Método de Gauss

1. Primer pivote. La primera ecuación empieza por $2$; la segunda, por $1$, que es más cómodo. Intercambiamos $F_1\leftrightarrow F_2$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 8\\ 2& 1& -1& 1\\ 3& -1& 2& 7\end{array}\right)$$

2. Ceros en la primera columna:

$$\underset{F_3\to F_3-3F_1}{\overset{F_2\to F_2-2F_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 8\\ 0& -3& -3& -15\\ 0& -7& -1& -17\end{array}\right)\stackrel{F_2\to -\frac{1}{3}{F}_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 8\\ 0& 1& 1& 5\\ 0& -7& -1& -17\end{array}\right)$$

Dividir la fila 2 entre $-3$ deja un pivote $1$ y evita fracciones en el paso siguiente.

3. Ceros en la segunda columna:

$$\stackrel{F_3\to F_3+7F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 8\\ 0& 1& 1& 5\\ 0& 0& 6& 18\end{array}\right)$$

4. Clasificación. Tres pivotes para tres incógnitas y ninguna fila $0=c$: SCD.

5. Sustitución hacia atrás. $6z=18$, luego $z=3$. $y+z=5$, luego $y=2$. $x+2y+z=8$, luego $x=8-4-3=1$.

6. Comprobación en las ecuaciones originales: $2+2-3=1$, $1+4+3=8$, $3-2+6=7$.

La solución es $(x,y,z)=(1,2,3)$.

Los dos sistemas solo se diferencian en el término independiente de la tercera ecuación, así que hacemos las mismas operaciones a la vez y solo cambia la última columna.

a) 1. Ceros en la primera columna:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 4\\ 2& 3& 5& 9\\ 1& 2& 3& 5\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3-F_1}{\overset{F_2\to F_2-2F_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 4\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1\end{array}\right)\stackrel{F_3\to F_3-F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 4\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

2. Clasificación. La última fila es $0=0$ y hay dos pivotes (columnas de $x$ e $y$) para tres incógnitas: SCI con un parámetro. La incógnita sin pivote, $z$, es el parámetro: $z=t$.

3. De abajo arriba. Fila 2: $y+t=1$, luego $y=1-t$. Fila 1: $x=4-y-2t=4-(1-t)-2t=3-t$.

$$(x,y,z)=(3-t,1-t,t),t\in \mathbb{R}$$

Comprobación en la tercera ecuación: $(3-t)+2(1-t)+3t=5$ para todo $t$.

b) Con las mismas operaciones, la última columna pasa a ser $(4,9-8,6-4)=(4,1,2)$ y después $(4,1,2-1)=(4,1,1)$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 4\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

La última fila es la ecuación $0x+0y+0z=1$, es decir, $0=1$: SI.

La explicación es la misma en los dos casos: el primer miembro de la tercera ecuación es el de la segunda menos el de la primera. En a) también lo es el término independiente ($9-4=5$) y la ecuación sobra; en b), $9-4=5\ne 6$ y la ecuación contradice a las otras dos.

a) 1. Planteamiento. El parámetro está solo en la columna de $z$ y en los términos independientes, y la primera ecuación no tiene $m$: es un buen primer pivote. No hace falta reordenar.

$$\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 2\\ 2& -1& m+2& 5\\ 1& 0& m^2-m+1& m+3\end{array}\right)$$

2. Ceros en la primera columna (operaciones con números, sin dividir por nada que dependa de $m$):

$$\underset{F_3\to F_3-F_1}{\overset{F_2\to F_2-2F_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 2\\ 0& 1& m& 1\\ 0& 1& m^2-m& m+1\end{array}\right)$$

Comprueba las cuentas de la fila 2: $(m+2)-2\cdot 1=m$ y $5-2\cdot 2=1$; de la fila 3: $(m^2-m+1)-1=m^2-m$ y $(m+3)-2=m+1$.

3. Ceros en la segunda columna. El pivote es el $1$ de la fila 2:

$$\stackrel{F_3\to F_3-F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 2\\ 0& 1& m& 1\\ 0& 0& m^2-2m& m\end{array}\right)$$

La última fila es la ecuación $m(m-2)z=m$.

4. Valores críticos. El coeficiente $m(m-2)$ se anula para $m=0$ y $m=2$.

• Si $m\ne 0$ y $m\ne 2$: el coeficiente no es nulo, hay tres pivotes y el sistema es SCD.
• Si $m=0$: la última fila es $(000\mid 0)$, es decir, $0=0$. Quedan dos pivotes para tres incógnitas: SCI.
• Si $m=2$: la última fila es $(000\mid 2)$, es decir, $0=2$: SI.

