Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Junio 2025

Llamamos $M$, $V$ y $P$ a los sucesos «el cliente pide margarita», «vegetariana» y «pepperoni». Los tres tipos son incompatibles y agotan todas las posibilidades, así que sus probabilidades suman 1.

1.1)

1. $P(M)=0,40$ y $P(V)=0,25$.
2. $P(P)=1-0,40-0,25=0,35$.

Resultado: $P(P)=0,35$

1.2) Los dos clientes son independientes. Es más cómodo calcular el suceso contrario, «los dos piden el mismo tipo»:

1. $P(\text{mismo tipo})=P(M{)}^2+P(V{)}^2+P(P{)}^2=0,16+0,0625+0,1225=0,345$.
2. Por tanto $$P(\text{distintos tipos})=1-0,345=0,655.$$

Resultado: $P(\text{distintos})=0,655$

1.3) Cada cliente pide margarita con probabilidad $0,4$, independientemente de los demás. Sea $X$ el número de clientes (de 10) que piden margarita: $X\sim B(10;0,4)$.

$$P(X=4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)0,4^{4}0,6^6=210\cdot 0,0256\cdot 0,046656\approx 0,2508.$$

Con la tabla de la binomial $B(10;0,4)$ se obtiene lo mismo: $P(X=4)=P(X\le 4)-P(X\le 3)=0,6331-0,3823=0,2508$.

Resultado: $P(X=4)\approx 0,2508$

1.4) «Al menos uno» es el contrario de «ninguno»:

$$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0,6^{10}=1-0,0060=0,994.$$

(En la tabla, $P(X=0)=P(X\le 0)=0,0060$.)

Resultado: $P(X\ge 1)\approx 0,994$

Resultado: 1.1) $0,35$; 1.2) $0,655$; 1.3) $\approx 0,2508$; 1.4) $\approx 0,994$

2.1.1)

1. Calculamos $A^2$ multiplicando fila por columna:

$$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha & 0\\ 0& \alpha & 0\\ 0& 0& 1-\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha & 0\\ 0& \alpha & 0\\ 0& 0& 1-\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha +{\alpha }^2& 0\\ 0& {\alpha }^2& 0\\ 0& 0& (1-\alpha {)}^2\end{array}\right).$$

2. Igualamos $A^2=A$ elemento a elemento:
   • Posición $(1,2)$: $\alpha +{\alpha }^2=\alpha \Rightarrow {\alpha }^2=0\Rightarrow \alpha =0$.
   • Posición $(2,2)$: ${\alpha }^2=\alpha \Rightarrow \alpha =0$ o $\alpha =1$.
   • Posición $(3,3)$: $(1-\alpha {)}^2=1-\alpha \Rightarrow (1-\alpha )(1-\alpha -1)=0\Rightarrow \alpha =1$ o $\alpha =0$.
3. Deben cumplirse las tres condiciones a la vez, y el único valor común es $\alpha =0$.
4. Comprobación: para $\alpha =0$, $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ y $A^2=A$.

Resultado: $\alpha =0$

2.1.2) La matriz tiene inversa si y solo si $|A|\ne 0$.

1. $A$ es triangular superior, así que su determinante es el producto de la diagonal: $|A|=1\cdot \alpha \cdot (1-\alpha )=\alpha (1-\alpha )$.
2. $|A|=0$ para $\alpha =0$ y $\alpha =1$; luego $A$ es invertible para $\alpha \ne 0$ y $\alpha \ne 1$.
3. Para calcular la inversa, observamos que $A$ es diagonal por bloques: el bloque $\left(\begin{array}{cc}1& \alpha \\ 0& \alpha \end{array}\right)$ y el elemento $1-\alpha$. Invertimos cada bloque. Para el primero, con la fórmula de la inversa de una matriz $2\times 2$ (determinante $\alpha$):

$${\left(\begin{array}{cc}1& \alpha \\ 0& \alpha \end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{\alpha }\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\alpha \\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& \frac{1}{\alpha }\end{array}\right).$$

El segundo es el número $1-\alpha$, cuya inversa es $\frac{1}{1-\alpha }$. 4. Por tanto

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& \frac{1}{\alpha }& 0\\ 0& 0& \frac{1}{1-\alpha }\end{array}\right).$$

5. Comprobación de la primera fila por la primera columna y de la segunda fila por la segunda columna de $A\cdot A^{-1}$: $1\cdot 1=1$; $-1+\alpha \cdot \frac{1}{\alpha }=0$; $\alpha \cdot \frac{1}{\alpha }=1$. Se obtiene la identidad.

