Problemas de síntesis: sistemas de ecuaciones lineales

a) Cada fila es una compra y la última columna, el total:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 4& 16\\ 2& 1& 5& 12\\ 1& 3& 2& 13\end{array}\right)$$

b) Calculamos $|A|$ por Sarrus: $|A|=6+10+24-4-45-8=-17\ne 0$. Entonces $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=$ número de incógnitas: SCD (sistema compatible determinado: una única solución).

Gauss: con $F_1\leftrightarrow F_3$ la primera fila es $(1,3,2\mid 13)$. Entonces $F_2-2F_1$ da $(0,-5,1\mid -14)$ y $F_3-3F_1$ da $(0,-7,-2\mid -23)$. De la segunda, $b=5f-14$; sustituyendo en la tercera, $-7f-2(5f-14)=-23\Rightarrow -17f=-51\Rightarrow f=3$. Entonces $b=15-14=1$ y $c=13-9-2=2$.

Precios: cuaderno 2 euros, carpeta 3 euros, bolígrafo 1 euro. Comprobación en la compra 1: $6+6+4=16$.

c) $2+3+1=6$ euros.

d) La matriz de coeficientes tiene 4 filas y 3 columnas y $\mathrm{rg}(A)=3$ (contiene el menor $3\times 3$ anterior, que vale $-17$). Con los precios hallados, la cuarta compra costaría $8+9+5=22$ euros, no 21. Luego la ecuación nueva contradice las tres primeras: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=4\ne 3=\mathrm{rg}(A)$ y el sistema es SI (incompatible).

a) Desarrollando por la primera columna: $|A|=1\cdot (1-0)+1\cdot (4-1)=1+3=4\ne 0$. Como $|A|\ne 0$, $\mathrm{rg}(A)=3=\mathrm{rg}(A^{\ast })$ y el sistema es SCD.

b) Adjuntos de $A$ (cofactores):

$$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ -2& 0& 2\\ 3& -2& 1\end{array}\right)$$

Es la matriz de cofactores de $A$ (por ejemplo, $A_{11}=1\cdot 1-2\cdot 0=1$ y $A_{12}=-(0\cdot 1-2\cdot 1)=2$). La inversa es $A^{-1}=\frac{1}{|A|}(\mathrm{Adj}(A){)}^t$:

$$A^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 2& 0& -2\\ -1& 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{4}& -\frac{1}{2}& \frac{3}{4}\\ \frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right)$$

c) $X=A^{-1}B=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}3+2+3\\ 6+0-2\\ -3-2+1\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$.

d) Cramer: sustituimos la tercera columna por $B$:

$$z=\frac{1}{4}\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& -1\\ 1& 0& 1\end{array}\right|=\frac{-4}{4}=-1$$

El determinante del numerador vale $1-2-3=-4$. Gauss: $F_3-F_1$ da $(0,-2,0\mid -2)$, luego $y=1$; de $F_2$: $1+2z=-1\Rightarrow z=-1$; de $F_1$: $x+2-1=3\Rightarrow x=2$. Los tres métodos coinciden: $(2,1,-1)$.

Para la comprobación: sustituye en las tres ecuaciones: $2+2-1=3$, $1-2=-1$, $2-1=1$.

a) La matriz de coeficientes y la ampliada son

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& m& 6\\ 1& 2& m\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 2& m& 6& 3\\ 1& 2& m& 1\end{array}\right)$$

Calculamos $|A|=m^2-7m+12=(m-3)(m-4)$ (restando $F_3-F_1$ queda $(0,0,m-3)$ y se desarrolla por esa fila). Se anula para $m=3$ y $m=4$.

