Determinantes con parámetros

a) 1. Elegir la columna. La primera columna tiene dos ceros. Desarrollando por ella solo queda el término de $a_{11}=m$, con signo $+$:

$$|A|=m\left|\begin{array}{cc}m-1& 2\\ 1& m\end{array}\right|=m[(m-1)m-2]=m(m^2-m-2).$$

2. Factorizar el segundo grado. $m^2-m-2=0⟺m=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm 3}{2}$, es decir, $m=2$ o $m=-1$. Así $m^2-m-2=(m-2)(m+1)$ y

$$|A|=m(m-2)(m+1).$$

3. Comprobación con $m=1$: la fórmula da $1\cdot (-1)\cdot 2=-2$, y la matriz $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$ tiene determinante $1\cdot (0-2)=-2$.

b) $A$ no tiene inversa si y solo si $|A|=0$: $m=0$, $m=2$ o $m=-1$. Para cualquier otro valor sí la tiene.

c) Con $m=3$, $|A|=3\cdot 1\cdot 4=12\ne 0$, y $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=\frac{1}{12}$. No hace falta calcular la inversa.

1. Ver la estructura. Cada fila repite la anterior cambiando un elemento más por $x$. Restando filas consecutivas aparecerán muchos ceros.

2. Restar de abajo arriba, para que la fila que se resta sea todavía la original: $F_4\to F_4-F_3$, $F_3\to F_3-F_2$, $F_2\to F_2-F_1$. Ninguna de estas operaciones cambia el determinante:

$$D(x)=\left|\begin{array}{cccc}x& 1& 2& 3\\ 0& x-1& 0& 0\\ 0& 0& x-2& 0\\ 0& 0& 0& x-3\end{array}\right|.$$

3. Matriz triangular. El determinante es el producto de la diagonal:

$$D(x)=x(x-1)(x-2)(x-3).$$

4. Soluciones. Igualando cada factor a cero: $x=0$, $x=1$, $x=2$ y $x=3$.

5. Comprobación sin cuentas. Para $x=1$ las dos primeras filas son iguales, $(1,1,2,3)$; para $x=2$, las filas 2 y 3, $(2,2,2,3)$; para $x=3$, las filas 3 y 4; y para $x=0$ la primera columna es nula. Las cuatro raíces se explican solas, y un polinomio de grado 4 no puede tener más.

Desarrollar este determinante por adjuntos directamente daría un polinomio de grado 4 que luego habría que factorizar con Ruffini. Si hubieras hecho las restas de arriba abajo ($F_2-F_1$ primero y después $F_3-F_2$ con la fila 2 ya cambiada), la matriz no quedaría triangular.

a) 1. Determinante por Sarrus.

$$|A|=(1\cdot m\cdot m+2\cdot 3\cdot 0+0\cdot 2\cdot (-1))-(0\cdot m\cdot 0+1\cdot 3\cdot (-1)+2\cdot 2\cdot m)=m^2-(4m-3)=m^2-4m+3.$$

2. Raíces. $m^2-4m+3=0⟺m=\frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}$, es decir, $m=1$ o $m=3$. Factorizado: $|A|=(m-1)(m-3)$.

3. Conclusión. $A$ tiene inversa si y solo si $|A|\ne 0$. No tiene inversa para $m=1$ y $m=3$; la tiene para cualquier otro valor.

b) 1. ¿Existe? Para $m=2$, $|A|=(2-1)(2-3)=-1\ne 0$. La matriz es $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 2& 3\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$.

2. Menores.

$$\begin{array}{rlrlrl}{M}_{11}& =\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 2\end{array}\right|=7,& M_{12}& =\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 2\end{array}\right|=4,& M_{13}& =\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& -1\end{array}\right|=-2,\\ M_{21}& =\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 2\end{array}\right|=4,& M_{22}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right|=2,& M_{23}& =\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right|=-1,\\ M_{31}& =\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 3\end{array}\right|=6,& M_{32}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right|=3,& M_{33}& =\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 2\end{array}\right|=-2.\end{array}$$

3. Adjunta, traspuesta e inversa. Con los signos del tablero,

$$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}7& -4& -2\\ -4& 2& 1\\ 6& -3& -2\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{-1}\mathrm{Adj}(A{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}-7& 4& -6\\ 4& -2& 3\\ 2& -1& 2\end{array}\right).$$