Resultado: existe la inversa si $\alpha \ne 0$ y $\alpha \ne 1$, y vale $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1/\alpha & 0\\ 0& 0& 1/(1-\alpha )\end{array}\right)$

Resultado: 2.1.1) $\alpha =0$; 2.1.2) $A^{-1}$ existe para $\alpha \ne 0,1$ y es $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1/\alpha & 0\\ 0& 0& 1/(1-\alpha )\end{array}\right)$

La matriz de coeficientes y la ampliada son

$$M=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& -3\\ 2& a& -5\\ 1& 1& 2\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& -2& -3& 0\\ 2& a& -5& -3\\ 1& 1& 2& 3\end{array}\right).$$

2.2.1)

1. Determinante de $M$ (regla de Sarrus):

$$|M|=3\cdot a\cdot 2+(-2)(-5)\cdot 1+(-3)\cdot 2\cdot 1-[(-3)\cdot a\cdot 1+3\cdot (-5)\cdot 1+(-2)\cdot 2\cdot 2]$$

$$|M|=6a+10-6-[-3a-15-8]=6a+4+3a+23=9a+27=9(a+3).$$

2. Si $a\ne -3$: $|M|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}M=\mathrm{rg}{M}^{\ast }=3$ = número de incógnitas: sistema compatible determinado (SCD).
3. Si $a=-3$: $|M|=0$, así que $\mathrm{rg}M<3$. El menor $\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -3\end{array}\right|=-9+4=-5\ne 0$ da $\mathrm{rg}M=2$.
4. Para la ampliada con $a=-3$ calculamos el menor de orden 3 formado por las columnas 1, 2 y la de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}3& -2& 0\\ 2& -3& -3\\ 1& 1& 3\end{array}\right|=3(-9+3)+2(6+3)+0=-18+18=0.$$

Y el de las columnas 1, 3 y términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}3& -3& 0\\ 2& -5& -3\\ 1& 2& 3\end{array}\right|=3(-15+6)+3(6+3)=-27+27=0.$$

Todos los menores de orden 3 de $M^{\ast }$ se anulan (el cuarto, el de las columnas 2, 3 y términos independientes, también), luego $\mathrm{rg}{M}^{\ast }=2=\mathrm{rg}M<3$: sistema compatible indeterminado (SCI), con un parámetro libre.

Resultado: si $a\ne -3$, SCD; si $a=-3$, SCI.

2.2.2) Con $a=-3$, el rango es 2 y basta con dos ecuaciones independientes (la 1.ª y la 3.ª, que dan el menor no nulo en $x,y$). Tomamos $z=\lambda$ como parámetro:

$$\{\begin{array}{rl}3x-2y& =3\lambda \\ x+y& =3-2\lambda \end{array}$$

1. De la segunda, $y=3-2\lambda -x$.
2. En la primera: $3x-6+4\lambda +2x=3\lambda \Rightarrow 5x=6-\lambda \Rightarrow x=\frac{6-\lambda }{5}$.
3. Entonces $y=3-2\lambda -\frac{6-\lambda }{5}=\frac{15-10\lambda -6+\lambda }{5}=\frac{9-9\lambda }{5}$.
4. Comprobación en la segunda ecuación (con $a=-3$): $2x-3y-5z=\frac{12-2\lambda -27+27\lambda }{5}-5\lambda =\frac{-15+25\lambda }{5}-5\lambda =-3$. Se cumple.

Resultado: $x=\frac{6-\lambda }{5},y=\frac{9-9\lambda }{5},z=\lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$

2.2.3) Para $a=0$ se cumple $a\ne -3$ y el sistema es compatible determinado: $|M|=27\ne 0$. El sistema es

$$\{\begin{array}{rl}3x-2y-3z& =0\\ 2x-5z& =-3\\ x+y+2z& =3\end{array}$$

1. De la tercera, $y=3-x-2z$.
2. En la primera: $3x-6+2x+4z-3z=0\Rightarrow 5x+z=6$, es decir, $z=6-5x$.
3. En la segunda: $2x-5(6-5x)=-3\Rightarrow 27x=27\Rightarrow x=1$.
4. Entonces $z=6-5=1$ y $y=3-1-2=0$.
5. Comprobación: $3-0-3=0$; $2-5=-3$; $1+0+2=3$.

