Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Julio 2025

Cada publicación recibe un «Like» con probabilidad $p=\frac{3}{5}=0,6$ y no lo recibe con probabilidad $q=0,4$; suponemos las publicaciones independientes. Sea $X$ el número de «Likes» en 4 publicaciones: $X\sim B(4;0,6)$.

1.1) No recibir ningún «Like» en las cuatro publicaciones significa $X=0$:

$$P(X=0)=0,4^4=0,0256=\frac{16}{625}.$$

(Con la tabla, tomando $Y=4-X\sim B(4;0,4)$, el número de publicaciones sin «Like»: $P(X=0)=P(Y=4)=1-P(Y\le 3)=1-0,9744=0,0256$.)

Resultado: $P(X=0)=0,0256$

1.2) «No más de dos «Likes»» es $X\le 2$. La tabla solo llega hasta $p=0,5$, así que pasamos a las publicaciones sin «Like», $Y=4-X\sim B(4;0,4)$:

1. $X\le 2$ equivale a $Y\ge 2$.
2. Con la tabla de $B(4;0,4)$: $P(Y\le 1)=0,4752$.
3. Por tanto

$$P(X\le 2)=P(Y\ge 2)=1-P(Y\le 1)=1-0,4752=0,5248.$$

Comprobación directa: $P(X\le 2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-4\cdot 0,6^3\cdot 0,4-0,6^4=1-0,3456-0,1296=0,5248$.

Resultado: $P(X\le 2)=0,5248$

1.3) Con $n$ publicaciones, $X\sim B(n;0,6)$ y

$$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0,4^n.$$

1. Imponemos $1-0,4^n>0,999$, es decir, $0,4^n<0,001$.
2. Tomamos logaritmos (y como $\ln 0,4<0$ se invierte la desigualdad): $n\ln 0,4<\ln 0,001\Rightarrow n>\frac{\ln 0,001}{\ln 0,4}\approx 7,54$.
3. El menor entero que lo cumple es $n=8$. Comprobación: $0,4^7=0,0016384>0,001$ (no basta) y $0,4^8=0,00065536<0,001$ (sí).

Resultado: $n=8$ publicaciones

Resultado: 1.1) $0,0256$; 1.2) $0,5248$; 1.3) $8$ publicaciones

Calculamos antes los datos que usaremos:

$$\det A=(-2)(-2)-1\cdot 3=1,\det B=1\cdot (-1)-2\cdot 0=-1,$$

$$B^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I.$$

Como $\det A\ne 0$, $A$ es invertible.

2.1.1) Usamos $(PQ{)}^{-1}=Q^{-1}{P}^{-1}$.

1. Primer miembro: $(A^{-1}X{)}^{-1}=X^{-1}A$.
2. Segundo miembro: $A(B^{2}A{)}^{-1}=A{A}^{-1}(B^2{)}^{-1}=(B^2{)}^{-1}=I^{-1}=I$.
3. La ecuación queda $X^{-1}A=I$. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha: $X^{-1}=A^{-1}$, luego $X=A$.

Comprobación: con $X=A$, $(A^{-1}A{)}^{-1}=I$ y $A(B^{2}A{)}^{-1}=A{A}^{-1}=I$.

Resultado: $X=A=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3& -2\end{array}\right)$

2.1.2) Usamos $\det (PQ)=\det P\det Q$, $\det (P^n)=(\det P{)}^n$ y, para matrices $2\times 2$, $\det (kP)=k^2\det P$.

1. $\det \left(3A^{5}B\right)=3^2(\det A{)}^5\det B=9\cdot 1^5\cdot (-1)=-9$.
2. $\det \left((3A^{5}B{)}^2\right)={\left(\det (3A^{5}B)\right)}^2=(-9{)}^2=81$.

