Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Junio 2019

a) Calculamos $|A|$ desarrollando por la primera fila:

1. $|A|=1[(a+1)a-2(a-1)]+a[(-2)(a-1)-(a+1)(-3)]$.
2. $|A|=(a^2-a+2)+a(-2a+2+3a+3)=a^2-a+2+a^2+5a=2a^2+4a+2=2(a+1{)}^2.$
3. $|A|=0⟺a=-1$.
4. Si $a\ne -1$: $|A|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=3$.
5. Si $a=-1$: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -2& 0& 2\\ -3& -2& -1\end{array}\right)$. Como $|A|=0$, $\mathrm{rg}A\le 2$, y el menor $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -3& -1\end{array}\right|=-4\ne 0$ (filas 1 y 3, columnas 1 y 3), así que $\mathrm{rg}A=2$.
6. Para $a=1$: $|A|=2\cdot 2^2=8$. Como $2A^{-1}$ es de orden 3, $|2A^{-1}|=2^3|A^{-1}|=\frac{8}{|A|}=\frac{8}{8}=1$.

Resultado: $\mathrm{rg}A=3$ si $a\ne -1$ y $\mathrm{rg}A=2$ si $a=-1$; $|2A^{-1}|=1$ cuando $a=1$.

b) Con $a=-1$ el sistema es

$$\{\begin{array}{rl}x-z& =-1\\ -2x+2z& =2\\ -3x-2y-z& =0\end{array}$$

1. La segunda ecuación es $-2$ veces la primera: $-2(x-z)=-2\cdot (-1)=2$. Es redundante, así que el sistema es compatible con $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2<3$ (compatible indeterminado, un parámetro).
2. Tomamos $x=\lambda$. De la primera: $z=x+1=\lambda +1$.
3. De la tercera: $-3\lambda -2y-(\lambda +1)=0\Rightarrow 2y=-4\lambda -1\Rightarrow y=-2\lambda -\frac{1}{2}$.
4. Comprobación en la segunda ecuación: $-2\lambda +2(\lambda +1)=2$.

Resultado: $(x,y,z)=\left(\lambda ,-2\lambda -\frac{1}{2},\lambda +1\right)$, $\lambda \in \mathbb{R}$.

c) De $B^2=\frac{1}{3}I-2B$ pasamos todo al primer miembro y sacamos factor común $B$:

1. $B^2+2B=\frac{1}{3}I\Rightarrow B(B+2I)=\frac{1}{3}I$.
2. Multiplicamos por $3$: $B(3B+6I)=I$.
3. Existe una matriz que multiplicada por $B$ da la identidad, luego $B$ es invertible y $B^{-1}=3B+6I$.
4. Comparando con $B^{-1}=mB+nI$: $m=3$ y $n=6$.

Resultado: $B$ es invertible con $B^{-1}=3B+6I$, es decir, $m=3$ y $n=6$.

Resultado: a) $\mathrm{rg}A=3$ si $a\ne -1$, $\mathrm{rg}A=2$ si $a=-1$; $|2A^{-1}|=1$; b) $(x,y,z)=\left(\lambda ,-2\lambda -\frac{1}{2},\lambda +1\right)$, $\lambda \in \mathbb{R}$; c) $m=3$, $n=6$

a) Pasamos las dos rectas a forma paramétrica.

1. Recta $r$: tomando $x=t$, $y=t+3$ y $z=2t+3$. Pasa por $P_r=(0,3,3)$ con vector director ${\vec{d}}_r=(1,1,2)$.
2. Recta $s$: tomando $x=\mu$, $y=\mu -1$ y $z=2\mu +2$. Pasa por $P_s=(0,-1,2)$ con vector director ${\vec{d}}_s=(1,1,2)$.
3. Los vectores directores coinciden, así que las rectas son paralelas. No son la misma recta: $P_s\notin r$, porque $x-y+3=0+1+3=4\ne 0$. Por ser paralelas y distintas, determinan un único plano.
4. Vectores del plano: $\vec{d}=(1,1,2)$ y $\overrightarrow{P_r{P}_s}=(0,-4,-1)$.
5. Vector normal:

$$\vec{n}=\vec{d}\times \overrightarrow{P_r{P}_s}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 2\\ 0& -4& -1\end{array}\right|=(-1+8,-(-1-0),-4-0)=(7,1,-4).$$