Resultado: $(x,y,z)=(1,0,1)$

Resultado: 2.2.1) SCD si $a\ne -3$; SCI si $a=-3$; 2.2.2) $\left(\frac{6-\lambda }{5},\frac{9-9\lambda }{5},\lambda \right)$; 2.2.3) $(1,0,1)$

3.1.1) Un punto de corte es un punto de $r$ que cumple las dos ecuaciones de $s$.

1. Un punto de $r$ es $(1+2\lambda ,\lambda ,2-\lambda )$. Imponemos $x=-1$: $1+2\lambda =-1\Rightarrow \lambda =-1$.
2. Para $\lambda =-1$ el punto es $(-1,-1,3)$.
3. Comprobamos la segunda ecuación de $s$: $x+2y+z=-1-2+3=0$. Se cumple.

Por tanto las rectas se cortan en un punto.

Resultado: punto de corte $(-1,-1,3)$

3.1.2) Como las rectas se cortan, determinan un único plano. Necesitamos un punto y dos vectores directores.

1. Vector director de $r$: $\vec{u}=(2,1,-1)$.
2. Vector director de $s$: resolvemos $x=-1$, $x+2y+z=0$, es decir, $2y+z=1$. Tomando $y=\mu$: $z=1-2\mu$, luego $s:(-1,\mu ,1-2\mu )$ y $\vec{v}=(0,1,-2)$. (También es el producto vectorial de las normales $(1,0,0)\times (1,2,1)=(0,-1,2)$, paralelo a $\vec{v}$.)
3. Un vector normal al plano es

$$\vec{u}\times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 1& -1\\ 0& 1& -2\end{array}\right|=(1\cdot (-2)-(-1)\cdot 1,-(2\cdot (-2)-0),2\cdot 1-0)=(-1,4,2).$$

4. El plano es $-x+4y+2z+D=0$ y pasa por el punto de corte $(-1,-1,3)$: $1-4+6+D=0\Rightarrow D=-3$.
5. Comprobación con un punto de $r$ ($\lambda =0$, el punto $(1,0,2)$): $-1+0+4-3=0$. Y con un punto de $s$ ($\mu =0$, el punto $(-1,0,1)$): $1+0+2-3=0$.

Resultado: $-x+4y+2z-3=0$

3.1.3) $P=(1,0,2)$ es el punto de $r$ que corresponde a $\lambda =0$, así que pertenece al plano (comprobado en el apartado anterior). Con la fórmula de la distancia:

$$d(P,\pi )=\frac{|-1+4\cdot 0+2\cdot 2-3|}{\sqrt{1+16+4}}=\frac{0}{\sqrt{21}}=0.$$

Resultado: $d(P,\pi )=0$ (el punto está en el plano)

Resultado: 3.1.1) $(-1,-1,3)$; 3.1.2) $-x+4y+2z-3=0$; 3.1.3) $0$

3.2.1) El plano buscado, $\sigma$, contiene a $P$ y a $Q$ y es perpendicular a $\pi$. Por tanto contiene a los vectores $\overrightarrow{PQ}$ y ${\vec{n}}_{\pi }=(3,-1,2)$ (la normal de $\pi$ es paralela a $\sigma$).

1. $\overrightarrow{PQ}=(2+1,1-0,2-1)=(3,1,1)$.
2. Un vector normal a $\sigma$ es

$$\overrightarrow{PQ}\times {\vec{n}}_{\pi }=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& 1& 1\\ 3& -1& 2\end{array}\right|=(1\cdot 2-1\cdot (-1),-(3\cdot 2-1\cdot 3),3\cdot (-1)-1\cdot 3)=(3,-3,-6).$$

Dividiendo entre $3$ tomamos $(1,-1,-2)$. 3. $\sigma :x-y-2z+D=0$ y pasa por $P(-1,0,1)$: $-1-0-2+D=0\Rightarrow D=3$. 4. Comprobación con $Q$: $2-1-4+3=0$. Y la perpendicularidad: $(1,-1,-2)\cdot (3,-1,2)=3+1-4=0$.