Resultado: $81$

2.1.3)

1. Como $B^2=I$, las potencias de $B$ se repiten: $B^{100}=(B^2{)}^{50}=I$ y $B^{99}=B^{98}B=(B^2{)}^{49}B=B$.
2. Calculamos el segundo miembro: $A+C=\left(\begin{array}{cc}-2+3& 1-1\\ 3-3& -2+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$.
3. La ecuación es $aI+bB=I$, es decir,

$$\left(\begin{array}{cc}a+b& 2b\\ 0& a-b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)⟹\{\begin{array}{rl}a+b& =1\\ 2b& =0\\ a-b& =1\end{array}$$

4. De la segunda ecuación $b=0$, y entonces $a=1$ (cumple la primera y la tercera).

Resultado: $a=1$, $b=0$

Resultado: 2.1.1) $X=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3& -2\end{array}\right)$; 2.1.2) $81$; 2.1.3) $a=1$, $b=0$

La matriz de coeficientes y la ampliada son

$$M=\left(\begin{array}{ccc}1& -a& -1\\ a& -1& 1\\ a& 1& 0\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -a& -1& -a\\ a& -1& 1& a\\ a& 1& 0& a\end{array}\right).$$

2.2.1)

1. Calculamos $|M|$ desarrollando por la tercera fila:

$$|M|=a\left|\begin{array}{cc}-a& -1\\ -1& 1\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ a& 1\end{array}\right|=a(-a-1)-(1+a)=-(a+1)(a+1)=-(a+1{)}^2.$$

2. Se anula solo para $a=-1$.
3. Si $a\ne -1$: $|M|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}M=\mathrm{rg}{M}^{\ast }=3$, igual al número de incógnitas: sistema compatible determinado.
4. Si $a=-1$:

$$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& -1& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ -1& -1& 1& -1\\ -1& 1& 0& -1\end{array}\right).$$

La segunda fila es la primera cambiada de signo (también en la ampliada), y el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right|=2\ne 0$. Por tanto $\mathrm{rg}M=2$ y $\mathrm{rg}{M}^{\ast }=2$ (la tercera fila no es proporcional a las otras y la segunda es redundante). Como $\mathrm{rg}M=\mathrm{rg}{M}^{\ast }=2<3$: sistema compatible indeterminado.

Resultado: si $a\ne -1$, compatible determinado; si $a=-1$, compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro); nunca es incompatible.

2.2.2) Para $a\ne -1$ resolvemos a mano:

1. Sumamos las dos primeras ecuaciones: $(1+a)x-(a+1)y=0$, es decir, $(a+1)(x-y)=0$. Como $a\ne -1$, $y=x$.
2. En la tercera: $ax+x=a$, luego $(a+1)x=a$ y $x=\frac{a}{a+1}$. Así $y=\frac{a}{a+1}$.
3. De la primera: $z=x-ay+a=(1-a)\frac{a}{a+1}+a=\frac{a-a^2+a^2+a}{a+1}=\frac{2a}{a+1}$.

Comprobación en la segunda ecuación: $ax-y+z=\frac{a^2-a+2a}{a+1}=\frac{a(a+1)}{a+1}=a$.

Resultado: para $a\ne -1$ la única solución es $(x,y,z)=\left(\frac{a}{a+1},\frac{a}{a+1},\frac{2a}{a+1}\right)$

Resultado: 2.2.1) $a\ne -1$: SCD; $a=-1$: SCI; 2.2.2) $(x,y,z)=\left(\frac{a}{a+1},\frac{a}{a+1},\frac{2a}{a+1}\right)$ para $a\ne -1$

Los vectores normales son ${\vec{n}}_1=(1,2,m)$ y ${\vec{n}}_2=(1,0,1)$. El ángulo entre dos planos es el ángulo agudo entre sus vectores normales.

3.1.1) Dos planos son perpendiculares si lo son sus normales: ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=0$.

$${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=1\cdot 1+2\cdot 0+m\cdot 1=1+m=0⟹m=-1.$$

Resultado: $m=-1$

3.1.2) Imponemos que el ángulo $\alpha$ valga $45^{\circ }$:

$$\cos 45^{\circ }=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}⟹\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|1+m|}{\sqrt{5+m^2}\sqrt{2}}.$$

1. Despejamos: $|1+m|=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{2}\sqrt{5+m^2}=\sqrt{5+m^2}$.
2. Elevamos al cuadrado: $(1+m{)}^2=5+m^2\Rightarrow 1+2m+m^2=5+m^2\Rightarrow 2m=4$.
3. Luego $m=2$. Comprobación: $|1+2|=3$ y $\sqrt{5+4}=3$.

