Regla de Cramer

1. ¿Es de Cramer? Tres ecuaciones, tres incógnitas. Desarrollando por la primera fila:

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=1(1-2)-1(-2-1)+1(4+1)=-1+3+5=7\ne 0$$

Es un sistema de Cramer: tiene solución única.

2. Los tres determinantes, sustituyendo cada vez una columna por $B=(2,6,-1)$:

$$|A_1|=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 6& -1& 1\\ -1& 2& -1\end{array}\right|=2(1-2)-1(-6+1)+1(12-1)=-2+5+11=14$$

$$|A_2|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 6& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right|=1(-6+1)-2(-2-1)+1(-2-6)=-5+6-8=-7$$

$$|A_3|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& -1& 6\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=1(1-12)-1(-2-6)+2(4+1)=-11+8+10=7$$

3. La regla: $x=\frac{14}{7}=2$, $y=\frac{-7}{7}=-1$, $z=\frac{7}{7}=1$.

4. Comprobación: $2-1+1=2$; $4+1+1=6$; $2-2-1=-1$.

$$(x,y,z)=(2,-1,1)$$

a) 1. Determinante. La tercera fila de $A$ es la suma de las dos primeras: $(1,2,-1)+(2,1,1)=(3,3,0)$. Por tanto $|A|=0$ y no es de Cramer.

2. Rangos. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=1-4=-3\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$. En $A^{\ast }$, la tercera fila también es la suma de las dos primeras (en el término independiente, $2+4=6$), así que todos los menores de orden 3 de $A^{\ast }$ se anulan y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$.

3. $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$: SCI con un parámetro.

b) 1. Reducimos. El menor no nulo usa las filas 1 y 2 y las columnas de $x$ e $y$. Nos quedamos con las ecuaciones 1 y 2 (la tercera sobra) y pasamos $z=t$ a la derecha:

$$\{\begin{array}{rl}x+2y& =2+t\\ 2x+y& =4-t\end{array}$$

Es un sistema de Cramer de orden 2 con determinante $-3$.

2. Cramer:

$$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}2+t& 2\\ 4-t& 1\end{array}\right|}{-3}=\frac{2+t-8+2t}{-3}=\frac{3t-6}{-3}=2-t,y=\frac{\left|\begin{array}{cc}1& 2+t\\ 2& 4-t\end{array}\right|}{-3}=\frac{4-t-4-2t}{-3}=t$$

$$(x,y,z)=(2-t,t,t),t\in \mathbb{R}$$

3. Comprobación en las tres ecuaciones: $(2-t)+2t-t=2$; $2(2-t)+t+t=4$; $3(2-t)+3t=6$. Se cumplen para todo $t$.

El parámetro es $z$ porque su columna es la que no está en el menor elegido. Si hubieras elegido el menor de las columnas de $x$ y $z$, el parámetro sería $y$, y la solución se escribiría de otra forma, aunque sería la misma recta.

a) Determinante. Desarrollando por la primera fila:

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& m\\ 1& m& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|=1(m-1)-1(1-2)+m(1-2m)=2m-2m^2=-2m(m-1)$$

Se anula para $m=0$ y $m=1$. Para esos dos valores no es de Cramer; para cualquier otro, sí.

b) Determinantes con la columna $B=(1,1,1)$:

$$|A_1|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& m\\ 1& m& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=1(m-1)-1(1-1)+m(1-m)=(m-1)(1-m)=-(m-1{)}^2$$

$$|A_2|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& m\\ 1& 1& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|=1(1-1)-1(1-2)+m(1-2)=1-m$$

$$|A_3|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|=1(m-1)-1(1-2)+1(1-2m)=1-m$$

Dividiendo entre $|A|=-2m(m-1)$ y simplificando (válido porque $m\ne 0$ y $m\ne 1$):

$$x=\frac{-(m-1{)}^2}{-2m(m-1)}=\frac{m-1}{2m},y=\frac{1-m}{-2m(m-1)}=\frac{1}{2m},z=\frac{1}{2m}$$

c) $x=y⟺\frac{m-1}{2m}=\frac{1}{2m}⟺m-1=1⟺m=2$, que no es valor crítico. Con $m=2$, $(x,y,z)=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$. Comprobación: $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+2\cdot \frac{1}{4}=1$; $\frac{1}{4}+2\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$; $2\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$.

d) Caso $m=0$. El sistema es $x+y=1$, $x+z=1$, $2x+y+z=1$. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$. Orlándolo con la tercera fila y la columna $B$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|=1(0-1)-1(1-2)+1(1-0)=1\ne 0$$

$\mathrm{rg}(A^{\ast })=3\ne \mathrm{rg}(A)$: SI. (Sumando las dos primeras ecuaciones sale $2x+y+z=2$, que contradice la tercera.)

