Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Julio 2024

a) Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

1. Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:

$$|A|=0\cdot \left(\frac{1}{3}\cdot (-1)-1\cdot (-1)\right)-k(k\cdot (-1)-1\cdot 2)+3\left(k\cdot (-1)-\frac{1}{3}\cdot 2\right).$$

2. Operamos: $|A|=-k(-k-2)+3\left(-k-\frac{2}{3}\right)=k^2+2k-3k-2=k^2-k-2$.
3. $k^2-k-2=0\Rightarrow k=\frac{1\pm 3}{2}$, es decir, $k=2$ o $k=-1$. Así, $|A|=(k-2)(k+1)$.

Resultado: $A$ es invertible si y solo si $k\ne -1$ y $k\ne 2$.

b) Para $k=0$, $|A|=-2\ne 0$ y $A$ es invertible, con

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 3\\ 0& \frac{1}{3}& 1\\ 2& -1& -1\end{array}\right).$$

Calculamos la inversa resolviendo $A\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right)$ para $x,y,z$ en función de $p,q,r$; los coeficientes que obtengamos forman las filas de $A^{-1}$.

1. Primera ecuación: $3z=p\Rightarrow z=\frac{p}{3}$.
2. Segunda: $\frac{y}{3}+z=q\Rightarrow y=3q-3z=3q-p$.
3. Tercera: $2x-y-z=r\Rightarrow x=\frac{r+y+z}{2}=\frac{r+3q-p+\frac{p}{3}}{2}=-\frac{p}{3}+\frac{3q}{2}+\frac{r}{2}$.
4. Por tanto

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3}& \frac{3}{2}& \frac{1}{2}\\ -1& 3& 0\\ \frac{1}{3}& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right).$$

5. Comprobación de la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{-1}$: $0\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+0\cdot (-1)+3\cdot \frac{1}{3}=1$; de la tercera fila por la primera columna: $2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)-1\cdot (-1)-1\cdot \frac{1}{3}=-\frac{2}{3}+1-\frac{1}{3}=0$; de la tercera fila por la segunda: $2\cdot \frac{3}{2}-3-0=0$; y por la tercera: $2\cdot \frac{1}{2}-0-0=1$.

Resultado: $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3}& \frac{3}{2}& \frac{1}{2}\\ -1& 3& 0\\ \frac{1}{3}& 0& 0\end{array}\right)$

c) Sea $D=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right)$ (con $k=0$).

1. Multiplicar por la derecha por una matriz diagonal multiplica cada columna $j$ por $d_j$, y por la izquierda multiplica cada fila $i$ por $d_i$. Por tanto $(AD{)}_{ij}=a_{ij}{d}_j$ y $(DA{)}_{ij}=d_i{a}_{ij}$, y $AD=DA$ equivale a $a_{ij}(d_j-d_i)=0$ para todo $i,j$.
2. Con $d_1=a$, $d_2=b$, $d_3=c$, los elementos no nulos de $A$ fuera de la diagonal son $a_{13}=3$, $a_{23}=1$, $a_{31}=2$ y $a_{32}=-1$. Imponen:
   • $(1,3)$: $3(c-a)=0\Rightarrow c=a$.
   • $(2,3)$: $1\cdot (c-b)=0\Rightarrow c=b$.
   • $(3,1)$ y $(3,2)$ dan lo mismo: $a=c$ y $b=c$.
3. Los demás elementos son nulos y no imponen nada. Luego $a=b=c$.
4. Comprobación: $D=aI$ conmuta con toda matriz, y solo estas matrices diagonales sirven.

Resultado: $D=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& a& 0\\ 0& 0& a\end{array}\right)=aI$, con $a\in \mathbb{R}$ cualquiera.

Resultado: a) $k\ne -1$ y $k\ne 2$; b) $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3}& \frac{3}{2}& \frac{1}{2}\\ -1& 3& 0\\ \frac{1}{3}& 0& 0\end{array}\right)$; c) $D=aI$ (las tres entradas de la diagonal iguales)

a) La ecuación $A^{2}X=B$ es un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, con matriz de coeficientes $A^2$. Tiene solución única para cualquier $B$ si y solo si $|A^2|\ne 0$.

