Modelo de examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2026

Definimos los sucesos $B$ = «condiciones meteorológicas buenas», $M$ = «condiciones malas», $P$ = «vuelo puntual» y $R$ = «vuelo con más de 3 horas de retraso». Los datos son:

$$P(B)=0,9,P(M)=0,1,P(P\mid B)=0,7,P(R\mid B)=0,1,P(P\mid M)=0,4,P(R\mid M)=0,3.$$

Como los tres grupos de vuelos son excluyentes, con buen tiempo la probabilidad de llegar con retraso de hasta tres horas es $1-0,7-0,1=0,2$ y con mal tiempo es $1-0,4-0,3=0,3$.

1.1) Aplicamos el teorema de la probabilidad total, con $B$ y $M$ como sistema completo de sucesos:

1. $P(R)=P(B)P(R\mid B)+P(M)P(R\mid M)$.
2. $P(R)=0,9\cdot 0,1+0,1\cdot 0,3=0,09+0,03=0,12$.

Resultado: $P(R)=0,12$

1.2) Se pide $P(M\mid P)$, que calculamos con el teorema de Bayes.

1. Probabilidad de ser puntual (probabilidad total): $P(P)=0,9\cdot 0,7+0,1\cdot 0,4=0,63+0,04=0,67$.
2. Bayes: $P(M\mid P)=\frac{P(M)P(P\mid M)}{P(P)}=\frac{0,1\cdot 0,4}{0,67}=\frac{0,04}{0,67}=\frac{4}{67}\approx 0,0597$.

Resultado: $P(M\mid P)=\frac{4}{67}\approx 0,0597$

1.3) Con buen tiempo, el primer vuelo permite enlazar si llega con 3 horas o menos de retraso, es decir, si no llega con más de 3 horas de retraso.

1. Probabilidad de enlazar en un viaje con buen tiempo: $P(\overline{R}\mid B)=1-0,1=0,9$ (equivale a $0,7+0,2$).
2. En un año hay $12$ viajes, independientes entre sí y con la misma probabilidad de éxito. Sea $X$ el número de viajes en los que enlaza: $X\sim \text{Bin}(12;0,9)$.
3. Se pide que enlace en los 12 viajes: $P(X=12)=0,9^{12}\approx 0,282$.

Comprobación con la tabla: el número de viajes en que no enlaza es $Y\sim \text{Bin}(12;0,1)$ y $P(Y=0)=0,2824$, el valor de la tabla para $n=12$, $k=0$, $p=0,10$.

Resultado: $0,9^{12}\approx 0,282$

Resultado: 1.1) $0,12$; 1.2) $\frac{4}{67}\approx 0,0597$; 1.3) $0,9^{12}\approx 0,282$

2.1.1) Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Desarrollamos $|D|$ por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo, el $-1$ de la posición $(3,2)$:

1. $|D|=(-1)\cdot (-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{cc}1& m\\ m& -1\end{array}\right|=(-1)(-1)\cdot (-1-m^2)$.
2. Por tanto $|D|=-1-m^2=-(m^2+1)$.
3. Como $m^2+1\ge 1>0$ para todo $m$ real, el determinante no se anula nunca.

Resultado: $D$ es invertible para todo $m\in \mathbb{R}$ (la estructura es estable para cualquier $m$).

2.1.2) Se cumple $|D^2|=|D|\cdot |D|=|D{|}^2$. Como $|D|=-(m^2+1)\ne 0$ para todo $m$, también $|D^2|=(m^2+1{)}^2>0$ para todo $m$. Luego $D^2$ es invertible siempre y ningún valor de $m$ pone en riesgo la estabilidad.

Resultado: no hay ningún valor de $m$ que lo ponga en riesgo, porque $|D^2|=(m^2+1{)}^2\ne 0$ para todo $m$.

2.1.3) $E$ es de dimensión $1\times 3$ y $F$ de dimensión $3\times 1$.