Discusión: $m=0$, SCI; $m=2$, SI; cualquier otro valor, SCD.

b) Caso $m=0$. La matriz escalonada queda

$$\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 2\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

La fila 2 da directamente $y=1$; $z$ no tiene pivote y hace de parámetro, $z=t$. De la fila 1, $x=2+y-z=3-t$:

$$(x,y,z)=(3-t,1,t),t\in \mathbb{R}$$

Comprobación en la tercera ecuación original con $m=0$ ($x+z=3$): $3-t+t=3$.

c) Caso $m=3$. La última fila es $(003\mid 3)$, luego $3z=3$ y $z=1$. La fila 2 es $y+3z=1$, luego $y=-2$. La fila 1 da $x=2+y-z=2-2-1=-1$.

$$(x,y,z)=(-1,-2,1)$$

Comprobación con $m=3$: $-1+2+1=2$; $-2+2+5\cdot 1=5$; $-1+7\cdot 1=6=m+3$.

Para el examen: en la discusión, escribe la fila final con el parámetro y estudia por separado cada valor que anula su coeficiente, sustituyendo también en el término independiente. Dividir la última fila entre $m(m-2)$ sin más, o simplificar $m(m-2)z=m$ a $(m-2)z=1$ dividiendo entre $m$, hace perder el caso $m=0$ y con él la mitad de la discusión.

1. Ceros en la primera columna con el pivote $1$ de la fila 1:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 2& -1& 1& 8\\ 1& 3& -2& -7\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3-F_1}{\overset{F_2\to F_2-2F_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 0& -3& -1& 0\\ 0& 2& -3& -11\end{array}\right)$$

2. Ceros en la segunda columna. Para no usar fracciones, $F_3\to 3F_3+2F_2$:

$$\stackrel{F_3\to 3F_3+2F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 0& -3& -1& 0\\ 0& 0& -11& -33\end{array}\right)$$

(fila 3: $3\cdot (0,2,-3\mid -11)+2\cdot (0,-3,-1\mid 0)=(0,0,-11\mid -33)$).

3. Tres pivotes: SCD. De abajo arriba: $-11z=-33$, $z=3$; $-3y-z=0$, $y=-1$; $x=4-y-z=4+1-3=2$.

4. Comprobación: $2-1+3=4$; $4+1+3=8$; $2-3-6=-7$.

$$(x,y,z)=(2,-1,3)$$

a) Tres pivotes (uno por incógnita) y ninguna fila $0=c$: SCD. De abajo arriba: $2z=4$, $z=2$; $y+3z=5$, $y=-1$; $x+2y-z=3$, $x=3+2+2=7$. Solución $(7,-1,2)$.

b) La última fila es $0x+0y+0z=4$, es decir, $0=4$: SI. No hace falta mirar las otras filas.

c) La última fila es $0=0$ y sobra. Quedan dos pivotes (columnas de $x$ e $y$) para tres incógnitas: SCI, con $z$ como parámetro, $z=t$. Fila 2: $y=3-t$. Fila 1: $x=4-y+2t=4-(3-t)+2t=1+3t$.

$$(x,y,z)=(1+3t,3-t,t),t\in \mathbb{R}$$

a) 1. Ceros en la primera columna:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 1\\ 2& 1& 1& 5\\ 4& -1& 5& 7\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3-4F_1}{\overset{F_2\to F_2-2F_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 1\\ 0& 3& -3& 3\\ 0& 3& -3& 3\end{array}\right)$$

2. Ceros en la segunda columna y simplificación de la fila 2 entre $3$:

$$\underset{F_2\to \frac{1}{3}{F}_2}{\overset{F_3\to F_3-F_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 1\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

3. La última fila es $0=0$ y hay dos pivotes para tres incógnitas: SCI con un parámetro.

b) $z=t$. Fila 2: $y-t=1$, luego $y=1+t$. Fila 1: $x=1+y-2t=1+1+t-2t=2-t$.

$$(x,y,z)=(2-t,1+t,t),t\in \mathbb{R}$$

Comprobación en la tercera ecuación: $4(2-t)-(1+t)+5t=8-1=7$ para todo $t$. (La tercera ecuación es el doble de la primera más la segunda.)

a) 1. Ceros en la primera columna:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 1& -1& 1& 2\\ 2& 1& -1& 1\\ 3& 1& 1& 8\end{array}\right)\underset{F_4\to F_4-3F_1}{\overset{F_2\to F_2-F_1,F_3\to F_3-2F_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& -2& 0& -4\\ 0& -1& -3& -11\\ 0& -2& -2& -10\end{array}\right)$$

