Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Junio 2026

Llamamos $E$ al suceso «la persona está enferma», $S$ a «está sana» y $+$ a «el test da positivo». Los datos del enunciado son

$$P(E)=0,2,P(S)=0,8,P(+\mid E)=0,9,P(+\mid S)=0,05.$$

1.1 Una persona da positivo si está enferma y el test acierta, o si está sana y el test se equivoca. Aplicamos el teorema de la probabilidad total:

1. $P(+)=P(E)P(+\mid E)+P(S)P(+\mid S)$.
2. $P(+)=0,2\cdot 0,9+0,8\cdot 0,05=0,18+0,04=0,22$.

Resultado: $P(+)=0,22$

1.2 Nos piden $P(S\mid +)$. Aplicamos el teorema de Bayes:

1. $P(S\mid +)=\frac{P(S)P(+\mid S)}{P(+)}$.
2. $P(S\mid +)=\frac{0,8\cdot 0,05}{0,22}=\frac{0,04}{0,22}=\frac{2}{11}\approx 0,1818$.

Resultado: $P(S\mid +)=\frac{2}{11}\approx 0,1818$

1.3 Sea $X$ el número de personas enfermas entre las 8 elegidas. Cada persona está enferma con probabilidad $0,2$, independientemente de las demás, luego $X\sim B(8;0,2)$.

1. Nos piden $P(X\le 2)$, que es el valor de la función de distribución en $k=2$.
2. En la tabla de la binomial, con $n=8$, $k=2$ y $p=0,20$, se lee $P(X\le 2)=0,7969$.
3. Comprobación sin tabla: $P(X=0)=0,8^8\approx 0,1678$; $P(X=1)=8\cdot 0,2\cdot 0,8^7\approx 0,3355$; $P(X=2)=28\cdot 0,2^2\cdot 0,8^6\approx 0,2936$. La suma es $\approx 0,7969$.

Resultado: $P(X\le 2)\approx 0,7969$

Resultado: 1.1) $P(+)=0,22$; 1.2) $P(S\mid +)=\frac{2}{11}\approx 0,1818$; 1.3) $P(X\le 2)\approx 0,7969$

2.1.1 El sistema $Tv=u$ tiene tres ecuaciones y tres incógnitas. Estudiamos el rango de la matriz de coeficientes $T$ y el de la ampliada $T^{\ast }$.

1. Calculamos el determinante de $T$, desarrollando por la última fila: $$\det T=\left|\begin{array}{ccc}2& m& 0\\ m& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& m\\ m& 2\end{array}\right|=4-m^2.$$
2. $\det T=0$ si y solo si $m=2$ o $m=-2$.
3. Si $m\ne 2$ y $m\ne -2$: $\det T\ne 0$, luego $\mathrm{rg}T=\mathrm{rg}{T}^{\ast }=3$ es igual al número de incógnitas: sistema compatible determinado (SCD).
4. Si $m=2$: las dos primeras filas de la ampliada son $$\left(\begin{array}{ccccc}2& 2& 0& |& 4\\ 2& 2& 0& |& 4\end{array}\right),$$ iguales entre sí. Entonces $\mathrm{rg}T=\mathrm{rg}{T}^{\ast }=2<3$: sistema compatible indeterminado (SCI), con un grado de libertad.
5. Si $m=-2$: las dos primeras filas de la ampliada son $$\left(\begin{array}{ccccc}2& -2& 0& |& 4\\ -2& 2& 0& |& 4\end{array}\right).$$ Al sumarlas queda $0=8$, que es imposible. Por tanto $\mathrm{rg}T=2$ y $\mathrm{rg}{T}^{\ast }=3$: sistema incompatible (SI). (Se comprueba que $\mathrm{rg}{T}^{\ast }=3$ con el menor $\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 4\\ -2& 0& 4\\ 0& 1& -2\end{array}\right|=-16\ne 0$, por ejemplo.)