1. $EF$ existe (columnas de $E$ = filas de $F$ = 3) y es de dimensión $1\times 1$: $EF=1\cdot 1+4\cdot 2+3\cdot (-1)=1+8-3=6$.
2. $FE$ existe y es de dimensión $3\times 3$: $$FE=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 3\\ 2& 8& 6\\ -1& -4& -3\end{array}\right).$$
3. Trasponemos (las filas pasan a ser columnas): $$(FE{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 4& 8& -4\\ 3& 6& -3\end{array}\right).$$

Resultado: $EF=(6)$; $(FE{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 4& 8& -4\\ 3& 6& -3\end{array}\right)$

2.1.4) Para $m=0$ la matriz es $$D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 2& -1& 1\end{array}\right),|D|=-1.$$

1. Calculamos la inversa con la matriz adjunta. Los adjuntos son $C_{11}=-1$, $C_{12}=-2$, $C_{13}=0$, $C_{21}=0$, $C_{22}=1$, $C_{23}=1$, $C_{31}=0$, $C_{32}=1$, $C_{33}=0$. La matriz de adjuntos es $$\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right).$$
2. La inversa es $D^{-1}=\frac{1}{|D|}\mathrm{Adj}(D{)}^t=-\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ -2& 1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)$.
3. Despejamos $X$ en la ecuación: $\frac{1}{2}X=D^{-1}-D$, es decir, $X=2\left(D^{-1}-D\right)$.
4. Restamos: $D^{-1}-D=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -2& 0& -1\end{array}\right)$.
5. Multiplicamos por 2: $$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 4& -2& 0\\ -4& 0& -2\end{array}\right).$$

Comprobación: $\frac{1}{2}X+D=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -2& 0& -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 2& -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)=D^{-1}$.

Resultado: $X=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 4& -2& 0\\ -4& 0& -2\end{array}\right)$

Resultado: 2.1.1) $D$ es invertible para todo $m$; 2.1.2) ningún valor de $m$ pone en riesgo la estabilidad; 2.1.3) $EF=(6)$ y $(FE{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 4& 8& -4\\ 3& 6& -3\end{array}\right)$; 2.1.4) $X=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 4& -2& 0\\ -4& 0& -2\end{array}\right)$

2.2.1) El sistema tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Estudiamos los rangos con el teorema de Rouché-Frobenius, empezando por el determinante de $A$ (regla de Sarrus):

1. $|A|=1\cdot (5-0)-(-1)\cdot (0-m(m-1))+(m+1)\cdot (0-(m-1))$.
2. $|A|=5-m^2+m-(m^2-1)=-2m^2+m+6=-(2m+3)(m-2)$.
3. $|A|=0$ si $m=2$ o $m=-\frac{3}{2}$.

Caso $m\ne 2$ y $m\ne -\frac{3}{2}$. $|A|\ne 0$, así que $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3=$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (SCD).

Caso $m=2$. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 5\end{array}\right)$, $b=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 6\end{array}\right)$. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$ da $\mathrm{rg}A=2$. La tercera fila de la matriz ampliada es la primera más la segunda: $(1,-1,3\mid 3)+(0,1,2\mid 3)=(1,0,5\mid 6)$. Por tanto $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2$. Como $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2<3$: sistema compatible indeterminado (SCI).

Caso $m=-\frac{3}{2}$. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -\frac{1}{2}\\ 0& 1& -\frac{3}{2}\\ -\frac{5}{2}& 0& 5\end{array}\right)$, $b=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -\frac{9}{2}\end{array}\right)$. De nuevo el menor $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$ da $\mathrm{rg}A=2$. En la ampliada, el menor formado por las columnas 1, 2 y 4 es $$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 0& 1& 3\\ -\frac{5}{2}& 0& -\frac{9}{2}\end{array}\right|=-\frac{9}{2}+\frac{15}{2}+\frac{15}{2}=\frac{21}{2}\ne 0,$$ luego $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3\ne \mathrm{rg}A$: sistema incompatible (SI).

Resultado: SCD si $m\ne 2$ y $m\ne -\frac{3}{2}$; SCI si $m=2$; SI si $m=-\frac{3}{2}$.

2.2.2) Para $m=0$ el sistema es SCD, con solución única. Resolvemos:

$$\{\begin{array}{rl}x-y+z& =3\\ y& =3\\ -x+5z& =0\end{array}$$

1. De la segunda ecuación, $y=3$.
2. De la tercera, $x=5z$.
3. En la primera: $5z-3+z=3$, luego $6z=6$ y $z=1$. Entonces $x=5$.

Comprobación en la tercera ecuación: $-5+5\cdot 1=0$.

