Concepto y tipos de matrices

1. Cuántos elementos hay. La dimensión $3\times 2$ indica 3 filas y 2 columnas: $i$ toma los valores $1,2,3$ y $j$ los valores $1,2$. Hay $6$ elementos.

2. Fila 1 ($i=1$): $a_{11}=2\cdot 1-1=1$, $a_{12}=2\cdot 1-2=0$.

3. Fila 2 ($i=2$): $a_{21}=4-1=3$, $a_{22}=4-2=2$.

4. Fila 3 ($i=3$): $a_{31}=6-1=5$, $a_{32}=6-2=4$.

a) Colocando cada fila en su sitio:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 2\\ 5& 4\end{array}\right)$$

b) $a_{32}$ es el elemento de la fila 3 y la columna 2: $a_{32}=2\cdot 3-2=4$. Cuidado con no confundirlo con $a_{23}$, que ni siquiera existe, porque $A$ solo tiene 2 columnas.

1. Dimensiones. Las dos matrices son $2\times 2$, así que pueden ser iguales.

2. Una ecuación por posición. Igualando elemento a elemento:

$$\{\begin{array}{rlrl}x+y& =5& & \text{(posicioˊn 1,1)}\\ 3& =z-1& & \text{(posicioˊn 1,2)}\\ 2x-y& =4& & \text{(posicioˊn 2,1)}\\ z& =4& & \text{(posicioˊn 2,2)}\end{array}$$

3. Lo sencillo primero. De la posición $(2,2)$, $z=4$. Comprobamos la posición $(1,2)$: $z-1=4-1=3$. Se cumple; si no se cumpliera, no habría solución.

4. Las otras dos ecuaciones. Sumando $x+y=5$ y $2x-y=4$ se obtiene $3x=9$, luego $x=3$ e $y=5-3=2$.

5. Comprobación. Con $x=3$, $y=2$, $z=4$ la matriz de la izquierda es $\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 4& 4\end{array}\right)$, igual que la de la derecha.

La solución es $x=3$, $y=2$, $z=4$. Observa que aquí hay 4 ecuaciones y 3 incógnitas: la ecuación que «sobra» no se puede ignorar, sirve de comprobación.

a) La matriz fila a fila. Cada fila corresponde a la ciudad de salida y cada columna a la de llegada. La fila 1 (Valencia) tiene un $1$ en las columnas 2 y 4; la fila 2 (Madrid), en las columnas 1, 3 y 4; la fila 3 (Barcelona), en la columna 2; la fila 4 (Sevilla), en la columna 3. Nadie vuela a su propia ciudad, así que la diagonal es nula.

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

$A$ no es simétrica: $a_{14}=1$ (hay vuelo Valencia-Sevilla) pero $a_{41}=0$ (no lo hay de vuelta). Es lo esperable, porque los vuelos tienen sentido.

b) Sumas de fila y de columna.

• Fila 2: $1+0+1+1=3$. Cada $1$ de la fila 2 es un vuelo que sale de Madrid: hay 3 vuelos directos con origen en Madrid.
• Columna 3: $0+1+0+1=2$. Cada $1$ de la columna 3 es un vuelo que llega a Barcelona: hay 2 vuelos directos con destino Barcelona (desde Madrid y desde Sevilla).

c) Rutas con una escala. Una ruta Valencia $\to k\to$ Barcelona existe si $a_{1k}=1$ y $a_{k3}=1$. Se comparan la fila 1 y la columna 3:

Hay 2 formas.

d) Llegar a Valencia. Ahora miramos la columna 1, que dice quién vuela a Valencia: solo $a_{21}=1$, es decir, solo Madrid tiene vuelo directo.

• Desde Madrid se llega directamente.
• Con una escala hay que llegar primero a Madrid y desde allí volar a Valencia. La columna 2 dice quién vuela a Madrid: Valencia ($a_{12}=1$) y Barcelona ($a_{32}=1$). Desde Barcelona se llega con la ruta Barcelona - Madrid - Valencia.
• Desde Sevilla el único vuelo es a Barcelona, y desde Barcelona no hay vuelo directo a Valencia ($a_{31}=0$). Sevilla no tiene vuelo a Madrid ($a_{42}=0$), así que no puede usar Madrid como escala.

La ciudad es Sevilla (4).

Para el examen: escribe siempre qué significan las filas y las columnas antes de interpretar una suma. En una matriz no simétrica, confundir «salir de» con «llegar a» cambia todas las respuestas, y la interpretación es la mitad de la puntuación de estos apartados.

a) $A$ tiene 3 filas y 4 columnas: su dimensión es $3\times 4$.

b) $a_{23}$ está en la fila 2, columna 3: $a_{23}=-2$. $a_{32}$ está en la fila 3, columna 2: $a_{32}=6$. Son elementos distintos, aunque usen los mismos números como subíndices.

c) La tercera columna es $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 7\end{array}\right)$, y su suma es $0+(-2)+7=5$.

