Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Julio 2025 (convocatoria DANA)

Llamamos $B$ y $M$ a los sucesos «tiempo bueno» y «tiempo malo», $P$ a «el vuelo llega puntual» y $R$ a «el vuelo llega con más de 3 horas de retraso».

Datos.

1. $P(B)=0,9$ y $P(M)=1-0,9=0,1$.
2. Con tiempo bueno: $P(P\mid B)=0,7$ y $P(R\mid B)=0,1$.
3. Con tiempo malo: $P(P\mid M)=0,4$ y $P(R\mid M)=0,3$.

1.1) Probabilidad total, condicionando al tiempo:

$$P(R)=P(B)P(R\mid B)+P(M)P(R\mid M)=0,9\cdot 0,1+0,1\cdot 0,3=0,09+0,03=0,12.$$

Resultado: $P(R)=0,12$

1.2) Buscamos $P(M\mid P)$, que se calcula con el teorema de Bayes.

1. Probabilidad de que un vuelo sea puntual (probabilidad total):

$$P(P)=0,9\cdot 0,7+0,1\cdot 0,4=0,63+0,04=0,67.$$

2. Bayes:

$$P(M\mid P)=\frac{P(M)P(P\mid M)}{P(P)}=\frac{0,1\cdot 0,4}{0,67}=\frac{0,04}{0,67}=\frac{4}{67}\approx 0,0597.$$

Resultado: $P(M\mid P)=\frac{4}{67}\approx 0,0597$

1.3) Con tiempo bueno, el vuelo enlaza si llega con 3 horas o menos de retraso, es decir, si no llega con más de 3 horas:

$$P(\text{enlazar}\mid B)=1-P(R\mid B)=1-0,1=0,9.$$

1. Un viaje al mes durante un año son $12$ viajes, todos con buen tiempo e independientes entre sí. Sea $X$ el número de viajes en los que enlaza: $X\sim B(12;0,9)$.
2. Nos piden que enlace en los 12:

$$P(X=12)=0,9^{12}\approx 0,2824.$$

(La tabla no llega a $p=0,9$, pero no hace falta: con la calculadora basta elevar $0,9$ a la potencia $12$. Con la tabla se llegaría al mismo valor como $P(Y=0)$, siendo $Y=12-X\sim B(12;0,1)$ el número de viajes en los que no enlaza: $P(Y=0)=0,2824$.)

Resultado: $P(X=12)=0,9^{12}\approx 0,2824$

Resultado: 1.1) $0,12$; 1.2) $\frac{4}{67}\approx 0,0597$; 1.3) $0,9^{12}\approx 0,2824$

2.1.1) Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Desarrollamos $|D|$ por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo (el $-1$ de la fila 3, que lleva signo $(-1{)}^{3+2}=-1$):

$$|D|=(-1)\cdot (-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{cc}1& m\\ m& -1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& m\\ m& -1\end{array}\right|=-1-m^2=-(m^2+1).$$

Como $m^2+1\ge 1>0$ para todo $m$ real, $|D|\ne 0$ siempre.

Resultado: $|D|=-(m^2+1)\ne 0$, luego $D$ tiene inversa para todo $m\in \mathbb{R}$.

2.1.2)

1. $E$ es $1\times 3$ y $F$ es $3\times 1$: el producto $EF$ existe y es de orden $1\times 1$:

$$EF=1\cdot 1+4\cdot 2+3\cdot (-1)=1+8-3=6.$$

2. El producto $FE$ ($3\times 1$ por $1\times 3$) también existe y es de orden $3\times 3$; cada fila de $FE$ es la fila $E$ multiplicada por el elemento correspondiente de $F$:

$$FE=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 3\\ 2& 8& 6\\ -1& -4& -3\end{array}\right).$$

3. Trasponemos (filas por columnas):

$$(FE{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 4& 8& -4\\ 3& 6& -3\end{array}\right).$$