2. Simplificamos $F_2\to -\frac{1}{2}{F}_2$, $F_3\to -F_3$, $F_4\to -\frac{1}{2}{F}_4$ y hacemos ceros con el pivote de la fila 2:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 1& 3& 11\\ 0& 1& 1& 5\end{array}\right)\underset{F_4\to F_4-F_2}{\overset{F_3\to F_3-F_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 3& 9\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right)\stackrel{F_4\to 3F_4-F_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 3& 9\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

3. La cuarta fila es $0=0$ (la cuarta ecuación sobraba). Tres pivotes: SCD. $3z=9$, $z=3$; $y=2$; $x=6-2-3=1$. Solución $(1,2,3)$. Comprobación en la cuarta: $3+2+3=8$.

b) Las tres primeras ecuaciones son las mismas, así que las filas 1 a 3 se escalonan igual y dan $z=3$, $y=2$, $x=1$. Solo cambia la cuarta: $F_4\to F_4-F_1$ da $(0,1,2\mid 4)$; $F_4\to F_4-F_2$ da $(0,0,2\mid 2)$; y $F_4\to 3F_4-2F_3$ da

$$(000\mid 6-18)=(000\mid -12)$$

La ecuación $0=-12$ es imposible: SI. Se comprueba directamente: el único punto que cumple las tres primeras ecuaciones es $(1,2,3)$, y en la cuarta da $1+4+9=14\ne 10$.

a) 1. Ceros en la primera columna:

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 4\\ 1& -1& 1& -1& 0\\ 2& 1& 3& 1& 7\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3-2F_1}{\overset{F_2\to F_2-F_1}{\to }}\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 4\\ 0& -2& 0& -2& -4\\ 0& -1& 1& -1& -1\end{array}\right)$$

2. Simplificamos $F_2\to -\frac{1}{2}{F}_2$ y hacemos cero debajo de su pivote:

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 4\\ 0& 1& 0& 1& 2\\ 0& -1& 1& -1& -1\end{array}\right)\stackrel{F_3\to F_3+F_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 4\\ 0& 1& 0& 1& 2\\ 0& 0& 1& 0& 1\end{array}\right)$$

3. Clasificación. Tres pivotes (columnas de $x$, $y$, $z$) para cuatro incógnitas y ninguna fila $0=c$: SCI con $4-3=1$ parámetro. La incógnita sin pivote es $w$, así que $w=t$ es una elección natural.

4. De abajo arriba. Fila 3: $z=1$. Fila 2: $y+t=2$, $y=2-t$. Fila 1: $x=4-y-z-t=4-(2-t)-1-t=1$.

$$(x,y,z,w)=(1,2-t,1,t),t\in \mathbb{R}$$

Curiosamente, $x$ y $z$ valen lo mismo en todas las soluciones: solo varían $y$ y $w$, y siempre suman $2$. Comprobación en la tercera ecuación: $2+(2-t)+3+t=7$.

b) $y=w⟺2-t=t⟺t=1$, que da $(x,y,z,w)=(1,1,1,1)$. Comprobación: $4$, $0$ y $2+1+3+1=7$.

a) 1. Planteamiento. Una ecuación por nutriente:

$$\{\begin{array}{rl}10x+5y+20z& =60\\ 20x+30y+10z& =130\\ 5x+10y+5z& =40\end{array}⟺\{\begin{array}{rl}2x+y+4z& =12\\ 2x+3y+z& =13\\ x+2y+z& =8\end{array}$$

(dividiendo entre $5$, $10$ y $5$, que no cambia las soluciones).

2. Gauss. Ponemos arriba la ecuación que empieza por $1$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 8\\ 2& 1& 4& 12\\ 2& 3& 1& 13\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3-2F_1}{\overset{F_2\to F_2-2F_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 8\\ 0& -3& 2& -4\\ 0& -1& -1& -3\end{array}\right)\stackrel{F_3\to 3F_3-F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 8\\ 0& -3& 2& -4\\ 0& 0& -5& -5\end{array}\right)$$

3. SCD. $z=1$; $-3y+2=-4$, $y=2$; $x=8-4-1=3$. Son 3 raciones de A, 2 de B y 1 de C. Comprobación: $30+10+20=60$, $60+60+10=130$, $15+20+5=40$.

b) Ahora la ecuación de grasas es $5x+10y+5z=50$, o sea $x+2y+z=10$. Repitiendo las operaciones con el nuevo término independiente, la última columna pasa de $(10,12,13)$ a $(10,12-20,13-20)=(10,-8,-7)$ y después a $(10,-8,-21+8)=(10,-8,-13)$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 10\\ 0& -3& 2& -8\\ 0& 0& -5& -13\end{array}\right)$$