6. El plano es $7x+y-4z+D=0$. Pasa por $P_r=(0,3,3)$: $3-12+D=0\Rightarrow D=9$.
7. Comprobación con $P_s$: $0-1-8+9=0$.

Resultado: $7x+y-4z+9=0$

b) El punto $P=(0,-1,2)$ es el punto $P_s$ de la recta $s$; no está en $r$. Buscamos el punto $Q$ de $r$ tal que $\overrightarrow{PQ}\perp r$, y la recta pedida es la que pasa por $P$ y $Q$.

1. Punto genérico de $r$: $Q=(t,t+3,2t+3)$. Entonces $\overrightarrow{PQ}=(t,t+4,2t+1)$.
2. Perpendicularidad con ${\vec{d}}_r=(1,1,2)$:

$$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{d}}_r=t+(t+4)+2(2t+1)=6t+6=0\Rightarrow t=-1.$$

3. $Q=(-1,2,1)$ y $\overrightarrow{PQ}=(-1,3,-1)$.
4. La recta pasa por $P$ con vector director $(-1,3,-1)$, equivalente a $(1,-3,1)$:

$$\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{1}.$$

5. Comprobación: $Q$ cumple $\frac{-1}{1}=\frac{2+1}{-3}=\frac{1-2}{1}=-1$.

Resultado: $x=\frac{y+1}{-3}=z-2$ (corta a $r$ en $Q=(-1,2,1)$).

c) La recta $s$ está contenida en $\pi$ si todos sus puntos cumplen la ecuación del plano.

1. Sustituimos $(\mu ,\mu -1,2\mu +2)$ en $x-2y+az=b$:

$$\mu -2(\mu -1)+a(2\mu +2)=b⟺(2a-1)\mu +(2+2a)=b.$$

2. Debe cumplirse para todo $\mu$, luego el coeficiente de $\mu$ es nulo y el término independiente vale $b$: $2a-1=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}$.
3. Entonces $b=2+2a=2+1=3$.

Resultado: $a=\frac{1}{2}$ y $b=3$

Resultado: a) $7x+y-4z+9=0$; b) $x=\frac{y+1}{-3}=z-2$; c) $a=\frac{1}{2}$, $b=3$

a) La función está definida y es continua en todo $\mathbb{R}$, luego no tiene asíntotas verticales.

1. Asíntotas horizontales: $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^{x^2}}=0$, porque $e^{x^2}$ crece mucho más deprisa que $x$. Lo mismo ocurre en $-\infty$. Así, $y=0$ es asíntota horizontal en $+\infty$ y en $-\infty$, y no hay asíntotas oblicuas.
2. Derivada:

$$f^{\prime }(x)=e^{-x^2}+x(-2x)e^{-x^2}=e^{-x^2}(1-2x^2).$$

3. Como $e^{-x^2}>0$, $f^{\prime }(x)=0⟺1-2x^2=0⟺x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
4. Signo de $f^{\prime }$ (el de $1-2x^2$):
   • si $x<-\frac{1}{\sqrt{2}}$: $f^{\prime }<0$, $f$ decrece;
   • si $-\frac{1}{\sqrt{2}}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}$: $f^{\prime }>0$, $f$ crece;
   • si $x>\frac{1}{\sqrt{2}}$: $f^{\prime }<0$, $f$ decrece.
5. Hay un mínimo relativo en $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ y un máximo relativo en $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$, con $f\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-1/2}=\pm \frac{1}{\sqrt{2e}}\approx \pm 0,429$.

