Rango de una matriz

Por Gauss.

1. Hacemos ceros en la primera columna con $F_2\to F_2-2F_1$ y $F_3\to F_3-4F_1$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& -3& 3& -6\\ 0& -3& 3& -6\end{array}\right)$$

2. Las filas 2 y 3 son iguales; con $F_3\to F_3-F_2$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& -3& 3& -6\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

3. Quedan dos filas no nulas en forma escalonada: $\mathrm{rg}(A)=2$.

Por menores.

1. Un menor de orden 2 no nulo. Con las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 2: $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=1-4=-3\ne 0$. Luego $\mathrm{rg}(A)\ge 2$.

2. Orlados. Se añade la fila 3 y cada una de las columnas que faltan (la 3 y la 4):

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 1& 1\\ 4& 5& -1\end{array}\right|=(-1+8-10)-(-4+5-4)=-3-(-3)=0$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 0\\ 4& 5& 6\end{array}\right|=(6+0+30)-(12+0+24)=36-36=0$$

3. Los dos orlados son nulos, así que $\mathrm{rg}(A)=2$. No hace falta calcular los otros dos menores de orden 3.

Los dos métodos coinciden, y además los pasos de Gauss dicen cuál es la relación: la fila 3 se anuló con $F_3-4F_1-(F_2-2F_1)=F_3-2F_1-F_2$, es decir, $F_3=2F_1+F_2$. Compruébalo: $(2,4,-2,6)+(2,1,1,0)=(4,5,-1,6)$.

1. El determinante. Por Sarrus,

$$|A|=(1+1+m^3)-(m+m+m)=m^3-3m+2.$$

2. Factorizar. $m=1$ es raíz ($1-3+2=0$). Por Ruffini, $m^3-3m+2=(m-1)(m^2+m-2)=(m-1)(m-1)(m+2)$:

$$|A|=(m-1{)}^2(m+2).$$

3. Caso general. Si $m\ne 1$ y $m\ne -2$, $|A|\ne 0$ y $\mathrm{rg}(A)=3$.

4. Caso $m=1$. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$: las tres filas son iguales y no nulas, así que todos los menores de orden 2 son nulos y $\mathrm{rg}(A)=1$.

5. Caso $m=-2$. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ -2& 1& 1\\ 1& -2& 1\end{array}\right)$. El determinante es $0$, pero el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 1\end{array}\right|=1+2=3\ne 0$, así que $\mathrm{rg}(A)=2$. (Aquí las tres filas suman la fila nula: $F_3=-F_1-F_2$.)

Resumen: $\mathrm{rg}(A)=3$ si $m\notin \{1,-2\}$; $\mathrm{rg}(A)=1$ si $m=1$; $\mathrm{rg}(A)=2$ si $m=-2$.

Observa que los dos valores críticos dan rangos distintos. Por eso no se puede contestar «si $|A|=0$, el rango es 2» sin sustituir cada valor.

1. Cota superior. $A$ es $3\times 4$, así que $\mathrm{rg}(A)\le 3$.

2. Un menor de orden 2 sin parámetros. Las filas 1 y 3 no tienen parámetros. Con las columnas 1 y 3:

$$\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=2-1=1\ne 0,$$

luego $\mathrm{rg}(A)\ge 2$ para cualesquiera $a$ y $b$. Elegir un menor sin parámetros evita casos: este no se anula nunca.

3. Orlados. Se añade la fila que falta (la 2) y cada una de las columnas que faltan (la 2 y la 4).

• Con la columna 2 (columnas 1, 2 y 3): la columna 2 es el doble de la columna 1, así que el menor es $0$ para todos los valores de $a$ y $b$.
• Con la columna 4 (columnas 1, 3 y 4), por Sarrus:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 2& b& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=(b+2+4a)-(ab+4+2)=b+4a-ab-4.$$

4. Factorizar agrupando: $b+4a-ab-4=b(1-a)-4(1-a)=(1-a)(b-4)$.

5. Conclusión. $\mathrm{rg}(A)=3$ si y solo si algún orlado es no nulo, es decir, si $(1-a)(b-4)\ne 0$: si $a\ne 1$ y $b\ne 4$. Si $a=1$ o $b=4$, los dos orlados son nulos y $\mathrm{rg}(A)=2$.

6. Comprobación de los casos especiales, para ver de dónde sale la dependencia:

• Si $b=4$, la fila 2 es $(2,4,4,2)=2F_3$.
• Si $a=1$, la columna 4 es igual a la columna 1 y la columna 2 es su doble: solo las columnas 1 y 3 pueden ser independientes, y lo son.

Resumen: $\mathrm{rg}(A)=2$ si $a=1$ o $b=4$; $\mathrm{rg}(A)=3$ en cualquier otro caso.

