Teorema de Rouché-Frobenius

1. Las matrices.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& -1& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 2& -1& 3& 1\\ 3& 1& 2& 5\end{array}\right)$$

2. Rango de $A$. La tercera fila de $A$ es la suma de las dos primeras: $(1,2,-1)+(2,-1,3)=(3,1,2)$. Por tanto $|A|=0$ y $\mathrm{rg}(A)<3$. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right|=-1-4=-5\ne 0$, así que $\mathrm{rg}(A)=2$.

3. Rango de $A^{\ast }$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& -1& 1\\ 3& 1& 5\end{array}\right|=1(-5-1)-2(10-3)+3(2+3)=-6-14+15=-5\ne 0$$

Luego $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$.

a) $\mathrm{rg}(A)=2$ y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$.

b) Como $\mathrm{rg}(A)\ne \mathrm{rg}(A^{\ast })$, el sistema es incompatible (SI). Se ve también sin determinantes: la tercera ecuación tiene el primer miembro igual a la suma de los de las otras dos, pero $3+1=4\ne 5$. Si existiera una solución, daría $4=5$.

1. Determinante de $A$. Sumando las tres columnas a la primera, todos los elementos de la primera columna pasan a valer $a+2$:

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right|=(a+2)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right|=(a+2)(a-1{)}^2$$

(el último determinante se calcula restando la primera fila a las otras dos, que da una triangular con diagonal $1$, $a-1$, $a-1$).

2. Valores críticos. $|A|=0⟺a=1$ o $a=-2$.

3. Si $a\ne 1$ y $a\ne -2$: $|A|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}(A)=3=\mathrm{rg}(A^{\ast })=n$. SCD.

4. Si $a=1$: las tres ecuaciones son $x+y+z=1$. Todas las filas de $A^{\ast }$ son iguales: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=1<3$. SCI con $3-1=2$ parámetros.

5. Si $a=-2$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-2& 1& 1& 1\\ 1& -2& 1& 1\\ 1& 1& -2& 1\end{array}\right)$$

El menor $\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -2\end{array}\right|=3\ne 0$ y $|A|=0$, así que $\mathrm{rg}(A)=2$. Orlando con la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=9\ne 0$$

luego $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SI. (Se ve también sumando las tres ecuaciones: el primer miembro da $0$ y el segundo $3$.)

Resumen de la discusión: $a=1$, SCI; $a=-2$, SI; cualquier otro valor, SCD.

a) 1. Lo que se sabe sin cuentas. $A$ es $3\times 4$, así que $\mathrm{rg}(A)\le 3<4$: el sistema nunca es SCD. Solo puede ser SCI o SI.

2. Un menor de orden 2. Con las dos primeras filas y columnas, $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$. Luego $\mathrm{rg}(A)\ge 2$ para todo $m$.

3. Orlamos con la tercera fila. Hay dos maneras de hacerlo dentro de $A$: con la columna 3 o con la columna 4.

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 3\\ 3& 2& m^2\end{array}\right|=4-m^2,\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 1\\ 3& 2& 2\end{array}\right|=0$$

(el segundo tiene dos columnas iguales). El primero se anula si y solo si $m=2$ o $m=-2$.

4. Si $m\ne \pm 2$: hay un menor de orden 3 no nulo en $A$, luego $\mathrm{rg}(A)=3$. $A^{\ast }$ tiene 3 filas, así que $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. Como $3<4$: SCI.

5. Si $m=\pm 2$: los dos orlados de $A$ se anulan, así que $\mathrm{rg}(A)=2$. Para $A^{\ast }$ falta orlar con la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 3\\ 3& 2& m+2\end{array}\right|=2-m$$

• Para $m=2$ vale $0$: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2=\mathrm{rg}(A)$. SCI.
• Para $m=-2$ vale $4\ne 0$: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3\ne \mathrm{rg}(A)$. SI.

Discusión: $m=-2$, SI; $m=2$, SCI; $m\ne \pm 2$, SCI.

b) El número de parámetros es $n-r$, con $n=4$ incógnitas:

• $m=2$: $4-2=2$ parámetros.
• $m\ne \pm 2$: $4-3=1$ parámetro.

