Matriz traspuesta, simétricas y ortogonales

a) Las filas de $A$ pasan a ser columnas: $$A^t=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 4\\ 3& 1\end{array}\right).$$

b) 1. Dimensiones. $A$ es $2\times 3$ y $B$ es $3\times 2$: $AB$ existe y es $2\times 2$.

2. Producto fila por columna. $$AB=\left(\begin{array}{cc}2+1+9& 4+0+3\\ 0-4+3& 0+0+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}12& 7\\ -1& 1\end{array}\right).$$

3. Trasponemos. $$(AB{)}^t=\left(\begin{array}{cc}12& -1\\ 7& 1\end{array}\right).$$

Puedes comprobar que $B^t{A}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 4\\ 3& 1\end{array}\right)$ da exactamente lo mismo, como dice la propiedad.

c) $A^t$ es $3\times 2$ y $B^t$ es $2\times 3$, así que $A^t{B}^t$ es $3\times 3$: $$A^t{B}^t=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 4\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 6\\ 7& 1& 1\\ 5& -3& 10\end{array}\right).$$

Ni siquiera tiene la dimensión de $(AB{)}^t$, que es $2\times 2$. Por eso la traspuesta de un producto no es $A^t{B}^t$: el orden se invierte.

a) $M$ es antisimétrica si $m_{ij}=-m_{ji}$ para todos los $i$, $j$.

1. Diagonal. Debe ser nula: $t=0$ (los otros dos elementos ya son $0$).

2. Posición $(1,2)$ con $(2,1)$: $2x=-(-6)=6$, luego $x=3$.

3. Posición $(1,3)$ con $(3,1)$: $-4=-(z+1)$, luego $z=3$.

4. Posición $(2,3)$ con $(3,2)$: $y=-3$.

Con $x=3$, $y=-3$, $z=3$, $t=0$: $$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 6& -4\\ -6& 0& -3\\ 4& 3& 0\end{array}\right).$$

b) 1. Sin cuentas. Usando $(M^2{)}^t=(M^t{)}^2$ y $M^t=-M$: $$(M^2{)}^t=(M^t{)}^2=(-M{)}^2=M^2.$$ Así que $M^2$ es simétrica. Esto vale para cualquier matriz antisimétrica.

2. Cálculo. $$M^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 6& -4\\ -6& 0& -3\\ 4& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 6& -4\\ -6& 0& -3\\ 4& 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-52& -12& -18\\ -12& -45& 24\\ -18& 24& -25\end{array}\right).$$ Por ejemplo, $(M^2{)}_{11}=0\cdot 0+6\cdot (-6)+(-4)\cdot 4=-52$. El resultado es simétrico, como se había anunciado: sirve de comprobación de las cuentas.

a) 1. Qué significa $A^{t}A=I$. El elemento $(i,j)$ de $A^{t}A$ es la columna $i$ de $A$ por la columna $j$ de $A$ (elemento a elemento y sumando). Llamamos $c_1=\frac{1}{3}(2,-2,1)$, $c_2=\frac{1}{3}(1,2,2)$ y $c_3=\frac{1}{3}(a,b,c)$ a las columnas. Hay que imponer que cada columna por sí misma dé $1$ y dos distintas den $0$.

2. Lo que ya se cumple. $c_1\cdot c_1=\frac{4+4+1}{9}=1$, $c_2\cdot c_2=\frac{1+4+4}{9}=1$, $c_1\cdot c_2=\frac{2-4+2}{9}=0$. Las dos primeras columnas están bien.

3. Condiciones para la tercera columna. $$\{\begin{array}{rl}{c}_1\cdot c_3=0& ⟺2a-2b+c=0\\ c_2\cdot c_3=0& ⟺a+2b+2c=0\\ c_3\cdot c_3=1& ⟺a^2+b^2+c^2=9\end{array}$$

4. Las dos ecuaciones lineales. Sumándolas, $3a+3c=0$, luego $a=-c$. Sustituyendo en la segunda, $-c+2b+2c=0$, luego $b=-\frac{c}{2}$.

5. La ecuación de la longitud. $c^2+\frac{c^2}{4}+c^2=9⟺\frac{9c^2}{4}=9⟺c^2=4⟺c=\pm 2$.

• Si $c=2$: $a=-2$, $b=-1$.
• Si $c=-2$: $a=2$, $b=1$.

