Matriz inversa por adjuntos

1. Determinante (Sarrus).

$$|A|=1\cdot 1\cdot 2+0\cdot 0\cdot 1+1\cdot 2\cdot 1-1\cdot 1\cdot 1-1\cdot 0\cdot 1-0\cdot 2\cdot 2=2+0+2-1-0-0=3$$

Como $|A|=3\ne 0$, existe $A^{-1}$.

2. Los nueve menores, tachando fila $i$ y columna $j$:

$$\begin{array}{rlrlrl}{M}_{11}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right|=2,& M_{12}& =\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 2\end{array}\right|=4,& M_{13}& =\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=1,\\ M_{21}& =\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=-1,& M_{22}& =\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1,& M_{23}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=1,\\ M_{31}& =\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1,& M_{32}& =\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right|=-2,& M_{33}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right|=1.\end{array}$$

3. Signos del tablero ($+,-,+$ / $-,+,-$ / $+,-,+$): cambian de signo $M_{12}$, $M_{21}$, $M_{23}$ y $M_{32}$.

$$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}2& -4& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$$

4. Trasponer (las filas pasan a columnas):

$$\mathrm{Adj}(A{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -4& 1& 2\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$$

5. Dividir entre $|A|=3$:

$$A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -4& 1& 2\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$$

6. Comprobación de la primera fila de $A{A}^{-1}$: la fila $(1,0,1)$ de $A$ por las columnas de $\mathrm{Adj}(A{)}^t$ da $2+1=3$, $1-1=0$ y $-1+1=0$; dividido entre $3$, $(1,0,0)$, la primera fila de $I$.

Fíjate en que $A$ no es simétrica: si no hubieras traspuesto, la matriz obtenida no sería la inversa.

1. Dimensión de $X$. $XA$ tiene sentido si $X$ tiene 3 columnas, y $XA$ debe poder sumarse con $B$, que es $2\times 3$. Así que $X$ es $2\times 3$.

2. Agrupar $X$. Pasamos los términos con $X$ a la izquierda: $XA-2X=B$. Como $X=XI$, sacamos $X$ factor común por la izquierda:

$$X(A-2I)=B,A-2I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=C.$$

3. ¿Existe $C^{-1}$? Por Sarrus, $|C|=1\cdot 1\cdot 1+0+0-2\cdot 1\cdot 1-0-0=-1\ne 0$. Entonces, multiplicando por $C^{-1}$ por la derecha, $X=B{C}^{-1}$.

4. Inversa por adjuntos. Los menores son

$$M_{11}=1,M_{12}=0,M_{13}=-1,M_{21}=0,M_{22}=-1,M_{23}=0,M_{31}=-2,M_{32}=0,M_{33}=1.$$

Los menores que cambian de signo ($M_{12},M_{21},M_{23},M_{32}$) son ceros, así que $\mathrm{Adj}(C)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& -1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right)$ y

$$C^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& -1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right).$$

5. Producto.

$$X=B{C}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

6. Comprobación. $XC=\left(\begin{array}{ccc}1-1& 2& 2-1\\ 0+1& 1& 0+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=B$.

El orden importa: $C^{-1}B$ ni siquiera se puede calcular ($3\times 3$ por $2\times 3$).

a) El cuadrado. Cada elemento de la diagonal de $A^2$ es el producto de una fila por la columna del mismo número, por ejemplo $(0,1,1)\cdot (0,1,1)=2$; cada elemento de fuera, por ejemplo el $(1,2)$, es $(0,1,1)\cdot (1,0,1)=1$. Así

$$A^2=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)=A+2I.$$

b) La inversa sin adjuntos. De $A^2=A+2I$ se obtiene $A^2-A=2I$, y sacando $A$ factor común,

$$A(A-I)=2I⟺A\cdot \frac{1}{2}(A-I)=I.$$

Como $A$ y $A-I$ conmutan, también $\frac{1}{2}(A-I)A=I$. Luego $A$ es invertible y

$$A^{-1}=\frac{1}{2}(A-I)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right).$$

