Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Junio 2017

a) Con $a=2$ el sistema es

$$\{\begin{array}{rl}-x+2y+2z& =2\\ 2x+2y-z& =2\\ 2x-y+2z& =2\end{array}$$

1. Restamos la tercera ecuación a la segunda: $3y-3z=0$, es decir, $y=z$.
2. En la primera, con $z=y$: $-x+4y=2$, luego $x=4y-2$.
3. En la segunda: $2(4y-2)+2y-y=2\Rightarrow 9y-4=2\Rightarrow y=\frac{2}{3}$. Entonces $z=\frac{2}{3}$ y $x=\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}$.
4. Comprobación en la tercera: $\frac{4}{3}-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$.

Resultado: $(x,y,z)=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$

b) La matriz de coeficientes es

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& a& 2\\ 2& a& -1\\ a& -1& 2\end{array}\right).$$

1. Calculamos su determinante desarrollando por la primera fila:

$$|A|=-1(2a-1)-a(4+a)+2(-2-a^2)=-2a+1-4a-a^2-4-2a^2=-3a^2-6a-3=-3(a+1{)}^2.$$

2. El sistema es compatible determinado cuando $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3$, y esto ocurre exactamente cuando $|A|\ne 0$, es decir, cuando $a\ne -1$.

Resultado: compatible determinado si y solo si $a\ne -1$.

c) El único valor que anula el determinante es $a=-1$, así que es el único candidato.

1. Con $a=-1$ el sistema es

$$\{\begin{array}{rl}-x-y+2z& =-1\\ 2x-y-z& =2\\ -x-y+2z& =-1\end{array}$$

La primera y la tercera ecuación son idénticas. Las dos primeras filas de $A$ no son proporcionales, luego $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2<3$: el sistema es compatible indeterminado.

2. Resolvemos las dos ecuaciones independientes. Restando la primera a la segunda: $3x-3z=3$, es decir, $x=z+1$.
3. De la segunda: $y=2x-z-2=2z+2-z-2=z$.
4. Tomando $x=t$ como parámetro: $z=t-1$, $y=t-1$.
5. Comprobación en la primera: $-t-(t-1)+2(t-1)=-1$.

Resultado: $a=-1$; soluciones $(x,y,z)=(t,t-1,t-1)$, $t\in \mathbb{R}$.

Resultado: a) $(x,y,z)=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$; b) $a\ne -1$; c) $a=-1$, $(x,y,z)=(t,t-1,t-1)$, $t\in \mathbb{R}$

Datos previos: restando la primera ecuación de $r$ a la segunda se obtiene $y-2=0$, es decir, $y=2$. Sustituyendo en la primera: $x-z+3=0$, luego $z=x+3$. Tomando $x=\lambda$:

$$r:(x,y,z)=(\lambda ,2,\lambda +3),$$

con punto $Q=(0,2,3)$ y vector director ${\vec{d}}_r=(1,0,1)$. El plano $\pi$ tiene vector normal ${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,1)$.

a) 1. El plano contiene la dirección ${\vec{d}}_r=(1,0,1)$ y la dirección $\overrightarrow{QP}=(1,1,1)-(0,2,3)=(1,-1,-2)$. 2. Su vector normal es

$$\vec{n}={\vec{d}}_r\times \overrightarrow{QP}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& 1\\ 1& -1& -2\end{array}\right|=(0+1,1+2,-1-0)=(1,3,-1).$$

3. Ecuación: $x+3y-z+D=0$. Como pasa por $P(1,1,1)$: $1+3-1+D=0\Rightarrow D=-3$.
4. Comprobación con $Q$: $0+6-3-3=0$.

Resultado: $x+3y-z-3=0$

b) 1. La recta $s$ tiene como dirección el vector normal de $\pi$, $(1,1,1)$, y pasa por $P$:

$$s:(x,y,z)=(1+t,1+t,1+t),t\in \mathbb{R}.$$

2. Distancia de $P$ a $\pi :x+y+z-1=0$:

$$d(P,\pi )=\frac{|1+1+1-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,15\text{ u}.$$

3. Intersección de $s$ con $\pi$: sustituimos en $x+y+z=1$:

$$3(1+t)=1\Rightarrow t=-\frac{2}{3}.$$

El punto es $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$.

Resultado: $s:(x,y,z)=(1+t,1+t,1+t)$; $d(P,\pi )=\frac{2}{\sqrt{3}}$ u; $s\cap \pi =\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$

c) 1. El plano $\sigma$ contiene la dirección de $r$, $(1,0,1)$, y, por ser perpendicular a $\pi$, también la dirección de ${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,1)$. 2. Vector normal:

$${\vec{n}}_{\sigma }=(1,0,1)\times (1,1,1)=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=(0-1,1-1,1-0)=(-1,0,1).$$

3. Ecuación: $-x+z+D=0$. Como $\sigma$ contiene a $r$, pasa por $Q(0,2,3)$: $3+D=0\Rightarrow D=-3$.
4. Comprobación: los puntos de $r$, $(\lambda ,2,\lambda +3)$, cumplen $-\lambda +\lambda +3-3=0$.