Los dos casos son SCI, pero no «igual de indeterminados»: por eso conviene decir siempre cuántos parámetros hay.

c) Para $m=2$ la tercera ecuación es $3x+2y+4z+2w=4$, que es la suma de las dos primeras (sobra). Quedan

$$\{\begin{array}{rl}x+y& =1-z-w\\ 2x+y& =3-3z-w\end{array}$$

Restando la primera de la segunda: $x=2-2z$. Sustituyendo: $y=1-z-w-(2-2z)=-1+z-w$. Con $z=s$, $w=t$:

$$(x,y,z,w)=(2-2s,-1+s-t,s,t),s,t\in \mathbb{R}$$

Comprobación con $s=t=0$: $(2,-1,0,0)$ cumple $2-1=1$, $4-1=3$ y $6-2=4$.

Para el examen: en un sistema con más incógnitas que ecuaciones, escribe al principio «$\mathrm{rg}(A)\le 3<4$, nunca es SCD»: ahorra trabajo y suele puntuar. Al orlar, prueba todas las columnas posibles antes de decir que el rango baja: aquí el menor con la columna 4 es cero siempre, y si solo se mira ese se concluye mal que $\mathrm{rg}(A)=2$ para todo $m$.

a) Los rangos coinciden y valen $3$, el número de incógnitas: SCD.

b) Los rangos son distintos: SI. (Observa que $\mathrm{rg}(A^{\ast })=\mathrm{rg}(A)+1$, como ocurre siempre en un SI.)

c) Los rangos coinciden ($2$) pero son menores que el número de incógnitas ($4$): SCI, con $4-2=2$ parámetros.

a) $|A|=\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ -4& 6\end{array}\right|=12-12=0$, y $A\ne O$: $\mathrm{rg}(A)=1$. En $A^{\ast }$, el menor $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -4& 5\end{array}\right|=10+4=14\ne 0$: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. SI: rectas paralelas.

b) $A$ es la misma: $\mathrm{rg}(A)=1$. Ahora la segunda fila de $A^{\ast }$, $(-4,6,-2)$, es $-2$ veces la primera, $(2,-3,1)$: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=1$. Rangos iguales y menores que $2$: SCI. Es la misma recta escrita dos veces.

c) $|A|=\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 1\end{array}\right|=2+3=5\ne 0$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. SCD: rectas que se cortan en un punto.

a) 1. $|A|$. La tercera fila de $A$ es la segunda menos la primera: $(2,1,-1)-(1,-1,2)=(1,2,-3)$. Luego $|A|=0$ y $\mathrm{rg}(A)<3$.

2. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|=1+2=3\ne 0$: $\mathrm{rg}(A)=2$.

3. $A^{\ast }$. El único orlado de ese menor que no está en $A$ es el que usa la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& 2& 2\end{array}\right|=1(2-6)+1(4-3)+1(4-1)=-4+1+3=0$$

Así que $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. (Cuadra: el término independiente de la tercera ecuación también es el de la segunda menos el de la primera, $3-1=2$.)

b) $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$: SCI con $3-2=1$ parámetro.

a) 1. $|A|=\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 1& m\end{array}\right|=m^2-1$, que se anula para $m=1$ y $m=-1$.

2. Si $m\ne \pm 1$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. SCD.

3. Si $m=1$: las dos ecuaciones son $x+y=2$. $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=1<2$. SCI.

4. Si $m=-1$: $A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 2\\ 1& -1& 0\end{array}\right)$. $\mathrm{rg}(A)=1$ (filas opuestas), pero $\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 0\end{array}\right|=-2\ne 0$, luego $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. SI. Son las rectas paralelas $-x+y=2$ y $-x+y=0$.

Discusión: $m=1$, SCI; $m=-1$, SI; $m\ne \pm 1$, SCD.

b) Con $m=1$ queda una sola ecuación, $x+y=2$. Con $y=t$: $x=2-t$. Soluciones $(2-t,t)$, $t\in \mathbb{R}$.

c) Con $m=2$: $2x+y=2$ y $x+2y=3$. Multiplicando la segunda por $2$ y restándole la primera: $3y=4$, $y=\frac{4}{3}$. Entonces $x=3-2\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{3}$. Comprobación: $\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$.

a) 1. Determinante. Desarrollando por la primera fila:

$$|A|=1(4-k^2)-1(2-k)+1(k-2)=2k-k^2=k(2-k)$$

Se anula para $k=0$ y $k=2$.

2. Si $k\ne 0$ y $k\ne 2$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.

3. Si $k=0$: las filas de $A$ son $(1,1,1)$, $(1,2,0)$, $(1,0,2)$. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$, así que $\mathrm{rg}(A)=2$. Orlando con la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 0& -1\end{array}\right|=0$$

$\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. SCI (un parámetro).

