Matemáticas II · Álgebra de matrices · Apartado 2 de 7

Suma, resta y producto por un escalar

3 ejemplos resueltos · 10 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Sumar matrices y multiplicarlas por un número se hace elemento a elemento y funciona igual que con los números: por eso las ecuaciones como $2 X + Y = A$ , $X - Y = B$ se resuelven despejando como siempre. En la PAU aparecen como primer apartado de muchos problemas y como paso intermedio de casi todos.

Suma y resta de matrices

Por ejemplo, si las matrices recogen los goles a favor y en contra de dos equipos en la primera vuelta y en la segunda, la suma da los de toda la temporada:

$(20121518) + (17141021) = (37262539)$

Solo tiene sentido sumar datos que hablan de lo mismo (mismo equipo, misma columna), y eso es lo que garantiza la condición de dimensiones.

Todas son ciertas por la misma razón: en cada posición se están sumando números reales, y los números cumplen esas propiedades. La resta se define con el opuesto, $A - B = A + (- B) = (a_{ij} - b_{ij})$ : se restan los elementos que ocupan la misma posición.

Producto de un número por una matriz

Si una tienda tiene sus precios en una matriz $P$ y los sube un $10 %$ , la nueva matriz de precios es $\frac{11}{10} P$ ; si hace un descuento del $25 %$ , es $\frac{3}{4} P$ . Por ejemplo,

$3 (21 - 1 4 0 - 3) = (63 - 3 12 0 - 9)$

La última propiedad es cierta porque si $k \neq = 0$ cada elemento cumple $k a_{ij} = 0$ , luego $a_{ij} = 0$ . Con el producto de dos matrices no pasará lo mismo, como verás en el producto de matrices.

Con estas propiedades, las expresiones con matrices se operan como las expresiones con letras: $2 (A - 3 B) + 5 B = 2 A - 6 B + 5 B = 2 A - B$ .

Combinación lineal de matrices

Por ejemplo, toda matriz $2 \times 2$ es combinación lineal de cuatro matrices muy sencillas:

$(a c b d) = a (1000) + b (0010) + c (0100) + d (0001)$

Para saber si una matriz $M$ es combinación lineal de otras se escriben los coeficientes como incógnitas, se calcula la combinación y se iguala a $M$ elemento a elemento: sale un sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene solución, $M$ es combinación lineal y la solución da los coeficientes; si no la tiene, no lo es. Como en una igualdad de matrices, hay que comprobar todas las ecuaciones.

Ecuaciones y sistemas con matrices incógnita

Una ecuación como $3 X - A = 2 B$ , donde $X$ es una matriz desconocida, se resuelve exactamente igual que $3 x - a = 2 b$ : las propiedades anteriores permiten pasar sumandos al otro miembro y dividir por un número distinto de cero.

$3 X - A = 2 B ⟺ 3 X = A + 2 B ⟺ X = \frac{1}{3} (A + 2 B)$

Lo único que no se puede hacer (todavía) es «dividir entre una matriz»: eso necesitará la matriz inversa.

Trabajar con letras hasta el final reduce las cuentas a una o dos operaciones con matrices y evita arrastrar errores de cálculo.

La traza y las operaciones

La traza (suma de la diagonal principal) se lleva bien con estas operaciones: como la diagonal de $A + B$ es la suma de las diagonales y la de $k A$ es $k$ veces la de $A$ ,

$tr (A + B) = tr (A) + tr (B), tr (k A) = k tr (A)$

Por ejemplo, si $tr (A) = 3$ y $tr (B) = - 1$ , entonces $tr (2 A - 5 B) = 2 \cdot 3 - 5 \cdot (- 1) = 11$ , sin conocer las matrices.