Comprobación con adjuntos. Por Sarrus, $|A|=0+1+1-0-0-0=2$. Los menores de la diagonal valen $\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1$ y los de fuera $\pm 1$; por ejemplo $A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=1$. Sale $\mathrm{Adj}(A{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$ y, dividiendo entre $2$, la misma matriz.

c) Despejar. $AX-X=B$, y escribiendo $X=IX$, $(A-I)X=B$. Hay que invertir $A-I$, y el apartado b) ya lo da hecho: de $A(A-I)=2I$ se deduce que

$$(A-I{)}^{-1}=\frac{1}{2}A.$$

(Si prefieres comprobarlo con determinantes: $|A-I|=4\ne 0$.) Por tanto

$$X=(A-I{)}^{-1}B=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\\ 2& 2\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 4& 2\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

Comprobación de la primera fila: $AX$ tiene primera fila $(2+1,1+2)=(3,3)$, y $X+B$ también: $(1+2,3+0)=(3,3)$.

d) Determinante de la adjunta. En orden $n=3$, $|\mathrm{Adj}(A)|=|A{|}^2=2^2=4$. No hace falta calcular la adjunta.

Para el examen: cuando el enunciado da una relación como $A^2=A+2I$, se espera que la uses: deducir la inversa sacando factor común y justificar con una frase que $A^{-1}$ existe porque $A\cdot \frac{1}{2}(A-I)=I$. Calcularla por adjuntos es correcto, pero en un apartado que dice «deduce» puede no puntuar entero.

a) Por Sarrus: $|A|=1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 1\cdot 2+0\cdot 0\cdot 0-0\cdot 1\cdot 2-1\cdot 1\cdot 0-2\cdot 0\cdot 1=1+4=5$.

b) Los menores, fila a fila:

$$\begin{array}{rlrlrl}{M}_{11}& =\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=1,& M_{12}& =\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=-2,& M_{13}& =\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right|=-2,\\ M_{21}& =\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=2,& M_{22}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right|=1,& M_{23}& =\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 0\end{array}\right|=-4,\\ M_{31}& =\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=2,& M_{32}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1,& M_{33}& =\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1.\end{array}$$

Con los signos del tablero:

$$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ -2& 1& 4\\ 2& -1& 1\end{array}\right)$$

c) Como $|A|=5\ne 0$, existe la inversa:

$$A^{-1}=\frac{1}{5}\mathrm{Adj}(A{)}^t=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 2& 1& -1\\ -2& 4& 1\end{array}\right)$$

Comprobación de la primera fila de $A{A}^{-1}$: $(1,2,0)$ por las columnas de $\mathrm{Adj}(A{)}^t$ da $1+4=5$, $-2+2=0$, $2-2=0$; entre $5$, $(1,0,0)$.

1. Determinante. El de una matriz triangular es el producto de la diagonal: $|T|=1\cdot 1\cdot 1=1\ne 0$, así que existe $T^{-1}$.

2. Menores. $M_{11}=1$, $M_{12}=\left|\begin{array}{cc}0& 4\\ 0& 1\end{array}\right|=0$, $M_{13}=0$; $M_{21}=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1\end{array}\right|=2$, $M_{22}=1$, $M_{23}=0$; $M_{31}=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right|=5$, $M_{32}=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 4\end{array}\right|=4$, $M_{33}=1$.

3. Adjunta (signos del tablero): $\mathrm{Adj}(T)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 5& -4& 1\end{array}\right)$.

4. Inversa, trasponiendo y dividiendo entre $1$:

$$T^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 5\\ 0& 1& -4\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

Comprobación de la primera fila de $T{T}^{-1}$: $(1,2,3)$ por las columnas da $1$, $-2+2=0$ y $5-8+3=0$. Observa que la inversa de una triangular superior es también triangular superior, y que como $|T|=1$ y los elementos son enteros, la inversa tiene elementos enteros.