1. Como $|A^2|=|A{|}^2$, basta estudiar $|A|$. Desarrollamos por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo:

$$|A|=2\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ a& 3\end{array}\right|=2(3-2a).$$

2. $|A|=0\iff a=\frac{3}{2}$.
3. Si $a\ne \frac{3}{2}$: $|A^2|\ne 0$, el sistema es compatible determinado (la matriz $A^2$ es invertible y $X=(A^2{)}^{-1}B$), con solución única.
4. Si $a=\frac{3}{2}$: $|A^2|=0$ y $A^2$ no tiene inversa. Entonces el sistema, para $B$ cualquiera, no tiene solución única: o no tiene solución o tiene infinitas. (Si además es compatible, como en el apartado b, es indeterminado.)

Resultado: la solución es única si y solo si $a\ne \frac{3}{2}$.

b) Calculamos primero $A^2$ multiplicando fila por columna:

1. Fila 1: $(1,0,2)$. Con la columna 1 $(1,3,a)$: $1+2a$; con la columna 2 $(0,2,0)$: $0$; con la columna 3 $(2,1,3)$: $2+6=8$.
2. Fila 2: $(3,2,1)$. Columna 1: $3+6+a=9+a$; columna 2: $4$; columna 3: $6+2+3=11$.
3. Fila 3: $(a,0,3)$. Columna 1: $a+3a=4a$; columna 2: $0$; columna 3: $2a+9$.

$$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1+2a& 0& 8\\ 9+a& 4& 11\\ 4a& 0& 2a+9\end{array}\right).$$

4. Como $X=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ cumple $A^{2}X=B$, basta calcular ese producto:

$$B=A^{2}X=\left(\begin{array}{c}3(1+2a)+0\cdot (-2)+8\cdot (-1)\\ 3(9+a)+4\cdot (-2)+11\cdot (-1)\\ 3\cdot 4a+0+(2a+9)(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6a-5\\ 3a+8\\ 10a-9\end{array}\right).$$

5. Comprobación con $a=0$: $A^{2}X$ tiene primera fila $3-8=-5$, segunda $27-8-11=8$ y tercera $-9$, que coinciden con $6a-5$, $3a+8$ y $10a-9$ para $a=0$.

Resultado: $\alpha =6a-5,\beta =3a+8,\gamma =10a-9$

Resultado: a) solución única si y solo si $a\ne \frac{3}{2}$; b) $\alpha =6a-5$, $\beta =3a+8$, $\gamma =10a-9$

a) De las ecuaciones obtenemos un punto y un vector director de cada recta:

• $r$: punto $A=(1,2,1)$, vector $\vec{u}=(1,1,2)$.
• $s$: punto $B=(3,3,-1)$, vector $\vec{v}=(-2,-1,2)$.

1. Los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes.
2. Se cortan si y solo si son coplanarias, es decir, si $\overrightarrow{AB}$, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son linealmente dependientes. Con $\overrightarrow{AB}=(2,1,-2)$:

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ 1& 1& 2\\ -2& -1& 2\end{array}\right|=2(2+2)-1(2+4)+(-2)(-1+2)=8-6-2=0.$$

3. El determinante es cero: son coplanarias y no paralelas, luego se cortan en un punto.
4. Para hallarlo, ponemos las rectas en paramétricas: $r:(1+t,2+t,1+2t)$ y $s:(3-2\mu ,3-\mu ,-1+2\mu )$. Igualando las dos primeras coordenadas:

$$1+t=3-2\mu ,2+t=3-\mu .$$

Restando la primera de la segunda: $1=\mu$, y entonces $t=3-2-1=0$.

5. Comprobamos con la tercera coordenada: $1+2\cdot 0=1$ y $-1+2\cdot 1=1$. Coinciden.
6. El punto es el de $r$ con $t=0$: $P=(1,2,1)$.

Resultado: las rectas se cortan en $P=(1,2,1)$.

b) La recta pedida tiene como dirección un vector perpendicular a la vez a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$, por ejemplo su producto vectorial.

$$\vec{u}\times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 2\\ -2& -1& 2\end{array}\right|=(1\cdot 2-2\cdot (-1),-(1\cdot 2-2\cdot (-2)),1\cdot (-1)-1\cdot (-2))=(4,-6,1).$$

2. Comprobación: $(4,-6,1)\cdot (1,1,2)=4-6+2=0$ y $(4,-6,1)\cdot (-2,-1,2)=-8+6+2=0$.
3. La recta pasa por $P=(1,2,1)$ con dirección $(4,-6,1)$.

