightarrow X = A^{- 1} C B^{- 1}$ .
Para agrupar, se saca $X$ factor común por su lado y los números se convierten en múltiplos de $I$ : $A X + X = (A + I) X$ , $X A - 2 X = X (A - 2 I)$ . $A X + X B$ no se factoriza.
Antes de usar una inversa hay que justificar que existe ( $a d - b c \neq = 0$ en $2 \times 2$ , o Gauss-Jordan).
Con traspuestas, traspón la ecuación entera usando $(A B)^{t} = B^{t} A^{t}$ y $(A^{t})^{t} = A$ .
Si la matriz no es invertible, o aparece $X^{2}$ o $A X = X B$ , se plantea $X$ con incógnitas y se resuelve el sistema: puede haber una, varias, infinitas o ninguna solución.
Sistemas con $X$ e $Y$ : reducción o sustitución respetando el orden de los productos.
Si $A^{2} + p A + q I = O$ con $q \neq = 0$ , entonces $A^{- 1} = - \frac{1}{q} (A + p I)$ ; por ejemplo, $A^{2} - 2 A + I = O \Rightarrow A^{- 1} = 2 I - A$ .
Con parámetro: busca los valores que impiden invertir y estúdialos aparte.

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