Resultado: $(x,y,z)=(5,3,1)$

2.2.3) El sistema tiene infinitas soluciones para $m=2$:

$$\{\begin{array}{rl}x-y+3z& =3\\ y+2z& =3\\ x+5z& =6\end{array}$$

1. La tercera ecuación es la suma de las otras dos, así que la eliminamos. Queda un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas y tomamos $z=\lambda$ como parámetro.
2. De la segunda: $y=3-2\lambda$.
3. De la primera: $x=3+y-3z=3+3-2\lambda -3\lambda =6-5\lambda$.

Resultado: $(x,y,z)=(6-5\lambda ,3-2\lambda ,\lambda )$, con $\lambda \in \mathbb{R}$

Resultado: 2.2.1) SCD si $m\ne 2,-\frac{3}{2}$; SCI si $m=2$; SI si $m=-\frac{3}{2}$; 2.2.2) $(5,3,1)$; 2.2.3) $(6-5\lambda ,3-2\lambda ,\lambda )$, $\lambda \in \mathbb{R}$

3.1.1) Los vectores normales son ${\vec{n}}_1=(2,-a^2,-a)$ y ${\vec{n}}_2=(a-1,-a,-1)$. Estudiamos cuándo son proporcionales, es decir, cuándo los planos son paralelos o coincidentes.

1. Si ${\vec{n}}_1=\lambda {\vec{n}}_2$, la tercera coordenada da $-a=-\lambda$, luego $\lambda =a$.
2. La segunda coordenada se cumple: $-a^2=-\lambda a=-a^2$.
3. La primera da $2=\lambda (a-1)=a(a-1)$, es decir, $a^2-a-2=0$, cuyas soluciones son $a=2$ y $a=-1$.
4. Si $a\ne 2$ y $a\ne -1$, los vectores normales no son proporcionales y los planos son secantes (se cortan en una recta).
5. Para $a=2$: ${\pi }_1:2x-4y-2z=1$ y ${\pi }_2:x-2y-z=2$. Como ${\vec{n}}_1=2{\vec{n}}_2$ y los términos independientes cumplen $1\ne 2\cdot 2=4$, los planos son paralelos distintos.
6. Para $a=-1$: ${\pi }_1:2x-y+z=-2$ y ${\pi }_2:-2x+y-z=-1$. Como ${\vec{n}}_1=-{\vec{n}}_2$ y los términos independientes cumplen $-2\ne (-1)(-1)=1$, los planos son paralelos distintos.

En ningún caso son coincidentes. Lo mismo se ve con rangos: para $a=2$ y $a=-1$ se tiene $\mathrm{rg}A=1$ y $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2$; en los demás casos, $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2$.

Resultado: si $a=2$ o $a=-1$, los planos son paralelos (no coincidentes); si $a\ne 2$ y $a\ne -1$, son secantes.

3.1.2) Para $a=0$: ${\pi }_1:2x=-1$, con ${\vec{n}}_1=(2,0,0)$, y ${\pi }_2:-x-z=0$, con ${\vec{n}}_2=(-1,0,-1)$.

1. El ángulo entre dos planos es el ángulo agudo entre sus vectores normales: $$\cos \phi =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|-2|}{2\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
2. Por tanto $\phi =45^{\circ }$.

Resultado: $\phi =45^{\circ }(=\pi /4\text{ rad})$

3.1.3) Para $a=0$, ${\pi }_1:2x+1=0$. Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano con $P=(1,0,-1)$:

$$d(P,{\pi }_1)=\frac{|2\cdot 1+0\cdot 0+0\cdot (-1)+1|}{\sqrt{2^2+0^2+0^2}}=\frac{3}{2}.$$

(Es coherente: ${\pi }_1$ es el plano $x=-\frac{1}{2}$ y $P$ tiene $x=1$, a distancia $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.)

Resultado: $d(P,{\pi }_1)=\frac{3}{2}=1,5$

Resultado: 3.1.1) paralelos no coincidentes si $a=2$ o $a=-1$; secantes en los demás casos; 3.1.2) $45^{\circ }$; 3.1.3) $\frac{3}{2}$

De las ecuaciones paramétricas de $r$ obtenemos un punto $A=(1,-1,1)$ y un vector director $\vec{d}=(1,-2,0)$. El plano $\pi :2x+y-3=0$ tiene vector normal ${\vec{n}}_{\pi }=(2,1,0)$.