• Si $m\ne 3$ y $m\ne 4$: $|A|\ne 0$, $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.
• Si $m=3$: las filas 1 y 3 de $A^{\ast }$ son iguales, $(1,2,3\mid 1)$. Queda $\mathrm{rg}(A)=2$ (el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|=-1\ne 0$) y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. SCI.
• Si $m=4$: $F_2=2F_1$ en $A$, pero en la ampliada $F_2=(2,4,6\mid 3)$ y $2F_1=(2,4,6\mid 2)$. $\mathrm{rg}(A)=2$ y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$ (el menor de las columnas 1, 3 y 4 vale $\left|\begin{array}{ccccccc}1& 3& 12& 6& 31& 4& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$). SI.

b) Con $m=3$ el sistema equivale a $x+2y+3z=1$ y $2x+3y+6z=3$. Con $z=t$: restando dos veces la primera a la segunda, $-y=1\Rightarrow y=-1$, y entonces $x=1+2-3t=3-3t$. Soluciones: $(3-3t,-1,t)$, $t\in \mathbb{R}$.

c) Con $m=0$: $|A|=12$. Sustituyendo cada columna por los términos independientes:

$$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 0& 6\\ 1& 2& 0\end{array}\right|}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2},y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 2& 3& 6\\ 1& 1& 0\end{array}\right|}{12}=\frac{-3}{12}=-\frac{1}{4},z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 0& 3\\ 1& 2& 1\end{array}\right|}{12}=0$$

Para el examen: al discutir hay que estudiar por separado cada valor que anula $|A|$ y calcular ambos rangos.

a) $|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& k& 4\\ 1& 1& k\end{array}\right|$. Por Sarrus: $(k^2-4+4)-(2k+4-2k)=k^2-4$. Así, $|A|=k^2-4=(k-2)(k+2)$.

b) Un sistema homogéneo siempre es compatible. Tiene solución distinta de la trivial si y solo si es SCI, es decir, si $\mathrm{rg}(A)<3$, es decir, si $|A|=0$: $k=2$ o $k=-2$. Para cualquier otro $k$ solo existe la solución trivial $(0,0,0)$.

c) Con $k=2$: $x-y+2z=0$, $2x+2y+4z=0$, $x+y+2z=0$. Sumando la primera y la tercera: $2x+4z=0\Rightarrow x=-2z$; restando: $2y=0\Rightarrow y=0$. Con $z=t$: $(-2t,0,t)$, $t\in \mathbb{R}$.

d) Con $k=-2$: $x-y+2z=0$, $2x-2y+4z=0$, $x+y-2z=0$. La segunda es el doble de la primera. Sumando la primera y la tercera: $2x=0\Rightarrow x=0$; entonces $y=2z$. Con $z=t$: $(0,2t,t)$, $t\in \mathbb{R}$.

En ambos casos hay una sola ecuación redundante, luego $\mathrm{rg}(A)=2$ y hay $3-2=1$ parámetro libre.

a) Restamos a la tercera ecuación las dos primeras: $F_3-F_1-F_2$ da $(0,0,a-3,0\mid 0)$, es decir, $(a-3)z=0$.

• Si $a\ne 3$: el menor de las columnas 1, 2 y 3 vale $a-3\ne 0$, así que $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3<4$ incógnitas. SCI con $4-3=1$ parámetro.
• Si $a=3$: la tercera fila es combinación de las dos primeras: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<4$. SCI con $4-2=2$ parámetros.

b) Con $a=3$ quedan dos ecuaciones: $x+y+z+w=1$ e $y+2z+w=2$. Con $z=s$ y $w=t$: $y=2-2s-t$ y $x=1-s-t-y=s-1$. Soluciones: $(s-1,2-2s-t,s,t)$, con $s,t\in \mathbb{R}$.

c) Con $a\ne 3$ la tercera ecuación equivalente es $(a-3)z=0$, luego $z=0$. Con $w=t$: $y=2-t$ y $x=1-y-w=-1$. Soluciones: $(-1,2-t,0,t)$, $t\in \mathbb{R}$, para cualquier $a\ne 3$.

d) Para que $x,y,z,w$ sean enteros no negativos, $s=z$ y $t=w$ han de ser enteros no negativos, y además $x=s-1\ge 0$ e $y=2-2s-t\ge 0$. De la primera, $s\ge 1$; de la segunda, $2s+t\le 2$. Con $s\ge 1$ solo queda $s=1$ y $t=0$. La única solución es $(0,0,1,0)$.