Resultado: $m=2$

3.1.3) La recta es el conjunto de puntos que cumplen las ecuaciones de los dos planos. Se pide para el parámetro $m$ del enunciado.

1. Dirección: es perpendicular a las dos normales, así que

$$\vec{d}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& m\\ 1& 0& 1\end{array}\right|=(2\cdot 1-m\cdot 0,-(1\cdot 1-m\cdot 1),1\cdot 0-2\cdot 1)=(2,m-1,-2).$$

2. Un punto: de ${\pi }_2$, $z=6-x$. Tomando $x=0$ resulta $z=6$ y, en ${\pi }_1$, $2y+6m=-1$, luego $y=-\frac{1+6m}{2}$. Punto: $\left(0,-\frac{1+6m}{2},6\right)$.
3. Ecuaciones paramétricas:

$$\{\begin{array}{rl}x& =2t\\ y& =-\frac{1+6m}{2}+(m-1)t\\ z& =6-2t\end{array}t\in \mathbb{R}.$$

Por ejemplo, para el valor $m=2$ del apartado anterior: $(x,y,z)=\left(0,-\frac{13}{2},6\right)+t(2,1,-2)$.

Comprobación: en ${\pi }_2$, $2t+6-2t=6$ y en ${\pi }_1$, $2t-(1+6m)+2(m-1)t+m(6-2t)=-1$.

Resultado: $(x,y,z)=\left(0,-\frac{1+6m}{2},6\right)+t(2,m-1,-2)$, $t\in \mathbb{R}$ (para $m=2$: $(0,-\frac{13}{2},6)+t(2,1,-2)$)

Resultado: 3.1.1) $m=-1$; 3.1.2) $m=2$; 3.1.3) $(x,y,z)=\left(0,-\frac{1+6m}{2},6\right)+t(2,m-1,-2)$

3.2.1) Una recta está contenida en un plano si uno de sus puntos pertenece al plano y su vector director es perpendicular al vector normal del plano.

1. $P=(0,1,-1)$: $3\cdot 0+1-(-1)=2$, luego $P\in \pi$.
2. Vector director de la recta: $\overrightarrow{PQ}=(1,a-1,2)$. Vector normal: $\vec{n}=(3,1,-1)$.
3. Imponemos $\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{n}=0$:

$$3+(a-1)-2=0⟹a=0.$$

Comprobación: para $a=0$, $Q=(1,0,1)$ y $3+0-1=2$, así que $Q\in \pi$ y la recta $PQ$ está en el plano.

Resultado: $a=0$ (es el único valor)

3.2.2) Para $a=1$, $Q=(1,1,1)$ y $3+1-1=3\ne 2$: $Q$ no está en el plano. El simétrico $Q^{\prime }$ se obtiene proyectando $Q$ sobre $\pi$ y reflejando.

1. Recta perpendicular a $\pi$ por $Q$: $(x,y,z)=(1+3\lambda ,1+\lambda ,1-\lambda )$.
2. Su corte $M$ con $\pi$: $3(1+3\lambda )+(1+\lambda )-(1-\lambda )=2\Rightarrow 3+11\lambda =2\Rightarrow \lambda =-\frac{1}{11}$.
3. Punto medio: $M=\left(1-\frac{3}{11},1-\frac{1}{11},1+\frac{1}{11}\right)=\left(\frac{8}{11},\frac{10}{11},\frac{12}{11}\right)$.
4. $M$ es el punto medio de $Q$ y $Q^{\prime }$, así que $Q^{\prime }=2M-Q$; equivale a tomar $\lambda =-\frac{2}{11}$ en la recta:

$$Q^{\prime }=\left(1-\frac{6}{11},1-\frac{2}{11},1+\frac{2}{11}\right)=\left(\frac{5}{11},\frac{9}{11},\frac{13}{11}\right).$$

Comprobación: $Q+Q^{\prime }=\left(\frac{16}{11},\frac{20}{11},\frac{24}{11}\right)=2M$, y al sustituir $Q^{\prime }$ en el primer miembro del plano se obtiene $3\cdot \frac{5}{11}+\frac{9}{11}-\frac{13}{11}=1$, que dista de $2$ lo mismo que $3$ (el valor de $Q$), uno por debajo y otro por encima.

