Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Julio 2018

a) Las matrices de coeficientes y ampliada son

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& a-1& 1\\ 1& a& a-1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& a-1& 1& 0\\ 1& a& a-1& a\end{array}\right).$$

1. Calculamos $|A|$ desarrollando por la primera fila:

$$|A|=1\cdot [(a-1{)}^2-a]-1\cdot [0\cdot (a-1)-1\cdot 1]=a^2-3a+1+1=a^2-3a+2=(a-1)(a-2).$$

2. Si $a\ne 1$ y $a\ne 2$: $|A|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3$ y el sistema es compatible determinado.
3. Si $a=1$: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$. La tercera fila es igual a la primera (también en la ampliada, pues el término independiente es $1$ en ambas), y las dos primeras filas son independientes. Entonces $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2<3$: compatible indeterminado.
4. Si $a=2$: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$ tiene $\mathrm{rg}A=2$ (su determinante es $0$ y el menor de las dos primeras filas y columnas vale $1$). En la ampliada, el menor formado por las columnas 1, 2 y 4 es

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right|=1\cdot (2-0)-1\cdot (0-0)+1\cdot (0-1)=1\ne 0,$$

luego $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3\ne \mathrm{rg}A$ y el sistema es incompatible.

Resultado: el sistema es compatible si y solo si $a\ne 2$.

b) Con $a=1$ el sistema es

$$\{\begin{array}{rl}x+y& =1\\ z& =0\\ x+y& =1\end{array}$$

1. La primera y la tercera ecuación coinciden, y la segunda da $z=0$.
2. Tomando $y=\lambda$ como parámetro: $x=1-\lambda$.

Resultado: $(x,y,z)=(1-\lambda ,\lambda ,0)$, $\lambda \in \mathbb{R}$ (infinitas soluciones).

c) Con $a=0$ el sistema es

$$\{\begin{array}{rl}x+y& =1\\ -y+z& =0\\ x-z& =0\end{array}$$

1. De la segunda, $z=y$; de la tercera, $x=z=y$.
2. En la primera: $2y=1\Rightarrow y=\frac{1}{2}$.
3. Comprobación: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$; $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$; $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$.

Resultado: $x=y=z=\frac{1}{2}$

Resultado: a) compatible si y solo si $a\ne 2$; b) $(1-\lambda ,\lambda ,0)$, $\lambda \in \mathbb{R}$; c) $x=y=z=\frac{1}{2}$

Datos previos: el plano $\pi$ tiene vector normal $\vec{n}=(1,-1,1)$. La recta $s$ pasa por el origen y, escribiéndola como $x=2y$, $z=0$, tiene vector director ${\vec{d}}_s=(2,1,0)$ (en forma paramétrica, $s:(2t,t,0)$).

a) 1. Un punto genérico de $s$ es $Q=(2t,t,0)$. La recta buscada pasa por $A$ y por algún $Q$ de $s$, luego su vector director es

$$\overrightarrow{AQ}=(2t-1,t-1,-1).$$

2. Para que sea paralela a $\pi$, su director debe ser perpendicular a $\vec{n}$:

$$(2t-1,t-1,-1)\cdot (1,-1,1)=2t-1-t+1-1=t-1=0\Rightarrow t=1.$$

3. Entonces $Q=(2,1,0)$ y $\overrightarrow{AQ}=(1,0,-1)$.
4. Comprobación: $A\notin \pi$, porque $1-1+1-3=-2\ne 0$ (la recta no está contenida en $\pi$, solo es paralela), y $(1,0,-1)\cdot (1,-1,1)=0$.

Resultado: $(x,y,z)=(1+\lambda ,1,1-\lambda )$, $\lambda \in \mathbb{R}$

b) 1. El plano buscado contiene la dirección de $\vec{n}$ (por ser perpendicular a $\pi$) y la de ${\vec{d}}_s$ (por ser paralelo a $s$), así que su vector normal es

$${\vec{n}}^{\prime }=\vec{n}\times {\vec{d}}_s=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\right|=(-1,2,3).$$

2. Ecuación: $-x+2y+3z+D=0$. Como pasa por $A(1,1,1)$: $-1+2+3+D=0\Rightarrow D=-4$.

Resultado: $-x+2y+3z=4$ (equivalentemente, $x-2y-3z+4=0$)

c) 1. La recta paralela a $s$ que pasa por $(5,3,1)$ es

$$(x,y,z)=(5+2\mu ,3+\mu ,1).$$

2. Para que contenga a $(3,2,1)$: $5+2\mu =3\Rightarrow \mu =-1$; $3+\mu =2\Rightarrow \mu =-1$; $z=1$ se cumple. Los valores de $\mu$ coinciden.