4. Comprobación de la primera fila de $A{A}^{-1}$: $(1,2,0)$ por las columnas da $-7+8=1$, $4-4=0$ y $-6+6=0$.

c) Como $A$ es invertible, multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda, $X=A^{-1}B$ (una matriz $3\times 2$):

$$X=\left(\begin{array}{ccc}-7& 4& -6\\ 4& -2& 3\\ 2& -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& -1\\ 2& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-7+20-12& -14-4+18\\ 4-10+6& 8+2-9\\ 2-5+4& 4+1-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

Comprobación de la primera fila de $AX$: $(1,2,0)$ por las columnas de $X$ da $1$ y $2$, la primera fila de $B$.

d) Para los dos valores $|A|=0$, así que el rango es menor que 3.

1. $m=1$: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 1& 3\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$ y $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=-3\ne 0$: $\mathrm{rg}(A)=2$.

2. $m=3$: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 3& 3\\ 0& -1& 3\end{array}\right)$ y $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|=-1\ne 0$: $\mathrm{rg}(A)=2$.

Para el examen: en a) se puntúa el determinante, las raíces y la frase que relaciona inversa y determinante. En b) escribe «como $|A|=-1\ne 0$, existe $A^{-1}$» antes de calcularla, y no olvides que al dividir entre $-1$ cambian todos los signos. En c) el orden del producto es parte de la nota: $B{A}^{-1}$ ni siquiera se puede calcular ($3\times 2$ por $3\times 3$).

a) Por Sarrus:

$$|A|=(m^2+0+0)-(0+6+m)=m^2-m-6.$$

Las raíces de $m^2-m-6$ son $m=\frac{1\pm \sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm 5}{2}$, es decir, $3$ y $-2$. Así $|A|=(m-3)(m+2)$.

b) $A$ no tiene inversa si y solo si $|A|=0$: para $m=3$ y $m=-2$. Comprobación con $m=3$: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 3& 2\\ 0& 3& 3\end{array}\right)$, y $F_2-F_1=(0,2,2)$ es proporcional a $F_3$.

Primero el determinante, por Sarrus:

$$\left|\begin{array}{ccc}x& 2& 1\\ 2& x& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=(x^2+2+2)-(x+x+4)=x^2-2x.$$

a) $x^2-2x=x(x-2)=0⟺x=0$ o $x=2$. Para $x=2$ las dos primeras filas son iguales.

b) $x^2-2x=3⟺x^2-2x-3=0⟺(x-3)(x+1)=0⟺x=3$ o $x=-1$. Comprobación: $9-6=3$ y $1+2=3$.

Por Sarrus, $|A|=(1+k^3+0)-(0+0+0)=1+k^3$.

a) $1+k^3=0⟺k^3=-1⟺k=-1$ (la única raíz cúbica real de $-1$). Factorizando, $1+k^3=(k+1)(k^2-k+1)$, y el segundo factor no tiene raíces reales (discriminante $1-4<0$). $A$ no tiene inversa solo para $k=-1$.

b) Para $k=1$, $|A|=2$ y $|A^{-1}|=\frac{1}{2}$.

c) En orden 3, $|\mathrm{Adj}(A)|=|A{|}^2=4$.

a) $x$ solo aparece en la primera fila. Desarrollando por ella, $D(x)=1\cdot A_{11}+x\cdot A_{12}+x^2\cdot A_{13}+x^3\cdot A_{14}$, donde los adjuntos son números (no contienen $x$). El coeficiente de $x^3$ es

$$A_{14}=-\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& 9\end{array}\right|=-[(18+4+3)-(2+12+9)]=-2\ne 0,$$

así que $D(x)$ es un polinomio de grado 3.

b) Para $x=1$, la primera fila es $(1,1,1,1)$, igual a la segunda; para $x=2$ es $(1,2,4,8)$, igual a la tercera; para $x=3$, igual a la cuarta. Un determinante con dos filas iguales vale $0$, así que $x=1$, $x=2$ y $x=3$ son soluciones. Como $D$ tiene grado 3, no puede tener más de 3 raíces: las soluciones son exactamente $1$, $2$ y $3$.