Hay dos soluciones: $(a,b,c)=(-2,-1,2)$ y $(a,b,c)=(2,1,-2)$. Tiene sentido: en el espacio hay exactamente dos direcciones de longitud $1$ perpendiculares a dos columnas dadas, una opuesta a la otra.

b) 1. La matriz. Con $c=2$: $$A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ -2& 2& -1\\ 1& 2& 2\end{array}\right),A^t=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 1\\ 1& 2& 2\\ -2& -1& 2\end{array}\right).$$

2. Despejar $X$ con la traspuesta. Si $AX=B$, multiplicando por $A^t$ por la izquierda en los dos miembros: $A^{t}AX=A^{t}B$, y como $A^{t}A=I$, queda $X=A^{t}B$. Así, si hay solución, es esta y solo esta: $$X=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 1\\ 1& 2& 2\\ -2& -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}-2-2+4\\ -1+2+8\\ 2-1+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 3\end{array}\right).$$

3. Comprobación (necesaria: hemos visto que la solución, si existe, es esa, y ahora vemos que funciona): $$AX=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}0+3-6\\ 0+6-3\\ 0+6+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right).$$

Para el examen: en a), escribe qué significa $A^{t}A=I$ en términos de las columnas antes de plantear ecuaciones; resolver primero las lineales y después la cuadrática evita sistemas largos. No olvides la segunda solución $c=-2$. En b), di explícitamente que multiplicas por la izquierda por $A^t$ y comprueba el resultado.

a) Las filas de $A$ se escriben como columnas: $$A^t=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -2& 1\\ 0& 4\end{array}\right).$$

b) Las dos matrices son $3\times 2$, así que se pueden restar: $$A^t-2B=\left(\begin{array}{cc}1-4& 3-2\\ -2-0& 1+2\\ 0-10& 4-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -2& 3\\ -10& 0\end{array}\right).$$

c) $B^t=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 5\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$, y $$A-2B^t=\left(\begin{array}{ccc}1-4& -2-0& 0-10\\ 3-2& 1+2& 4-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-3& -2& -10\\ 1& 3& 0\end{array}\right),$$ que es la traspuesta de la matriz de b). Es lo que dicen las propiedades: $(A^t-2B{)}^t=(A^t{)}^t-2B^t=A-2B^t$.

1. $P$: $p_{12}=p_{21}=-1$, así que $P^t=P$: es simétrica.

2. $Q$: la diagonal es nula y $q_{12}=3=-q_{21}$, así que $Q^t=-Q$: es antisimétrica.

3. $R$: no es simétrica, porque $r_{12}=2\ne r_{21}=-2$. Tampoco es antisimétrica, porque $r_{11}=1\ne 0$ (la diagonal de una antisimétrica es nula), aunque fuera de la diagonal sí se cumple $r_{12}=-r_{21}$. Ninguna de las dos.

4. $S$: la diagonal es nula, $s_{12}=4=-s_{21}$, $s_{13}=-1=-s_{31}$ y $s_{23}=2=-s_{32}$: es antisimétrica.

a) $A^t=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -4& 3\end{array}\right)$, y $$A^{t}A=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -4& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 4& 3\end{array}\right)=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{cc}9+16& -12+12\\ -12+12& 16+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$ Observa que el factor $\frac{1}{5}$ aparece dos veces (en $A^t$ y en $A$) y da $\frac{1}{25}$.

b) $$B^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$$

c) $A$ es ortogonal porque $A^{t}A=I$. $B$ no lo es: sus columnas son perpendiculares, pero tienen longitud $\sqrt{2}$, no $1$. (La matriz $\frac{1}{\sqrt{2}}B$ sí sería ortogonal.)

a) $A$ es $2\times 3$ y $B^t$ es $3\times 2$, así que $A{B}^t$ es $2\times 2$: $$A{B}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2+0-1& 1-2-2\\ 0+0+1& 0-3+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 1& -1\end{array}\right).$$

b) Por la propiedad de la traspuesta del producto, $(A{B}^t{)}^t=(B^t{)}^t{A}^t=B{A}^t$. Basta trasponer el resultado de a): $$B{A}^t=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -1\end{array}\right).$$

c) $$A{B}^t+B{A}^t=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& -2\end{array}\right).$$ Llamando $C=A{B}^t$, la suma es $C+C^t$, y toda matriz de la forma $C+C^t$ es simétrica: $(C+C^t{)}^t=C^t+C$.