Resultado: asíntota horizontal $y=0$; crece en $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ y decrece en $\left(-\infty ,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup \left(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty \right)$; mínimo relativo en $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)$ y máximo relativo en $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)$.

b) Reunimos los datos para la gráfica:

• $f(-x)=-f(x)$: la función es impar, con gráfica simétrica respecto del origen.
• Único corte con los ejes: $(0,0)$, pues $f(x)=0⟺x=0$. Signo: $f>0$ si $x>0$ y $f<0$ si $x<0$.
• Segunda derivada: $f^{\prime \prime }(x)=2x{e}^{-x^2}(2x^2-3)$, que se anula en $x=0$ y $x=\pm \sqrt{3/2}\approx \pm 1,22$ (puntos de inflexión, con $f(\pm \sqrt{3/2})\approx \pm 0,273$).
• Asíntota horizontal $y=0$ en ambos extremos.

La curva sale de $(0,0)$ creciendo hasta el máximo $(0,71;0,43)$, después decrece (con inflexión en $x\approx 1,22$) acercándose a $y=0$ por encima. La rama izquierda es la simétrica respecto del origen: baja hasta el mínimo $(-0,71;-0,43)$ y se acerca a $y=0$ por debajo cuando $x\to -\infty$.

Resultado: gráfica impar que pasa por el origen, con máximo en $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)$, mínimo en $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)$ y asíntota horizontal $y=0$.

c) Para aplicar el teorema de Rolle en $[0,1]$ a $g(x)=x{e}^{-x^2}+ax$ hacen falta tres condiciones:

1. $g$ es continua en $[0,1]$ y derivable en $(0,1)$ para cualquier $a$ (suma de funciones derivables).
2. Debe cumplirse $g(0)=g(1)$. Como $g(0)=0$ y $g(1)=e^{-1}+a$:

$$e^{-1}+a=0\Rightarrow a=-\frac{1}{e}.$$

Resultado: $a=-\frac{1}{e}$

d) Primera integral, con el cambio $u=-x^2$, $du=-2xdx$:

$$\int x{e}^{-x^2}dx=-\frac{1}{2}\int e^{u}du=-\frac{1}{2}{e}^{-x^2}+C.$$

Segunda integral, por partes con $u=x$ y $dv=e^{-x}dx$ (luego $du=dx$ y $v=-e^{-x}$):

$$\int x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}+\int e^{-x}dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}+C=-(x+1)e^{-x}+C.$$

Comprobación: $(-(x+1)e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}+(x+1)e^{-x}=x{e}^{-x}$.

Resultado: $\int f(x)dx=-\frac{1}{2}{e}^{-x^2}+C$; $\int x{e}^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}+C$

Resultado: a) asíntota horizontal $y=0$; crece en $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ y decrece fuera; mínimo en $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ y máximo en $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$; b) gráfica impar con esos extremos; c) $a=-\frac{1}{e}$; d) $-\frac{1}{2}{e}^{-x^2}+C$ y $-(x+1)e^{-x}+C$

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 4& 5\\ 7& 9& 11\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 3& 4& 5& 5\\ 7& 9& 11& \alpha \end{array}\right).$$

1. $|A|=1(44-45)-1(33-35)+1(27-28)=-1+2-1=0$, luego $\mathrm{rg}A\le 2$.
2. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 4\end{array}\right|=1\ne 0$, así que $\mathrm{rg}A=2$.
3. La tercera fila de $A$ es combinación de las otras dos: $F_3=F_1+2F_2$ (en efecto, $1+6=7$, $1+8=9$, $1+10=11$).
4. Para que el sistema sea compatible, la tercera ecuación debe ser la misma combinación de las dos primeras: $\alpha =4+2\cdot 5=14$. Entonces $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2$.
5. Si $\alpha \ne 14$, el menor $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 3& 4& 5\\ 7& 9& \alpha \end{array}\right|=1(4\alpha -45)-1(3\alpha -35)+4(27-28)=\alpha -14\ne 0$, luego $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3>\mathrm{rg}A$.