Resultado: $\{\begin{array}{rl}x& =1+4\lambda \\ y& =2-6\lambda \\ z& =1+\lambda \end{array}$, es decir, $\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{-6}=\frac{z-1}{1}$

Resultado: a) $P=(1,2,1)$; b) $(x,y,z)=(1+4\lambda ,2-6\lambda ,1+\lambda )$

a) La distancia del origen $(0,0,0)$ al plano $6x+4y-3z-d=0$ es

$$\mathrm{dist}(O,\pi )=\frac{|6\cdot 0+4\cdot 0-3\cdot 0-d|}{\sqrt{6^2+4^2+(-3{)}^2}}=\frac{|d|}{\sqrt{61}}.$$

1. Imponemos que valga 1: $|d|=\sqrt{61}$.
2. Por tanto $d=\sqrt{61}$ o $d=-\sqrt{61}$.

Resultado: $d=\sqrt{61}$ o $d=-\sqrt{61}$

b) Cada punto se obtiene anulando las otras dos coordenadas en la ecuación del plano.

1. Eje $X$ ($y=z=0$): $6x-d=0\Rightarrow x=\frac{d}{6}$. Luego $A=\left(\frac{d}{6},0,0\right)$.
2. Eje $Y$ ($x=z=0$): $4y-d=0\Rightarrow y=\frac{d}{4}$. Luego $B=\left(0,\frac{d}{4},0\right)$.
3. Eje $Z$ ($x=y=0$): $-3z-d=0\Rightarrow z=-\frac{d}{3}$. Luego $C=\left(0,0,-\frac{d}{3}\right)$.

Resultado: $A=\left(\frac{d}{6},0,0\right)$, $B=\left(0,\frac{d}{4},0\right)$, $C=\left(0,0,-\frac{d}{3}\right)$

c)

1. Calculamos los vectores:

$$\overrightarrow{AB}=B-A=\left(-\frac{d}{6},\frac{d}{4},0\right),\overrightarrow{AC}=C-A=\left(-\frac{d}{6},0,-\frac{d}{3}\right).$$

2. Producto escalar: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{d^2}{36}+0+0=\frac{d^2}{36}$.
3. Módulos (con $d\ne 0$):

$$|\overrightarrow{AB}|=|d|\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{1}{16}}=|d|\sqrt{\frac{13}{144}}=\frac{|d|\sqrt{13}}{12},|\overrightarrow{AC}|=|d|\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{1}{9}}=|d|\sqrt{\frac{5}{36}}=\frac{|d|\sqrt{5}}{6}.$$

4. Coseno del ángulo $\theta$:

$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{d^2/36}{d^2\sqrt{65}/72}=\frac{2}{\sqrt{65}}=\frac{2\sqrt{65}}{65}\approx 0,248.$$

5. El resultado no depende de $d$. El ángulo es $\theta =\arccos \frac{2}{\sqrt{65}}\approx 75,6^{\circ }$ (calculadora en grados).

Resultado: $\cos \theta =\frac{2\sqrt{65}}{65}\approx 0,248$, es decir, $\theta =\arccos \frac{2}{\sqrt{65}}\approx 75,6^{\circ }$

Resultado: a) $d=\pm \sqrt{61}$; b) $A=\left(\frac{d}{6},0,0\right)$, $B=\left(0,\frac{d}{4},0\right)$, $C=\left(0,0,-\frac{d}{3}\right)$; c) $\cos \theta =\frac{2\sqrt{65}}{65}$, $\theta \approx 75,6^{\circ }$

a)

1. $h^{\prime }(x)=a+2x$. Un mínimo relativo en $x=-\frac{3}{4}$ exige $h^{\prime }\left(-\frac{3}{4}\right)=0$: $a-\frac{3}{2}=0\Rightarrow a=\frac{3}{2}$.
2. Comprobamos que es mínimo: $h^{\prime \prime }(x)=2>0$ para todo $x$, luego el punto crítico es un mínimo.

Resultado: $a=\frac{3}{2}$

b) Con $a=\frac{3}{2}$: $h(x)=x^2+\frac{3}{2}x$ y $h^{\prime }(x)=2x+\frac{3}{2}$.