1. $B$ tiene 2 filas ($i=1,2$) y 3 columnas ($j=1,2,3$). El factor $(-1{)}^{i+j}$ vale $1$ si $i+j$ es par y $-1$ si es impar.

2. Fila 1: $b_{11}=(-1{)}^2\cdot 2=2$, $b_{12}=(-1{)}^3\cdot 3=-3$, $b_{13}=(-1{)}^4\cdot 4=4$.

3. Fila 2: $b_{21}=(-1{)}^3\cdot 3=-3$, $b_{22}=(-1{)}^4\cdot 4=4$, $b_{23}=(-1{)}^5\cdot 5=-5$.

$$B=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 4\\ -3& 4& -5\end{array}\right)$$

Los signos se alternan como en un tablero de ajedrez, empezando por $+$ en la posición $(1,1)$.

a) La traza es la suma de la diagonal principal: $\mathrm{tr}(C)=c_{11}+c_{22}+c_{33}=3+(-5)+6=4$. Los elementos de fuera de la diagonal no intervienen.

b) Una matriz escalar de orden 3 es diagonal con los tres elementos de la diagonal iguales, es decir, de la forma $\left(\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& k\end{array}\right)$. Su traza es $3k$, así que $3k=12$ y $k=4$:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

1. Las dos matrices son $2\times 2$. Igualando elemento a elemento se obtiene el sistema

$$\{\begin{array}{rl}2x-y& =1\\ x+z& =7\\ y+z& =8\\ 3& =x-t\end{array}$$

2. Despejamos en función de $x$. De la primera, $y=2x-1$. De la segunda, $z=7-x$.

3. Sustituimos en la tercera: $(2x-1)+(7-x)=8$, es decir, $x+6=8$, luego $x=2$.

4. El resto: $y=2\cdot 2-1=3$, $z=7-2=5$ y, de la cuarta ecuación, $t=x-3=-1$.

5. Comprobación. La matriz de la izquierda queda $\left(\begin{array}{cc}1& 7\\ 8& 3\end{array}\right)$ y la de la derecha $\left(\begin{array}{cc}1& 7\\ 8& 2-(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 7\\ 8& 3\end{array}\right)$.

La solución es $x=2$, $y=3$, $z=5$, $t=-1$.

a) $p_{32}$ está en la fila 3 y la columna 2: $p_{32}=16$. Significa que el almacén 3 recibió 16 toneladas en diciembre.

b) Lo recibido por el almacén 2 es la suma de su fila: $15+14+22+9=60$ toneladas.

c) Enero es la columna 3; lo recibido entre todos los almacenes es la suma de esa columna: $20+22+19=61$ toneladas.

d) Sumamos cada columna:

El mínimo es $32$, en la columna 4 (febrero).

a) $A$ es simétrica si $a_{ij}=a_{ji}$. Los elementos de la diagonal no dan condiciones; para orden 3 hay que imponer tres igualdades:

1. $a_{12}=a_{21}$: $x+1=3$, luego $x=2$.

2. $a_{13}=a_{31}$: $2y=y+2$, luego $y=2$.

3. $a_{23}=a_{32}$: $z=5$.

Con $x=2$, $y=2$, $z=5$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 3& 2& 5\\ 4& 5& 2\end{array}\right)$$

que efectivamente es simétrica.

b) $\mathrm{tr}(A)=1+2+x=1+2+2=5$. Fíjate en que $x$ aparece en la diagonal ($a_{33}=x$): hace falta haber resuelto el apartado a) para conocer la traza.

a) Cada amistad $i$-$j$ pone un $1$ en la posición $(i,j)$ y en la $(j,i)$, porque es mutua. La diagonal es nula.

$$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$

$M$ es simétrica, como corresponde a relaciones en los dos sentidos.

b) Las sumas de las filas son $2,3,3,2,2$ (el número de amigos de cada uno), y la suma total es $12$. Cada amistad aparece dos veces en la matriz (en $(i,j)$ y en $(j,i)$), así que hay $12/2=6$ amistades, que son las seis del enunciado.

c) Un amigo común de Bea (2) y Eva (5) es un $k$ con $m_{2k}=1$ y $m_{k5}=1$. Comparando la fila 2, $(1,0,1,1,0)$, con la columna 5, $(0,0,1,1,0)$, coinciden los unos en $k=3$ y $k=4$. Bea y Eva tienen 2 amigos en común: Carlos y Dani.

a) 1. Las ecuaciones. Igualando elemento a elemento: $x^2=4$, $x+y=1$, $y^2=9$, $xy=-6$. Son cuatro ecuaciones con dos incógnitas, y no todas son lineales.

2. Candidatos. De $x^2=4$, $x=2$ o $x=-2$. De $y^2=9$, $y=3$ o $y=-3$. Hay cuatro pares posibles: $(2,3)$, $(2,-3)$, $(-2,3)$ y $(-2,-3)$.