Ampliación: parte simétrica y parte antisimétrica

La idea es «repartir» cada pareja de elementos reflejados: $s_{ij} = \frac{a _{ij} + a _{j i}}{2}$ es la media de los dos (igual en $(i, j)$ y en $(j, i)$ ) y $n_{ij} = \frac{a _{ij} - a _{j i}}{2}$ es lo que le falta a cada uno para llegar a $a_{ij}$ (con signo opuesto en la posición reflejada). Por ejemplo,

$(1243) = (1333) + (0 - 1 10)$

La primera es simétrica, la segunda antisimétrica, y su suma es la matriz de partida. Que la descomposición es única se demuestra en el ejercicio 9.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Una combinación de tres matrices

Dadas las matrices

$A = (13 - 2 1 0 - 1), B = (2 - 1 04 - 1 2), C = (02 3 - 2 15)$

calcula $2 A - 3 B + C$ .

Solución

Dimensiones. Las tres matrices son $2 \times 3$ , así que la operación tiene sentido y el resultado es $2 \times 3$ .
Productos por escalares. Cada número multiplica a todos los elementos de su matriz:

$2 A = (26 - 4 2 0 - 2), - 3 B = (- 6 3 0 - 12 3 - 6)$

Suma posición a posición. Sumamos $2 A$ , $- 3 B$ y $C$ :

$2 A - 3 B + C = (2 - 6 + 0 6 + 3 + 2 - 4 + 0 + 3 2 - 12 - 2 0 + 3 + 1 - 2 - 6 + 5) = (- 4 11 - 1 - 12 4 - 3)$

Escribir $- 3 B$ ya con el signo incluido evita el error más común: restar bien el primer elemento y olvidar el signo en los demás.

Ejemplo 2 Medio

Sistema de dos ecuaciones matriciales

Halla las matrices $X$ e $Y$ que cumplen

${2 X + Y X - Y = A = B con A = (54 - 1 2), B = (1 - 1 41)$

Solución

Reducción con letras. Sumando las dos ecuaciones desaparece $Y$ :

$3 X = A + B ⟺ X = \frac{1}{3} (A + B)$

De la segunda ecuación, $Y = X - B$ .

Ahora los números.

$A + B = (6333) ⟹ X = \frac{1}{3} (6333) = (2111)$

$Y = X - B = (2 - 1 1 - (- 1) 1 - 4 1 - 1) = (12 - 3 0)$

Comprobación en las dos ecuaciones.

$2 X + Y = (4 + 1 2 + 2 2 - 3 2 + 0) = (54 - 1 2) = A, X - Y = (1 - 1 41) = B$

La solución es $X = (2111)$ , $Y = (12 - 3 0)$ .

Ejemplo 3 Difícil

¿Es combinación lineal? Un parámetro que hay que deducir

Se consideran las matrices

$A = (1102), B = (0 - 1 11), C = (2 m 37)$

a) Halla los valores de $m$ para los que $C$ es combinación lineal de $A$ y $B$ .

b) Para ese valor, halla los números $x$ e $y$ tales que $C = x A + y B$ .

c) Halla todos los pares $(x, y)$ que cumplen $x A + y B = (1113)$ .

Solución

La combinación general. Para cualesquiera $x$ e $y$ ,

$x A + y B = (x x 0 2 x) + (0 - y y y) = (x x - y y 2 x + y)$

Esta forma sirve para los tres apartados: cualquier combinación lineal de $A$ y $B$ tiene este aspecto.

a) 2. Igualamos a $C$ . $x A + y B = C$ equivale al sistema

$⎩ ⎨ ⎧ x y x - y 2 x + y = 2 = 3 = m = 7 (posici o ˊ n 1,1) (posici o ˊ n 1,2) (posici o ˊ n 2,1) (posici o ˊ n 2,2)$

Son cuatro ecuaciones con dos incógnitas: las dos primeras dan directamente $x = 2$ , $y = 3$ , y las otras dos tienen que cumplirse con esos valores.

Las ecuaciones que sobran. La cuarta: $2 \cdot 2 + 3 = 7$ . Se cumple sin condiciones. La tercera: $2 - 3 = m$ , que obliga a $m = - 1$ .