c) Con $x=0$ la primera fila es $(1,0,0,0)$, y desarrollando por ella:

$$D(0)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 4& 8\\ 3& 9& 27\end{array}\right|=2\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& 9\end{array}\right|=6\cdot 2=12,$$

sacando factor común $2$ de la segunda fila y $3$ de la tercera (el último determinante ya se calculó en a).

d) Un polinomio de grado 3 con raíces $1$, $2$ y $3$ es $D(x)=c(x-1)(x-2)(x-3)$ para algún número $c$. Con $x=0$: $D(0)=c\cdot (-1)(-2)(-3)=-6c=12$, luego $c=-2$:

$$D(x)=-2(x-1)(x-2)(x-3).$$

Coincide con a): el coeficiente de $x^3$ es $-2$.

a) 1. Hacer ceros con $F_2\to F_2-F_1$ y $F_3\to F_3-F_1$:

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& m-1& m-1\\ 0& m-1& m^2-1\end{array}\right|.$$

2. Sacar factor común $m-1$ de la fila 2 y de la fila 3 (recuerda que $m^2-1=(m-1)(m+1)$):

$$|A|=(m-1{)}^2\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& m+1\end{array}\right|=(m-1{)}^2[(m+1)-1]=m(m-1{)}^2.$$

b) 1. Caso general. Si $m\ne 0$ y $m\ne 1$, $|A|\ne 0$ y $\mathrm{rg}(A)=3$.

2. $m=0$: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$, con $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1\ne 0$: $\mathrm{rg}(A)=2$.

3. $m=1$: todos los elementos valen $1$; las tres filas son iguales y no nulas: $\mathrm{rg}(A)=1$.

Resumen: $\mathrm{rg}(A)=3$ si $m\notin \{0,1\}$, $\mathrm{rg}(A)=2$ si $m=0$ y $\mathrm{rg}(A)=1$ si $m=1$. Fíjate en que el factor doble $(m-1{)}^2$ anuncia que el rango puede bajar más de una unidad, aunque eso hay que comprobarlo siempre en la matriz.

Por Sarrus, $|K|=(m^2+0+0)-(0-3+4m)=m^2-4m+3=(m-1)(m-3)$.

a) $K$ no tiene inversa si y solo si $|K|=0$: para $m=1$ y $m=3$.

b) 1. $|K|=1⟺m^2-4m+2=0⟺m=2\pm \sqrt{2}$, que no son enteros.

2. $|K|=-1⟺m^2-4m+4=0⟺(m-2{)}^2=0⟺m=2$.

El único valor entero es $m=2$.

c) Con $m=2$, $K=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 4& 2& 1\\ 0& -3& 2\end{array}\right)$ y $|K|=-1$.

1. Menores: $M_{11}=7$, $M_{12}=8$, $M_{13}=-12$, $M_{21}=2$, $M_{22}=2$, $M_{23}=-3$, $M_{31}=1$, $M_{32}=1$, $M_{33}=-2$.

2. Con los signos del tablero, $\mathrm{Adj}(K)=\left(\begin{array}{ccc}7& -8& -12\\ -2& 2& 3\\ 1& -1& -2\end{array}\right)$.

3. Trasponiendo y dividiendo entre $-1$:

$$K^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-7& 2& -1\\ 8& -2& 1\\ 12& -3& 2\end{array}\right)$$

Comprobación de la primera fila de $K{K}^{-1}$: $(1,1,0)$ por las columnas da $-7+8=1$, $2-2=0$ y $-1+1=0$. Los elementos son enteros, como se esperaba.

a) Por Sarrus:

$$|A|=(2m-2+0)-(m-3+0)=m+1.$$

b) Si $|A|\ne 0$, $|2A^{-1}|=2^3|A^{-1}|=\frac{8}{m+1}$. Imponemos $\frac{8}{m+1}=2$, es decir, $m+1=4$ y $m=3$ (para el que, efectivamente, $|A|=4\ne 0$).

c) Como $|A^t|=|A|$ y el determinante de un producto es el producto de determinantes, $|A^t{A}^2|=|A{|}^3=(m+1{)}^3$. Imponemos $(m+1{)}^3=-8$, luego $m+1=-2$ (única raíz cúbica real) y $m=-3$.

d) Con $m=3$, $|A|=4$ y, en orden 3, $|\mathrm{Adj}(A)|=|A{|}^2=16$.

a) La primera columna tiene dos elementos no nulos: $a_{11}=x$ (signo $+$) y $a_{41}=4$ (posición $(4,1)$, signo $(-1{)}^5=-1$).