Resultado: SCD si $m\ne \pm 2$; SCI si $m=2$; SI si $m=-2$

2.1.2 Para $m=-1$ el sistema es SCD y se escribe

$$\{\begin{array}{rl}2x-y& =4\\ -x+2y& =4\\ z& =-2\end{array}$$

1. De la tercera ecuación, $z=-2$.
2. De la primera, $y=2x-4$.
3. Sustituimos en la segunda: $-x+2(2x-4)=4$, es decir, $3x-8=4$ y por tanto $x=4$.
4. Entonces $y=2\cdot 4-4=4$.
5. Comprobación: $2\cdot 4-4=4$ y $-4+2\cdot 4=4$.

Resultado: $v=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$, es decir, $x=4$, $y=4$, $z=-2$

2.1.3 Con $m=2$, $T=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 2& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ y

$$T-\alpha I=\left(\begin{array}{ccc}2-\alpha & 2& 0\\ 2& 2-\alpha & 0\\ 0& 0& 1-\alpha \end{array}\right).$$

1. Desarrollamos por la tercera fila: $\det (T-\alpha I)=(1-\alpha )\left[(2-\alpha {)}^2-4\right]$.
2. Simplificamos el corchete: $(2-\alpha {)}^2-4={\alpha }^2-4\alpha =\alpha (\alpha -4)$.
3. Así, $\det (T-\alpha I)=(1-\alpha )\alpha (\alpha -4)$.
4. Igualamos a cero: $\alpha =1$, $\alpha =0$ o $\alpha =4$.

Resultado: las tensiones principales son $\alpha =0$, $\alpha =1$ y $\alpha =4$

Resultado: 2.1.1) SCD si $m\ne \pm 2$, SCI si $m=2$, SI si $m=-2$; 2.1.2) $v=(4,4,-2{)}^t$; 2.1.3) $\alpha =0,1,4$

2.2.1 Una matriz $A$ es ortogonal si $A^{-1}=A^t$, lo que equivale a $A{A}^t=A^{t}A=I$. Con

$$A^t=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\mathrm{sen}\alpha \\ \mathrm{sen}\alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$$

calculamos:

1. $$A{A}^t=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\alpha +{\mathrm{sen}}^2\alpha & -\cos \alpha \mathrm{sen}\alpha +\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha \\ -\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha +\cos \alpha \mathrm{sen}\alpha & {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I.$$
2. De forma análoga, $A^{t}A=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\alpha +{\mathrm{sen}}^2\alpha & \cos \alpha \mathrm{sen}\alpha -\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha \\ \mathrm{sen}\alpha \cos \alpha -\cos \alpha \mathrm{sen}\alpha & {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha \end{array}\right)=I$.

Como $A{A}^t=A^{t}A=I$, resulta $A^{-1}=A^t$ para cualquier $\alpha$.

Resultado: $A{A}^t=A^{t}A=I$ para todo $\alpha$, luego $A$ es ortogonal

2.2.2 Exigimos $B{B}^t=I$, con $B^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& b\\ 0& 1& 0\\ a& 0& 0\end{array}\right)$.

1. Calculamos el producto: $$B{B}^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& a\\ 0& 1& 0\\ b& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& b\\ 0& 1& 0\\ a& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}^2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& b^2\end{array}\right).$$
2. Para que sea la identidad, $a^2=1$ y $b^2=1$, es decir, $a=\pm 1$ y $b=\pm 1$.
3. Con estos valores también $B^{t}B=\left(\begin{array}{ccc}{b}^2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& a^2\end{array}\right)=I$.
4. Cada una de las dos incógnitas puede tomar dos valores, independientemente: $2\cdot 2=4$ matrices.

Resultado: $a=\pm 1$, $b=\pm 1$; existen 4 matrices ortogonales de esta forma

2.2.3 Pasamos la matriz conocida al segundo miembro:

$$BX=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right).$$

1. Como $B$ es ortogonal, su inversa es su traspuesta: $B^{-1}=B^t$. Multiplicamos por la izquierda por $B^t$: $$X=B^t\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right).$$
2. Calculamos el producto: $$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& b\\ 0& 1& 0\\ a& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -b\\ 0& 1\\ a& a\end{array}\right).$$
3. Comprobación: con $a=b=1$, $BX=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$, como se pedía.