1. Idea. Si $A=S+T$ con $S^t=S$ y $T^t=-T$, trasponiendo $A^t=S-T$. Sumando y restando las dos igualdades: $$S=\frac{A+A^t}{2},T=\frac{A-A^t}{2}.$$

2. La traspuesta. $A^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 6\\ 4& 3& 1\\ -2& 5& -1\end{array}\right)$.

a) $$S=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 4\\ 4& 6& 6\\ 4& 6& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 3& 3\\ 2& 3& -1\end{array}\right).$$

b) $$T=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}0& 4& -8\\ -4& 0& 4\\ 8& -4& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -4\\ -2& 0& 2\\ 4& -2& 0\end{array}\right).$$

Comprobación: $S$ es simétrica, $T$ es antisimétrica (con diagonal nula) y $S+T=A$. Además la descomposición es única: el paso 1 muestra que $S$ y $T$ no pueden ser otras.

a) $p^t$ es la columna de precios. $Q$ es $3\times 2$ y $p^t$ es $2\times 1$, así que $Q{p}^t$ es $3\times 1$: $$Q{p}^t=\left(\begin{array}{c}20\cdot 4+15\cdot 6\\ 10\cdot 4+25\cdot 6\\ 30\cdot 4+5\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}170\\ 190\\ 150\end{array}\right).$$ Cada fila multiplica las unidades de una tienda por los precios: son los ingresos de cada tienda, 170, 190 y 150 euros.

b) $Q^t$ es $2\times 3$ (filas: productos; columnas: tiendas), y multiplicar por $u$ suma cada fila: $$Q^{t}u=\left(\begin{array}{c}20+10+30\\ 15+25+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}60\\ 45\end{array}\right).$$ Son las unidades vendidas de cada producto entre las tres tiendas.

c) $p(Q^{t}u)=\left(\begin{array}{cc}4& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}60\\ 45\end{array}\right)=240+270=510$. Es el ingreso total de la cadena en euros: precio por unidades de cada producto, sumado. Coincide con la suma de los ingresos de a), $170+190+150=510$, como debe ser: $p{Q}^{t}u=(Q{p}^t{)}^{t}u$.

a) 1. Primeras potencias. $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right)$. El patrón es $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 2n\\ 0& 1\end{array}\right)$.

2. Inducción. Vale para $n=1$. Si vale para $n$, entonces $$A^{n+1}=A^{n}A=\left(\begin{array}{cc}1& 2n\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2n+2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2(n+1)\\ 0& 1\end{array}\right).$$

b) Como $(A^t{)}^n=(A^n{)}^t$, basta trasponer a): $$(A^t{)}^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2n& 1\end{array}\right).$$

c) $$A^n(A^t{)}^n=\left(\begin{array}{cc}1& 2n\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2n& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+4n^2& 2n\\ 2n& 1\end{array}\right).$$ Es simétrica porque, llamando $B=A^n$, el producto es $B{B}^t$, y $(B{B}^t{)}^t=(B^t{)}^t{B}^t=B{B}^t$.

a) 1. Dimensiones. Si $A$ es $m\times n$, $A^t$ es $n\times m$; $A{A}^t$ es $m\times m$ y $A^{t}A$ es $n\times n$. Las dos son cuadradas, así que tiene sentido preguntar si son simétricas.

2. Trasponemos con $(XY{)}^t=Y^t{X}^t$ y $(A^t{)}^t=A$: $$(A{A}^t{)}^t=(A^t{)}^t{A}^t=A{A}^t,(A^{t}A{)}^t=A^t(A^t{)}^t=A^{t}A.$$ Cada una coincide con su traspuesta: son simétricas.

b) Hay que probar que $(AB{)}^t(AB)=I$. Usando la traspuesta del producto, la asociativa y que $A^{t}A=I$ y $B^{t}B=I$: $$(AB{)}^t(AB)=B^t{A}^{t}AB=B^t(A^{t}A)B=B^{t}IB=B^{t}B=I.$$ Luego $AB$ es ortogonal. (Geométricamente: girar y después volver a girar sigue siendo un giro.)

c) Por ser simétrica, $A^t=A$. Por ser ortogonal, $A^{t}A=I$. Sustituyendo la primera en la segunda: $AA=I$, es decir, $A^2=I$. Por ejemplo, $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ es simétrica y ortogonal, y su cuadrado es $I$.