Resultado: $\sigma :x-y-2z+3=0$

3.2.2) Con la fórmula de la distancia de un punto a un plano, con $\pi :3x-y+2z-4=0$ y $Q(2,1,2)$:

$$d(Q,\pi )=\frac{|3\cdot 2-1+2\cdot 2-4|}{\sqrt{9+1+4}}=\frac{5}{\sqrt{14}}=\frac{5\sqrt{14}}{14}\approx 1,336.$$

Resultado: $d(Q,\pi )=\frac{5}{\sqrt{14}}\approx 1,336$

3.2.3) Hallamos primero la proyección ortogonal $M$ de $P$ sobre $\pi$ (el punto medio entre $P$ y su simétrico $P^{\prime }$).

1. Recta que pasa por $P$ con dirección la normal de $\pi$: $(x,y,z)=(-1+3\lambda ,-\lambda ,1+2\lambda )$.
2. Cortamos con $\pi$: $3(-1+3\lambda )-(-\lambda )+2(1+2\lambda )=4\Rightarrow -3+9\lambda +\lambda +2+4\lambda =4\Rightarrow 14\lambda =5\Rightarrow \lambda =\frac{5}{14}$.
3. $M=\left(-1+\frac{15}{14},-\frac{5}{14},1+\frac{10}{14}\right)=\left(\frac{1}{14},-\frac{5}{14},\frac{12}{7}\right)$.
4. $M$ es el punto medio de $P$ y $P^{\prime }$, así que $P^{\prime }=2M-P$; equivale a tomar $\lambda =\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$ en la recta:

$$P^{\prime }=\left(-1+\frac{15}{7},-\frac{5}{7},1+\frac{10}{7}\right)=\left(\frac{8}{7},-\frac{5}{7},\frac{17}{7}\right).$$

5. Comprobación: el punto medio de $P(-1,0,1)$ y $P^{\prime }$ es $\left(\frac{-1+8/7}{2},\frac{-5/7}{2},\frac{1+17/7}{2}\right)=\left(\frac{1}{14},-\frac{5}{14},\frac{12}{7}\right)=M$, que cumple $3\cdot \frac{1}{14}+\frac{5}{14}+\frac{24}{7}=\frac{3+5+48}{14}=4$.

Resultado: $P^{\prime }\left(\frac{8}{7},-\frac{5}{7},\frac{17}{7}\right)$

Resultado: 3.2.1) $x-y-2z+3=0$; 3.2.2) $\frac{5}{\sqrt{14}}\approx 1,336$; 3.2.3) $\left(\frac{8}{7},-\frac{5}{7},\frac{17}{7}\right)$

4.1.1) Sea $x$ el lado de la base cuadrada (en cm) e $y$ la altura (en cm), con $x>0$, $y>0$.

1. Volumen: $x^{2}y=80\Rightarrow y=\frac{80}{x^2}$.
2. Área de las cuatro paredes laterales: $4xy=4x\cdot \frac{80}{x^2}=\frac{320}{x}{\text{cm}}^2$. A 1 céntimo por ${\text{cm}}^2$, cuestan $\frac{320}{x}$ céntimos.
3. Área de la base y la tapa: $2x^2{\text{cm}}^2$. Su material es un 25% más caro, es decir, $1,25$ céntimos por ${\text{cm}}^2$: cuestan $1,25\cdot 2x^2=\frac{5}{2}{x}^2$ céntimos.
4. Precio total, en céntimos:

$$P(x)=\frac{5}{2}{x}^2+\frac{320}{x},x>0.$$

Resultado: $P(x)=\frac{5}{2}{x}^2+\frac{320}{x}$ céntimos, con $x>0$

4.1.2) Buscamos el mínimo de $P$ en $(0,+\infty )$.

1. Derivada: $P^{\prime }(x)=5x-\frac{320}{x^2}=\frac{5x^3-320}{x^2}$.
2. $P^{\prime }(x)=0\Rightarrow 5x^3=320\Rightarrow x^3=64\Rightarrow x=4$.
3. Segunda derivada: $P^{\prime \prime }(x)=5+\frac{640}{x^3}$, y $P^{\prime \prime }(4)=5+10=15>0$: en $x=4$ hay un mínimo. (También: $P^{\prime }<0$ para $0<x<4$ y $P^{\prime }>0$ para $x>4$; como es el único punto crítico, es el mínimo absoluto.)
4. Altura: $y=\frac{80}{4^2}=5$.

Resultado: base cuadrada de lado $4$ cm y altura $5$ cm

4.1.3) $P(4)=\frac{5}{2}\cdot 16+\frac{320}{4}=40+80=120$.