Resultado: $EF=(6)$ y $(FE{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 4& 8& -4\\ 3& 6& -3\end{array}\right)$

2.1.3) Para $m=0$:

$$D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 2& -1& 1\end{array}\right),|D|=-1.$$

1. Despejamos $X$: $\frac{1}{2}X=D^{-1}-D$, luego $X=2\left(D^{-1}-D\right)$.
2. Calculamos $D^{-1}$ resolviendo $Dv=w$ con $v=(v_1,v_2,v_3{)}^t$ y $w=(w_1,w_2,w_3{)}^t$: $v_1=w_1$; $-v_3=w_2$, es decir, $v_3=-w_2$; $2v_1-v_2+v_3=w_3$, es decir, $v_2=2w_1-w_2-w_3$. Por tanto

$$D^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right).$$

Comprobación: la fila 3 de $D$ por las columnas de $D^{-1}$ da $(2-2+0,0+1-1,0+1+0)=(0,0,1)$ y la fila 2 da $(0,1,0)$.

3. Restamos y multiplicamos por 2:

$$D^{-1}-D=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -2& 0& -1\end{array}\right)⟹X=2\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -2& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 4& -2& 0\\ -4& 0& -2\end{array}\right).$$

Resultado: $X=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 4& -2& 0\\ -4& 0& -2\end{array}\right)$

Resultado: 2.1.1) $|D|=-(m^2+1)\ne 0$, $D$ siempre es invertible; 2.1.2) $EF=(6)$, $(FE{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 4& 8& -4\\ 3& 6& -3\end{array}\right)$; 2.1.3) $X=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 4& -2& 0\\ -4& 0& -2\end{array}\right)$

2.2.1)

1. Calculamos $|A|$ desarrollando por la primera columna:

$$|A|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& m\\ 0& 5\end{array}\right|+(m-1)\left|\begin{array}{cc}-1& m+1\\ 1& m\end{array}\right|=5+(m-1)\left(-m-m-1\right)=5-(m-1)(2m+1).$$

Desarrollando: $(m-1)(2m+1)=2m^2-m-1$, luego

$$|A|=5-2m^2+m+1=-2m^2+m+6=-(2m^2-m-6).$$

2. Igualamos a cero: $2m^2-m-6=0\Rightarrow m=\frac{1\pm \sqrt{1+48}}{4}=\frac{1\pm 7}{4}$, es decir, $m=2$ o $m=-\frac{3}{2}$.
3. Si $m\ne 2$ y $m\ne -\frac{3}{2}$: $|A|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=3$.
4. Si $m=2$ o $m=-\frac{3}{2}$: $|A|=0$, luego $\mathrm{rg}A<3$. Pero el menor formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas es $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$ (no depende de $m$), así que $\mathrm{rg}A=2$.

Resultado: si $m\ne 2,-\frac{3}{2}$: $\mathrm{rg}A=3$; si $m=2$ o $m=-\frac{3}{2}$: $\mathrm{rg}A=2$.

2.2.2) Para $m=0$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 5\end{array}\right),|A|=6\ne 0,$$

así que $A$ es invertible (el valor $m=0$ no es ninguno de los dos valores críticos) y también lo es $\frac{1}{6}A$.

1. Usamos ${\left(kA\right)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$, de modo que ${\left(\frac{1}{6}A\right)}^{-1}=6A^{-1}$.
2. Calculamos $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{\left(\mathrm{Adj}A\right)}^t$. Adjuntos de $A$:

$$\begin{array}{rlrlrl}{A}_{11}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 5\end{array}\right|=5,& A_{12}& =-\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ -1& 5\end{array}\right|=0,& A_{13}& =\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=1,\\ A_{21}& =-\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 5\end{array}\right|=5,& A_{22}& =\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 5\end{array}\right|=6,& A_{23}& =-\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 0\end{array}\right|=1,\\ A_{31}& =\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1,& A_{32}& =-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right|=0,& A_{33}& =\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right|=1.\end{array}$$

3. Trasponemos la matriz de adjuntos y dividimos entre $|A|=6$:

$$A^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}5& 5& -1\\ 0& 6& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$$

4. Por tanto

$${\left(\frac{1}{6}A\right)}^{-1}=6A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}5& 5& -1\\ 0& 6& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$$

Comprobación: la primera fila de $A$ por las columnas de $A^{-1}$ (sin el factor $\frac{1}{6}$) da $(5-0+1,5-6+1,-1-0+1)=(6,0,0)$.