Resultado: sí, el punto $(3,2,1)$ pertenece a esa recta (para $\mu =-1$).

Resultado: a) $(x,y,z)=(1+\lambda ,1,1-\lambda )$; b) $-x+2y+3z=4$; c) sí, el punto $(3,2,1)$ está en la recta

a) Sustituimos $x=1$ y usamos $\cos \pi =-1$:

$$f(1)=a+b+c\cdot 1\cdot \cos \pi =a+b-c=22.$$

Resultado: $a+b-c=22$

b) La recta tangente en $x=1$ es horizontal si $f^{\prime }(1)=0$.

1. Derivamos (producto en el último sumando):

$$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c\cos (\pi x)-c\pi x\sin (\pi x).$$

2. Evaluamos en $x=1$, con $\cos \pi =-1$ y $\sin \pi =0$:

$$f^{\prime }(1)=3a+2b-c-c\pi \cdot 0=3a+2b-c.$$

3. Imponemos $f^{\prime }(1)=0$.

Resultado: $3a+2b-c=0$

c) Integramos por partes con $u=x$, $dv=\cos (\pi x)dx$, de modo que $du=dx$ y $v=\frac{\sin (\pi x)}{\pi }$:

$$\int x\cos (\pi x)dx=\frac{x\sin (\pi x)}{\pi }-\int \frac{\sin (\pi x)}{\pi }dx=\frac{x\sin (\pi x)}{\pi }+\frac{\cos (\pi x)}{{\pi }^2}+C.$$

Aplicamos la regla de Barrow:

$${\int }_0^{1}x\cos (\pi x)dx={\left[\frac{x\sin (\pi x)}{\pi }+\frac{\cos (\pi x)}{{\pi }^2}\right]}_0^1=\left(0+\frac{-1}{{\pi }^2}\right)-\left(0+\frac{1}{{\pi }^2}\right)=-\frac{2}{{\pi }^2}\approx -0,203.$$

Resultado: $-\frac{2}{{\pi }^2}\approx -0,203$

Resultado: a) $a+b-c=22$; b) $3a+2b-c=0$; c) $-\frac{2}{{\pi }^2}\approx -0,203$

a) Usamos la propiedad asociativa del producto de matrices.

1. Sustituimos $A=AB$ en uno de los factores de $A^2$:

$$A^2=A\cdot A=(AB)A=A(BA).$$

2. Como $BA=B$, queda $A(BA)=AB$, y como $AB=A$:

$$A^2=AB=A.$$

3. Análogamente, intercambiando los papeles de $A$ y $B$:

$$B^2=B\cdot B=(BA)B=B(AB)=BA=B.$$

Resultado: $A^2=A$ y $B^2=B$ (queda demostrado).

b) 1. Calculamos $B^2$:

$$B^2=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 1& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 1& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& 0\\ a+b& b^2\end{array}\right).$$

2. $B^2=B$ exige $a^2=a$, $b^2=b$ y $a+b=1$. De las dos primeras, $a,b\in \{0,1\}$; con $a+b=1$ quedan $(a,b)=(1,0)$ o $(a,b)=(0,1)$.
3. Calculamos los productos con $A$:

$$AB=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 1& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 0\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 1& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 1& 0\end{array}\right).$$

4. $AB\ne A$ exige $a\ne 1$, luego $a=0$ y $b=1$. Comprobamos: $AB=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\ne A$ y $BA=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\ne B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$.

Resultado: $a=0$, $b=1$

c) Llamamos $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}x& 1& 0\\ y& 2& 1\\ z& 3& 2\end{array}\right|=3$.

1. En el primer determinante, la primera columna está multiplicada por $2$. Al multiplicar una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese número:

$$\left|\begin{array}{ccc}2x& 1& 0\\ 2y& 2& 1\\ 2z& 3& 2\end{array}\right|=2\Delta =6.$$

2. En el segundo, la primera columna es suma de dos columnas: $(x,y,z{)}^T+(1,3,5{)}^T$. Por la linealidad del determinante respecto de una columna:

$$\left|\begin{array}{ccc}x+1& 1& 0\\ y+3& 2& 1\\ z+5& 3& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}x& 1& 0\\ y& 2& 1\\ z& 3& 2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 3& 2& 1\\ 5& 3& 2\end{array}\right|.$$

3. En el último determinante, la primera columna es la suma de las otras dos: $(1,2,3)+(0,1,2)=(1,3,5)$. Tiene columnas linealmente dependientes, luego vale $0$.
4. Por tanto, el segundo determinante vale $3+0=3$.