Para el examen: con dos parámetros, factoriza el menor y escribe la conclusión con «y» y «o» bien puestos: el rango es máximo cuando todos los factores son no nulos, y baja en cuanto uno se anula. Si usas el orlado, di explícitamente que el menor de orden 2 no depende de los parámetros y que has calculado todos los orlados; calcular un solo menor de orden 3 y concluir rango 2 no puntúa.

a) 1. $F_2\to F_2-2F_1$ y $F_3\to F_3-F_1$: $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 3& -3\\ 0& 3& -3\end{array}\right)$.

2. $F_3\to F_3-F_2$: $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 3& -3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$. Dos filas no nulas: $\mathrm{rg}(B)=2$.

b) 1. $F_3\to F_3-2F_1$: la tercera fila pasa a ser $(0,1,1,0)$.

2. $F_3\to F_3-F_2$: queda $(0,0,0,1)$.

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

Tres filas no nulas en forma escalonada: $\mathrm{rg}(C)=3$, el máximo posible para una matriz $3\times 4$.

c) Todas las filas son proporcionales a $(2,4,-2)$: $F_2=-\frac{1}{2}{F}_1$ y $F_3=\frac{3}{2}{F}_1$. Con $F_2\to 2F_2+F_1$ y $F_3\to 2F_3-3F_1$ quedan dos filas nulas, y la primera no lo es: $\mathrm{rg}(D)=1$.

a) $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1-0=1$.

b) Por Sarrus:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& -1\\ 2& 3& 1\end{array}\right|=(1-4+0)-(0-3+0)=-3+3=0$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 2& 3& 4\end{array}\right|=(4+8+0)-(6+6+0)=12-12=0$$

c) El menor de a) es no nulo, así que $\mathrm{rg}(A)\ge 2$. Sus dos orlados son nulos, y por el método del orlado $\mathrm{rg}(A)=2$; no hace falta calcular los menores de las columnas 1, 3, 4 ni 2, 3, 4. En efecto, la tercera fila es $2F_1-F_2=(2,4,0,6)-(0,1,-1,2)=(2,3,1,4)$.

a) 1. Determinante de la matriz con los vectores como filas:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& 3\\ 2& 5& 1\end{array}\right|=(1+12+0)-(-2+15+0)=13-13=0.$$

2. Así que el rango es menor que 3. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$ da rango $2$. Los vectores son linealmente dependientes, pero $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son independientes.

b) Igualamos coordenada a coordenada $(2,5,1)=\alpha (1,2,-1)+\beta (0,1,3)$:

1. Primera coordenada: $2=\alpha$.

2. Segunda: $5=2\alpha +\beta$, luego $\beta =1$.

3. Tercera (comprobación): $-\alpha +3\beta =-2+3=1$. Se cumple.

Por tanto $\vec{w}=2\vec{u}+\vec{v}$.

1. Determinante haciendo un cero. La operación $C_3\to C_3-3C_1$ no cambia el determinante:

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& k& 0\\ 1& k& k-2\end{array}\right|=(k-2)\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& k\end{array}\right|=(k-2)(k-4),$$

desarrollando por la tercera columna (solo queda el elemento $(3,3)$, con signo $+$).

2. Caso general. Si $k\ne 2$ y $k\ne 4$, $|A|\ne 0$ y $\mathrm{rg}(A)=3$.

3. Caso $k=2$. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 2& 6\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$: las filas 1 y 3 son iguales, y el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 2\end{array}\right|=-2\ne 0$. Luego $\mathrm{rg}(A)=2$.

4. Caso $k=4$. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 4& 5\end{array}\right)$: la fila 2 es el doble de la 1, y el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right|=2\ne 0$ (filas 1 y 3, columnas 1 y 2). Luego $\mathrm{rg}(A)=2$.

Resumen: $\mathrm{rg}(A)=2$ si $k=2$ o $k=4$; $\mathrm{rg}(A)=3$ en otro caso.

a) Por Sarrus:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& 1& m\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=(1-m+8)-(2+2m-2)=9-m-2m=9-3m,$$

que se anula solo para $m=3$.

b) 1. Un menor de orden 2 sin parámetro: $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|=1+2=3\ne 0$ (filas 1 y 2, columnas 1 y 2). Así $\mathrm{rg}(A)\ge 2$.

2. Sus dos orlados (con la fila 3 y la columna 3 o la 4). El primero es el de a), $9-3m$. El segundo:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& 2& m\end{array}\right|=(m-3+4)-(1+6-2m)=3m-6.$$

3. Discusión. El primer orlado solo se anula si $m=3$, y el segundo solo si $m=2$. No hay ningún valor de $m$ que anule los dos a la vez, así que siempre hay un menor de orden 3 no nulo: si $m\ne 3$, el primero; si $m=3$, el segundo vale $3\ne 0$.