Resultado: $\sigma :-x+z-3=0$ (equivalentemente $x-z+3=0$)

Resultado: a) $x+3y-z-3=0$; b) $s:(1+t,1+t,1+t)$, $d(P,\pi )=\frac{2}{\sqrt{3}}$ u, $s\cap \pi =\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$; c) $-x+z-3=0$

a) 1. La longitud del cable $MP$ es $d(M,P)=\sqrt{x^2+6^2}=\sqrt{x^2+36}$ m. 2. La longitud del cable $PN$ es $18-x$ m (con $0\le x\le 18$). 3. Costo total, a $10$ €/m el primero y $5$ €/m el segundo:

$$C(x)=10\sqrt{x^2+36}+5(18-x),0\le x\le 18.$$

Resultado: $C(x)=10\sqrt{x^2+36}+5(18-x)$

b) 1. Derivamos:

$$C^{\prime }(x)=\frac{10x}{\sqrt{x^2+36}}-5.$$

2. Igualamos a cero: $\frac{10x}{\sqrt{x^2+36}}=5\Rightarrow 2x=\sqrt{x^2+36}$. Como $x\ge 0$ podemos elevar al cuadrado: $4x^2=x^2+36\Rightarrow x^2=12\Rightarrow x=2\sqrt{3}\approx 3,46$.
3. Es un mínimo: $C^{\prime }(x)<0$ si $0\le x<2\sqrt{3}$ y $C^{\prime }(x)>0$ si $2\sqrt{3}<x\le 18$. Comparamos además con los extremos del intervalo: $C(0)=60+90=150$ y $C(18)=10\sqrt{360}\approx 189,74$, ambos mayores que $C(2\sqrt{3})$.

Resultado: $x=2\sqrt{3}\approx 3,46$ m

c) Sustituimos $x=2\sqrt{3}$, con $x^2+36=48$ y $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$:

$$C(2\sqrt{3})=10\cdot 4\sqrt{3}+5(18-2\sqrt{3})=40\sqrt{3}+90-10\sqrt{3}=90+30\sqrt{3}\approx 141,96.$$

Resultado: $90+30\sqrt{3}\approx 141,96$ €

Resultado: a) $C(x)=10\sqrt{x^2+36}+5(18-x)$; b) $x=2\sqrt{3}\approx 3,46$ m; c) $90+30\sqrt{3}\approx 141,96$ €

a) 1. Calculamos $C^2$:

$$C^2=\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 2\\ 2& -1& 1\\ -4& 4& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 2\\ 2& -1& 1\\ -4& 4& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}9& -8& 4\\ 4& -3& 2\\ -8& 8& -3\end{array}\right).$$

2. Calculamos $2C-I$:

$$2C-I=\left(\begin{array}{ccc}10& -8& 4\\ 4& -2& 2\\ -8& 8& -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}9& -8& 4\\ 4& -3& 2\\ -8& 8& -3\end{array}\right)=C^2.$$

3. Para $C^4$ usamos $C^2=2C-I$ y que $I$ conmuta con todas las matrices:

$$C^4=(C^2{)}^2=(2C-I{)}^2=4C^2-4C+I=4(2C-I)-4C+I=4C-3I.$$

4. Sustituimos:

$$C^4=4\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 2\\ 2& -1& 1\\ -4& 4& -1\end{array}\right)-3\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}17& -16& 8\\ 8& -7& 4\\ -16& 16& -7\end{array}\right).$$

Resultado: $C^2=2C-I$ (comprobado) y $C^4=\left(\begin{array}{ccc}17& -16& 8\\ 8& -7& 4\\ -16& 16& -7\end{array}\right)$

b) Sea $M=\left(3A^4\right){\left(4A^2\right)}^{-1}$. $A$ es cuadrada de orden $4$, con $|A|=-1$. Usamos que $|kA|=k^4|A|$ para matrices de orden $4$, que el determinante del producto es el producto de determinantes y que $|N^{-1}|=1/|N|$.