4. Si $k=2$: las ecuaciones segunda y tercera son $x+2y+2z=3$ y $x+2y+2z=-1$: mismo primer miembro, distinto segundo. Con rangos: el mismo menor da $\mathrm{rg}(A)=2$ y

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=-4\ne 0$$

luego $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SI.

Discusión: $k=0$, SCI; $k=2$, SI; resto, SCD.

b) Para $k=0$ basta con las dos primeras ecuaciones (las del menor no nulo): $x+y+z=1$ y $x+2y=3$. Con $z=t$: restando la primera de la segunda, $y-t=2$, luego $y=2+t$, y $x=1-y-t=-1-2t$.

$$(x,y,z)=(-1-2t,2+t,t),t\in \mathbb{R}$$

Comprobación en la tercera ($x+2z=-1$): $-1-2t+2t=-1$.

a) Hacemos ceros en la primera columna de $A^{\ast }$ con $F_2-2F_1$, $F_3-F_1$ y $F_4-3F_1$ (no cambian el determinante) y desarrollamos por esa columna:

$$|A^{\ast }|=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& -3& -1& -4\\ 0& 1& -2& -1\\ 0& k-3& -2& 2k-9\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-3& -1& -4\\ 1& -2& -1\\ k-3& -2& 2k-9\end{array}\right|$$

Desarrollando por la primera columna:

$$-3(16-4k)-(1-2k)+(k-3)(-7)=-48+12k-1+2k-7k+21=7k-28=7(k-4)$$

b) 1. Rango de $A$. El menor de las tres primeras filas es $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=7\ne 0$, así que $\mathrm{rg}(A)=3$ para todo $k$.

2. Si $k\ne 4$: $|A^{\ast }|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}(A^{\ast })=4\ne 3$. SI.

3. Si $k=4$: $|A^{\ast }|=0$ y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=\mathrm{rg}(A)=n$. SCD.

c) Para $k=4$, las tres primeras ecuaciones forman un sistema con $|A|=7\ne 0$ y la cuarta sobra. De la primera y la tercera: sumándolas, $2x+3y=5$; de la primera y la segunda, restándolas, $-x+2y=1$, es decir, $x=2y-1$. Entonces $2(2y-1)+3y=5$, $7y=7$, $y=1$, $x=1$ y $z=3-1-1=1$. Comprobación en la cuarta: $3+4+1=8=2\cdot 4$.

a) 1. El sistema.

$$\{\begin{array}{rl}x+y+z& =10\\ 2x+y+3z& =22\\ 3x+2y+kz& =37\end{array}$$

2. Determinante. $|A|=1(k-6)-1(2k-9)+1(4-3)=4-k$, que se anula solo para $k=4$.

3. Si $k\ne 4$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.

4. Si $k=4$: el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$, y

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 10\\ 2& 1& 22\\ 3& 2& 37\end{array}\right|=-5\ne 0$$

da $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SI. Se ve también así: con $k=4$, el tercer tique tendría las cantidades de los dos primeros juntos, y debería costar $10+22=32$ euros, no $37$.

b) Si los tiques son correctos, los precios reales cumplen las tres ecuaciones y el sistema tiene solución. Para $k=4$ es incompatible, así que $k=4$ es imposible.

c) Con $k=5$: restando a la segunda ecuación el doble de la primera, $-y+z=2$; restando a la tercera el triple de la primera, $-y+2z=7$. Restando estas dos, $z=5$; entonces $y=z-2=3$ y $x=10-3-5=2$. Las manzanas cuestan 2 euros/kg, las naranjas 3 euros/kg y los plátanos 5 euros/kg. Comprobación: $6+6+25=37$.

a) $|A^{\ast }|\ne 0$ significa $\mathrm{rg}(A^{\ast })=4$. Pero $A$ es $4\times 3$, así que $\mathrm{rg}(A)\le 3$. Los rangos no pueden coincidir: SI, sean cuales sean los coeficientes.

b) $A^{\ast }$ tiene 2 filas, luego $\mathrm{rg}(A^{\ast })\le 2$; y $\mathrm{rg}(A^{\ast })\ge \mathrm{rg}(A)=2$. Así que $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2=\mathrm{rg}(A)<3$: SCI, con $3-2=1$ parámetro. Un sistema con más incógnitas que ecuaciones y rango máximo siempre es compatible (dos planos no paralelos se cortan en una recta).

c) Si $B=C_1+C_2$ (con $C_j$ las columnas de $A$), la columna $B$ es combinación lineal de las de $A$ y añadirla no aumenta el rango: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=\mathrm{rg}(A)=2<3$. SCI. Además, se lee directamente una solución: $1\cdot C_1+1\cdot C_2+0\cdot C_3=B$, es decir, $(x,y,z)=(1,1,0)$ cumple el sistema.

d) $|A|\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=3$; $A^{\ast }$ es $3\times 4$, así que $\mathrm{rg}(A^{\ast })\le 3$ y, por tanto, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD, para cualquier columna de términos independientes.