Por tanto $\mathrm{rg}(A)=3$ para todo $m$ real. Que el menor de a) se anule en $m=3$ no hace bajar el rango.

a) 1. Con los sacos como filas:

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 0\\ 3& 4& 1\end{array}\right|=(6+0+4)-(9+0+1)=10-10=0.$$

2. El menor $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right|=5\ne 0$, así que el rango es $2$.

Significado: uno de los sacos sobra. En efecto, $C=A+B$: $(2,1,1)+(1,3,0)=(3,4,1)$. Todo lo que se fabrica con $A$, $B$ y $C$ se puede fabricar solo con $A$ y $B$.

b) Buscamos $\alpha$ y $\beta$ con $(5,5,2)=\alpha (2,1,1)+\beta (1,3,0)$:

1. Tercera coordenada: $2=\alpha$.

2. Primera: $5=2\alpha +\beta =4+\beta$, luego $\beta =1$.

3. Segunda (comprobación): $\alpha +3\beta =2+3=5$. Se cumple.

Hay que mezclar 2 sacos de $A$ y 1 de $B$.

c) $\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=(6+0+1)-(3+0+1)=7-4=3\ne 0$, así que $\mathrm{rg}\{A,B,E\}=3$. Los tres vectores son independientes: $E$ no es combinación lineal de $A$ y $B$, y no se puede obtener mezclando esos sacos (ni añadiendo $C$, que es $A+B$).

a) El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$ y $A$ solo tiene dos filas: $\mathrm{rg}(A)=2$.

b) $A^t$ es $3\times 2$ y $A^{t}A$ es $3\times 3$:

$$A^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 5& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

y por Sarrus, $|A^{t}A|=(5+0+0)-(0+1+4)=0$.

c) 1. Como $|A^{t}A|=0$, el rango es menor que $3$; el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right|=1\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A^{t}A)=2$.

2. $A{A}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$, con determinante $10-4=6\ne 0$: $\mathrm{rg}(A{A}^t)=2$.

3. Por qué no podía ser 3. Por la propiedad del producto, $\mathrm{rg}(A^{t}A)\le \min (\mathrm{rg}(A^t),\mathrm{rg}(A))=2$. Así que $|A^{t}A|=0$ se sabía antes de calcularlo: un producto $3\times 3$ en el que interviene una matriz de rango $2$ nunca es invertible. En cambio $A{A}^t$ es $2\times 2$ y la cota $2$ no impide que sea invertible.

a) 1. Matriz y menor de orden 2. Con los vectores como filas,

$$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 0& 1& k& 1\\ 1& 2& k^2+1& k+2\end{array}\right).$$

El menor de las filas 1, 2 y columnas 1, 2 es $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$, sin parámetro: $\mathrm{rg}(M)\ge 2$ siempre.

2. Primer orlado (columnas 1, 2, 3). Con $F_3\to F_3-F_1-2F_2$, que no cambia el determinante:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& k\\ 1& 2& k^2+1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& k\\ 0& 0& k^2-2k\end{array}\right|=k^2-2k=k(k-2).$$

3. Segundo orlado (columnas 1, 2, 4), con la misma operación:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& k+2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& k-2\end{array}\right|=k-2.$$

4. Discusión. El rango es $2$ solo si los dos orlados son nulos: $k(k-2)=0$ y $k-2=0$, es decir, solo si $k=2$. Para $k=0$ el primer orlado se anula, pero el segundo vale $-2\ne 0$, así que el rango sigue siendo $3$.

$\mathrm{rg}=2$ si $k=2$ y $\mathrm{rg}=3$ si $k\ne 2$.

b) Con $k=2$: $\vec{v}=(0,1,2,1)$ y $\vec{w}=(1,2,5,4)$. De $(1,2,5,4)=\alpha (1,0,1,2)+\beta (0,1,2,1)$:

1. Primera coordenada: $\alpha =1$. Segunda: $\beta =2$.

2. Comprobación: tercera, $\alpha +2\beta =1+4=5$; cuarta, $2\alpha +\beta =2+2=4$. Se cumplen: $\vec{w}=\vec{u}+2\vec{v}$. (Era de esperar: la operación $F_3-F_1-2F_2$ de a) anula toda la fila cuando $k=2$.)

c) De $(3,1,p,7)=\alpha (1,0,1,2)+\beta (0,1,2,1)$, las dos primeras coordenadas dan $\alpha =3$ y $\beta =1$. La cuarta debe cumplirse: $2\cdot 3+1=7$. Se cumple. La tercera fija $p$: $p=\alpha +2\beta =3+2=5$.