1. $|3A^4|=3^4|A^4|=3^4|A{|}^4=81\cdot (-1{)}^4=81$.
2. $|4A^2|=4^4|A{|}^2=256\cdot (-1{)}^2=256$, luego $\left|{\left(4A^2\right)}^{-1}\right|=\frac{1}{256}$.
3. Por tanto

$$|M|=|3A^4|\cdot \left|{\left(4A^2\right)}^{-1}\right|=\frac{81}{256}=\frac{3^4}{4^4}.$$

Resultado: $|M|=\frac{81}{256}={\left(\frac{3}{4}\right)}^4$

c) 1. Como $B$ admite inversa, multiplicamos $BB=B$ por $B^{-1}$ por la izquierda:

$$B^{-1}(BB)=B^{-1}B\Rightarrow (B^{-1}B)B=I\Rightarrow IB=I\Rightarrow B=I.$$

2. Comprobación: $II=I$ y la identidad es invertible.

Resultado: $B=I$ (la matriz identidad del mismo orden que $B$)

Resultado: a) $C^2=2C-I$ y $C^4=\left(\begin{array}{ccc}17& -16& 8\\ 8& -7& 4\\ -16& 16& -7\end{array}\right)$; b) $\frac{81}{256}$; c) $B=I$

a) 1. Dos vectores del plano: $\overrightarrow{AB}=(3,0,0)-(1,1,1)=(2,-1,-1)$ y $\overrightarrow{AC}=(0,3,0)-(1,1,1)=(-1,2,-1)$. 2. Su producto vectorial es normal al plano:

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& -1\\ -1& 2& -1\end{array}\right|=(1+2,1+2,4-1)=(3,3,3).$$

Tomamos el vector proporcional $(1,1,1)$. 3. Ecuación: $x+y+z+D=0$. Con $B(3,0,0)$: $3+D=0\Rightarrow D=-3$. 4. Comprobación: $A$: $1+1+1=3$; $C$: $0+3+0=3$. 5. La altura $h_O$ pasa por $O$ y tiene la dirección normal $(1,1,1)$:

$$h_O:(x,y,z)=(t,t,t),\text{es decir,}x=y=z.$$

Resultado: $\pi :x+y+z=3$; $h_O:x=y=z$

b) Sustituimos $(t,t,t)$ en el plano: $3t=3\Rightarrow t=1$.

Resultado: $h_O\cap \pi =(1,1,1)$ (que coincide con el vértice $A$).

c) 1. Área de la cara $ABC$: la mitad del módulo del producto vectorial calculado antes:

$$\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\sqrt{9+9+9}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2,60{\text{ u}}^2.$$

2. Volumen: una sexta parte del valor absoluto del producto mixto de $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 0& 0\\ 0& 3& 0\end{array}\right|=1\cdot (0-0)-1\cdot (0-0)+1\cdot (9-0)=9,V=\frac{|9|}{6}=\frac{3}{2}{\text{ u}}^3.$$

3. Comprobación: la altura desde $O$ es $d(O,\pi )=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$, y $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{3}{2}$.

Resultado: área $=\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2,60$ u${}^2$; volumen $=\frac{3}{2}$ u${}^3$

Resultado: a) $\pi :x+y+z=3$, $h_O:x=y=z$; b) $(1,1,1)$; c) área $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ u${}^2$ y volumen $\frac{3}{2}$ u${}^3$

Observamos que $f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$, con dominio $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

a) 1. Derivamos:

$$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$$

2. $f^{\prime }(x)=0⟺x^2=1⟺x=-1$ o $x=1$. El denominador $x^2$ es siempre positivo, así que el signo de $f^{\prime }$ es el de $x^2-1$.
3. Estudio del signo (el punto $x=0$ no está en el dominio):

4. En $x=-1$, $f^{\prime }$ pasa de $+$ a $-$: máximo relativo, con $f(-1)=-2$. En $x=1$, pasa de $-$ a $+$: mínimo relativo, con $f(1)=2$.

Resultado: $f$ crece en $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$ y decrece en $(-1,0)\cup (0,1)$; máximo relativo en $(-1,-2)$ y mínimo relativo en $(1,2)$.

b) 1. Asíntota vertical: en $x=0$, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x+\frac{1}{x}\right)=+\infty$ y $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x+\frac{1}{x}\right)=-\infty$. Luego $x=0$ es asíntota vertical. 2. Asíntota horizontal: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty$, no hay. 3. Asíntota oblicua $y=mx+n$:

$$m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2+1}{x^2}=1,n=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(f(x)-x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0.$$

Resultado: asíntota vertical $x=0$ y asíntota oblicua $y=x$ (en $+\infty$ y en $-\infty$); no hay asíntota horizontal.

c) En $[1,e]$ la función es positiva ($f(x)=x+\frac{1}{x}>0$), así que el área es la integral:

$$\text{Aˊrea}={\int }_1^e\left(x+\frac{1}{x}\right)dx={\left[\frac{x^2}{2}+\ln x\right]}_1^e=\left(\frac{e^2}{2}+1\right)-\left(\frac{1}{2}+0\right)=\frac{e^2+1}{2}\approx 4,19{\text{ u}}^2.$$

Resultado: $\frac{e^2+1}{2}\approx 4,19$ u${}^2$

Resultado: a) crece en $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$, decrece en $(-1,0)\cup (0,1)$; máx. relativo $(-1,-2)$, mín. relativo $(1,2)$; b) $x=0$ (vertical) e $y=x$ (oblicua); c) $\frac{e^2+1}{2}\approx 4,19$ u${}^2$