3.2.1) Un plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$ queda determinado por el punto $A$ y por los vectores $\vec{d}$ y ${\vec{n}}_{\pi }$ (el plano contiene la dirección de $r$ y la dirección normal a $\pi$). Su vector normal es perpendicular a ambos:

1. $\vec{n}=\vec{d}\times {\vec{n}}_{\pi }=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 0\\ 2& 1& 0\end{array}\right|=(0,0,1+4)=(0,0,5)$.
2. Tomamos $\vec{n}=(0,0,1)$. El plano es $z+D=0$ y pasa por $A=(1,-1,1)$, luego $1+D=0$ y $D=-1$.

El plano $z=1$ contiene a $r$ (todos sus puntos tienen $z=1$) y es perpendicular a $\pi$ porque $\vec{n}\cdot {\vec{n}}_{\pi }=0$.

Resultado: $z-1=0$

3.2.2) Un plano paralelo a $\pi$ tiene vector normal $(2,1,0)$, es decir, ecuación $2x+y+D=0$. Para que contenga a $r$ hace falta que:

1. Su normal sea perpendicular a la dirección de $r$: ${\vec{n}}_{\pi }\cdot \vec{d}=2\cdot 1+1\cdot (-2)+0=0$. Se cumple.
2. Contenga un punto de $r$: con $A=(1,-1,1)$, $2\cdot 1+(-1)+D=0$, luego $D=-1$.

Existe, y es único: $2x+y-1=0$. Todo punto de $r$ lo cumple: $2(1+\alpha )+(-1-2\alpha )-1=0$. Este plano es distinto de $\pi$ (porque $-1\ne -3$), como corresponde a que $r$ sea paralela a $\pi$ y no esté contenida en él.

Resultado: $2x+y-1=0$

Resultado: 3.2.1) $z-1=0$; 3.2.2) $2x+y-1=0$

4.1.1) La función $f(x)=x^4-7x^2+16$ es un polinomio, continuo y derivable en todo $\mathbb{R}$.

1. Es par: $f(-x)=f(x)$, así que su gráfica es simétrica respecto del eje $Y$.
2. Derivamos: $f^{\prime }(x)=4x^3-14x=2x(2x^2-7)$.
3. Igualamos a cero: $x=0$ o $2x^2=7$, es decir, $x=\pm \sqrt{\frac{7}{2}}=\pm \frac{\sqrt{14}}{2}\approx \pm 1,87$.
4. Estudiamos el signo de $f^{\prime }$ en los intervalos que determinan los tres puntos críticos:

5. Valores de la función: $f(0)=16$ y $f\left(\pm \sqrt{\frac{7}{2}}\right)=\frac{49}{4}-\frac{49}{2}+16=\frac{49-98+64}{4}=\frac{15}{4}$.
6. Por el cambio de signo de $f^{\prime }$: en $x=0$ pasa de crecer a decrecer, hay un máximo relativo en $(0,16)$; en $x=\pm \frac{\sqrt{14}}{2}$ pasa de decrecer a crecer, hay mínimos relativos en $\left(\pm \frac{\sqrt{14}}{2},\frac{15}{4}\right)$. Como $f(x)\to +\infty$ cuando $x\to \pm \infty$, los mínimos son absolutos.
7. Para dibujar la gráfica, además: no corta al eje $X$ (los mínimos están en $y=3,75>0$) y corta al eje $Y$ en $(0,16)$. La curva tiene forma de «W»: baja desde la izquierda hasta el mínimo $(-1,87;3,75)$, sube hasta el máximo $(0,16)$, baja hasta el mínimo $(1,87;3,75)$ y sube de nuevo.

Resultado: $f$ decrece en $\left(-\infty ,-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)\cup \left(0,\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$ y crece en $\left(-\frac{\sqrt{14}}{2},0\right)\cup \left(\frac{\sqrt{14}}{2},+\infty \right)$; máximo relativo en $(0,16)$; mínimos en $\left(\pm \frac{\sqrt{14}}{2},\frac{15}{4}\right)$.

4.1.2) Puntos de corte: igualamos $f(x)=g(x)$.