Resultado: $120$ céntimos ($1,20$ euros)

Resultado: 4.1.1) $P(x)=\frac{5}{2}{x}^2+\frac{320}{x}$; 4.1.2) $x=4$ cm, $y=5$ cm; 4.1.3) $120$ céntimos

4.2.1) Quitamos el valor absoluto:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x(2-x)=-x^2+2x,& x<2\\ x(x-2)=x^2-2x,& x\ge 2\end{array}$$

1. Cortes con el eje OX: $f(x)=0\Rightarrow x=0$ o $x=2$.
2. Para $x\le 2$ la gráfica es la parábola $-x^2+2x$ (cóncava hacia abajo), con vértice en $(1,1)$. Para $x\ge 2$ es la parábola $x^2-2x$ (cóncava hacia arriba), de vértice $(1,-1)$ que queda fuera de su tramo; en este tramo crece desde $(2,0)$.
3. Signo: $f<0$ en $(-\infty ,0)$; $f>0$ en $(0,2)$; $f>0$ en $(2,+\infty )$.
4. Valores en los extremos y puntos clave: $f(-1)=-1\cdot 3=-3$, $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(2)=0$, $f(3)=3$, $f(5)=15$.
5. La región pedida está limitada por la gráfica, el eje OX y las rectas verticales $x=-1$ y $x=5$. Tiene tres zonas: bajo el eje entre $x=-1$ y $x=0$, y sobre el eje entre $x=0$ y $x=2$ y entre $x=2$ y $x=5$.

Resultado: región con tres zonas: una bajo el eje OX en $[-1,0]$ y dos por encima en $[0,2]$ y $[2,5]$ (ver figura).

4.2.2) El área es la suma de las tres zonas, tomando valor absoluto donde la función es negativa:

$$\text{Aˊrea}={\int }_{-1}^0|f(x)|dx+{\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{5}f(x)dx=-{\int }_{-1}^0(-x^2+2x)dx+{\int }_0^2(-x^2+2x)dx+{\int }_2^5(x^2-2x)dx.$$

1. Primitiva de $-x^2+2x$: $F(x)=-\frac{x^3}{3}+x^2$. Primitiva de $x^2-2x$: $G(x)=\frac{x^3}{3}-x^2$.
2. Zona $[-1,0]$: ${\int }_{-1}^0(-x^2+2x)dx=F(0)-F(-1)=0-\left(\frac{1}{3}+1\right)=-\frac{4}{3}$, luego su área es $\frac{4}{3}$.
3. Zona $[0,2]$: $F(2)-F(0)=-\frac{8}{3}+4=\frac{4}{3}$.
4. Zona $[2,5]$: $G(5)-G(2)=\left(\frac{125}{3}-25\right)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{50}{3}+\frac{4}{3}=18$.
5. Suma:

$$\text{Aˊrea}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+18=\frac{8}{3}+18=\frac{62}{3}\approx 20,67{\text{u}}^2.$$

Resultado: Área $=\frac{62}{3}\approx 20,67$ u${}^2$

Resultado: 4.2.1) región en tres zonas, bajo el eje en $[-1,0]$ y sobre el eje en $[0,2]$ y $[2,5]$; 4.2.2) $\frac{62}{3}\approx 20,67$ u${}^2$

Llamamos $U$, $C$ y $A$ a los sucesos «fabricado en Estados Unidos», «en China» y «en Alemania», y $D$ a «el coche tiene algún defecto». Los datos que usan los apartados 1.1 y 1.2 son $$P(U)=0,35,P(C)=0,45,P(A)=0,20,P(D\mid U)=0,03,P(D\mid C)=0,04,P(D\mid A)=0,01.$$ (El reparto por modelos solo hace falta en el apartado 1.3.)

1.1 Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

1. $P(D)=P(U)P(D\mid U)+P(C)P(D\mid C)+P(A)P(D\mid A)$.
2. $P(D)=0,35\cdot 0,03+0,45\cdot 0,04+0,20\cdot 0,01=0,0105+0,018+0,002=0,0305$.

Resultado: $P(D)=0,0305$

1.2 Se pide $P(U\mid \bar{D})$, que se calcula con el teorema de Bayes.

1. Probabilidad de no tener defecto: $P(\bar{D})=1-0,0305=0,9695$.
2. $P(\bar{D}\mid U)=1-0,03=0,97$.
3. $P(U\mid \bar{D})=\frac{P(U)P(\bar{D}\mid U)}{P(\bar{D})}=\frac{0,35\cdot 0,97}{0,9695}=\frac{0,3395}{0,9695}=\frac{97}{277}\approx 0,3502$.