Por tanto, $C$ es combinación lineal de $A$ y $B$ solo si $m = - 1$ . Para cualquier otro valor la tercera ecuación falla y el sistema no tiene solución.

b) 4. Con $m = - 1$ , los coeficientes son los de los pasos anteriores: $x = 2$ , $y = 3$ . Comprobación:

$2 A + 3 B = (2204) + (0 - 3 33) = (2 - 1 37) = C$

c) 5. Mismo método con otra matriz. Igualando la forma general a $(1113)$ : $x = 1$ , $y = 1$ , y entonces la posición $(2, 1)$ exige $x - y = 1$ , pero $1 - 1 = 0 \neq = 1$ . No hay ningún par $(x, y)$ : esa matriz no es combinación lineal de $A$ y $B$ (aunque la posición $(2, 2)$ , $2 + 1 = 3$ , sí cuadre).

Para el examen: al plantear una combinación lineal, escribe primero la matriz $x A + y B$ general y después iguala. Las ecuaciones «sobrantes» no se pueden ignorar: son las que deciden el valor del parámetro en a) y la imposibilidad en c), y justificar «no existe» con la ecuación que falla es lo que puntúa.

Errores típicos

Ejercicios

Intenta cada ejercicio por tu cuenta antes de abrir la solución. Van de menos a más difícil.

Ejercicio 1 Básico

Dadas las matrices

$A = (20 - 1 4 3 - 2), B = (1 - 3 52 - 1 0)$

a) Calcula $A + B$ .

b) Calcula $A - B$ .

c) Calcula $3 A - 2 B$ .

Solución paso a paso

Las dos matrices son $2 \times 3$ , así que todas las operaciones existen y dan matrices $2 \times 3$ .

a) Sumando posición a posición:

$A + B = (2 + 1 0 - 3 - 1 + 5 4 + 2 3 - 1 - 2 + 0) = (3 - 3 46 2 - 2)$

b) Restando posición a posición:

$A - B = (2 - 1 0 - (- 3) - 1 - 5 4 - 2 3 - (- 1) - 2 - 0) = (13 - 6 2 4 - 2)$

c) Primero los productos por escalares, $3 A = (60 - 3 12 9 - 6)$ y $- 2 B = (- 2 6 - 10 - 4 20)$ , y después la suma:

$3 A - 2 B = (46 - 13 8 11 - 6)$

Ejercicio 2 Básico

Halla la matriz $X$ que cumple $2 X - 3 A = B$ , siendo

$A = (12 - 1 0), B = (1 - 2 54)$

Solución paso a paso

Despejamos con letras. Como con números: $2 X = B + 3 A$ , luego $X = \frac{1}{2} (B + 3 A)$ .
Operamos.

$B + 3 A = (1 - 2 54) + (36 - 3 0) = (4424) ⟹ X = (2212)$

Comprobación. $2 X - 3 A = (4424) - (36 - 3 0) = (1 - 2 54) = B$ .

Ejercicio 3 Básico

Halla los números reales $x$ , $y$ , $z$ y $t$ que cumplen

$2 (x y 1 z) - (3 - 1 t 2) = (57 4 - 6)$

Solución paso a paso

Operamos el miembro izquierdo.

$(2 x 2 y 2 2 z) - (3 - 1 t 2) = (2 x - 3 2 y + 1 2 - t 2 z - 2)$

Igualamos elemento a elemento.

$2 x - 3 = 5, 2 - t = 4, 2 y + 1 = 7, 2 z - 2 = - 6$

Resolvemos. $x = 4$ , $t = - 2$ , $y = 3$ , $z = - 2$ .

Cuidado con la posición $(2, 1)$ : se resta $- 1$ , así que queda $2 y + 1$ , no $2 y - 1$ .