Caso $m=1$. Las dos primeras ecuaciones son iguales, $x+y+z=1$, y la tercera es $2x+y+z=1$. El menor de las filas 1 y 3 y las columnas de $x$ e $y$ es $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$, así que $\mathrm{rg}(A)=2$; como las filas 1 y 2 de $A^{\ast }$ son iguales, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. SCI. Con Cramer, usando las ecuaciones 1 y 3 y $z=t$:

$$\{\begin{array}{rl}x+y& =1-t\\ 2x+y& =1-t\end{array}x=\frac{\left|\begin{array}{cc}1-t& 1\\ 1-t& 1\end{array}\right|}{-1}=0,y=\frac{\left|\begin{array}{cc}1& 1-t\\ 2& 1-t\end{array}\right|}{-1}=\frac{(1-t)-2(1-t)}{-1}=1-t$$

$$(x,y,z)=(0,1-t,t),t\in \mathbb{R}$$

Observa la trampa: la fórmula simplificada de b) con $m=1$ da $\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, que es una de las soluciones (la de $t=\frac{1}{2}$), no todas. Y con $m=0$ ni siquiera se puede evaluar. Por eso los valores críticos se estudian aparte.

Para el examen: la estructura que se puntúa es «$|A|$ y valores críticos, Cramer para el resto, cada valor crítico por separado con Rouché». Escribe que simplificas porque $m\ne 0,1$; sin esa frase, la respuesta parece aplicar la fórmula donde no vale.

a) $|A|=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -1\end{array}\right|=-2-3=-5\ne 0$: es de Cramer.

$$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}7& 3\\ 1& -1\end{array}\right|}{-5}=\frac{-7-3}{-5}=2,y=\frac{\left|\begin{array}{cc}2& 7\\ 1& 1\end{array}\right|}{-5}=\frac{2-7}{-5}=1$$

Solución $(2,1)$. Comprobación: $4+3=7$, $2-1=1$.

b) $|A|=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 4\end{array}\right|=12-10=2\ne 0$.

$$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|}{2}=\frac{4-6}{2}=-1,y=\frac{\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 3\end{array}\right|}{2}=\frac{9-5}{2}=2$$

Solución $(-1,2)$. Comprobación: $-3+4=1$, $-5+8=3$.

a) Desarrollando por la primera fila:

$$|A|=2(0+2)-1(1-6)+(-1)(-1-0)=4+5+1=10$$

Es cuadrado ($3$ ecuaciones, $3$ incógnitas) y $|A|\ne 0$: es de Cramer.

b) Sustituyendo cada columna por $B$:

$$|A_1|=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& -1\\ 3& 0& 2\\ 2& -1& 1\end{array}\right|=3(0+2)-1(3-4)+(-1)(-3-0)=6+1+3=10$$

$$|A_2|=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& 3& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right|=2(3-4)-3(1-6)+(-1)(2-9)=-2+15+7=20$$

$$|A_3|=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 0& 3\\ 3& -1& 2\end{array}\right|=2(0+3)-1(2-9)+3(-1-0)=6+7-3=10$$

$x=\frac{10}{10}=1$, $y=\frac{20}{10}=2$, $z=\frac{10}{10}=1$. Comprobación: $2+2-1=3$; $1+0+2=3$; $3-2+1=2$.

1. Determinante de $A$:

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 3\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=1(1-6)-1(-2-3)+1(4+1)=-5+5+5=5\ne 0$$

Es un sistema de Cramer.

2. Para $z$ se sustituye la tercera columna por $B=(6,9,2)$:

$$|A_3|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 2& -1& 9\\ 1& 2& 2\end{array}\right|=1(-2-18)-1(4-9)+6(4+1)=-20+5+30=15$$

3. $z=\frac{15}{5}=3$.