Resultado: $Q^{\prime }\left(\frac{5}{11},\frac{9}{11},\frac{13}{11}\right)$

Resultado: 3.2.1) $a=0$; 3.2.2) $Q^{\prime }\left(\frac{5}{11},\frac{9}{11},\frac{13}{11}\right)$

4.1.1)

1. Dominio: $x^2+1>0$ para todo $x$, luego $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$.
2. Asíntotas verticales: no hay, porque el denominador nunca se anula (y $f$ es continua en $\mathbb{R}$).
3. Asíntotas horizontales: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x}{x^2+1}=0$, así que $y=0$ es asíntota horizontal en $+\infty$ y en $-\infty$. Al haber horizontal, no hay oblicuas.
4. Monotonía: derivamos,

$$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}.$$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de $f^{\prime }$ es el de $1-x^2$, que se anula en $x=\pm 1$:

Resultado: $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$; asíntota horizontal $y=0$ (sin verticales ni oblicuas); crece en $(-1,1)$ y decrece en $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

4.1.2)

1. Por el signo de $f^{\prime }$: en $x=-1$ pasa de decrecer a crecer (mínimo relativo) y en $x=1$ pasa de crecer a decrecer (máximo relativo).
2. Valores: $f(-1)=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$ y $f(1)=\frac{1}{2}$.
3. Extremos absolutos. Como $x^2+1\ge 2|x|$ (equivale a $(|x|-1{)}^2\ge 0$), se cumple $|f(x)|=\frac{|x|}{x^2+1}\le \frac{1}{2}$ para todo $x$. Luego $-\frac{1}{2}\le f(x)\le \frac{1}{2}$, con igualdad en $x=\mp 1$. (También se deduce de la monotonía y de que $f\to 0$ en $\pm \infty$: la función es negativa a la izquierda de $0$ y positiva a la derecha, y los valores en los extremos relativos son los más alejados de $0$.)

Por tanto el máximo relativo $\left(1,\frac{1}{2}\right)$ es también máximo absoluto y el mínimo relativo $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ es mínimo absoluto.

Resultado: máximo relativo y absoluto en $\left(1,\frac{1}{2}\right)$; mínimo relativo y absoluto en $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$

4.1.3) Datos para la gráfica: $f$ es impar ($f(-x)=-f(x)$, simétrica respecto del origen), corta a los ejes solo en $(0,0)$, tiene el mínimo en $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$, el máximo en $\left(1,\frac{1}{2}\right)$ y la asíntota $y=0$ a ambos lados. Por ejemplo, $f(2)=\frac{2}{5}=0,4$ y $f(3)=0,3$.

Resultado: gráfica impar que pasa por el origen, con mínimo en $(-1,-\frac{1}{2})$, máximo en $(1,\frac{1}{2})$ y asíntota $y=0$

Resultado: 4.1.1) Dom $=\mathbb{R}$, asíntota $y=0$, crece en $(-1,1)$ y decrece en $(-\infty ,-1)\cup (1,\infty )$; 4.1.2) máximo absoluto $\left(1,\frac{1}{2}\right)$ y mínimo absoluto $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$; 4.1.3) gráfica con esos extremos y asíntota $y=0$

4.2.1)

1. Dominio: $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
2. Asíntota vertical: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$ por los dos lados, así que $x=0$ es asíntota vertical.
3. Asíntota horizontal: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x^2}=0$, luego $y=0$ es asíntota horizontal en ambos lados (no hay oblicuas).
4. Monotonía: $f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^3}$. Para $x<0$, $x^3<0$ y $f^{\prime }>0$: $f$ crece. Para $x>0$, $f^{\prime }<0$: $f$ decrece.