Hay una solución para cada una de las 4 matrices $B$ (según los signos de $a$ y $b$).

Resultado: $X=\left(\begin{array}{cc}0& -b\\ 0& 1\\ a& a\end{array}\right)$, con $a=\pm 1$ y $b=\pm 1$

Resultado: 2.2.1) $A{A}^t=A^{t}A=I$; 2.2.2) $a,b\in \{1,-1\}$, 4 matrices; 2.2.3) $X=\left(\begin{array}{cc}0& -b\\ 0& 1\\ a& a\end{array}\right)$

La recta $r$ pasa por $P=(0,-1,1)$ y tiene vector director $\vec{d}=(2,-1,1)$. El plano $\pi$ tiene vector normal $\vec{n}=(2,m,1)$.

3.1.1 La recta es perpendicular al plano cuando su vector director es paralelo al vector normal del plano.

1. Imponemos $\vec{n}=k\vec{d}$: $(2,m,1)=k(2,-1,1)$.
2. De la primera coordenada, $k=1$; de la tercera, también $k=1$.
3. Entonces $m=-k=-1$.

Resultado: $m=-1$

3.1.2 La recta es paralela al plano cuando $\vec{d}$ es perpendicular a $\vec{n}$, es decir, $\vec{d}\cdot \vec{n}=0$.

1. $\vec{d}\cdot \vec{n}=2\cdot 2+(-1)\cdot m+1\cdot 1=5-m$.
2. $5-m=0$ da $m=5$.
3. Para que sea paralela y no esté contenida en el plano, comprobamos que $P=(0,-1,1)$ no verifica la ecuación de $\pi$: $0+5\cdot (-1)+1-3=-7\ne 0$. Así, para $m=5$ la recta es paralela al plano y no tiene ningún punto en común con él.

Resultado: $m=5$

3.1.3 Escribimos la recta en paramétricas: $x=2t$, $y=-1-t$, $z=1+t$, y sustituimos en la ecuación del plano.

1. $2(2t)+m(-1-t)+(1+t)-3=0$.
2. Desarrollamos: $4t-m-mt+1+t-3=0$, es decir, $(5-m)t=m+2$.
3. Si $m\ne 5$ podemos despejar: $t=\frac{m+2}{5-m}$, y hay un único punto de intersección.
4. Sustituimos $t$ en la recta: $$x=\frac{2(m+2)}{5-m},y=-1-\frac{m+2}{5-m}=\frac{-5+m-m-2}{5-m}=\frac{-7}{5-m},z=1+\frac{m+2}{5-m}=\frac{7}{5-m}.$$
5. Si $m=5$ la ecuación queda $0\cdot t=7$, que no tiene solución: no hay intersección (es el caso paralelo del apartado anterior).

Resultado: para $m\ne 5$, el punto de intersección es $\left(\frac{4+2m}{5-m},\frac{-7}{5-m},\frac{7}{5-m}\right)$; para $m=5$ no hay intersección

Resultado: 3.1.1) $m=-1$; 3.1.2) $m=5$; 3.1.3) para $m\ne 5$, $\left(\frac{4+2m}{5-m},\frac{-7}{5-m},\frac{7}{5-m}\right)$, y para $m=5$ no hay intersección

La recta $s$ pasa por $Q=(1,1,1)$ y tiene vector director $\vec{v}=(0,1,-1)$. En paramétricas: $x=1$, $y=1+\lambda$, $z=1-\lambda$.

3.2.1 El plano perpendicular a $s$ tiene como vector normal el director de $s$, $\vec{n}=(0,1,-1)$.

1. La ecuación es $0\cdot (x-1)+1\cdot (y-1)-1\cdot (z-1)=0$.
2. Simplificando, $y-z=0$.
3. Comprobación: $(1,1,1)$ verifica $1-1=0$.