Para el examen: indica siempre cuántos parámetros quedan ($n$ de incógnitas menos el rango) y cuál has elegido como parámetro.

a) Las tres primeras filas de $A$ forman el menor

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right|=4\ne 0$$

Luego $\mathrm{rg}(A)=3$ para todo $m$ (el rango no puede superar el número de columnas). Entonces el sistema es compatible si y solo si $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, es decir, si $|A^{\ast }|=0$ (determinante $4\times 4$).

b) Con $k=7$, desarrollando $|A^{\ast }|$ por la última fila se obtiene $|A^{\ast }|=4(7-m-8)=-4(m+1)$.

• Si $m\ne -1$: $|A^{\ast }|\ne 0$, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=4\ne 3=\mathrm{rg}(A)$. SI.
• Si $m=-1$: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=\mathrm{rg}(A)=$ número de incógnitas. SCD.

Resolvemos con las tres primeras ecuaciones: sumando las dos primeras, $2x+2z=8$, es decir, $x+z=4$; junto con la tercera, $x-z=-2$, luego $x=1$, $z=3$ e $y=6-1-3=2$. Solución: $(1,2,3)$. Comprobamos la cuarta: $-1+2+6=7$.

c) La solución de las tres primeras ecuaciones es siempre $(1,2,3)$ (no depende de $m$). La cuarta la cumple si $m+2+6=k$, es decir, $k=m+8$. Es la misma condición que daba $|A^{\ast }|=4(k-m-8)=0$.

Para el examen: con más ecuaciones que incógnitas, basta un menor $3\times 3$ no nulo para fijar $\mathrm{rg}(A)=3$ y comprobar el $4\times 4$ de $A^{\ast }$.

a) Sea $A$ la matriz de coeficientes. Desarrollando por Sarrus,

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=2+a+a-1-1-2a^2=-2a^2+2a=-2a(a-1)$$

Se anula para $a=0$ y $a=1$.

• Si $a\ne 0$ y $a\ne 1$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.
• Si $a=0$: $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 1& 1& 2& 2\end{array}\right)$. En $A$, $F_3=F_1+F_2$ y $\mathrm{rg}(A)=2$; pero en la columna de términos independientes $1+0=1\ne 2$. Entonces $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$ (el menor de las columnas 1, 2 y 4 vale $\left|\begin{array}{ccccccc}1& 0& 10& 1& 01& 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$). SI.
• Si $a=1$: $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 2& 2\end{array}\right)$. Las dos primeras filas son iguales: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$. SCI.

b) Con $a=1$: $x+y+z=1$ y $x+y+2z=2$. Restando, $z=1$; entonces $x+y=0$. Con $y=t$: $(-t,t,1)$, $t\in \mathbb{R}$.

c) Con $a=2$: $|A|=-4$ y

$$y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 1\\ 1& 2& 2\end{array}\right|}{-4}=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}$$

donde la segunda columna se ha sustituido por $B=(1,2,2{)}^t$.

Para el examen: la discusión puntúa la mitad del problema; indica los rangos de $A$ y de $A^{\ast }$ en cada caso, no solo la etiqueta.

a) Por Sarrus, $|A|=(m\cdot m\cdot m+1\cdot 1\cdot 1+0)-(0+0+0)=m^3+1=(m+1)(m^2-m+1)$. El factor $m^2-m+1$ no tiene raíces reales (discriminante $-3<0$). Luego $A$ no tiene inversa solo para $m=-1$.

b) Con $m=1$, $|A|=2$ y $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$. Por adjuntos:

$$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$$

(comprobación: la primera fila de $A$ por la primera columna de esta matriz da $1+1+0=2$, y por la segunda, $-1+1+0=0$).