Resultado: el primero vale $6$ y el segundo vale $3$.

Resultado: a) $A^2=AB=A$ y $B^2=BA=B$; b) $a=0$, $b=1$; c) $6$ y $3$

a) 1. Tomamos $x=\lambda$ como parámetro. De la primera ecuación, $y=3-\lambda$. 2. De la segunda, $z=x+4y-8=\lambda +4(3-\lambda )-8=4-3\lambda$.

$$r:\{\begin{array}{rl}x& =\lambda \\ y& =3-\lambda \\ z& =4-3\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}.$$

3. Punto $P_r=(0,3,4)$ y vector director $\vec{d}=(1,-1,-3)$.

Resultado: $(x,y,z)=(\lambda ,3-\lambda ,4-3\lambda )$, $\lambda \in \mathbb{R}$

b) 1. El plano contiene a los puntos $(5,0,1)$ y $(4,1,0)$, luego contiene el vector $\vec{u}=(4,1,0)-(5,0,1)=(-1,1,-1)$. Al ser paralelo a $r$, contiene también la dirección $\vec{d}=(1,-1,-3)$. 2. Vector normal:

$$\vec{n}=\vec{u}\times \vec{d}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 1& -1\\ 1& -1& -3\end{array}\right|=(-3-1,-1-3,1-1)=(-4,-4,0).$$

Tomamos el vector proporcional $(1,1,0)$.

3. Plano: $x+y+D=0$. Pasa por $(5,0,1)$: $5+D=0\Rightarrow D=-5$.
4. Comprobación con el otro punto: $4+1=5$.

Resultado: $\pi :x+y=5$

c) 1. La recta es paralela al plano: $\vec{d}\cdot \vec{n}=(1,-1,-3)\cdot (1,1,0)=0$, y el punto $P_r=(0,3,4)$ no está en $\pi$ ($0+3=3\ne 5$). Por tanto la distancia entre la recta y el plano es la distancia de cualquiera de sus puntos al plano. 2. Distancia de $P_r$ a $\pi$:

$$d(r,\pi )=d(P_r,\pi )=\frac{|0+3-5|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx 1,41\text{ u}.$$

Resultado: $d(r,\pi )=\sqrt{2}\approx 1,41$ u

Resultado: a) $(x,y,z)=(\lambda ,3-\lambda ,4-3\lambda )$; b) $x+y=5$; c) $\sqrt{2}\approx 1,41$ u

a) 1. Si la base de $R$ es $x$ y su área es $600$, su altura es $\frac{600}{x}$. 2. La cartulina tiene de ancho $x+2+2=x+4$ y de alto $\frac{600}{x}+3+3=\frac{600}{x}+6$. 3. Su área, en función de $x$ (con $x>0$), es

$$S(x)=(x+4)\left(\frac{600}{x}+6\right)=600+6x+\frac{2400}{x}+24=624+6x+\frac{2400}{x}=624+6\left(x+\frac{400}{x}\right).$$

Resultado: $S(x)=624+6x+\frac{2400}{x}=624+6\left(x+\frac{400}{x}\right)$, $x>0$

b) 1. Derivamos: $S^{\prime }(x)=6-\frac{2400}{x^2}$. 2. $S^{\prime }(x)=0⟺x^2=400⟺x=20$ (descartamos $x=-20$ porque $x>0$). 3. Segunda derivada: $S^{\prime \prime }(x)=\frac{4800}{x^3}$, que es positiva en $x=20$ ($S^{\prime \prime }(20)=0,6>0$): es un mínimo. (También: $S^{\prime }<0$ para $0<x<20$ y $S^{\prime }>0$ para $x>20$.)

Resultado: $x=20$ cm

c) 1. Con $x=20$: ancho $=x+4=24$ cm. 2. Alto $=\frac{600}{20}+6=36$ cm. 3. Comprobación: $S(20)=624+120+120=864=24\cdot 36$ cm${}^2$.

Resultado: la cartulina mide $24$ cm de ancho por $36$ cm de alto (área $864$ cm${}^2$).

Resultado: a) $S(x)=624+6x+\frac{2400}{x}$; b) $x=20$ cm; c) $24\times 36$ cm