Resultado: $\pi :y-z=0$

3.2.2 Un punto de $s$ es $(1,1+\lambda ,1-\lambda )$. Su distancia al origen es 4.

1. $1^2+(1+\lambda {)}^2+(1-\lambda {)}^2=16$.
2. Desarrollamos: $1+1+2\lambda +{\lambda }^2+1-2\lambda +{\lambda }^2=3+2{\lambda }^2=16$.
3. Entonces ${\lambda }^2=\frac{13}{2}$ y $\lambda =\pm \sqrt{\frac{13}{2}}=\pm \frac{\sqrt{26}}{2}$.
4. Sustituimos los dos valores en la recta.

Resultado: $\left(1,1+\frac{\sqrt{26}}{2},1-\frac{\sqrt{26}}{2}\right)$ y $\left(1,1-\frac{\sqrt{26}}{2},1+\frac{\sqrt{26}}{2}\right)$

3.2.3 El ángulo $\theta$ entre una recta y el eje $Z$ (de vector director $\vec{k}=(0,0,1)$) cumple $\cos \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{k}|}{|\vec{v}||\vec{k}|}$ (ángulo agudo entre sus direcciones).

1. $\vec{v}\cdot \vec{k}=-1$, $|\vec{v}|=\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}$ y $|\vec{k}|=1$.
2. $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$.
3. Por tanto $\theta =\arccos \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi }{4}$ rad $=45^{\circ }$.

Resultado: $\theta =\frac{\pi }{4}$ rad $=45^{\circ }$

Resultado: 3.2.1) $y-z=0$; 3.2.2) $\left(1,1\pm \frac{\sqrt{26}}{2},1\mp \frac{\sqrt{26}}{2}\right)$; 3.2.3) $\frac{\pi }{4}$ rad

4.1.1 $f$ es un cociente de polinomios, así que es continua allí donde el denominador no se anula.

1. El denominador $x^2+1\ge 1>0$ para todo $x$, nunca se anula.
2. Por tanto $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$ y $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

Resultado: $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$ y $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$

4.1.2 Asíntotas.

1. Verticales: no hay, porque $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.
2. Horizontales: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+1}{x^2+1}=0$ (el grado del denominador es mayor que el del numerador). Por tanto $y=0$ es asíntota horizontal en $+\infty$ y en $-\infty$.
3. Oblicuas: no hay, al existir asíntota horizontal.

Crecimiento. Derivamos:

4. $f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)-(x+1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1{)}^2}$.
5. El denominador es siempre positivo, así que el signo de $f^{\prime }$ es el de $-x^2-2x+1$. Sus raíces son las de $x^2+2x-1=0$: $x=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}=-1\pm \sqrt{2}$, es decir, $x_1=-1-\sqrt{2}\approx -2,414$ y $x_2=-1+\sqrt{2}\approx 0,414$.
6. Como $-x^2-2x+1$ es una parábola que abre hacia abajo, es positiva entre sus raíces y negativa fuera de ellas:
   • $x<-1-\sqrt{2}$: $f^{\prime }<0$, $f$ decrece.
   • $-1-\sqrt{2}<x<-1+\sqrt{2}$: $f^{\prime }>0$, $f$ crece.
   • $x>-1+\sqrt{2}$: $f^{\prime }<0$, $f$ decrece.

Resultado: asíntota horizontal $y=0$ (sin verticales ni oblicuas); $f$ crece en $\left(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right)$ y decrece en $\left(-\infty ,-1-\sqrt{2}\right)\cup \left(-1+\sqrt{2},+\infty \right)$

4.1.3

1. Por el signo de $f^{\prime }$, en $x=-1-\sqrt{2}$ hay un mínimo relativo y en $x=-1+\sqrt{2}$ un máximo relativo.
2. Valor del máximo: con $x=\sqrt{2}-1$ se tiene $x+1=\sqrt{2}$ y $x^2+1=(3-2\sqrt{2})+1=4-2\sqrt{2}$, luego $$f(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}=\frac{1}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}\approx 1,2071.$$
3. Valor del mínimo: con $x=-1-\sqrt{2}$ se tiene $x+1=-\sqrt{2}$ y $x^2+1=(3+2\sqrt{2})+1=4+2\sqrt{2}$, luego $$f(-1-\sqrt{2})=\frac{-\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}=-\frac{1}{2(\sqrt{2}+1)}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}\approx -0,2071.$$
4. Extremos absolutos: la función tiende a $0$ en $\pm \infty$, y los valores $1,2071>0$ y $-0,2071<0$ están a un lado y otro del $0$. Fuera del intervalo $\left[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right]$ la función va monótonamente de $0$ al mínimo (por la izquierda) o del máximo a $0$ (por la derecha), así que nunca supera esos valores. Por tanto los extremos relativos son también absolutos.