c) Como $A$ es invertible, $X=A^{-1}B$, de dimensión $3\times 2$:

$$X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& -2\\ 1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 1\\ \frac{3}{2}& -1\\ \frac{1}{2}& 2\end{array}\right)$$

d) Con $m=-1$, $|A|=0$ y $\mathrm{rg}(A)=2$ (el menor $\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -1\end{array}\right|=1\ne 0$). Las filas de $A$ suman $(0,0,0)$, así que un término independiente solo es compatible si sus tres componentes suman $0$. Con $(1,1,1)$ la suma es $3\ne 0$: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3\ne 2$. SI.

e) Ahora $1+1-2=0$: es compatible, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2=\mathrm{rg}(A)<3$ (SCI). Las ecuaciones son $-x+y=1$, $-y+z=1$, $x-z=-2$; la tercera es suma de las otras dos cambiada de signo. Con $x=t$: $y=t+1$ y $z=t+2$. Soluciones: $(t,t+1,t+2)$, $t\in \mathbb{R}$.

Para el examen: primero el determinante; solo si vale 0 se pasa al estudio de los rangos.

a) Sea $A$ la matriz de coeficientes. Es de tipo Vandermonde: $|A|=(a-1)(a-2)$ (por ejemplo, restando $F_1$ a las otras dos filas, queda $\left|\begin{array}{cc}1& a-1\\ 3& a^2-1\end{array}\right|=(a-1)(a+1)-3(a-1)=(a-1)(a-2)$).

• Si $a\ne 1$ y $a\ne 2$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$ para cualquier $b$. SCD.
• Si $a=1$ o $a=2$: $\mathrm{rg}(A)=2$ (las columnas 1 y 2 dan siempre el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$). Entre las filas se cumple $F_3=3F_2-2F_1$ en $A$, así que el sistema es compatible si y solo si pasa lo mismo con los términos independientes: $b^2=3b-2⟺b^2-3b+2=0⟺b=1$ o $b=2$.
  • Si $b=1$ o $b=2$: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2=\mathrm{rg}(A)<3$. SCI.
  • Si $b\ne 1$ y $b\ne 2$: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SI.

Resumen: son SCI los casos con $a\in \{1,2\}$ y $b\in \{1,2\}$; son SI los casos con $a\in \{1,2\}$ y $b\notin \{1,2\}$; y SCD si $a\notin \{1,2\}$.

b) Con $a=2$ y $b=2$: $x+y+z=1$ y $x+2y+2z=2$ (la tercera es combinación de ellas). Restando, $y+z=1$, y entonces $x=0$. Con $z=t$: $(0,1-t,t)$, $t\in \mathbb{R}$.

c) Con $a=3$ y $b=0$: $|A|=(3-1)(3-2)=2\ne 0$, SCD. Por Gauss, $F_2-F_1$ da $y+2z=-1$ y $F_3-F_1$ da $3y+8z=-1$. De la primera, $y=-1-2z$; en la segunda, $-3-6z+8z=-1\Rightarrow z=1$, $y=-3$ y $x=1-y-z=3$. Solución: $(3,-3,1)$.

Para el examen: con dos parámetros, el determinante fija los valores de $a$ y el parámetro $b$ aparece al estudiar el rango de $A^{\ast }$ en esos casos.

a) El sistema es

$$\{\begin{array}{rl}2x+3y+4z& =60\\ x+y+2z& =28\end{array}$$

Con $z=t$: $F_1-2F_2$ da $y=4$, y entonces $x=28-4-2t=24-2t$. Soluciones: $(24-2t,4,t)$. Es un SCI con $\mathrm{rg}=2$ y $3-2=1$ parámetro.

b) Hace falta $24-2t\ge 0$, es decir, $t\le 12$, con $t$ entero y $t\ge 0$: $t=0,1,\dots ,12$. Hay 13 producciones posibles. En todas ellas $y=4$: se fabrican siempre 4 mesas, porque la combinación $F_1-2F_2$ elimina $x$ y $z$ a la vez.

c) La matriz de coeficientes es $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 1& 1& 2\\ 1& 0& k\end{array}\right)$, con $|A|=2-k$.