Esta es una ventaja de Cramer: si solo te piden una incógnita, bastan dos determinantes. (La solución completa es $(1,2,3)$.)

a) Desarrollando por la primera fila:

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ a& 1& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right|=1(a-1)-2(a^2-1)+1(a-1)=2(a-1)-2(a-1)(a+1)=-2a(a-1)$$

Se anula para $a=0$ y $a=1$: para esos valores no es de Cramer.

b) Con $a=2$, $|A|=-2\cdot 2\cdot 1=-4\ne 0$ y

$$|A_1|=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 6& 1& 1\\ 7& 1& 2\end{array}\right|=3(2-1)-2(12-7)+1(6-7)=-8$$

$$|A_2|=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 6& 1\\ 1& 7& 2\end{array}\right|=1(12-7)-3(4-1)+1(14-6)=4$$

$$|A_3|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 6\\ 1& 1& 7\end{array}\right|=1(7-6)-2(14-6)+3(2-1)=-12$$

$x=\frac{-8}{-4}=2$, $y=\frac{4}{-4}=-1$, $z=\frac{-12}{-4}=3$. Comprobación: $2-2+3=3$; $4-1+3=6$; $2-1+6=7$.

a) 1. El menor:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 2\end{array}\right|=1(2-0)-1(0-1)+0=3\ne 0$$

Así que $\mathrm{rg}(A)=3$; como $A^{\ast }$ tiene 3 filas, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3<4$: SCI con un parámetro. La columna de $w$ no está en el menor, así que $w=t$ es el parámetro.

2. Sistema de Cramer con $w=t$ en el segundo miembro:

$$\{\begin{array}{rl}x+y& =2-t\\ y+z& =2-2t\\ x+2z& =3+t\end{array}$$

3. Los determinantes:

$$|A_x|=\left|\begin{array}{ccc}2-t& 1& 0\\ 2-2t& 1& 1\\ 3+t& 0& 2\end{array}\right|=(2-t)\cdot 2-1\cdot (2(2-2t)-(3+t))=4-2t-(1-5t)=3+3t$$

$$|A_y|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2-t& 0\\ 0& 2-2t& 1\\ 1& 3+t& 2\end{array}\right|=1\cdot (2(2-2t)-(3+t))-(2-t)(0-1)=(1-5t)+(2-t)=3-6t$$

$$|A_z|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2-t\\ 0& 1& 2-2t\\ 1& 0& 3+t\end{array}\right|=1\cdot (3+t)-1\cdot (0-(2-2t))+(2-t)(0-1)=3+t+2-2t-2+t=3$$

4. Dividiendo entre $3$: $x=1+t$, $y=1-2t$, $z=1$.

$$(x,y,z,w)=(1+t,1-2t,1,t),t\in \mathbb{R}$$

Comprobación: $(1+t)+(1-2t)+t=2$; $(1-2t)+1+2t=2$; $(1+t)+2-t=3$.

b) $x=y⟺1+t=1-2t⟺t=0$, que da $(1,1,1,0)$.

a) Planteamiento:

$$\{\begin{array}{rlrl}x+y+z& =50& & \text{(habitaciones)}\\ x+2y+3z& =105& & \text{(plazas)}\\ y-2z& =7& & \text{(dobles}=2\cdot \text{triples}+7)\end{array}$$

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 0& 1& -2\end{array}\right|=1(-4-3)-1(-2-0)+1(1-0)=-7+2+1=-4\ne 0$$

Tres ecuaciones, tres incógnitas y $|A|\ne 0$: es de Cramer.

b) Determinantes con $B=(50,105,7)$:

$$|A_1|=\left|\begin{array}{ccc}50& 1& 1\\ 105& 2& 3\\ 7& 1& -2\end{array}\right|=50(-4-3)-1(-210-21)+1(105-14)=-350+231+91=-28$$

$$|A_2|=\left|\begin{array}{ccc}1& 50& 1\\ 1& 105& 3\\ 0& 7& -2\end{array}\right|=1(-210-21)-50(-2-0)+1(7-0)=-231+100+7=-124$$

$$|A_3|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 50\\ 1& 2& 105\\ 0& 1& 7\end{array}\right|=1(14-105)-1(7-0)+50(1-0)=-91-7+50=-48$$

$x=\frac{-28}{-4}=7$, $y=\frac{-124}{-4}=31$, $z=\frac{-48}{-4}=12$. El hotel tiene 7 individuales, 31 dobles y 12 triples. Comprobación: $7+31+12=50$; $7+62+36=105$; $31=2\cdot 12+7$.

a) $|A|=\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 4& m\end{array}\right|=m^2-4$, que se anula para $m=2$ y $m=-2$.

b) Para $m\ne \pm 2$:

$$|A_1|=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ m+2& m\end{array}\right|=2m-m-2=m-2,|A_2|=\left|\begin{array}{cc}m& 2\\ 4& m+2\end{array}\right|=m^2+2m-8=(m-2)(m+4)$$