Para el examen: las relaciones $\mathrm{rg}(A)\le \mathrm{rg}(A^{\ast })\le \mathrm{rg}(A)+1$ y «el rango no supera el número de filas ni el de columnas» deciden muchas preguntas teóricas sin hacer una sola cuenta. Justifica siempre con ellas: «SI porque sí» no puntúa.

a) 1. Rango de $A$. $|A|=1(-a-2)-1(a-6)+1(1+3)=8-2a=-2(a-4)$. Si $a\ne 4$, $\mathrm{rg}(A)=3=n$ y el sistema es SCD: no puede ser SCI.

2. Si $a=4$: el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-2\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$. Para que sea SCI hace falta $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& -1& 1\\ 3& 1& b\end{array}\right|=-2(b-5)=0⟺b=5$$

El sistema es SCI si y solo si $a=4$ y $b=5$. Tiene sentido: con $a=4$ el primer miembro de la tercera ecuación es el doble de la primera más la segunda ($2(1,1,1)+(1,-1,2)=(3,1,4)$), y el término independiente debe ser $2\cdot 2+1=5$.

b) Con $a=4$ y $b=0$: $\mathrm{rg}(A)=2$ y el orlado anterior vale $-2(0-5)=10\ne 0$, luego $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SI.

c) Con $a=0$: $|A|=8\ne 0$, así que $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD, sea cual sea $b$.

d) Con $a=4$, $b=5$ basta con las dos primeras ecuaciones. Con $z=t$: $x+y=2-t$ y $x-y=1-2t$. Sumando, $2x=3-3t$; restando, $2y=1+t$:

$$(x,y,z)=\left(\frac{3-3t}{2},\frac{1+t}{2},t\right),t\in \mathbb{R}$$

Comprobación en la tercera: $3\cdot \frac{3-3t}{2}+\frac{1+t}{2}+4t=\frac{9-9t+1+t+8t}{2}=5$.

Para el examen: con dos parámetros, discute primero el que está en $A$ (decide el rango de $A$) y solo después el de los términos independientes (decide el de $A^{\ast }$). Explicar la relación entre filas, como aquí, es una forma rápida de comprobar el resultado.

a) 1. Determinante de $A$. Restando la primera fila a la segunda ($F_2-F_1$) queda $(0,m-1,0)$, y desarrollando por esa fila:

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& m-1& 0\\ 2& 1& m\end{array}\right|=(m-1)\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& m\end{array}\right|=(m-1)(m-2)$$

Valores críticos: $m=1$ y $m=2$.

2. Si $m\ne 1$ y $m\ne 2$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.

3. Si $m=1$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 1& 1& 1\end{array}\right)$$

Las dos primeras filas de $A^{\ast }$ son iguales, así que $\mathrm{rg}(A^{\ast })\le 2$. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$ (filas 1 y 3, columnas 1 y 2) da $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$. SCI con un parámetro.

4. Si $m=2$: el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$. Orlando con la columna de términos independientes $(1,2,3)$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 2& 1& 3\end{array}\right|=2\ne 0$$

$\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SI.

Discusión: $m=1$, SCI; $m=2$, SI; $m\ne 1,2$, SCD.

b) Para $m=1$ nos quedamos con las ecuaciones 1 y 3 (las del menor no nulo): $x+y+z=1$ y $2x+y+z=1$. Restándolas, $x=0$. Con $z=t$, $y=1-t$:

$$(x,y,z)=(0,1-t,t),t\in \mathbb{R}$$

c) Para $m=3$: $x+y+z=1$, $x+3y+z=3$, $2x+y+3z=5$. Restando las dos primeras, $2y=2$ e $y=1$. Entonces $x+z=0$ y $2x+3z=4$; con $x=-z$: $z=4$, $x=-4$. Comprobación: $-4+1+4=1$, $-4+3+4=3$, $-8+1+12=5$.

$$(x,y,z)=(-4,1,4)$$

Para el examen: la discusión vale la mitad del ejercicio y se puntúa por casos: cada valor crítico con sus dos rangos justificados. En el caso SCI hay que escribir la solución con el parámetro y decir que $t\in \mathbb{R}$; quedarse en «infinitas soluciones» no basta cuando se pide resolver.