Resultado: ${\left(\frac{1}{6}A\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}5& 5& -1\\ 0& 6& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

Resultado: 2.2.1) $\mathrm{rg}A=3$ si $m\ne 2,-\frac{3}{2}$ y $\mathrm{rg}A=2$ si $m=2$ o $m=-\frac{3}{2}$; 2.2.2) $\left(\begin{array}{ccc}5& 5& -1\\ 0& 6& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

3.1.1) Los vectores normales son $n_1=(2,-a^2,-a)$ y $n_2=(a-1,-a,-1)$. Los planos son paralelos o coincidentes cuando $n_1$ y $n_2$ son proporcionales, es decir, cuando su producto vectorial es nulo; si no lo son, los planos se cortan.

1. Calculamos $n_1\times n_2$:

$$n_1\times n_2=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -a^2& -a\\ a-1& -a& -1\end{array}\right|=(a^2-a^2,-(-2+a(a-1)),-2a+a^2(a-1)).$$

Simplificando: primera componente $0$; segunda, $2-a^2+a=-(a^2-a-2)=-(a-2)(a+1)$; tercera, $a^3-a^2-2a=a(a-2)(a+1)$. Es decir,

$$n_1\times n_2=(a-2)(a+1)(0,-1,a).$$

2. Se anula si y solo si $a=2$ o $a=-1$. Para cualquier otro valor ($a\ne 2,-1$), $n_1$ y $n_2$ no son proporcionales y los planos se cortan en una recta.
3. $a=2$: ${\pi }_1:2x-4y-2z=1$ y ${\pi }_2:x-2y-z=2$. Multiplicando ${\pi }_2$ por 2 queda $2x-4y-2z=4$, con el mismo primer miembro que ${\pi }_1$ pero distinto término independiente ($1\ne 4$): paralelos no coincidentes.
4. $a=-1$: ${\pi }_1:2x-y+z=-2$ y ${\pi }_2:-2x+y-z=-1$, es decir, $2x-y+z=1$. Mismo primer miembro y términos independientes distintos ($-2\ne 1$): paralelos no coincidentes.

En ningún caso coinciden.

Resultado: si $a=2$ o $a=-1$, los planos son paralelos no coincidentes; si $a\ne 2,-1$, se cortan (nunca coinciden).

3.1.2) Para $a=0$: ${\pi }_1:2x=-1$, con $n_1=(2,0,0)$, y ${\pi }_2:-x-z=0$, con $n_2=(-1,0,-1)$.

El ángulo entre dos planos es el ángulo agudo entre sus vectores normales:

$$\cos \alpha =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{|-2|}{2\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹\alpha =\frac{\pi }{4}\text{rad}=45^{\circ }.$$

Resultado: $\alpha =\frac{\pi }{4}$ ($45^{\circ }$)

3.1.3) Para $a=0$, ${\pi }_1:2x+1=0$. Con $P(1,0,-1)$:

$$d(P,{\pi }_1)=\frac{|2\cdot 1+0\cdot 0+0\cdot (-1)+1|}{\sqrt{2^2+0^2+0^2}}=\frac{3}{2}.$$

(Es el plano $x=-\frac{1}{2}$, y la distancia de $P$, con $x=1$, es $1-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$.)