Resultado: máximo absoluto (y relativo) en $\left(\sqrt{2}-1,\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)\approx (0,414;1,207)$ y mínimo absoluto (y relativo) en $\left(-1-\sqrt{2},\frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)\approx (-2,414;-0,207)$

4.1.4 Reunimos los datos para dibujar:

• Corte con el eje $Y$: $f(0)=1$, punto $(0,1)$.
• Corte con el eje $X$: $x+1=0$, punto $(-1,0)$. La función es negativa para $x<-1$ y positiva para $x>-1$.
• Asíntota horizontal $y=0$: por la izquierda la gráfica se acerca a $0$ por debajo; por la derecha, por encima.
• Mínimo en $(-2,414;-0,207)$ y máximo en $(0,414;1,207)$.

La gráfica viene desde $0$ por debajo del eje $X$ ($x\to -\infty$), baja hasta el mínimo en $x\approx -2,41$, sube cruzando el eje en $(-1,0)$ y pasando por $(0,1)$ hasta el máximo en $x\approx 0,41$, y desde ahí decrece acercándose a $0$ por encima del eje $X$ cuando $x\to +\infty$.

Resultado: 4.1.1) $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$, $f$ continua en $\mathbb{R}$; 4.1.2) asíntota $y=0$, crece en $\left(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right)$ y decrece fuera; 4.1.3) máximo absoluto $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ en $x=\sqrt{2}-1$, mínimo absoluto $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$ en $x=-1-\sqrt{2}$; 4.1.4) gráfica con cortes $(0,1)$ y $(-1,0)$

4.2.1 Estudiamos $f(x)=\cos \left(\frac{\pi x}{9}\right)+2$ en $[0,12]$.

1. Cortes con los ejes: con el eje $Y$, $f(0)=\cos 0+2=3$, punto $(0,3)$. Con el eje $X$ no hay cortes, porque $f(x)\ge -1+2=1>0$.
2. Derivada: $f^{\prime }(x)=-\frac{\pi }{9}\mathrm{sen}\left(\frac{\pi x}{9}\right)$. Se anula cuando $\frac{\pi x}{9}=k\pi$, es decir, $x=9k$; en $[0,12]$: $x=0$ y $x=9$.
3. Signo de $f^{\prime }$: para $0<x<9$ el ángulo $\frac{\pi x}{9}$ está en $(0,\pi )$, donde el seno es positivo, luego $f^{\prime }<0$ y $f$ decrece. Para $9<x\le 12$ el ángulo está en $(\pi ,4\pi /3]$, donde el seno es negativo, luego $f^{\prime }>0$ y $f$ crece.
4. Valores en los puntos clave: $f(0)=3$, $f(9)=\cos \pi +2=1$ y $f(12)=\cos \frac{4\pi }{3}+2=-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$.
5. Extremos absolutos en $[0,12]$: comparamos $f(0)=3$, $f(9)=1$ y $f(12)=1,5$. El máximo absoluto es $3$, en $x=0$, y el mínimo absoluto es $1$, en $x=9$.

La gráfica parte de $(0,3)$, desciende de forma suave hasta el mínimo $(9,1)$ y vuelve a subir hasta $(12;1,5)$. Es un trozo de curva coseno desplazada dos unidades hacia arriba, con amplitud 1 y periodo 18.

Resultado: corte con los ejes: $(0,3)$ (no corta al eje $X$); máximo absoluto $(0,3)$; mínimo absoluto $(9,1)$; decreciente en $(0,9)$ y creciente en $(9,12)$

4.2.2 La curva siempre queda por debajo de la altura $3$ de la pared (su máximo es $3$) y por encima del suelo ($f\ge 1>0$). Por tanto, el área verde es el área bajo la curva y el área roja, la que queda entre la curva y la altura $3$.