Ejercicio 4 Medio

Resuelve el sistema

${3 X + 2 Y 2 X + Y = A = B con A = (12 0 - 1), B = (1011)$

Solución paso a paso

Sustitución con letras. De la segunda ecuación, $Y = B - 2 X$ . Sustituyendo en la primera:

$3 X + 2 (B - 2 X) = A ⟺ 3 X + 2 B - 4 X = A ⟺ - X = A - 2 B ⟺ X = 2 B - A$

Y entonces $Y = B - 2 X = B - 2 (2 B - A) = 2 A - 3 B$ .

Operamos.

$X = 2 B - A = (2022) - (12 0 - 1) = (1 - 2 23)$

$Y = 2 A - 3 B = (24 0 - 2) - (3033) = (- 1 4 - 3 - 5)$

Comprobación.

$3 X + 2 Y = (3 - 2 - 6 + 8 6 - 6 9 - 10) = (12 0 - 1) = A, 2 X + Y = (2 - 1 - 4 + 4 4 - 3 6 - 5) = (1011) = B$

Ejercicio 5 Medio

Una panadería tiene dos tiendas. Las matrices $S$ y $D$ recogen las unidades vendidas el sábado y el domingo (filas: tienda 1 y tienda 2; columnas: barras de pan, croissants y empanadillas, en este orden):

$S = (1209080605040), D = (150110100707030)$

a) Calcula la matriz de ventas de todo el fin de semana.

b) Calcula $D - S$ . ¿Hay algún producto que alguna tienda vendiera menos el domingo que el sábado? Indica su fila y su columna.

c) Para el fin de semana siguiente se prevé vender un $20 %$ más que este sábado el sábado y un $10 %$ menos que este domingo el domingo. Escribe la matriz de ventas previstas para ese fin de semana completo.

d) ¿Cuántas unidades en total (de los tres productos y en las dos tiendas) se prevé vender ese fin de semana?

Solución paso a paso

a) Las ventas del fin de semana son la suma de las de los dos días, posición a posición:

$S + D = (27020018013012070)$

Por ejemplo, la tienda 2 vendió $130$ croissants en el fin de semana.

b) $D - S = (30202010 20 - 10)$ . Todos los elementos son positivos salvo el $- 10$ de la fila 2, columna 3: la tienda 2 vendió $10$ empanadillas menos el domingo que el sábado.

c) Un $20 %$ más es multiplicar por $\frac{6}{5}$ y un $10 %$ menos es multiplicar por $\frac{9}{10}$ :

$\frac{6}{5} S = (14410896726048), \frac{9}{10} D = (1359990636327)$

$\frac{6}{5} S + \frac{9}{10} D = (27920718613512375)$

d) Sumamos todos los elementos de la matriz de c): $279 + 186 + 123 + 207 + 135 + 75 = 1005$ unidades.

Ejercicio 6 Medio

Se consideran las matrices

$A = (1010), B = (0110), C = (0101)$

a) Halla los números $a$ , $b$ y $c$ tales que $a A + b B + c C = (2451)$ .

b) Halla todas las ternas $(a, b, c)$ que cumplen $a A + b B + c C = (1321)$ .

c) Halla el valor de $k$ para el que $(k 5 2 k 1)$ es combinación lineal de $A$ , $B$ y $C$ .

Solución paso a paso

Combinación general.

$a A + b B + c C = (a b + c a + b c)$

a) Igualando a $(2451)$ : $a = 2$ , $c = 1$ , $a + b = 5 \Rightarrow b = 3$ , y la ecuación que queda, $b + c = 4$ , se cumple: $3 + 1 = 4$ . Los coeficientes son $a = 2$ , $b = 3$ , $c = 1$ .

b) Igualando a $(1321)$ : $a = 1$ , $c = 1$ , $a + b = 2 \Rightarrow b = 1$ , y la posición $(2, 1)$ exige $b + c = 3$ , pero $1 + 1 = 2 \neq = 3$ . No hay ninguna terna: la matriz no es combinación lineal de $A$ , $B$ y $C$ .

c) Igualando a $(k 5 2 k 1)$ : $a = k$ , $c = 1$ , $a + b = 2 k \Rightarrow b = k$ , y la posición $(2, 1)$ da $b + c = 5$ , es decir, $k + 1 = 5$ : $k = 4$ . Comprobación: $4 A + 4 B + C = (4581)$ .