Resultado: $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$; asíntotas $x=0$ (vertical) e $y=0$ (horizontal); $f$ crece en $(-\infty ,0)$ y decrece en $(0,+\infty )$

4.2.2) $f$ es par, siempre positiva, con las asíntotas del apartado anterior y pasa por $(1,1)$, $(-1,1)$ y $\left(\frac{1}{2},4\right)$. $g$ es la recta que pasa por el origen con pendiente $8$ y por $\left(\frac{1}{2},4\right)$, $(1,8)$.

Se cortan donde $\frac{1}{x^2}=8x\Rightarrow x^3=\frac{1}{8}\Rightarrow x=\frac{1}{2}$, y el punto de corte es $\left(\frac{1}{2},4\right)$.

Resultado: gráficas de $f$ (dos ramas con asíntotas $x=0$, $y=0$) y de la recta $g$, que se cortan en $\left(\frac{1}{2},4\right)$

4.2.3) El recinto cerrado por el eje $x$, la recta $x=1$ y las dos gráficas está en $x>0$ y su frontera superior es, en cada punto, la menor de las dos funciones. Ambas se cortan en $x=\frac{1}{2}$:

1. Para $0<x<\frac{1}{2}$: $8x<\frac{1}{x^2}$ (por ejemplo, en $x=0,25$: $g=2<f=16$), así que la frontera superior es la recta $g$.
2. Para $\frac{1}{2}<x\le 1$: $\frac{1}{x^2}<8x$ (por ejemplo, en $x=1$: $f=1<g=8$), así que la frontera superior es la curva $f$.
3. El área es la suma de dos integrales:

$$A={\int }_0^{1/2}8xdx+{\int }_{1/2}^1\frac{1}{x^2}dx=[4x^2{]}_0^{1/2}+[-\frac{1}{x}{]}_{1/2}^1=1+\left(-1+2\right)=2.$$

Resultado: $A=2{\text{u}}^2$

Resultado: 4.2.1) Dom $=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, asíntotas $x=0$ e $y=0$, crece en $(-\infty ,0)$ y decrece en $(0,\infty )$; 4.2.2) gráficas que se cortan en $\left(\frac{1}{2},4\right)$; 4.2.3) $2{\text{u}}^2$

Primero completamos los totales de la tabla.

1.1 Sea $E$ el suceso «el tipo preferido es el ensayo».

1. $P(E)=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}$.
2. $P(\bar{E})=1-P(E)=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$.

Resultado: $P(\bar{E})=\frac{11}{12}\approx 0,9167$

1.2 Sea $\bar{P}$ el suceso «no prefiere la poesía» y $M$ el suceso «tiene 25 años o más». Se pide $P(M\mid \bar{P})$.

1. Los que no prefieren la poesía son $120-35=85$.
2. De ellos, los menores de 25 años son $17+7+1=25$, así que los de 25 años o más son $85-25=60$.
3. $P(M\mid \bar{P})=\frac{P(M\cap \bar{P})}{P(\bar{P})}=\frac{60/120}{85/120}=\frac{60}{85}=\frac{12}{17}$.

Resultado: $P(M\mid \bar{P})=\frac{12}{17}\approx 0,7059$

1.3 Entre los 52 miembros de 25 a 60 años, prefieren teatro o ensayos $10+3=13$. La probabilidad de que uno de ellos lo haga es $$p=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0,25.$$

1. Sea $X$ el número de los 10 miembros que prefieren teatro o ensayos: $X\sim B(10;0,25)$.
2. Se pide $P(X\le 3)$. Con la tabla de la binomial ($n=10$, $p=0,25$, $k=3$): $P(X\le 3)=0,7759$.

Comprobación sin tabla: $P(X\le 3)={\sum }_{k=0}^3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{k}\right)0,25^{k}0,75^{10-k}\approx 0,0563+0,1877+0,2816+0,2503=0,7759$.