1. Área verde: $$A_V={\int }_0^{12}\left(\cos \frac{\pi x}{9}+2\right)dx={\left[\frac{9}{\pi }\mathrm{sen}\frac{\pi x}{9}+2x\right]}_0^{12}.$$
2. Evaluamos: $\mathrm{sen}\frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, luego $$A_V=\frac{9}{\pi }\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+24-0=24-\frac{9\sqrt{3}}{2\pi }\approx 21,519{\text{m}}^2.$$
3. El área total de la pared es $12\cdot 3=36{\text{m}}^2$, así que el área roja es $$A_R=36-A_V=12+\frac{9\sqrt{3}}{2\pi }\approx 14,481{\text{m}}^2.$$ (Es lo mismo que ${\int }_0^{12}\left(3-f(x)\right)dx$.)

Resultado: área verde $=24-\frac{9\sqrt{3}}{2\pi }\approx 21,519{\text{m}}^2$; área roja $=12+\frac{9\sqrt{3}}{2\pi }\approx 14,481{\text{m}}^2$

4.2.3 Cada bote cubre $3{\text{m}}^2$ y hay que pintar $21,519{\text{m}}^2$.

1. $\frac{21,519}{3}\approx 7,17$.
2. Con 7 botes se cubren $21{\text{m}}^2$, que no bastan; hacen falta 8 botes (el número de botes ha de ser entero).

Resultado: 8 botes

Resultado: 4.2.1) corte $(0,3)$, máximo absoluto $(0,3)$, mínimo absoluto $(9,1)$, decreciente en $(0,9)$ y creciente en $(9,12)$; 4.2.2) verde $24-\frac{9\sqrt{3}}{2\pi }\approx 21,519{\text{m}}^2$, rojo $12+\frac{9\sqrt{3}}{2\pi }\approx 14,481{\text{m}}^2$; 4.2.3) 8 botes

Llamamos $C$ al suceso «sale cara», $X$ al suceso «sale cruz» y $G$ al suceso «el alumno gana la ronda». La moneda es equilibrada, así que $P(C)=P(X)=\frac{1}{2}$.

1.1 Aplicamos el teorema de la probabilidad total, condicionando al resultado de la moneda.

1. Si sale cara se gana con un 5 o un 6, es decir, con 2 caras de las 6 del dado: $P(G\mid C)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
2. Si sale cruz se gana con un número par (2, 4 o 6), es decir, con 3 caras de 6: $P(G\mid X)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
3. Probabilidad total:

$$P(G)=P(C)P(G\mid C)+P(X)P(G\mid X)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}\approx 0,417.$$

Resultado: $P(G)=\frac{5}{12}$

1.2 Nos piden $P(C\mid G)$. Usamos el teorema de Bayes con el resultado del apartado anterior.

$$P(C\mid G)=\frac{P(C)P(G\mid C)}{P(G)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{6}\cdot \frac{12}{5}=\frac{2}{5}=0,4.$$

Resultado: $P(C\mid G)=\frac{2}{5}$

1.3 Con la moneda trucada siempre sale cara, así que en cada ronda se gana con probabilidad $p=P(G\mid C)=\frac{1}{3}$. Las rondas son independientes, de modo que el número de rondas ganadas sobre 7 es una variable binomial $X\sim B\left(7,\frac{1}{3}\right)$.

1. Probabilidad de ganar exactamente 5 veces:

$$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{5}\right){\left(\frac{1}{3}\right)}^5{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=21\cdot \frac{1}{243}\cdot \frac{4}{9}=\frac{84}{2187}=\frac{28}{729}\approx 0,0384.$$

2. Comprobación con la tabla de la binomial ($n=7$, $p=\frac{1}{3}$): $P(X\le 5)-P(X\le 4)=0,9931-0,9547=0,0384$.

Resultado: $P(X=5)=\frac{28}{729}\approx 0,0384$

Resultado: 1.1) $P(G)=\frac{5}{12}$; 1.2) $P(C\mid G)=\frac{2}{5}$; 1.3) $P(X=5)=\frac{28}{729}\approx 0,0384$