Por el teorema de Rouché-Frobenius: si $\alpha =14$, $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2<3$ (compatible indeterminado); si $\alpha \ne 14$, $\mathrm{rg}A=2<\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3$ (incompatible).

Resultado: compatible si $\alpha =14$; incompatible si $\alpha \ne 14$.

b) Con $\alpha =14$ la tercera ecuación es combinación de las otras dos y se elimina:

$$\{\begin{array}{rl}x+y+z& =4\\ 3x+4y+5z& =5\end{array}$$

1. A la segunda le restamos $3$ veces la primera: $y+2z=-7$.
2. Tomamos $z=\lambda$: $y=-7-2\lambda$.
3. De la primera: $x=4-y-z=4+7+2\lambda -\lambda =11+\lambda$.
4. Comprobación en la segunda: $3(11+\lambda )+4(-7-2\lambda )+5\lambda =33-28+(3-8+5)\lambda =5$.

Resultado: $(x,y,z)=(11+\lambda ,-7-2\lambda ,\lambda )$, $\lambda \in \mathbb{R}$.

c) Cambiamos el $11$ por un número $k\ne 11$. La matriz de coeficientes pasa a ser

$$A_k=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 4& 5\\ 7& 9& k\end{array}\right).$$

1. $|A_k|=1(4k-45)-1(3k-35)+1(27-28)=4k-45-3k+35-1=k-11$.
2. Como $k\ne 11$, $|A_k|\ne 0$ y $\mathrm{rg}{A}_k=3$, igual que el rango de la ampliada y que el número de incógnitas, para cualquier valor de $\alpha$.
3. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado para todo $\alpha$ (tiene solución única; también se podría hallar con la regla de Cramer).

Resultado: el nuevo sistema es compatible determinado para todo valor de $\alpha$.

Resultado: a) compatible si $\alpha =14$, incompatible si $\alpha \ne 14$; b) $(11+\lambda ,-7-2\lambda ,\lambda )$, $\lambda \in \mathbb{R}$; c) compatible determinado para todo $\alpha$

a) Un plano paralelo a $\pi$ tiene la forma $9x+12y+20z=k$. El vector normal $\vec{n}=(9,12,20)$ tiene módulo $|\vec{n}|=\sqrt{81+144+400}=\sqrt{625}=25$.

1. Tomamos el punto $P=(20,0,0)$ de $\pi$ (cumple $9\cdot 20=180$).
2. Su distancia al plano $9x+12y+20z-k=0$ es

$$d=\frac{|9\cdot 20-k|}{25}=\frac{|180-k|}{25}.$$

3. Imponemos $d=4$: $|180-k|=100\Rightarrow k=280$ o $k=80$.

Resultado: $9x+12y+20z=280$ y $9x+12y+20z=80$

b) Cortes de $\pi$ con los ejes:

1. Eje $OX$ ($y=z=0$): $9x=180\Rightarrow A=(20,0,0)$.
2. Eje $OY$ ($x=z=0$): $12y=180\Rightarrow B=(0,15,0)$.
3. Eje $OZ$ ($x=y=0$): $20z=180\Rightarrow C=(0,0,9)$.
4. Vectores: $\overrightarrow{AB}=(-20,15,0)$ y $\overrightarrow{AC}=(-20,0,9)$.
5. Producto escalar y módulos: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=400$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{400+225}=25$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{400+81}=\sqrt{481}$.
6. Coseno del ángulo:

$$\cos \theta =\frac{400}{25\sqrt{481}}=\frac{16}{\sqrt{481}}\approx 0,7295\Rightarrow \theta \approx 43,15^{\circ }(43^{\circ }{9}^{\prime }{8}^{\prime \prime })\approx 0,753\text{rad}.$$