$z=\frac{13}{5}$; $-3y=-8-\frac{26}{5}=-\frac{66}{5}$, $y=\frac{22}{5}$; $x=10-\frac{44}{5}-\frac{13}{5}=-\frac{7}{5}$.

$$(x,y,z)=\left(-\frac{7}{5},\frac{22}{5},\frac{13}{5}\right)$$

El sistema tiene solución única, pero $x<0$: harían falta raciones negativas de A. El menú no es posible. En un problema con contexto no basta con resolver: hay que comprobar que la solución tiene sentido.

a) 1. Escalonamos (el parámetro ya está en la última fila y en la columna de $z$):

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 2& 3& 1& 5\\ 1& 2& k-1& 4\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3-F_1}{\overset{F_2\to F_2-2F_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& 1& -1& -1\\ 0& 1& k-2& 1\end{array}\right)\stackrel{F_3\to F_3-F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& 1& -1& -1\\ 0& 0& k-1& 2\end{array}\right)$$

2. Última fila: $(k-1)z=2$.

• Si $k\ne 1$: tres pivotes, SCD, con $z=\frac{2}{k-1}$.
• Si $k=1$: la fila es $(000\mid 2)$, es decir, $0=2$: SI.

b) Con $k=2$: $z=2$; fila 2: $y-z=-1$, $y=1$; fila 1: $x=3-1-2=0$. Solución $(0,1,2)$. Comprobación en la tercera ecuación con $k=2$: $0+2+2=4$.

c) Para $k\ne 1$, la fila 2 da $y=z-1=\frac{2}{k-1}-1=\frac{3-k}{k-1}$. Entonces $y=0⟺k=3$ (que es distinto de $1$, así que el sistema es SCD). Con $k=3$: $z=1$, $y=0$, $x=2$; comprobación: $2+0+2\cdot 1=4$.

a) 1. Escalonamos. Los parámetros están en la última fila, así que basta con operaciones numéricas:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 2\\ 1& 3& a& b\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3-F_1}{\overset{F_2\to F_2-F_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 1\\ 0& 2& a-1& b-1\end{array}\right)\stackrel{F_3\to F_3-2F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 1\\ 0& 0& a-5& b-3\end{array}\right)$$

2. Última fila: $(a-5)z=b-3$. Hay que mirar primero el coeficiente (depende de $a$) y después, si se anula, el término independiente (depende de $b$):

• Si $a\ne 5$ (cualquier $b$): tres pivotes, SCD.
• Si $a=5$ y $b=3$: la fila es $0=0$; dos pivotes para tres incógnitas: SCI.
• Si $a=5$ y $b\ne 3$: la fila es $0=b-3\ne 0$: SI.

b) Con $a=5$, $b=3$: $z=t$; fila 2, $y=1-2t$; fila 1, $x=1-y-z=1-(1-2t)-t=t$.

$$(x,y,z)=(t,1-2t,t),t\in \mathbb{R}$$

Comprobación en la tercera ecuación: $t+3(1-2t)+5t=3$ para todo $t$.

c) Con $a=6$, $b=4$: la última fila es $z=1$; $y=1-2=-1$; $x=1-(-1)-1=1$. Solución $(1,-1,1)$. Comprobación: $1-3+6=4$.

Para el examen: con dos parámetros, la discusión tiene tres casos y hay que escribirlos con las dos condiciones: «$a=5$ y $b=3$» no es lo mismo que «$a=5$ o $b=3$». Un error frecuente es decir que con $b=3$ el sistema es SCI sin exigir $a=5$: si $a\ne 5$ es SCD, valga lo que valga $b$.

a) Escalonamos $S_1$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 1& -1& 3& 1\\ 2& 0& 4& 4\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3-2F_1}{\overset{F_2\to F_2-F_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& -2& 2& -2\\ 0& -2& 2& -2\end{array}\right)\stackrel{F_3\to F_3-F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& -2& 2& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

SCI con un parámetro. Con $z=t$: fila 2, $-2y+2t=-2$, $y=1+t$; fila 1, $x=3-(1+t)-t=2-2t$.

$$(x,y,z)=(2-2t,1+t,t),t\in \mathbb{R}$$

Es una recta de soluciones.

b) 1. Condición necesaria. Todas las soluciones de $S_1$ deben cumplir $S_2$. Sustituimos el punto genérico en cada ecuación de $S_2$ y exigimos que se cumpla para todo $t$:

• Primera: $(2-2t)+a(1+t)+3t=b⟺(2+a)+(a+1)t=b$. Para todo $t$: $a+1=0$ y $2+a=b$, luego $a=-1$, $b=1$.
• Segunda: $2(2-2t)+(1+t)+ct=5⟺5+(c-3)t=5$. Para todo $t$: $c=3$.