2.1.1 Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^{\ast }$ a la ampliada:

$$M=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & 1& -1\\ 1& \alpha & 1\\ -1& 1& \alpha \end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}\alpha & 1& -1& 0\\ 1& \alpha & 1& 1\\ -1& 1& \alpha & 2\end{array}\right).$$

1. Calculamos el determinante de $M$ por Sarrus: los productos de la diagonal principal y sus paralelas suman $\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha +1\cdot 1\cdot (-1)+(-1)\cdot 1\cdot 1={\alpha }^3-2$; los de la diagonal secundaria y sus paralelas suman $(-1)\cdot \alpha \cdot (-1)+1\cdot 1\cdot \alpha +\alpha \cdot 1\cdot 1=3\alpha$. Por tanto

$$|M|={\alpha }^3-2-3\alpha ={\alpha }^3-3\alpha -2.$$

2. Factorizamos: $\alpha =-1$ es raíz ($-1+3-2=0$) y, dividiendo, ${\alpha }^3-3\alpha -2=(\alpha +1)({\alpha }^2-\alpha -2)=(\alpha +1{)}^2(\alpha -2)$. Así, $|M|=0$ si y solo si $\alpha =-1$ o $\alpha =2$.
3. Si $\alpha \ne -1$ y $\alpha \ne 2$: $\mathrm{rg}M=3=\mathrm{rg}{M}^{\ast }=n.º$ de incógnitas. Sistema compatible determinado.
4. Si $\alpha =-1$: $M$ tiene sus tres filas proporcionales (la segunda es la primera cambiada de signo y la tercera es igual a la primera), así que $\mathrm{rg}M=1$. En la ampliada, las dos primeras ecuaciones son $-x+y-z=0$ y $x-y+z=1$; el menor de orden 2 formado por las columnas del primer coeficiente y la de términos independientes en las filas 1 y 2 es $\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$, luego $\mathrm{rg}{M}^{\ast }=2$. Como $1\ne 2$, el sistema es incompatible.
5. Si $\alpha =2$: el menor $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=3\ne 0$ da $\mathrm{rg}M=2$ (pues $|M|=0$). En la ampliada, el menor formado por las columnas 1, 2 y 4 es

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ -1& 1& 2\end{array}\right|=2(4-1)-1(2+1)+0=3\ne 0,$$

luego $\mathrm{rg}{M}^{\ast }=3$. Como $2\ne 3$, el sistema es incompatible.

Resultado: si $\alpha \ne -1$ y $\alpha \ne 2$, sistema compatible determinado; si $\alpha =-1$ o $\alpha =2$, sistema incompatible.

2.1.2 El sistema es compatible solo cuando $\alpha \ne -1,2$, y entonces tiene solución única. Aplicamos la regla de Cramer con $|M|=(\alpha +1{)}^2(\alpha -2)$.

1. Numerador de $x$ (sustituimos la primera columna por los términos independientes):

$$\left|\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& \alpha & 1\\ 2& 1& \alpha \end{array}\right|=0-1\cdot (\alpha -2)+(-1)(1-2\alpha )=\alpha +1.$$

2. Numerador de $y$:

$$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & 0& -1\\ 1& 1& 1\\ -1& 2& \alpha \end{array}\right|=\alpha (\alpha -2)-0+(-1)(2+1)={\alpha }^2-2\alpha -3=(\alpha -3)(\alpha +1).$$

3. Numerador de $z$:

$$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & 1& 0\\ 1& \alpha & 1\\ -1& 1& 2\end{array}\right|=\alpha (2\alpha -1)-1(2+1)=2{\alpha }^2-\alpha -3=(2\alpha -3)(\alpha +1).$$

4. Dividimos y simplificamos el factor $(\alpha +1)$, que no es cero:

$$x=\frac{1}{(\alpha -2)(\alpha +1)},y=\frac{\alpha -3}{(\alpha -2)(\alpha +1)},z=\frac{2\alpha -3}{(\alpha -2)(\alpha +1)}.$$

Comprobación con $\alpha =0$: la solución es $\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ y cumple las tres ecuaciones ($0+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0$; $-\frac{1}{2}+0+\frac{3}{2}=1$; $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+0=2$).