Como $m^2-4=(m-2)(m+2)$ y $m\ne 2$, se puede simplificar:

$$x=\frac{m-2}{(m-2)(m+2)}=\frac{1}{m+2},y=\frac{(m-2)(m+4)}{(m-2)(m+2)}=\frac{m+4}{m+2}$$

c) $y=3x⟺\frac{m+4}{m+2}=\frac{3}{m+2}⟺m+4=3⟺m=-1$, que es válido ($m\ne \pm 2$). Con $m=-1$: $(x,y)=(1,3)$; comprobación: $-1+3=2$ y $4-3=1=m+2$.

d) $m=2$: las ecuaciones son $2x+y=2$ y $4x+2y=4$; la segunda es el doble de la primera. $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=1<2$: SCI (rectas coincidentes).

$m=-2$: las ecuaciones son $-2x+y=2$ y $4x-2y=0$, es decir, $-2x+y=0$. Mismo primer miembro con distinto término independiente: $\mathrm{rg}(A)=1$, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$, SI (rectas paralelas).

Fíjate en que la fórmula de b) con $m=2$ da $\left(\frac{1}{4},\frac{3}{2}\right)$, que es solo una de las infinitas soluciones: no vale para describir el caso $m=2$.

a) 1. Sean $C_1$, $C_2$, $C_3$ las columnas de $A$. Que $(x,y,z)$ sea solución significa que $x{C}_1+y{C}_2+z{C}_3=B$ (es el sistema leído por columnas).

2. Sustituimos $B$ en la primera columna de $A_1$ y aplicamos dos propiedades de los determinantes: un determinante con una columna que es suma se separa en suma de determinantes, y un factor de una columna sale fuera:

$$|A_1|=|x{C}_1+y{C}_2+z{C}_3,C_2,C_3|=x|C_1,C_2,C_3|+y|C_2,C_2,C_3|+z|C_3,C_2,C_3|$$

3. Los dos últimos determinantes tienen dos columnas iguales, así que valen $0$. Queda $|A_1|=x|C_1,C_2,C_3|=x|A|$.

4. En ningún paso se ha dividido entre $|A|$, así que la igualdad vale también si $|A|=0$. Para $A_2$ y $A_3$ el razonamiento es el mismo, sustituyendo $B$ en la segunda o la tercera columna.

b) Supongamos que el sistema tuviera una solución $(x,y,z)$. Por a), $|A_i|=x_i|A|=x_i\cdot 0=0$ para $i=1,2,3$. Eso contradice que algún $|A_i|$ sea distinto de cero. Luego no hay solución: el sistema es incompatible.

c) Basta un contraejemplo. El sistema

$$\{\begin{array}{rl}x+y+z& =1\\ x+y+z& =2\\ x+y+z& =3\end{array}$$

es claramente incompatible ($x+y+z$ no puede valer $1$ y $2$ a la vez). Sin embargo, $A$ tiene las tres columnas iguales a $(1,1,1)$, así que $|A|=0$; y cada $A_i$ conserva dos columnas iguales a $(1,1,1)$, así que $|A_1|=|A_2|=|A_3|=0$. Que todos los determinantes se anulen no garantiza que el sistema sea compatible: en ese caso hay que estudiar los rangos con Rouché.

Para el examen: este resultado da un atajo para descartar soluciones, pero solo en un sentido. Si $|A|=0$ y un $|A_i|\ne 0$, puedes afirmar SI; si todos son cero, no puedes afirmar nada sin calcular rangos.

a) $|A|=4\ne 0$: es de Cramer. $x=\frac{8}{4}=2$, $y=\frac{-4}{4}=-1$, $z=\frac{12}{4}=3$. Solución $(2,-1,3)$.

b) La matriz de coeficientes es la misma ($|A|=4$). Al sustituir una columna por $3B$, el determinante se multiplica por $3$ (sale el factor $3$ de esa columna): los nuevos determinantes son $24$, $-12$ y $36$. Solución $(6,-3,9)$, el triple de la de a), como era de esperar: si $AX=B$, entonces $A(3X)=3B$.

c) La nueva matriz es $A^{\prime }=(C_2,C_1,C_3)$. Intercambiar dos columnas cambia el signo del determinante: $|A^{\prime }|=-4$. Para los numeradores:

• $x$: $|B,C_1,C_3|=-|C_1,B,C_3|=-|A_2|=4$, luego $x=\frac{4}{-4}=-1$.
• $y$: $|C_2,B,C_3|=-|B,C_2,C_3|=-|A_1|=-8$, luego $y=\frac{-8}{-4}=2$.
• $z$: $|C_2,C_1,B|=-|C_1,C_2,B|=-|A_3|=-12$, luego $z=\frac{-12}{-4}=3$.