Para el examen: cuando un orlado se anula para varios valores (aquí $k=0$ y $k=2$), hay que mirar los demás orlados en esos valores. Responder «rango 2 para $k=0$ y $k=2$» por haber calculado un solo menor es el error que se quiere detectar con este tipo de enunciado.

a) 1. Sea $M$ la matriz con filas $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$. Como son independientes, $\mathrm{rg}(M)=3$ (equivalentemente, $|M|\ne 0$).

2. La matriz $N$ con filas $\vec{u}$, $\vec{u}+\vec{v}$, $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ se obtiene de $M$ con operaciones elementales: $F_2\to F_2+F_1$ (da $\vec{u}+\vec{v}$) y después $F_3\to F_3+F_2$ (da $\vec{w}+\vec{u}+\vec{v}$).

3. Las operaciones elementales no cambian el rango, así que $\mathrm{rg}(N)=\mathrm{rg}(M)=3$, y las tres filas de $N$ son independientes. (Con determinantes: sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante, así que $|N|=|M|\ne 0$.)

b) 1. $AB$ es una matriz cuadrada de orden $3$.

2. Por la propiedad del rango de un producto, $\mathrm{rg}(AB)\le \mathrm{rg}(A)$, y como $A$ solo tiene $2$ columnas, $\mathrm{rg}(A)\le 2$. Luego $\mathrm{rg}(AB)\le 2<3$.

3. Una matriz cuadrada de orden $3$ tiene inversa si y solo si su rango es $3$ (es decir, $|AB|\ne 0$). Como $\mathrm{rg}(AB)\le 2$, $|AB|=0$ y $AB$ no tiene inversa.

Para el examen: en estas demostraciones hay que nombrar la propiedad que se usa en cada paso («las operaciones elementales no cambian el rango», «$\mathrm{rg}(AB)\le \mathrm{rg}(A)$»). Comprobarlo con unas matrices concretas no demuestra nada. Fíjate en que $BA$, que es $2\times 2$, sí puede tener inversa.

a) 1. Determinante con una operación. $F_3\to F_3-F_1-F_2$ no cambia el determinante y deja la tercera fila como $(0,0,m-1)$:

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& m& 0\\ 0& 0& m-1\end{array}\right|=(m-1)\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& m\end{array}\right|=(m-1)(m-2).$$

2. Caso general. Si $m\ne 1$ y $m\ne 2$, $|A|\ne 0$ y $\mathrm{rg}(A)=3$.

3. Caso $m=1$. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& 0\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$, con el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$: $\mathrm{rg}(A)=2$.

4. Caso $m=2$. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 2& 0\\ 2& 4& 2\end{array}\right)$, con el menor de filas 1, 2 y columnas 1, 3: $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1\ne 0$: $\mathrm{rg}(A)=2$.

Resumen: $\mathrm{rg}(A)=2$ si $m=1$ o $m=2$, y $\mathrm{rg}(A)=3$ en otro caso.

b) En los dos casos $F_1$ y $F_2$ son independientes (lo dicen los menores de a)), así que $\alpha$ y $\beta$ son únicos.

1. $m=1$: $(2,3,1)=\alpha (1,2,1)+\beta (1,1,0)$. La tercera coordenada da $\alpha =1$; la primera, $1+\beta =2$, $\beta =1$; la segunda comprueba: $2+1=3$. Así $F_3=F_1+F_2$.

2. $m=2$: $(2,4,2)=\alpha (1,2,1)+\beta (1,2,0)$. La tercera coordenada da $\alpha =2$; la primera, $2+\beta =2$, $\beta =0$; la segunda comprueba: $4+0=4$. Así $F_3=2F_1$.

c) 1. Para $m=0$, $|A|=(0-1)(0-2)=2\ne 0$: $A$ es invertible.

2. Multiplicar por una matriz invertible no cambia el rango: $\mathrm{rg}(AB)=\mathrm{rg}(B)$ (porque $\mathrm{rg}(AB)\le \mathrm{rg}(B)$ y $B=A^{-1}(AB)$ da $\mathrm{rg}(B)\le \mathrm{rg}(AB)$).

3. En $B$, la fila 2 es el doble de la fila 1, y el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$ (filas 1 y 3, columnas 1 y 2): $\mathrm{rg}(B)=2$. Por tanto $\mathrm{rg}(AB)=2$.

Para el examen: en a) se puntúa el determinante factorizado, el caso general y cada valor crítico con su menor no nulo. En c) el enunciado prohíbe el camino largo: la justificación «$A$ es invertible, luego $\mathrm{rg}(AB)=\mathrm{rg}(B)$» es la que da los puntos.