Observa que las combinaciones de $A$ , $B$ y $C$ cumplen siempre $(a + b) + c = a + (b + c)$ , es decir, la suma de la segunda columna es igual a la suma de la primera. Eso explica de un vistazo b) ( $2 + 1 \neq = 1 + 3$ ) y c) ( $2 k + 1 = k + 5$ ).

Ejercicio 7 Medio

Se consideran las matrices

$A = 1 - 1 4 32 - 2 02 - 1, B = 110 - 1 01 2 - 1 3$

a) Halla los valores de $k$ para los que $A + k B$ es simétrica.

b) Para ese valor, calcula $A + k B$ y su traza.

c) Halla los valores de $k$ para los que $A + k B$ es triangular superior.

Solución paso a paso

La matriz general.

$A + k B = 1 + k - 1 + k 4 3 - k 2 - 2 + k 2 k 2 - k - 1 + 3 k$

a) Una matriz de orden 3 es simétrica si se cumplen a la vez las tres igualdades de las parejas reflejadas:

$(1, 2)$ y $(2, 1)$ : $3 - k = - 1 + k ⟺ k = 2$ .
$(1, 3)$ y $(3, 1)$ : $2 k = 4 ⟺ k = 2$ .
$(2, 3)$ y $(3, 2)$ : $2 - k = - 2 + k ⟺ k = 2$ .

Las tres dan $k = 2$ , así que $A + k B$ es simétrica solo para $k = 2$ .

b) Con $k = 2$ :

$A + 2 B = 314120405, tr (A + 2 B) = 3 + 2 + 5 = 10$

También se podía usar que la traza respeta las operaciones: $tr (A) + 2 tr (B) = 2 + 2 \cdot 4 = 10$ .

c) Hacen falta tres ceros debajo de la diagonal: $- 1 + k = 0$ , $4 = 0$ y $- 2 + k = 0$ . La segunda condición es imposible (el elemento $(3, 1)$ vale $4$ para cualquier $k$ ), así que no existe ningún valor de $k$ .

Ejercicio 8 Difícil

Para cada número real $m$ se consideran

$A = (2134), B = (0 m^{2} m 2)$

y las matrices $X$ e $Y$ que cumplen $X + Y = A$ y $X - Y = B$ .

a) Calcula $X$ e $Y$ en función de $m$ .

b) Halla los valores de $m$ para los que $X$ es simétrica.

c) Halla los valores de $m$ para los que, a la vez, $X$ es simétrica e $Y$ es triangular superior.

d) Para el valor de c), escribe $X$ e $Y$ .

Solución paso a paso

a) 1. Con letras. Sumando las ecuaciones, $2 X = A + B$ ; restándolas, $2 Y = A - B$ . Así, $X = \frac{1}{2} (A + B)$ e $Y = \frac{1}{2} (A - B)$ .

Con números.

$X = \frac{1}{2} (2 1 + m^{2} 3 + m 6) = (1 \frac{1 + m ^{2}}{2} \frac{3 + m}{2} 3), Y = \frac{1}{2} (2 1 - m^{2} 3 - m 2) = (1 \frac{1 - m ^{2}}{2} \frac{3 - m}{2} 1)$

b) 3. Una matriz $2 \times 2$ es simétrica si $x_{12} = x_{21}$ :

$\frac{3 + m}{2} = \frac{1 + m ^{2}}{2} ⟺ m^{2} - m - 2 = 0 ⟺ (m - 2) (m + 1) = 0$

$X$ es simétrica para $m = 2$ y para $m = - 1$ .

c) 4. $Y$ es triangular superior si $y_{21} = 0$ : $1 - m^{2} = 0 ⟺ m = 1$ o $m = - 1$ . El único valor que cumple las dos condiciones es el común, $m = - 1$ .

d) 5. Con $m = - 1$ :

$X = (1113), Y = (1021)$

Comprobación: $X + Y = (2134) = A$ y $X - Y = (01 - 1 2)$ , que es $B$ con $m = - 1$ ( $m^{2} = 1$ ).