Como $|A|\ne 0$, $A$ tiene inversa y se pueden usar todas las propiedades.

a) $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=-\frac{1}{2}$.

b) En orden $n=3$, $|\mathrm{Adj}(A)|=|A{|}^2=(-2{)}^2=4$.

c) Multiplicar una matriz de orden 3 por $3$ multiplica cada una de sus tres filas por $3$, así que el determinante queda multiplicado por $3^3=27$: $|3A^{-1}|=27\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{27}{2}$.

d) Por la identidad fundamental, $\mathrm{Adj}(A{)}^t\cdot A=|A|I=-2I$, cuyo determinante es $(-2{)}^3=-8$. También sale como $|\mathrm{Adj}(A{)}^t|\cdot |A|=4\cdot (-2)=-8$.

1. ¿Se puede despejar? Por Sarrus, $|A|=2\cdot 1\cdot 3+1\cdot 1\cdot 0+0-0-2\cdot 1\cdot 1-1\cdot 1\cdot 3=6-2-3=1\ne 0$. Existe $A^{-1}$ y, multiplicando por la izquierda, $X=A^{-1}B$ (una matriz $3\times 2$).

2. Menores. $M_{11}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right|=2$, $M_{12}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 3\end{array}\right|=3$, $M_{13}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=1$, $M_{21}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right|=3$, $M_{22}=\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right|=6$, $M_{23}=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=2$, $M_{31}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=1$, $M_{32}=\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=2$, $M_{33}=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=1$.

3. Adjunta e inversa. Con los signos, $\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 1\\ -3& 6& -2\\ 1& -2& 1\end{array}\right)$, que es simétrica (como $A$), y

$$A^{-1}=\frac{1}{1}\mathrm{Adj}(A{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 1\\ -3& 6& -2\\ 1& -2& 1\end{array}\right)$$

4. Producto.

$$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}2+0+1& 0-3+2\\ -3+0-2& 0+6-4\\ 1+0+1& 0-2+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\\ 2& 0\end{array}\right)$$

5. Comprobación de la primera fila de $AX$: $(2,1,0)$ por las columnas de $X$ da $6-5=1$ y $-2+2=0$, la primera fila de $B$.

a) $XA$ debe sumarse con $B$, que es $2\times 3$, así que $XA$ es $2\times 3$. Para que $XA$ exista, $X$ tiene 3 columnas (tantas como filas de $A$), y $XA$ tiene tantas filas como $X$: $X$ es $2\times 3$.

b) 1. Despeje. $XA=C-B$. Si $A$ es invertible, multiplicando por $A^{-1}$ por la derecha, $X=(C-B)A^{-1}$.

2. Determinante. $|A|=1\cdot 1\cdot 2+2\cdot 2\cdot 1+1\cdot 0\cdot 0-1\cdot 1\cdot 1-1\cdot 2\cdot 0-2\cdot 0\cdot 2=2+4-1=5\ne 0$.

3. Adjunta. Los menores son $M_{11}=2$, $M_{12}=-2$, $M_{13}=-1$, $M_{21}=4$, $M_{22}=1$, $M_{23}=-2$, $M_{31}=3$, $M_{32}=2$, $M_{33}=1$. Con los signos:

$$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& -1\\ -4& 1& 2\\ 3& -2& 1\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}2& -4& 3\\ 2& 1& -2\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$$

4. Producto. $C-B=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ 2& 5& 4\end{array}\right)$ y

$$X=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ 2& 5& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& -4& 3\\ 2& 1& -2\\ -1& 2& 1\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}5& 0& -5\\ 10& 5& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$$

5. Comprobación. $XA=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ 2& 5& 4\end{array}\right)$ y $XA+B=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -1\\ 2& 7& 5\end{array}\right)=C$.

a) 1. $|K|=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+0-0-1\cdot 1\cdot 1-1\cdot 0\cdot 1=1+1-1=1\ne 0$, así que $K$ tiene inversa.

2. Menores: $M_{11}=0$, $M_{12}=-1$, $M_{13}=-1$, $M_{21}=1$, $M_{22}=1$, $M_{23}=0$, $M_{31}=1$, $M_{32}=1$, $M_{33}=1$. Con los signos, $\mathrm{Adj}(K)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ -1& 1& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$.