1. $x^4-7x^2+16=x^2$, es decir, $x^4-8x^2+16=0$.
2. Reconocemos un cuadrado perfecto: ${\left(x^2-4\right)}^2=0$, luego $x^2=4$ y $x=\pm 2$.
3. Los puntos de corte son $(-2,4)$ y $(2,4)$ (son raíces dobles: las curvas son tangentes en ellos, no se cruzan).

Área comprendida entre las curvas:

4. En $[-2,2]$ se cumple $f(x)-g(x)=(x^2-4{)}^2\ge 0$, así que $f$ queda por encima de $g$ (por ejemplo, en $x=0$: $f=16>g=0$).
5. El área es $A={\int }_{-2}^2\left(x^4-8x^2+16\right)dx$. Por la simetría del integrando (función par): $$A=2{\int }_0^2\left(x^4-8x^2+16\right)dx=2{\left[\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}+16x\right]}_0^2=2\left(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32\right).$$
6. Con denominador común 15: $\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32=\frac{96-320+480}{15}=\frac{256}{15}$, luego $A=\frac{512}{15}\approx 34,1$.

Resultado: puntos de corte $(-2,4)$ y $(2,4)$; área $=\frac{512}{15}\approx 34,1{\text{u}}^2$

Resultado: 4.1.1) decrece en $\left(-\infty ,-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)\cup \left(0,\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$, crece en $\left(-\frac{\sqrt{14}}{2},0\right)\cup \left(\frac{\sqrt{14}}{2},+\infty \right)$, máximo en $(0,16)$, mínimos en $\left(\pm \frac{\sqrt{14}}{2},\frac{15}{4}\right)$; 4.1.2) cortes en $x=\pm 2$ y área $\frac{512}{15}\approx 34,1$

4.2.1) Sea $x$ la distancia (en km) entre el punto de la costa donde el oleoducto toca tierra y la refinería, con $0\le x\le 8$.

1. El tramo sobre tierra mide $x$ km. A 0,6 millones de euros por km cuesta $0,6x$.
2. El punto donde el oleoducto toca la costa está a $8-x$ km de $P$. El tramo bajo el agua es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $6$ y $8-x$, y mide $\sqrt{36+(8-x{)}^2}$ km. A 1 millón de euros por km cuesta $\sqrt{36+(8-x{)}^2}$.
3. El coste total, en millones de euros, es: $$C(x)=\sqrt{36+(8-x{)}^2}+0,6x,0\le x\le 8.$$

Resultado: $C(x)=\sqrt{36+(8-x{)}^2}+0,6x$ millones de euros, con $x\in [0,8]$

4.2.2) Minimizamos $C(x)$ en $[0,8]$.

1. Derivamos: $C^{\prime }(x)=\frac{-(8-x)}{\sqrt{36+(8-x{)}^2}}+0,6$.
2. Igualamos a cero: $\frac{8-x}{\sqrt{36+(8-x{)}^2}}=0,6$. Con $u=8-x>0$: $u=0,6\sqrt{36+u^2}$.
3. Elevamos al cuadrado: $u^2=0,36(36+u^2)$, de donde $0,64u^2=12,96$ y $u^2=20,25$, es decir, $u=4,5$.
4. Por tanto $8-x=4,5$ y $x=3,5$ km.
5. Comprobamos que es mínimo. La derivada segunda es $$C^{\prime \prime }(x)=\frac{36}{{\left(36+(8-x{)}^2\right)}^{3/2}}>0\text{para todo }x,$$ luego la función es convexa y $x=3,5$ es un mínimo. Lo confirman los extremos del intervalo: $C(0)=10$ y $C(8)=6+4,8=10,8$, ambos mayores que el valor en $x=3,5$ (se calcula en 4.2.3).

Resultado: $x=3,5$ km

4.2.3) Sustituimos $x=3,5$ en $C(x)$:

1. Tramo bajo el agua: $\sqrt{36+4,5^2}=\sqrt{56,25}=7,5$ km, que cuesta $7,5$ millones de euros.
2. Tramo sobre tierra: $0,6\cdot 3,5=2,1$ millones de euros.
3. Coste total: $C(3,5)=7,5+2,1=9,6$ millones de euros.

Resultado: $C(3,5)=9,6$ millones de euros

Resultado: 4.2.1) $C(x)=\sqrt{36+(8-x{)}^2}+0,6x$; 4.2.2) $x=3,5$ km; 4.2.3) $9,6$ millones de euros