Para el examen: en las demostraciones, escribe en cada paso qué propiedad usas («traspuesta del producto», «asociativa», «porque $A$ es ortogonal»). Una cadena de igualdades sin justificar se puntúa a medias, y escribir $(AB{)}^t=A^t{B}^t$ anula el apartado b).

a) 1. El producto. $$AB=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ y& z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x+2y& y+2z\\ 2x-y& 2y-z\end{array}\right).$$

2. Condición de simetría. Basta igualar los elementos $(1,2)$ y $(2,1)$: $y+2z=2x-y$, es decir, $2x=2y+2z$: $$x=y+z.$$ Es lo esperado: como $A$ y $B$ son simétricas, $(AB{)}^t=B^t{A}^t=BA$, así que $AB$ es simétrica si y solo si $A$ y $B$ conmutan.

b) 1. La matriz. Con a), $B=\left(\begin{array}{cc}y+z& y\\ y& z\end{array}\right)$.

2. Ortogonal. Como $B$ es simétrica, $B^{t}B=B^2$. Hay que imponer $$B^2=\left(\begin{array}{cc}(y+z{)}^2+y^2& y(y+z)+yz\\ y(y+z)+yz& y^2+z^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$

3. La ecuación sencilla primero. El elemento $(1,2)$ da $y^2+2yz=0$, es decir, $y(y+2z)=0$: $y=0$ o $y=-2z$.

4. Caso $y=0$. Entonces $x=z$ y las ecuaciones de la diagonal son $z^2=1$: $z=1$ o $z=-1$. Salen $(1,0,1)$ y $(-1,0,-1)$, es decir, $B=I$ y $B=-I$.

5. Caso $y=-2z$. Entonces $x=y+z=-z$. La ecuación $(2,2)$: $4z^2+z^2=1$, luego $z^2=\frac{1}{5}$ y $z=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$. La ecuación $(1,1)$ también se cumple: $x^2+y^2=z^2+4z^2=1$.

• $z=\frac{\sqrt{5}}{5}$: $(x,y,z)=\left(-\frac{\sqrt{5}}{5},-\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$.
• $z=-\frac{\sqrt{5}}{5}$: $(x,y,z)=\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$.

Hay cuatro matrices: $I$, $-I$ y $\pm \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$.

Para el examen: al resolver un sistema no lineal, empieza por la ecuación que se factoriza ($y(y+2z)=0$) y separa casos; perder el caso $y=0$ (las soluciones $\pm I$, que parecen «demasiado fáciles») es el error más habitual. Comprueba cada candidato en todas las ecuaciones.

a) $$A^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& -m\\ m& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& m\\ -m& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+m^2& m-m\\ m-m& m^2+1\end{array}\right)=(1+m^2)I.$$

b) $A$ es ortogonal si $A^{t}A=I$, es decir, $(1+m^2)I=I$, que equivale a $1+m^2=1$, luego $m=0$. Para $m=0$, $A=I$, que efectivamente es ortogonal.

c) Usando $(kA{)}^t=k{A}^t$ y a): $$(kA{)}^t(kA)=k^2{A}^{t}A=k^2(1+m^2)I.$$ Es la identidad si $k^2(1+m^2)=1$. Como $1+m^2>0$ para todo $m$ y $k>0$: $$k=\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}.$$

d) 1. El dato de a). Para $m=2$, $A^{t}A=5I$, con $A^t=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$.

2. Despejar. Si $AX=B$, multiplicando por $A^t$ por la izquierda: $A^{t}AX=A^{t}B$, es decir, $5X=A^{t}B$, luego $$X=\frac{1}{5}{A}^{t}B=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}5\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right).$$

3. Comprobación. $AX=\left(\begin{array}{c}1+4\\ -2+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)$. El paso 2 prueba que no puede haber otra solución, y la comprobación, que esta lo es.

Para el examen: en b) no basta con decir «$m=0$»: escribe la ecuación $1+m^2=1$. En c) justifica el signo de $k$ con el enunciado ($k>0$). En d) se pide usar a): si resuelves el sistema por sustitución el resultado es correcto, pero no se puntúa entero.