1. Primer menor:

$$\left|\begin{array}{ccc}x& -1& 0\\ 0& x& -1\\ 0& -5& x\end{array}\right|=x\left|\begin{array}{cc}x& -1\\ -5& x\end{array}\right|=x(x^2-5)=x^3-5x.$$

2. Segundo menor (tachando fila 4 y columna 1), triangular inferior:

$$\left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ x& -1& 0\\ 0& x& -1\end{array}\right|=(-1{)}^3=-1.$$

3. Desarrollo:

$$D(x)=x(x^3-5x)-4\cdot (-1)=x^4-5x^2+4.$$

Comprobación: con $x=0$, $D(0)=4$; y el determinante con $x=0$, desarrollado por la primera columna, solo tiene el término $-4\cdot (-1)=4$.

b) Es una ecuación bicuadrada. Con $t=x^2$: $t^2-5t+4=0⟺t=1$ o $t=4$. Volviendo a $x$: $x^2=1$ da $x=\pm 1$ y $x^2=4$ da $x=\pm 2$. Las soluciones son $x\in \{-2,-1,1,2\}$, y $D(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$.

c) 1. Para esos valores $|A(x)|=0$, así que $\mathrm{rg}(A(x))\le 3$.

2. El menor de las filas 1, 2, 3 y las columnas 2, 3, 4 es

$$\left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ x& -1& 0\\ 0& x& -1\end{array}\right|=-1\ne 0$$

para cualquier $x$, porque es triangular con $-1$ en la diagonal. Luego $\mathrm{rg}(A(x))\ge 3$.

3. Para las cuatro soluciones, $\mathrm{rg}(A(x))=3$. No hace falta sustituir cada valor: el menor no depende de $x$.

d) $x^4-5x^2+4=4⟺x^4-5x^2=0⟺x^2(x^2-5)=0$, que da $x=0$ o $x=\pm \sqrt{5}$. (Sacando factor común $x^2$, no dividiendo: dividir entre $x^2$ perdería $x=0$.)

Para el examen: en un determinante de orden 4 lo que se puntúa es elegir la línea con más ceros y poner bien los signos de los adjuntos; el $-1$ de la posición $(4,1)$ es el que suele fallar. Cuando hay un menor sin parámetro, úsalo: justifica el rango para todos los valores a la vez.

a) 1. Una resta que saca factor. $F_1\to F_1-F_2$ no cambia el determinante y deja la primera fila como $(a-1,1-a,0)=(a-1)(1,-1,0)$:

$$|A|=(a-1)\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& a& 1\\ 1& 1& b\end{array}\right|.$$

2. El determinante que queda, desarrollado por la primera fila:

$$1\cdot (ab-1)-(-1)\cdot (b-1)+0=ab-1+b-1=ab+b-2.$$

3. Por tanto

$$|A|=(a-1)(ab+b-2)=(a-1)[(a+1)b-2].$$

b) $A$ no tiene inversa si $|A|=0$. Para que eso pase para todo $b$, el factor que no depende de $b$ debe anularse: $a=1$. (El otro factor, $(a+1)b-2$, no se anula para todo $b$ con ningún valor de $a$: con $b=0$ vale $-2$.) Con $a=1$, en efecto, las dos primeras filas son iguales.

c) Hace falta que ningún factor se anule, sea cual sea $b$:

1. $a-1\ne 0$, es decir, $a\ne 1$.

2. $(a+1)b-2\ne 0$ para todo $b$. Si $a+1\ne 0$, el valor $b=\frac{2}{a+1}$ lo anula, así que no sirve. Si $a+1=0$, el factor vale $0\cdot b-2=-2\ne 0$ para todo $b$.

El único valor es $a=-1$, y entonces $|A|=(-2)(-2)=4$ para cualquier $b$.

d) 1. Existencia. Con $a=0$ y $b=1$, $|A|=(0-1)(0+1-2)=1\ne 0$, y $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$.