• Si $k\ne 2$: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SCD.
• Si $k=2$: $\mathrm{rg}(A)=2$ (contiene el menor $\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$). La tercera ecuación $x+2z=20$ con los resultados del apartado a): $24-2t+2t=24\ne 20$. Es incompatible: $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. SI.

d) Con $k=1$: $x+z=20$, es decir, $24-2t+t=20\Rightarrow t=4$. La producción es $(16,4,4)$: 16 sillas, 4 mesas y 4 estanterías (comprobación: $32+12+16=60$ y $16+4+8=28$).

Para el examen: responde en el contexto (aquí, «4 mesas, siempre») y comprueba que la solución cumple las condiciones de enteros no negativos.

a) Calculamos

$$AX=\left(\begin{array}{cc}x+2z& y+2w\\ 3z& 3w\end{array}\right),XA=\left(\begin{array}{cc}x& 2x+3y\\ z& 2z+3w\end{array}\right)$$

Igualando elemento a elemento: $2z=0$, $y+2w=2x+3y\Rightarrow 2x+2y-2w=0$, $3z=z$ y $3w=2z+3w$. Simplificando,

$$\{\begin{array}{rl}z& =0\\ x+y-w& =0\end{array}$$

El resto de ecuaciones repite $z=0$. La matriz de coeficientes tiene rango $\mathrm{rg}=2$: hay $4-2=2$ parámetros libres.

b) De $z=0$ y $x=w-y$, con $w=s$ e $y=t$:

$$X=\left(\begin{array}{cc}s-t& t\\ 0& s\end{array}\right),s,t\in \mathbb{R}$$

c) Es triangular: $|X|=s(s-t)$.

d) Elevando al cuadrado:

$$X^2=\left(\begin{array}{cc}(s-t{)}^2& (s-t)t+ts\\ 0& s^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$$

Luego $s^2=3$ y $(s-t{)}^2=1$. Con los dos elementos de la diagonal positivos, $s=\sqrt{3}$ y $s-t=1$, es decir, $t=\sqrt{3}-1$. Comprobamos el elemento $(1,2)$: $t(2s-t)=(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=2$. La matriz es

$$X=\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}-1\\ 0& \sqrt{3}\end{array}\right)$$

Para el examen: al despejar una matriz incógnita por elementos, reduce el sistema por Gauss y expresa la solución con tantos parámetros como indique el rango.

a) $A-\lambda I=\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 0\\ 2& 1-\lambda & 0\\ 1& 1& 3-\lambda \end{array}\right)$. Desarrollando por la tercera columna:

$$|A-\lambda I|=(3-\lambda )\left[(1-\lambda {)}^2-4\right]=(3-\lambda )(\lambda -3)(\lambda +1)=-(\lambda -3{)}^2(\lambda +1)$$

b) Un sistema homogéneo tiene soluciones no triviales si y solo si $|A-\lambda I|=0$: $\lambda =3$ o $\lambda =-1$.

c) Si $\lambda =3$: $A-3I=\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 0\\ 2& -2& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$ tiene rango 2 (menor $\left|\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-4\ne 0$), así que queda $1$ parámetro. Las ecuaciones $-2x+2y=0$ y $x+y=0$ dan $x=y=0$. Con $z=t$: $(0,0,t)$.

Si $\lambda =-1$: $A+I=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 2& 2& 0\\ 1& 1& 4\end{array}\right)$, rango 2. Las ecuaciones $2x+2y=0$ y $x+y+4z=0$ dan $y=-x$ y $z=0$. Con $x=t$: $(t,-t,0)$.

d) El sistema es $-2x+2y=0$, $2x-2y=0$, $x+y=2$. Las dos primeras dan $x=y$; la tercera, $x=y=1$. Con $z=t$: $(1,1,t)$. Es compatible porque $\mathrm{rg}(A-3I)=2=\mathrm{rg}$ de la ampliada.

Para el examen: anota que el rango es 2 en ambos casos y cuántos parámetros quedan; en el apartado d) no olvides que $z$ queda libre.