Resultado: $P(X\le 3)\approx 0,7759$

Resultado: 1.1) $\frac{11}{12}\approx 0,9167$; 1.2) $\frac{12}{17}\approx 0,7059$; 1.3) $\approx 0,7759$

2.1.1 Pasamos los términos con $X$ al mismo lado y sacamos factor común por la derecha.

1. $2AX-BX=I⟹(2A-B)X=I$.
2. Calculamos $2A-B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& -2\end{array}\right)$.
3. Su determinante es $(-1)(-2)-(1)(-1)=2+1=3\ne 0$, luego $2A-B$ tiene inversa y $X=(2A-B{)}^{-1}$.
4. Inversa de una matriz $2\times 2$: se intercambian los elementos de la diagonal, se cambia el signo de los otros dos y se divide por el determinante: $$X=(2A-B{)}^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& -1\end{array}\right).$$
5. Comprobación: $\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& -2\end{array}\right)\cdot \frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=I$.

Resultado: $X=\left(\begin{array}{cc}-\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right)$

2.1.2 Calculamos $A^2$.

1. $A^2=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 1\\ 0& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 1\\ 0& -\frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)=\frac{1}{4}I$.
2. Entonces $4A^2=I$ y la ecuación queda $I+\alpha A-I=0$, es decir, $\alpha A=0$.
3. Como $A\ne 0$ (por ejemplo, su elemento $\frac{1}{2}$ no es nulo), la igualdad $\alpha A=0$ solo se cumple si $\alpha =0$.

Resultado: el único valor es $\alpha =0$.

2.1.3 Como $A^2=\frac{1}{4}I$, las potencias pares son fáciles.

1. $A^{12}=(A^2{)}^6={\left(\frac{1}{4}I\right)}^6=\frac{1}{4^6}{I}^6=\frac{1}{4096}I$.

Resultado: $A^{12}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4096}& 0\\ 0& \frac{1}{4096}\end{array}\right)$

Resultado: 2.1.1) $X=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$; 2.1.2) $\alpha =0$; 2.1.3) $A^{12}=\frac{1}{4096}I$

2.2.1 Sean $M$ la matriz de coeficientes y $M^{\ast }$ la ampliada: $$M=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 1+a& 2& 1\\ a& -1& 1\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 2& 1-a\\ 1+a& 2& 1& a\\ a& -1& 1& 1-a\end{array}\right).$$

1. Determinante de $M$ (regla de Sarrus): $$|M|=3\cdot 2\cdot 1+1\cdot 1\cdot a+2(1+a)(-1)-[2\cdot 2\cdot a+3\cdot 1\cdot (-1)+1\cdot (1+a)\cdot 1]$$ $$=6+a-2-2a-[4a-3+1+a]=4-a-5a+2=6-6a=-6(a-1).$$
2. $|M|=0⟺a=1$.
3. Si $a\ne 1$: $|M|\ne 0$, luego $\mathrm{rang}(M)=\mathrm{rang}(M^{\ast })=3=$ nº de incógnitas: sistema compatible determinado (SCD).
4. Si $a=1$: $M=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 2& 2& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$ y $M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 2& 0\\ 2& 2& 1& 1\\ 1& -1& 1& 0\end{array}\right)$. El menor $\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right|=4\ne 0$, así que $\mathrm{rang}(M)=2$.
5. Para la ampliada tomamos el menor de las columnas 1, 2 y 4: $$\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 2& 2& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right|=3(0+1)-1(0-1)+0=3+1=4\ne 0,$$ luego $\mathrm{rang}(M^{\ast })=3\ne \mathrm{rang}(M)=2$: sistema incompatible (SI).

Resultado: SCD si $a\ne 1$; SI si $a=1$.

2.2.2 El sistema es compatible solo si $a\ne 1$ (y entonces tiene solución única). Aplicamos la regla de Cramer con $|M|=-6(a-1)=6-6a$.