Resultado: $P(U\mid \bar{D})=\frac{97}{277}\approx 0,3502$

1.3 En Alemania el 40 % de los coches son del modelo M2, y cada coche es independiente de los demás. Sea $X$ el número de coches del modelo M2 entre los 9 fabricados en Alemania: $X\sim B(9;0,4)$.

1. Se pide $P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)$.
2. Con la tabla de la binomial ($n=9$, $p=0,40$, $k=2$): $P(X\le 2)=0,2318$.
3. Por tanto $P(X\ge 3)=1-0,2318=0,7682$.

Comprobación sin tabla: $P(X\le 2)=0,6^9+9\cdot 0,4\cdot 0,6^8+36\cdot 0,4^2\cdot 0,6^7\approx 0,01008+0,06047+0,16124=0,23179$.

Resultado: $P(X\ge 3)\approx 0,7682$

Resultado: 1.1) $0,0305$; 1.2) $\frac{97}{277}\approx 0,3502$; 1.3) $\approx 0,7682$

2.1.1 Sean $M$ la matriz de coeficientes y $M^{\ast }$ la ampliada: $$M=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& \alpha \\ -2& 1& 1\\ 2& -1& \alpha \end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& 4& \alpha & 30\\ -2& 1& 1& 4\\ 2& -1& \alpha & 10\end{array}\right).$$

1. Sumamos la fila 2 a la fila 3 en el determinante (no cambia su valor): la nueva fila 3 es $(0,0,\alpha +1)$.
2. Desarrollamos por esa fila: $$|M|=(\alpha +1)\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& 1\end{array}\right|=(\alpha +1)(3+8)=11(\alpha +1).$$
3. Si $\alpha \ne -1$: $|M|\ne 0$, luego $\mathrm{rang}(M)=\mathrm{rang}(M^{\ast })=3=$ nº de incógnitas. El sistema es compatible determinado (SCD).
4. Si $\alpha =-1$: $|M|=0$ y $\mathrm{rang}(M)\le 2$. El menor $\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& 1\end{array}\right|=11\ne 0$ da $\mathrm{rang}(M)=2$.
5. Para el rango de $M^{\ast }$ con $\alpha =-1$, tomamos el menor de las columnas 1, 2 y 4: $$\left|\begin{array}{ccc}3& 4& 30\\ -2& 1& 4\\ 2& -1& 10\end{array}\right|=3(10+4)-4(-20-8)+30(2-2)=42+112+0=154\ne 0,$$ así que $\mathrm{rang}(M^{\ast })=3>\mathrm{rang}(M)=2$ y el sistema es incompatible (SI).

(Se ve también al sumar las ecuaciones 2 y 3: queda $(\alpha +1)z=14$, que para $\alpha =-1$ es $0=14$.)

Resultado: SCD si $\alpha \ne -1$; SI si $\alpha =-1$.

2.1.2 El sistema es compatible solo si $\alpha \ne -1$ (y entonces es determinado).

1. Sumando las ecuaciones 2 y 3: $(-2x+y+z)+(2x-y+\alpha z)=4+10\Rightarrow (\alpha +1)z=14$, luego $$z=\frac{14}{\alpha +1}.$$
2. De la ecuación 2: $y=4-z+2x$. Lo llevamos a la ecuación 1: $3x+4(4-z+2x)+\alpha z=30$, es decir, $11x=14+(4-\alpha )z$.
3. Sustituimos $z$: $$11x=14+\frac{14(4-\alpha )}{\alpha +1}=\frac{14(\alpha +1)+14(4-\alpha )}{\alpha +1}=\frac{70}{\alpha +1}\Rightarrow x=\frac{70}{11(\alpha +1)}.$$
4. Calculamos $y$: $$y=4-\frac{14}{\alpha +1}+\frac{140}{11(\alpha +1)}=\frac{44(\alpha +1)-154+140}{11(\alpha +1)}=\frac{44\alpha +30}{11(\alpha +1)}.$$
5. Comprobación con $\alpha =0$: $x=\frac{70}{11}$, $y=\frac{30}{11}$, $z=14$; la ecuación 2 da $-\frac{140}{11}+\frac{30}{11}+14=-10+14=4$. Correcto.