2. Despeje. Multiplicando $XA=B$ por $A^{-1}$ por la derecha: $X=B{A}^{-1}$, de dimensión $2\times 3$.

3. Inversa. Los menores son $M_{11}=-1$, $M_{12}=0$, $M_{13}=1$, $M_{21}=0$, $M_{22}=-1$, $M_{23}=-1$, $M_{31}=1$, $M_{32}=-1$, $M_{33}=-1$. Con los signos,

$$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right),$$

que es simétrica, y $A^{-1}=\frac{1}{1}\mathrm{Adj}(A{)}^t=\mathrm{Adj}(A)$.

4. Producto.

$$X=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2+3& -1+3& 2+1-3\\ 0& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right).$$

5. Comprobación de la primera fila de $XA$: $(1,2,0)$ por las columnas de $A$ da $2$, $1$ y $3$, la primera fila de $B$.

Para el examen: con dos parámetros, «para todo $b$» y «para algún $b$» son preguntas distintas. Analiza cada factor por separado: uno que depende solo de $a$ y otro que depende de los dos. El caso $a=-1$, en el que $b$ desaparece del factor, es el que se busca en el apartado c).

a) Por Sarrus:

$$|A|=(0+1+m^2)-(0+1+m)=m^2-m=m(m-1).$$

$A$ tiene inversa si y solo si $|A|\ne 0$. No la tiene para $m=0$ y $m=1$; la tiene para cualquier otro valor.

b) 1. Para $m=2$, $|A|=2\cdot 1=2\ne 0$ y $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$.

2. Menores: $M_{11}=-1$, $M_{12}=1$, $M_{13}=2$, $M_{21}=-1$, $M_{22}=-1$, $M_{23}=0$, $M_{31}=1$, $M_{32}=-3$, $M_{33}=-2$.

3. Con los signos del tablero y trasponiendo:

$$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 2\\ 1& -1& 0\\ 1& 3& -2\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ -1& -1& 3\\ 2& 0& -2\end{array}\right).$$

4. Comprobación de la primera fila de $A{A}^{-1}$: $(1,1,2)$ por las columnas de $\mathrm{Adj}(A{)}^t$ da $-1-1+4=2$, $1-1+0=0$ y $1+3-4=0$; dividido entre $2$, $(1,0,0)$.

c) $A-I=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& m\\ m& -1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$ y, por Sarrus,

$$|A-I|=(0+1+m^2)-(-m+0+0)=m^2+m+1.$$

La ecuación $m^2+m+1=0$ tiene discriminante $1-4=-3<0$: no tiene soluciones reales. Así $|A-I|\ne 0$ para todo $m$ y $A-I$ siempre tiene inversa (de hecho $m^2+m+1>0$, porque la parábola se abre hacia arriba y no corta el eje).

d) 1. Despeje. $AX-X=B$ y, escribiendo $X=IX$, $(A-I)X=B$. Por c), $A-I$ es invertible, y $X=(A-I{)}^{-1}B$.

2. La inversa. Para $m=0$, $C=A-I=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$, con $|C|=1$. Sus menores son $M_{11}=-1$, $M_{12}=-1$, $M_{13}=1$, $M_{21}=0$, $M_{22}=0$, $M_{23}=-1$, $M_{31}=1$, $M_{32}=0$, $M_{33}=0$, y

$$\mathrm{Adj}(C)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right),C^{-1}=\mathrm{Adj}(C{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right).$$

3. Producto.

$$X=C^{-1}B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -2& -2\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2+3& -1+1\\ 2& 1\\ 2-2& 1-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\\ 0& -1\end{array}\right).$$

4. Comprobación con la primera fila: para $m=0$, $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$ y la primera fila de $AX$ es $(1+2,0+1)=(3,1)$; la de $X+B$ es $(1+2,0+1)=(3,1)$.

Observa que para $m=0$ la propia $A$ no tiene inversa (por a)), pero la ecuación tiene solución única porque la matriz que hay que invertir es $A-I$, no $A$.

Para el examen: en d) se valora sacar bien el factor común, $(A-I)X$ y no $(A-1)X$, y justificar que $A-I$ es invertible antes de usar su inversa: el apartado c) está puesto para eso. Si intentas despejar con $A^{-1}$, que no existe para $m=0$, el apartado no puntúa.