Para el examen: resuelve primero el sistema con letras; con $X$ e $Y$ en función de $m$ , cada condición es una ecuación sencilla. En c) la respuesta es la intersección de las dos condiciones, no la unión: dar $m = 2$ o $m = 1$ es un error típico.

Ejercicio 9 DifícilDemostración

Usa la definición de matriz simétrica ( $a_{ij} = a_{j i}$ ) y antisimétrica ( $a_{ij} = - a_{j i}$ ) para cada $i$ , $j$ .

a) Demuestra que si $A$ y $B$ son simétricas del mismo orden y $k$ es un número real, entonces $A + B$ y $k A$ son simétricas. Demuestra lo mismo para antisimétricas.

b) Demuestra que la única matriz que es a la vez simétrica y antisimétrica es la matriz nula.

c) Deduce que la descomposición de una matriz cuadrada como suma de una simétrica y una antisimétrica es única: si $A = S_{1} + N_{1} = S_{2} + N_{2}$ , con $S_{1}$ , $S_{2}$ simétricas y $N_{1}$ , $N_{2}$ antisimétricas, entonces $S_{1} = S_{2}$ y $N_{1} = N_{2}$ .

Solución paso a paso

a) 1. Suma de simétricas. Llamamos $C = A + B$ , con $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ . Usando que $A$ y $B$ son simétricas,

$c_{j i} = a_{j i} + b_{j i} = a_{ij} + b_{ij} = c_{ij}$

para todos los $i$ , $j$ , así que $C$ es simétrica.

Producto por un número. El elemento $(j, i)$ de $k A$ es $k a_{j i} = k a_{ij}$ , que es el elemento $(i, j)$ . Luego $k A$ es simétrica.
Antisimétricas. Si $a_{j i} = - a_{ij}$ y $b_{j i} = - b_{ij}$ , entonces $a_{j i} + b_{j i} = - (a_{ij} + b_{ij})$ y $k a_{j i} = - k a_{ij}$ : $A + B$ y $k A$ son antisimétricas.

b) 4. Si $A$ es simétrica y antisimétrica, para cada $i$ , $j$ se cumplen a la vez $a_{j i} = a_{ij}$ y $a_{j i} = - a_{ij}$ . Restando, $2 a_{ij} = 0$ , es decir, $a_{ij} = 0$ . Todos los elementos son nulos: $A = O$ .

c) 5. De $S_{1} + N_{1} = S_{2} + N_{2}$ se obtiene, pasando términos,

$S_{1} - S_{2} = N_{2} - N_{1}$

Por a), $S_{1} - S_{2} = S_{1} + (- 1) S_{2}$ es simétrica, y $N_{2} - N_{1}$ es antisimétrica. Como son la misma matriz, esa matriz es a la vez simétrica y antisimétrica, y por b) es la nula: $S_{1} - S_{2} = O$ y $N_{2} - N_{1} = O$ . Es decir, $S_{1} = S_{2}$ y $N_{1} = N_{2}$ .

Para el examen: en una demostración con elementos, escribe qué hay que probar («hay que ver que $c_{j i} = c_{ij}$ para todos los $i$ , $j$ ») y usa la hipótesis en una línea explícita. Comprobarlo con un ejemplo numérico no es una demostración.