Resultado: $d(P,{\pi }_1)=\frac{3}{2}$

Resultado: 3.1.1) $a=2$ y $a=-1$: paralelos no coincidentes; $a\ne 2,-1$: se cortan; 3.1.2) $\frac{\pi }{4}$; 3.1.3) $\frac{3}{2}$

De la recta leemos un punto $A(1,-1,1)$ y un vector director $d=(1,-2,0)$. Del plano, su vector normal $n=(2,1,0)$.

Observamos que $d\cdot n=2-2+0=0$: la recta es paralela al plano $\pi$ (y no está contenida en él, porque $A$ no lo cumple: $2-1-3=-2\ne 0$).

3.2.1) El plano buscado $\sigma$ contiene a $r$, luego pasa por $A$ y contiene la dirección $d$; y es perpendicular a $\pi$, luego contiene la dirección del normal $n$ de $\pi$.

1. Un vector normal a $\sigma$ es perpendicular a $d$ y a $n$:

$$d\times n=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 0\\ 2& 1& 0\end{array}\right|=(0,0,1\cdot 1-(-2)\cdot 2)=(0,0,5)\parallel (0,0,1).$$

2. El plano es $z+D=0$ y, como pasa por $A(1,-1,1)$, $1+D=0$, luego $D=-1$.

Comprobación: todos los puntos de $r$ tienen $z=1$, así que están en el plano $z=1$; y su normal $(0,0,1)$ cumple $(0,0,1)\cdot (2,1,0)=0$, luego es perpendicular a $\pi$.

Resultado: $z=1$ (es decir, $z-1=0$)

3.2.2) Un plano paralelo a $\pi$ tiene la forma $2x+y+D=0$. Existirá uno que contenga a $r$ solo si $r$ es paralela a $\pi$, y ya hemos visto que lo es.

1. Imponemos que contenga al punto $A(1,-1,1)$: $2\cdot 1+(-1)+D=0$, luego $D=-1$.
2. Como además $d\cdot n=0$, todos los puntos de $r$ lo cumplen: $2(1+\alpha )+(-1-2\alpha )-1=0$ para todo $\alpha$.

Existe, y es único.

Resultado: $2x+y-1=0$

4.1.1)

1. Derivamos: $f^{\prime }(x)=4x^3-14x=2x(2x^2-7)$.
2. $f^{\prime }(x)=0$ cuando $x=0$ o $2x^2=7$, es decir, $x=\pm \sqrt{\frac{7}{2}}=\pm \frac{\sqrt{14}}{2}\approx \pm 1,87$.
3. Estudiamos el signo de $f^{\prime }$ en los intervalos que determinan esos tres puntos (usamos que $2x^2-7<0$ si $|x|<\frac{\sqrt{14}}{2}$ y $>0$ si es mayor):

4. Extremos: $f$ pasa de decrecer a crecer en $x=\pm \frac{\sqrt{14}}{2}$ (mínimos) y de crecer a decrecer en $x=0$ (máximo). Sus valores:

$$f(0)=16,f\left(\pm \frac{\sqrt{14}}{2}\right)={\left(\frac{7}{2}\right)}^2-7\cdot \frac{7}{2}+16=\frac{49}{4}-\frac{98}{4}+\frac{64}{4}=\frac{15}{4}=3,75.$$

Resultado: $f$ decrece en $\left(-\infty ,-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)\cup \left(0,\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$ y crece en $\left(-\frac{\sqrt{14}}{2},0\right)\cup \left(\frac{\sqrt{14}}{2},+\infty \right)$. Máximo relativo en $(0,16)$; mínimos relativos en $\left(-\frac{\sqrt{14}}{2},\frac{15}{4}\right)$ y $\left(\frac{\sqrt{14}}{2},\frac{15}{4}\right)$.