2. No basta: $S_2$ no debe tener soluciones que no sean de $S_1$. Con $a=-1$, $b=1$, $c=3$:

$$S_2:\{\begin{array}{rl}x-y+3z& =1\\ 2x+y+3z& =5\end{array}\stackrel{F_2\to F_2-2F_1}{\to }\{\begin{array}{rl}x-y+3z& =1\\ 3y-3z& =3\end{array}$$

Dos pivotes: SCI con un parámetro. Con $z=t$: $y=1+t$ y $x=1+y-3t=2-2t$. Es la misma recta, así que los sistemas son equivalentes.

$a=-1$, $b=1$, $c=3$. Cuadra con lo que sabes de sistemas equivalentes: la primera ecuación de $S_2$ es la segunda de $S_1$, y la segunda es $\frac{3}{2}$ de la primera de $S_1$ más $\frac{1}{2}$ de su segunda.

Para el examen: para que dos sistemas sean equivalentes no basta con que compartan una solución, ni siquiera con que las de uno cumplan el otro: hay que comprobar que tienen el mismo conjunto de soluciones. Aquí, si las dos ecuaciones de $S_2$ fueran proporcionales, $S_2$ tendría un plano de soluciones y no serían equivalentes.

a) 1. Ceros en la primera columna:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 1& 2& 0& 3\\ 1& 2& m-1& m+2\\ 2& 2& 3& m+2\end{array}\right)\underset{F_4\to F_4-2F_1}{\overset{F_2\to F_2-F_1,F_3\to F_3-F_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 1& m-2& m\\ 0& 0& 1& m-2\end{array}\right)$$

2. Ceros en la segunda columna con el pivote de la fila 2:

$$\stackrel{F_3\to F_3-F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& m-1& m-1\\ 0& 0& 1& m-2\end{array}\right)$$

3. Tercer pivote. Para no usar $m-1$ como pivote (puede valer $0$), intercambiamos las filas 3 y 4 y usamos el $1$:

$$\stackrel{F_3\leftrightarrow F_4}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 1& m-2\\ 0& 0& m-1& m-1\end{array}\right)\stackrel{F_4\to F_4-(m-1)F_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 1& m-2\\ 0& 0& 0& (m-1)(3-m)\end{array}\right)$$

(término de la fila 4: $(m-1)-(m-1)(m-2)=(m-1)(1-m+2)=(m-1)(3-m)$). La operación $F_4\to F_4-(m-1)F_3$ es válida para todo $m$, porque no multiplica $F_4$ por nada.

4. Discusión. Las tres primeras filas tienen pivote en las tres columnas para cualquier $m$. Todo depende de la cuarta, $0=(m-1)(3-m)$:

• Si $m=1$ o $m=3$: la fila es $0=0$ y sobra. Tres pivotes para tres incógnitas: SCD.
• Si $m\ne 1$ y $m\ne 3$: la fila es $0=c$ con $c\ne 0$: SI.

b) En los dos casos compatibles, de abajo arriba: $z=m-2$, $y=1+z=m-1$, $x=2-y-z=5-2m$.

• $m=1$: $(x,y,z)=(3,0,-1)$. Comprobación: $3+0-1=2$; $3+0=3$; $3+0+0=3=m+2$; $6+0-3=3=m+2$.
• $m=3$: $(x,y,z)=(-1,2,1)$. Comprobación: $-1+2+1=2$; $-1+4=3$; $-1+4+2=5=m+2$; $-2+4+3=5=m+2$.

c) No. Para cualquier $m$, la matriz escalonada de coeficientes tiene tres pivotes (los $1$ de las posiciones $(1,1)$, $(2,2)$ y $(3,3)$), uno por incógnita. Cuando el sistema es compatible, todas las incógnitas se despejan y la solución es única. Nunca queda una incógnita libre, así que nunca es SCI.

Para el examen: en un sistema con más ecuaciones que incógnitas, la discusión se decide en la fila que queda con todos los coeficientes nulos. Fíjate en la elección del pivote en el paso 3: usar $m-1$ habría obligado a separar $m=1$ antes de seguir. Y escribe la conclusión de c) con la palabra clave: «tres pivotes para tres incógnitas en todos los casos».