3. Filtramos con $x+y=1$. Las sumas son $5$, $-1$, $1$ y $-5$: solo sirve $(-2,3)$.

4. Comprobamos la ecuación que falta. $xy=(-2)\cdot 3=-6$. Se cumple.

La única solución es $(x,y)=(-2,3)$.

b) Las tres primeras ecuaciones son las mismas que en a), así que el único par que las cumple es $(-2,3)$. Pero la cuarta ecuación es ahora $xy=6$, y $(-2)\cdot 3=-6\ne 6$. No existe ningún par que cumpla la igualdad.

Para el examen: con ecuaciones no lineales hay que comprobar cada candidato en todas las ecuaciones. Dar $x=\pm 2$, $y=\pm 3$ como respuesta, o no detectar en b) que no hay solución, es lo que hace perder el apartado completo.

a) Para $n=4$, sustituyendo cada $(i,j)$:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 1& 0& 1& 2\\ 2& 1& 0& 1\\ 3& 2& 1& 0\end{array}\right)$$

Se ve la estructura: $a_{ij}$ es la distancia de la posición $(i,j)$ a la diagonal principal. La matriz es simétrica, porque $|i-j|=|j-i|$, y cada «paralela» a la diagonal tiene todos sus elementos iguales.

b) $a_{ij}=1$ si $j=i+1$ (la paralela justo encima de la diagonal) o $j=i-1$ (la de justo debajo). La de encima tiene las posiciones $(1,2),(2,3),\dots ,(n-1,n)$, que son $n-1$; la de debajo, otras $n-1$. En total, $2(n-1)=2n-2$ elementos valen $1$. Para $n=4$: $6$, que coincide con a).

c) $a_{ij}=0$ solo si $i=j$, es decir, solo en la diagonal principal, que tiene $n$ elementos. Los elementos no nulos son todos los demás: $n^2-n=n(n-1)$. Imponemos

$$n(n-1)=90⟺n^2-n-90=0⟺n=\frac{1\pm \sqrt{1+360}}{2}=\frac{1\pm 19}{2}$$

que da $n=10$ o $n=-9$. Como $n$ es un número natural, $n=10$.

d) El valor máximo de $|i-j|$ con $1\le i,j\le n$ es $n-1$, y solo se alcanza cuando uno de los índices es $1$ y el otro es $n$: en las posiciones $(1,n)$ y $(n,1)$, las dos esquinas de la diagonal secundaria. El mayor elemento es $n-1$ y aparece 2 veces. (Para $n=4$: el $3$ aparece dos veces.)

Para el examen: en matrices definidas por una regla general, escribe un caso pequeño (como $n=4$) para ver el patrón, y después justifica el recuento con las posiciones, no solo con el ejemplo. Descartar $n=-9$ con una frase es parte de la puntuación.

a) $A$ es simétrica si y solo si se cumplen a la vez las tres igualdades $a_{12}=a_{21}$, $a_{13}=a_{31}$, $a_{23}=a_{32}$.

1. $a_{12}=a_{21}$: $-4=m-3$, luego $m=-1$.

2. $a_{13}=a_{31}$: $8m=m^2-9⟺m^2-8m-9=0⟺(m-9)(m+1)=0$, luego $m=9$ o $m=-1$.

3. $a_{23}=a_{32}$: $m+1=m^2-2m-3=(m-3)(m+1)⟺(m+1)(m-4)=0$, luego $m=-1$ o $m=4$.

El único valor común a las tres condiciones es $m=-1$. Comprobación:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& -4& -8\\ -4& 2& 0\\ -8& 0& 0\end{array}\right)$$

que es simétrica. Para $m=9$ o $m=4$ falla alguna de las otras condiciones (por ejemplo, la primera exige $m=-1$).

b) $A$ es triangular superior si son nulos los tres elementos de debajo de la diagonal:

1. $a_{21}=m-3=0⟺m=3$.

2. $a_{31}=m^2-9=0⟺m=3$ o $m=-3$.

3. $a_{32}=m^2-2m-3=(m-3)(m+1)=0⟺m=3$ o $m=-1$.

El único valor común es $m=3$, y entonces

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 24\\ 0& 2& 4\\ 0& 0& 8\end{array}\right)$$

c) Una matriz diagonal es, en particular, triangular superior; por b), el único candidato es $m=3$. Pero además los elementos de encima de la diagonal deberían ser nulos, y $a_{12}=-4\ne 0$ para cualquier valor de $m$. Por tanto, no existe ningún valor de $m$ para el que $A$ sea diagonal.

d) $\mathrm{tr}(A)=m+2+(m^2-1)=m^2+m+1$. Imponemos

$$m^2+m+1=7⟺m^2+m-6=0⟺(m+3)(m-2)=0$$

luego $m=2$ o $m=-3$. Comprobación: para $m=2$, $\mathrm{tr}(A)=2+2+3=7$; para $m=-3$, $\mathrm{tr}(A)=-3+2+8=7$.

Para el examen: cuando una propiedad exige varias condiciones (simétrica, triangular), resuelve cada ecuación por separado y quédate con los valores comunes; escribir solo las soluciones de la primera ecuación o la unión de todas es un error que anula el apartado. En c) basta una frase con el elemento $a_{12}=-4$, pero hay que escribirla: «no existe» sin justificar no puntúa.