Resultado: $(x,y,z)=\left(\frac{1}{(\alpha -2)(\alpha +1)},\frac{\alpha -3}{(\alpha -2)(\alpha +1)},\frac{2\alpha -3}{(\alpha -2)(\alpha +1)}\right)$ para $\alpha \ne -1,2$

Resultado: 2.1.1) SCD si $\alpha \ne -1,2$; incompatible si $\alpha =-1$ o $\alpha =2$; 2.1.2) $(x,y,z)=\left(\frac{1}{(\alpha -2)(\alpha +1)},\frac{\alpha -3}{(\alpha -2)(\alpha +1)},\frac{2\alpha -3}{(\alpha -2)(\alpha +1)}\right)$

2.2.1 Calculamos $A^2$:

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1-\alpha & 1\\ 1& 1+\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1-\alpha & 1\\ 1& 1+\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}(1-\alpha {)}^2+1& (1-\alpha )+(1+\alpha )\\ (1-\alpha )+(1+\alpha )& 1+(1+\alpha {)}^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^2-2\alpha +2& 2\\ 2& {\alpha }^2+2\alpha +2\end{array}\right).$$

1. Restamos la identidad: $A^2-I=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^2-2\alpha +1& 2\\ 2& {\alpha }^2+2\alpha +1\end{array}\right)$.
2. Calculamos $2A=\left(\begin{array}{cc}2-2\alpha & 2\\ 2& 2+2\alpha \end{array}\right)$.
3. Igualamos $A^2-I=2A$ elemento a elemento. Los elementos de fuera de la diagonal coinciden siempre. Los de la diagonal dan

$${\alpha }^2-2\alpha +1=2-2\alpha ⟹{\alpha }^2=1,{\alpha }^2+2\alpha +1=2+2\alpha ⟹{\alpha }^2=1.$$

4. Ambas condiciones se reducen a ${\alpha }^2=1$, es decir, $\alpha =1$ o $\alpha =-1$.

Resultado: el riesgo se optimiza para $\alpha =1$ y $\alpha =-1$.

2.2.2 Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

1. $|A|=(1-\alpha )(1+\alpha )-1\cdot 1=1-{\alpha }^2-1=-{\alpha }^2$.
2. $|A|\ne 0$ si y solo si $\alpha \ne 0$. Por tanto, $A$ es invertible para todo $\alpha \ne 0$.
3. Calculamos la inversa con la fórmula $A^{-1}=\frac{1}{|A|}(\mathrm{Adj}A{)}^t$. La matriz de adjuntos es $\mathrm{Adj}A=\left(\begin{array}{cc}1+\alpha & -1\\ -1& 1-\alpha \end{array}\right)$, que es simétrica, así que su traspuesta es ella misma.
4. Entonces

$$A^{-1}=\frac{1}{-{\alpha }^2}\left(\begin{array}{cc}1+\alpha & -1\\ -1& 1-\alpha \end{array}\right)=\frac{1}{{\alpha }^2}\left(\begin{array}{cc}-1-\alpha & 1\\ 1& \alpha -1\end{array}\right).$$

Comprobación con $\alpha =1$: $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ y $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$; su producto es $\left(\begin{array}{cc}0\cdot (-2)+1\cdot 1& 0+0\\ -2+2& 1+0\end{array}\right)=I$.

Resultado: $A$ tiene inversa para todo $\alpha \ne 0$, y $A^{-1}=\frac{1}{{\alpha }^2}\left(\begin{array}{cc}-1-\alpha & 1\\ 1& \alpha -1\end{array}\right)$.

Resultado: 2.2.1) $\alpha =\pm 1$; 2.2.2) $\alpha \ne 0$ y $A^{-1}=\frac{1}{{\alpha }^2}\left(\begin{array}{cc}-1-\alpha & 1\\ 1& \alpha -1\end{array}\right)$