Resultado: $A=(20,0,0)$, $B=(0,15,0)$, $C=(0,0,9)$; $\theta =\arccos \frac{16}{\sqrt{481}}\approx 43,15^{\circ }$.

c) Los vectores $\overrightarrow{OA}=(20,0,0)$, $\overrightarrow{OB}=(0,15,0)$ y $\overrightarrow{OC}=(0,0,9)$ son perpendiculares dos a dos, y el volumen del tetraedro es una sexta parte del valor absoluto de su producto mixto:

$$V=\frac{1}{6}\left|\left|\begin{array}{ccc}20& 0& 0\\ 0& 15& 0\\ 0& 0& 9\end{array}\right|\right|=\frac{20\cdot 15\cdot 9}{6}=\frac{2700}{6}=450{\text{u}}^3.$$

Resultado: $V=450$ u${}^3$

Resultado: a) $9x+12y+20z=280$ y $9x+12y+20z=80$; b) $A=(20,0,0)$, $B=(0,15,0)$, $C=(0,0,9)$, $\theta \approx 43,15^{\circ }$; c) $V=450$ u${}^3$

a) Tras $t$ horas, el móvil A ha recorrido $30t$ km sobre el eje $OY$ y el móvil B ha recorrido $40t$ km hacia el origen sobre el eje $OX$:

1. Posición de A: $(0,30t)$. Posición de B: $(250-40t,0)$.
2. Distancia entre ambos:

$$f(t)=\sqrt{(250-40t{)}^2+(30t{)}^2}=\sqrt{2500t^2-20000t+62500}=50\sqrt{t^2-8t+25}.$$

Resultado: $f(t)=\sqrt{(250-40t{)}^2+900t^2}=50\sqrt{t^2-8t+25}$ km.

b) Tiempo de desplazamiento:

1. A recorre $\frac{375}{2}=187,5$ km a $30$ km/h: $\frac{187,5}{30}=\frac{25}{4}$ h.
2. B recorre $250$ km a $40$ km/h: $\frac{250}{40}=\frac{25}{4}$ h. Coinciden, así que ambos terminan a la vez: $T=\frac{25}{4}$ h $=6,25$ h (6 h 15 min).

Crecimiento: el radicando $t^2-8t+25=(t-4{)}^2+9$ es siempre positivo, así que $f$ es derivable y

$$f^{\prime }(t)=\frac{50(t-4)}{\sqrt{t^2-8t+25}}.$$

3. $f^{\prime }(t)=0⟺t=4$. Si $0\le t<4$, $f^{\prime }<0$; si $4<t\le \frac{25}{4}$, $f^{\prime }>0$.

Resultado: $T=\frac{25}{4}$ h; $f$ decrece en $\left[0,4\right)$ y crece en $\left(4,\frac{25}{4}\right]$.

c) Estudiamos los extremos de $f$ en el intervalo cerrado $\left[0,\frac{25}{4}\right]$: el punto crítico $t=4$ y los extremos del intervalo.

1. $f(0)=50\sqrt{25}=250$ km.
2. $f(4)=50\sqrt{16-32+25}=50\cdot 3=150$ km.
3. $f\left(\frac{25}{4}\right)=50\sqrt{\frac{625}{16}-50+25}=50\sqrt{\frac{225}{16}}=50\cdot \frac{15}{4}=187,5$ km.
4. El mayor de los tres valores es $250$ (en $t=0$) y el menor es $150$ (en $t=4$), coherente con que $f$ baje hasta $t=4$ y luego suba sin llegar a $250$.

Resultado: distancia máxima $250$ km en $t=0$; distancia mínima $150$ km en $t=4$ h.

Resultado: a) $f(t)=50\sqrt{t^2-8t+25}$; b) $T=\frac{25}{4}$ h, decrece en $\left[0,4\right)$ y crece en $\left(4,\frac{25}{4}\right]$; c) máxima $250$ km en $t=0$ y mínima $150$ km en $t=4$ h