3. Trasponiendo y dividiendo entre $1$:

$$K^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$$

b) De $E=KM$, multiplicando por $K^{-1}$ por la izquierda, $M=K^{-1}E$:

$$M=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}30& 18\\ 26& 19\\ 31& 32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-26+31& -19+32\\ 30+26-31& 18+19-32\\ -30+31& -18+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 13\\ 25& 5\\ 1& 14\end{array}\right)$$

c) Leyendo por columnas: $5,25,1,13,5,14$, es decir, E, X, A, M, E, N. La palabra es EXAMEN.

Este método funciona porque $|K|=1$: la inversa tiene elementos enteros y el mensaje descifrado vuelve a ser una matriz de números enteros. Con una clave de determinante $0$ el mensaje no se podría descifrar.

a) Por la fórmula de la inversa, $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\mathrm{Adj}(A{)}^t=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$.

b) En orden 3, $|\mathrm{Adj}(A)|=|A{|}^2=4$. (Puedes comprobarlo: el determinante de la matriz dada, que es el de $\mathrm{Adj}(A)$ traspuesta, vale $4$.)

c) $A$ es la inversa de $A^{-1}$. Llamemos $N=\mathrm{Adj}(A{)}^t$, de modo que $A^{-1}=\frac{1}{2}N$ y $A={\left(\frac{1}{2}N\right)}^{-1}=2N^{-1}$.

1. $|N|=4$, por b).

2. Menores de $N$: $M_{11}=2$, $M_{12}=0$, $M_{13}=2$, $M_{21}=-2$, $M_{22}=2$, $M_{23}=0$, $M_{31}=0$, $M_{32}=-2$, $M_{33}=2$. Con los signos, $\mathrm{Adj}(N)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 2& 2& 0\\ 0& 2& 2\end{array}\right)$.

3. $N^{-1}=\frac{1}{4}\mathrm{Adj}(N{)}^t=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 0& 2& 2\\ 2& 0& 2\end{array}\right)$ y

$$A=2N^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 0& 2& 2\\ 2& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

4. Comprobación. $|A|=1+1+0-0-0-0=2$, como dice el enunciado, y la primera fila de $A\cdot A^{-1}$ es $\frac{1}{2}(1+1,-1+1,1-1)=(1,0,0)$.

a) 1. El cuadrado.

$$A^2=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 3\\ 3& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

2. Igualamos con $\alpha A+\beta I=\left(\begin{array}{ccc}2\alpha +\beta & 0& \alpha \\ \alpha & \alpha +\beta & \alpha \\ 0& 0& \alpha +\beta \end{array}\right)$. La posición $(1,3)$ da $\alpha =3$; la $(1,1)$, $2\alpha +\beta =4$, luego $\beta =-2$.

3. Comprobamos el resto: las posiciones $(2,1)$ y $(2,3)$ piden $\alpha =3$, y se cumple; las posiciones $(2,2)$ y $(3,3)$ piden $\alpha +\beta =1$, y también se cumple; los ceros coinciden. Por tanto $A^2=3A-2I$.

b) De $A^2=3A-2I$: $3A-A^2=2I$, y sacando $A$ factor común,

$$A(3I-A)=2I⟺A\cdot \frac{1}{2}(3I-A)=I.$$

Como $A$ y $3I-A$ conmutan, también el producto en el otro orden es $I$. Luego $A$ es invertible y

$$A^{-1}=\frac{3}{2}I-\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& 2& -1\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

Comprobación con determinantes: desarrollando por la tercera fila, $|A|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=2\ne 0$, y la primera fila de $A{A}^{-1}$ es $\frac{1}{2}(2,0,-2+2)=(1,0,0)$.

c) Multiplicamos la relación de a) por $A$ y volvemos a usarla:

$$A^3=A\cdot A^2=A(3A-2I)=3A^2-2A=3(3A-2I)-2A=7A-6I.$$

Así $\gamma =7$ y $\delta =-6$. Comprobación en la posición $(1,1)$: $A^3=A\cdot A^2$ tiene $(2,0,1)\cdot (4,3,0)=8$, y $7\cdot 2-6=8$.