Resultado: $x=\frac{70}{11(\alpha +1)},y=\frac{44\alpha +30}{11(\alpha +1)},z=\frac{14}{\alpha +1}$

Resultado: 2.1.1) SCD si $\alpha \ne -1$, SI si $\alpha =-1$; 2.1.2) $x=\frac{70}{11(\alpha +1)}$, $y=\frac{44\alpha +30}{11(\alpha +1)}$, $z=\frac{14}{\alpha +1}$

2.2.1

1. Multiplicamos fila por columna: $$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& m\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2(-1)+3\cdot 1& 2\cdot 2+3\cdot 5\\ 1(-1)+m\cdot 1& 1\cdot 2+5m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 19\\ m-1& 5m+2\end{array}\right).$$
2. La traspuesta intercambia filas y columnas: $$(AB{)}^T=\left(\begin{array}{cc}1& m-1\\ 19& 5m+2\end{array}\right).$$

Resultado: $AB=\left(\begin{array}{cc}1& 19\\ m-1& 5m+2\end{array}\right)$ y $(AB{)}^T=\left(\begin{array}{cc}1& m-1\\ 19& 5m+2\end{array}\right)$.

2.2.2 Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

1. $|A|=2m-3\cdot 1=2m-3$, que se anula si $m=\frac{3}{2}$.
2. Luego $A$ es invertible si y solo si $m\ne \frac{3}{2}$.
3. Para $m\ne \frac{3}{2}$, la inversa es $A^{-1}=\frac{1}{|A|}(\mathrm{Adj}A{)}^T$. Los adjuntos son $A_{11}=m$, $A_{12}=-1$, $A_{21}=-3$, $A_{22}=2$, así que $\mathrm{Adj}A=\left(\begin{array}{cc}m& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$ y $$A^{-1}=\frac{1}{2m-3}\left(\begin{array}{cc}m& -3\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{m}{2m-3}& \frac{-3}{2m-3}\\ \frac{-1}{2m-3}& \frac{2}{2m-3}\end{array}\right).$$
4. Comprobación: la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{-1}$ da $\frac{2m-3}{2m-3}=1$.

Resultado: $|A|=2m-3$; $A$ es invertible si $m\ne \frac{3}{2}$ y $A^{-1}=\frac{1}{2m-3}\left(\begin{array}{cc}m& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$.

2.2.3 Despejamos $X$: $BX=C-A^2$. Como $|B|=-5-2=-7\ne 0$, $B$ es invertible y $X=B^{-1}(C-A^2)$.

1. Calculamos $A^2$: $$A^2=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& m\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 6+3m\\ 2+m& 3+m^2\end{array}\right).$$
2. Calculamos $C-A^2$: $$C-A^2=\left(\begin{array}{cc}0-7& -1-6-3m\\ 5-2-m& m^2-3-m^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-7& -3m-7\\ 3-m& -3\end{array}\right).$$
3. Inversa de $B$: $|B|=-7$, $\mathrm{Adj}B=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ -2& -1\end{array}\right)$, luego $$B^{-1}=\frac{1}{-7}\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 1& 1\end{array}\right).$$
4. Multiplicamos: $$X=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-7& -3m-7\\ 3-m& -3\end{array}\right)=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}35+6-2m& 15m+35-6\\ -7+3-m& -3m-7-3\end{array}\right)=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}41-2m& 15m+29\\ -m-4& -3m-10\end{array}\right).$$

Resultado: $X=\left(\begin{array}{cc}\frac{41-2m}{7}& \frac{15m+29}{7}\\ -\frac{m+4}{7}& -\frac{3m+10}{7}\end{array}\right)$

Resultado: 2.2.1) $AB=\left(\begin{array}{cc}1& 19\\ m-1& 5m+2\end{array}\right)$, $(AB{)}^T=\left(\begin{array}{cc}1& m-1\\ 19& 5m+2\end{array}\right)$; 2.2.2) $A$ invertible si $m\ne \frac{3}{2}$, $A^{-1}=\frac{1}{2m-3}\left(\begin{array}{cc}m& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$; 2.2.3) $X=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}41-2m& 15m+29\\ -m-4& -3m-10\end{array}\right)$

3.1.1 Fórmula de la distancia de un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ al plano $Ax+By+Cz+D=0$: $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

1. Numerador: $|2\cdot 3+a\cdot 1-(-2)+3|=|6+a+2+3|=|a+11|$.
2. Denominador: $\sqrt{2^2+a^2+(-1{)}^2}=\sqrt{a^2+5}$.