4.1.2)

1. Puntos de corte: $f(x)=g(x)\Rightarrow x^4-7x^2+16=x^2\Rightarrow x^4-8x^2+16=0\Rightarrow (x^2-4{)}^2=0\Rightarrow x=\pm 2$ (raíces dobles: las curvas son tangentes en esos puntos, sin cruzarse).
2. Entre $-2$ y $2$ la diferencia $f(x)-g(x)=(x^2-4{)}^2$ es siempre $\ge 0$, luego $f$ está por encima de $g$ y la región finita encerrada está entre $x=-2$ y $x=2$.
3. El integrando es par, así que:

$$\text{Aˊrea}={\int }_{-2}^2\left(x^4-8x^2+16\right)dx=2{\int }_0^2\left(x^4-8x^2+16\right)dx=2{\left[\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}+16x\right]}_0^2.$$

$$=2\left(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32\right)=2\cdot \frac{96-320+480}{15}=2\cdot \frac{256}{15}=\frac{512}{15}\approx 34,13.$$

Resultado: Área $=\frac{512}{15}\approx 34,13$ u${}^2$

Resultado: 4.1.1) decrece en $\left(-\infty ,-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)\cup \left(0,\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$, crece en $\left(-\frac{\sqrt{14}}{2},0\right)\cup \left(\frac{\sqrt{14}}{2},+\infty \right)$; máximo $(0,16)$; mínimos $\left(\pm \frac{\sqrt{14}}{2},\frac{15}{4}\right)$; 4.1.2) $\frac{512}{15}\approx 34,13$

Llamamos $Q$ al punto donde el oleoducto toca la costa, $R$ a la refinería y $S$ a la plataforma. Medimos las distancias sobre la costa: $PR=8$, $QR=x$ y, por tanto, $PQ=8-x$, con $0\le x\le 8$.

4.2.1)

1. Tramo bajo el agua, de $S$ a $Q$: $S$, $P$ y $Q$ forman un triángulo rectángulo en $P$ con catetos $SP=6$ y $PQ=8-x$. Por Pitágoras, $SQ=\sqrt{36+(8-x{)}^2}$ km, a 1 millón de euros por kilómetro.
2. Tramo sobre tierra, de $Q$ a $R$: $x$ km, a $0,6$ millones por kilómetro, es decir, $0,6x$.
3. Coste total, en millones de euros:

$$C(x)=\sqrt{36+(8-x{)}^2}+0,6x,0\le x\le 8.$$

Resultado: $C(x)=\sqrt{36+(8-x{)}^2}+0,6x$ millones de euros, con $x\in [0,8]$

4.2.2)

1. Derivamos:

$$C^{\prime }(x)=\frac{-(8-x)}{\sqrt{36+(8-x{)}^2}}+0,6.$$

2. Igualamos a cero: $\frac{8-x}{\sqrt{36+(8-x{)}^2}}=0,6$. Con $u=8-x>0$: $u=0,6\sqrt{36+u^2}$. Elevamos al cuadrado (ambos miembros positivos):

$$u^2=0,36(36+u^2)⟹0,64u^2=12,96⟹u^2=20,25⟹u=4,5.$$

3. Entonces $x=8-4,5=3,5$ km (dentro del intervalo $[0,8]$).
4. Es un mínimo: la segunda derivada es

$$C^{\prime \prime }(x)=\frac{36}{{\left(36+(8-x{)}^2\right)}^{3/2}}>0\text{para todo }x,$$

así que $C$ es convexa y su único punto crítico es un mínimo. También se comprueba en los extremos del intervalo: $C(0)=\sqrt{100}=10$ y $C(8)=6+4,8=10,8$, ambos mayores que el valor en $x=3,5$ (que se calcula a continuación).

Resultado: $x=3,5$ km

4.2.3) Para $x=3,5$: $8-x=4,5$ y

$$C(3,5)=\sqrt{36+20,25}+0,6\cdot 3,5=\sqrt{56,25}+2,1=7,5+2,1=9,6.$$

Resultado: el coste mínimo es de $9,6$ millones de euros.

Resultado: 4.2.1) $C(x)=\sqrt{36+(8-x{)}^2}+0,6x$; 4.2.2) $x=3,5$ km; 4.2.3) $9,6$ millones de euros