1. Sustituyendo la 1.ª columna por los términos independientes: $$|M_x|=\left|\begin{array}{ccc}1-a& 1& 2\\ a& 2& 1\\ 1-a& -1& 1\end{array}\right|=-3a.$$ (Por Sarrus: $[2(1-a)+(1-a)-2a]-[4(1-a)-(1-a)+a]=(3-5a)-(3-2a)=-3a$.)
2. Con la 2.ª columna: $$|M_y|=\left|\begin{array}{ccc}3& 1-a& 2\\ 1+a& a& 1\\ a& 1-a& 1\end{array}\right|=-4a^2+7a-2.$$
3. Con la 3.ª columna: $$|M_z|=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 1-a\\ 1+a& 2& a\\ a& -1& 1-a\end{array}\right|=5a^2-5a+4.$$
4. Por la regla de Cramer: $$x=\frac{-3a}{6-6a}=\frac{a}{2(a-1)},y=\frac{-4a^2+7a-2}{6-6a}=\frac{4a^2-7a+2}{6(a-1)},z=\frac{5a^2-5a+4}{6-6a}=\frac{-5a^2+5a-4}{6(a-1)}.$$
5. Comprobación con $a=0$: la solución es $(0,-\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ y en el sistema original $3\cdot 0-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}=1$, $0-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=0$, $0+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$, que coinciden con $1-a=1$, $a=0$, $1-a=1$.

Resultado: si $a\ne 1$, $x=\frac{a}{2(a-1)},y=\frac{4a^2-7a+2}{6(a-1)},z=\frac{-5a^2+5a-4}{6(a-1)}$; si $a=1$ no hay solución.

Resultado: 2.2.1) SCD si $a\ne 1$ y SI si $a=1$; 2.2.2) $x=\frac{a}{2(a-1)},y=\frac{4a^2-7a+2}{6(a-1)},z=\frac{-5a^2+5a-4}{6(a-1)}$ para $a\ne 1$

3.1.1 Pasamos la recta a forma paramétrica. De $2x-y=0$ y $z=y$: si $x=t$, entonces $y=2t$, $z=2t$. Luego $r$ pasa por $O(0,0,0)$ con vector director $\vec{v}=(1,2,2)$.

1. El plano buscado $\sigma$ contiene a $r$, así que contiene el punto $O$ y la dirección $\vec{v}$.
2. Ser perpendicular a $\pi$ equivale a que la normal de $\pi$, ${\vec{n}}_{\pi }=(2,0,-1)$, sea paralela a $\sigma$ (esté en su dirección).
3. Los vectores $\vec{v}$ y ${\vec{n}}_{\pi }$ no son proporcionales, así que generan el plano y la solución existe y es única. Su normal es $${\vec{n}}_{\sigma }=\vec{v}\times {\vec{n}}_{\pi }=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 2\\ 2& 0& -1\end{array}\right|=(-2-0,-(-1-4),0-4)=(-2,5,-4).$$
4. Tomamos $(2,-5,4)$ y como pasa por el origen: $2x-5y+4z=0$.
5. Comprobación: ${\vec{n}}_{\sigma }\cdot {\vec{n}}_{\pi }=2\cdot 2+(-5)\cdot 0+4\cdot (-1)=0$ (perpendiculares) y $\vec{v}\cdot (2,-5,4)=2-10+8=0$ (la recta está en el plano).

Resultado: $\sigma :2x-5y+4z=0$

3.1.2 Los planos paralelos a $\pi$ tienen la forma $2x-z+D=0$. Imponemos que la distancia a $P=(0,1,2)$ sea 2.

1. $d(P,2x-z+D=0)=\frac{|2\cdot 0-2+D|}{\sqrt{2^2+0^2+(-1{)}^2}}=\frac{|D-2|}{\sqrt{5}}=2$.
2. Entonces $|D-2|=2\sqrt{5}$, es decir, $D=2+2\sqrt{5}$ o $D=2-2\sqrt{5}$.
3. Hay, por tanto, dos planos (uno a cada lado de $P$).

Resultado: $2x-z+2+2\sqrt{5}=0$ y $2x-z+2-2\sqrt{5}=0$