Solución $(-1,2,3)$. Tiene sentido: el sistema es $x{C}_2+y{C}_1+z{C}_3=B$, y por a) $B=2C_1-C_2+3C_3$, así que $y=2$, $x=-1$, $z=3$.

d) La nueva matriz es $A^{\prime \prime }=(2C_1,C_2,C_3)$, con $|A^{\prime \prime }|=2|A|=8$.

• $x$: $|B,C_2,C_3|=|A_1|=8$, luego $x=\frac{8}{8}=1$.
• $y$: $|2C_1,B,C_3|=2|A_2|=-8$, luego $y=-1$.
• $z$: $|2C_1,C_2,B|=2|A_3|=24$, luego $z=3$.

Solución $(1,-1,3)$. Comprobación: $1\cdot 2C_1-C_2+3C_3=2C_1-C_2+3C_3=B$.

Para el examen: las propiedades de los determinantes (intercambiar columnas cambia el signo, un factor de una columna sale fuera) junto con Cramer permiten resolver sistemas sin conocer los números. Escribe siempre qué determinante usas en cada numerador y de qué propiedad sale.

a) 1. Determinante:

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& m\\ 1& m& 2\end{array}\right|=1(4-m^2)-1(2-m)+1(m-2)=2m-m^2=-m(m-2)$$

Valores críticos: $m=0$ y $m=2$.

2. Si $m\ne 0$ y $m\ne 2$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.

3. Si $m=0$: el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$. Orlando con la tercera fila y la columna $B=(2,2,4)$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 2\\ 1& 0& 4\end{array}\right|=1(8-0)-1(4-2)+2(0-2)=2\ne 0$$

$\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$: SI.

4. Si $m=2$: las ecuaciones segunda y tercera son iguales, $x+2y+2z=4$, así que las filas 2 y 3 de $A^{\ast }$ coinciden. El mismo menor de orden 2 da $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$: SCI.

Discusión: $m=0$, SI; $m=2$, SCI; $m\ne 0,2$, SCD.

b) Para $m\ne 0,2$, con $B=(2,m+2,4)$:

$$|A_1|=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ m+2& 2& m\\ 4& m& 2\end{array}\right|=2(4-m^2)-1(2(m+2)-4m)+1(m(m+2)-8)=-m^2+4m-4=-(m-2{)}^2$$

$$|A_2|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& m+2& m\\ 1& 4& 2\end{array}\right|=(2(m+2)-4m)-2(2-m)+(4-(m+2))=2-m$$

$$|A_3|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& m+2\\ 1& m& 4\end{array}\right|=(8-m(m+2))-(4-(m+2))+2(m-2)=-m^2+m+2=-(m-2)(m+1)$$

Dividiendo entre $|A|=-m(m-2)$ y simplificando $m-2$ (válido porque $m\ne 2$):

$$x=\frac{m-2}{m},y=\frac{1}{m},z=\frac{m+1}{m}$$

c) Caso $m=2$. Por a), basta con las ecuaciones 1 y 2, las del menor no nulo (la tercera es igual a la segunda). Con $z=t$:

$$\{\begin{array}{rl}x+y& =2-t\\ x+2y& =4-2t\end{array}x=\frac{\left|\begin{array}{cc}2-t& 1\\ 4-2t& 2\end{array}\right|}{1}=2(2-t)-(4-2t)=0,y=\frac{\left|\begin{array}{cc}1& 2-t\\ 1& 4-2t\end{array}\right|}{1}=(4-2t)-(2-t)=2-t$$

$$(x,y,z)=(0,2-t,t),t\in \mathbb{R}$$

Comprobación: $0+(2-t)+t=2$; $0+2(2-t)+2t=4$. Observa que la fórmula de b) con $m=2$ daría $\left(0,\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$: es la solución de $t=\frac{3}{2}$, solo una de las infinitas.

d) La solución es única para $m\ne 0,2$ y entonces $z=2y⟺\frac{m+1}{m}=\frac{2}{m}⟺m+1=2⟺m=1$. Con $m=1$, $(x,y,z)=(-1,1,2)$; comprobación: $-1+1+2=2$; $-1+2+2=3=m+2$; $-1+1+4=4$.

Para el examen: discutir con el determinante y resolver con Cramer aprovecha el mismo cálculo de $|A|$. En c), di qué ecuación eliminas y por qué, y qué incógnita es el parámetro; en d), comprueba que el valor hallado no es crítico.