Para el examen: la igualdad de matrices de a) da varias ecuaciones; resuelve con dos y comprueba las demás, porque si alguna fallara no existirían $\alpha$ y $\beta$. En b) hay que escribir explícitamente el producto igual a $I$; poner solo la fórmula de $A^{-1}$ sin justificar que existe pierde parte del apartado.

a) 1. Como $|A|=\pm 1\ne 0$, $A$ tiene inversa y $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\mathrm{Adj}(A{)}^t=\pm \mathrm{Adj}(A{)}^t$.

2. Cada adjunto $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ es, salvo el signo, un determinante formado con elementos de $A$. Un determinante se calcula con sumas, restas y productos de sus elementos, así que si estos son enteros el determinante es entero. Por tanto todos los elementos de $\mathrm{Adj}(A)$ son enteros.

3. Multiplicar por $\pm 1$ y trasponer no cambia ese hecho: los elementos de $A^{-1}=\pm \mathrm{Adj}(A{)}^t$ son enteros.

b) 1. Por el mismo argumento, $|A|$ y $|A^{-1}|$ son números enteros, porque las dos matrices tienen elementos enteros.

2. Tomando determinantes en $A{A}^{-1}=I$: $|A|\cdot |A^{-1}|=1$.

3. Dos enteros cuyo producto es $1$ son los dos $1$ o los dos $-1$. Luego $|A|=\pm 1$.

Para el examen: en una demostración, di de qué propiedad sale cada paso («la inversa es $\frac{1}{|A|}\mathrm{Adj}(A{)}^t$», «$|AB|=|A||B|$»). Comprobarlo con un ejemplo no es una demostración. Esta propiedad explica por qué en un cifrado como el del ejercicio de Laura y Pablo se eligen claves con determinante $\pm 1$.

a) 1. Existencia. Por Sarrus,

$$|A|=1\cdot 1\cdot 1+0\cdot 0\cdot 0+(-1)\cdot 2\cdot 1-(-1)\cdot 1\cdot 0-1\cdot 0\cdot 1-0\cdot 2\cdot 1=1-2=-1.$$

Como $|A|\ne 0$, $A$ tiene inversa.

2. Menores.

$$\begin{array}{rlrlrl}{M}_{11}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=1,& M_{12}& =\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=2,& M_{13}& =\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=2,\\ M_{21}& =\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right|=1,& M_{22}& =\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right|=1,& M_{23}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1,\\ M_{31}& =\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right|=1,& M_{32}& =\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\end{array}\right|=2,& M_{33}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right|=1.\end{array}$$

3. Adjunta, traspuesta e inversa.

$$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ -1& 1& -1\\ 1& -2& 1\end{array}\right),\mathrm{Adj}(A{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -2& 1& -2\\ 2& -1& 1\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{-1}\mathrm{Adj}(A{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ 2& -1& 2\\ -2& 1& -1\end{array}\right)$$

4. Comprobación de la primera fila de $A{A}^{-1}$: $(1,0,-1)$ por las columnas da $-1+2=1$, $1-1=0$, $-1+1=0$.

b) En orden 3, $|\mathrm{Adj}(A)|=|A{|}^2=(-1{)}^2=1$. Para la otra: $|2A|=2^3|A|=-8$, luego $|(2A{)}^{-1}|=\frac{1}{|2A|}=-\frac{1}{8}$.

c) 1. Despeje. $AX=A^2-B$ y, multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda,

$$X=A^{-1}(A^2-B)=A-A^{-1}B.$$

(Fíjate en que $A^{-1}{A}^2=A$; no hace falta calcular $A^2$.)

2. El producto $A^{-1}B$.

$$A^{-1}B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ 2& -1& 2\\ -2& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 2& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$$