Ejercicio 10 DifícilTipo PAU · 2,5 puntos

Se consideran las matrices

$A = (58813), B = (3558)$

a) Halla las matrices $X$ e $Y$ que cumplen $2 X + 3 Y = A$ y $X + 2 Y = B$ . (1 punto)

b) Halla los números reales $α$ y $β$ tales que $α X + β Y = I$ . (0,75 puntos)

c) Halla el número real $k$ para el que $X + k Y$ es una matriz diagonal, y escribe esa matriz. ¿De qué tipo es? (0,75 puntos)

Solución paso a paso

a) 1. Con letras. De la segunda ecuación, $X = B - 2 Y$ . Sustituyendo en la primera: $2 B - 4 Y + 3 Y = A$ , luego $Y = 2 B - A$ , y $X = B - 2 (2 B - A) = 2 A - 3 B$ .

Con números.

$X = 2 A - 3 B = (10 - 9 16 - 15 16 - 15 26 - 24) = (1112), Y = 2 B - A = (6 - 5 10 - 8 10 - 8 16 - 13) = (1223)$

Comprobación. $2 X + 3 Y = (2 + 3 2 + 6 2 + 6 4 + 9) = A$ y $X + 2 Y = (1 + 2 1 + 4 1 + 4 2 + 6) = B$ .

b) 4. Combinación general e igualdad.

$α X + β Y = (α + β α + 2 β α + 2 β 2 α + 3 β) = (1001)$

Las posiciones $(1, 2)$ y $(2, 1)$ dan la misma ecuación, así que hay tres ecuaciones distintas: $α + β = 1$ , $α + 2 β = 0$ y $2 α + 3 β = 1$ .

Restando las dos primeras, $β = - 1$ , y entonces $α = 2$ . La tercera se cumple: $4 - 3 = 1$ . Por tanto, $α = 2$ , $β = - 1$ , es decir, $2 X - Y = I$ .

c) 6. $X + k Y = (1 + k 1 + 2 k 1 + 2 k 2 + 3 k)$ es diagonal si los dos elementos de fuera de la diagonal son nulos: $1 + 2 k = 0$ , es decir, $k = - \frac{1}{2}$ .

Con ese valor:

$X - \frac{1}{2} Y = (1 - \frac{1}{2} 0 0 2 - \frac{3}{2}) = (\frac{1}{2} 0 0 \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} I$

Es una matriz escalar (diagonal con los dos elementos de la diagonal iguales). Cuadra con b): multiplicando $2 X - Y = I$ por $\frac{1}{2}$ se obtiene exactamente $X - \frac{1}{2} Y = \frac{1}{2} I$ .

Para el examen: en a) se puntúa despejar correctamente y comprobar; resolver el sistema con letras te deja en dos operaciones. En b) y c) escribe la matriz general antes de igualar y comprueba la ecuación que «sobra»: si no se cumpliera, la respuesta sería «no existen».

Resumen

Suma y resta: solo entre matrices de la misma dimensión, elemento a elemento. Cumplen las propiedades de los números (asociativa, conmutativa, neutro $O$ , opuesto $- A$ ).
$k A$ multiplica por $k$ todos los elementos. $k (A + B) = k A + k B$ , $(k + h) A = k A + h A$ , y $k A = O$ solo si $k = 0$ o $A = O$ .
Un número no se suma a una matriz: se escribe $A + k I$ .
Combinación lineal: $c_{1} A_{1} + \dots + c_{r} A_{r}$ . Para ver si $M$ lo es, se iguala la combinación general a $M$ y se resuelve el sistema, comprobando todas las ecuaciones.
Ecuaciones y sistemas lineales con matrices incógnita: se despeja con letras como con números y se opera con matrices al final; se comprueba en todas las ecuaciones.
$tr (A + B) = tr (A) + tr (B)$ y $tr (k A) = k tr (A)$ .
Ampliación: toda matriz cuadrada es, de forma única, $\frac{1}{2} (A + A^{t}) + \frac{1}{2} (A - A^{t})$ , simétrica más antisimétrica.

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