1. $h$ es una parábola con las ramas hacia arriba. Corta al eje $X$ en $x^2+\frac{3}{2}x=0\Rightarrow x=0$ y $x=-\frac{3}{2}$. Su vértice es $\left(-\frac{3}{4},-\frac{9}{16}\right)$, porque $h\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{9}{16}-\frac{9}{8}=-\frac{9}{16}$. Corta al eje $Y$ en $(0,0)$.
2. $h^{\prime }$ es una recta de pendiente 2: corta al eje $Y$ en $\left(0,\frac{3}{2}\right)$ y al eje $X$ en $\left(-\frac{3}{4},0\right)$.
3. Puntos de corte de ambas curvas: $x^2+\frac{3}{2}x=2x+\frac{3}{2}\Rightarrow x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0\Rightarrow 2x^2-x-3=0\Rightarrow x=\frac{1\pm 5}{4}$, es decir, $x=-1$ y $x=\frac{3}{2}$. Los puntos son $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ y $\left(\frac{3}{2},\frac{9}{2}\right)$.

Resultado: $h$ es la parábola de vértice $\left(-\frac{3}{4},-\frac{9}{16}\right)$ y $h^{\prime }$ la recta $y=2x+\frac{3}{2}$; se cortan en $x=-1$ y $x=\frac{3}{2}$ (ver figura).

c) En el intervalo $\left[-1,\frac{3}{2}\right]$ la recta está por encima de la parábola (por ejemplo en $x=0$: $h^{\prime }(0)=\frac{3}{2}>h(0)=0$). Por tanto

$$\text{Aˊrea}={\int }_{-1}^{3/2}\left[h^{\prime }(x)-h(x)\right]dx={\int }_{-1}^{3/2}\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}x-x^2\right)dx.$$

1. Primitiva: $F(x)=\frac{3}{2}x+\frac{x^2}{4}-\frac{x^3}{3}$.
2. $F\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}+\frac{9}{16}-\frac{9}{8}=\frac{36+9-18}{16}=\frac{27}{16}$.
3. $F(-1)=-\frac{3}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{-18+3+4}{12}=-\frac{11}{12}$.
4. Área $=F\left(\frac{3}{2}\right)-F(-1)=\frac{27}{16}+\frac{11}{12}=\frac{81+44}{48}=\frac{125}{48}\approx 2,604{\text{u}}^2$.

Resultado: Área $=\frac{125}{48}\approx 2,604$ u${}^2$

Resultado: a) $a=\frac{3}{2}$; b) parábola $y=x^2+\frac{3}{2}x$ y recta $y=2x+\frac{3}{2}$, que se cortan en $x=-1$ y $x=\frac{3}{2}$; c) $\frac{125}{48}\approx 2,604$ u${}^2$

a) Al recortar un cuadrado de lado $x$ en cada esquina, la base de la caja mide $16-2x$ de largo y $10-2x$ de ancho, y la altura es $x$ (todo en cm). Para que la caja exista, $0<x<5$.

1. Volumen:

$$V(x)=x(16-2x)(10-2x)=x(160-52x+4x^2)=4x^3-52x^2+160x,0<x<5.$$

2. Derivada: $V^{\prime }(x)=12x^2-104x+160$.
3. $V^{\prime }(x)=0\Rightarrow 12x^2-104x+160=0\Rightarrow 3x^2-26x+40=0\Rightarrow x=\frac{26\pm \sqrt{676-480}}{6}=\frac{26\pm 14}{6}$, es decir, $x=2$ o $x=\frac{20}{3}$.
4. Como $\frac{20}{3}>5$, solo es válido $x=2$.
5. Segunda derivada: $V^{\prime \prime }(x)=24x-104$ y $V^{\prime \prime }(2)=-56<0$: en $x=2$ hay un máximo. (Además $V(0)=V(5)=0$, así que es el máximo absoluto en el intervalo.)
6. Dimensiones: altura $x=2$ cm, largo $16-4=12$ cm y ancho $10-4=6$ cm.

Resultado: largo $12$ cm, ancho $6$ cm y alto $2$ cm.

b) $V(2)=2\cdot 12\cdot 6=144$.

Resultado: $V=144{\text{cm}}^3$

Resultado: a) largo $12$ cm, ancho $6$ cm, alto $2$ cm; b) $144{\text{cm}}^3$

Sean $M_1$, $M_2$, $M_3$ los sucesos «la lata procede de la máquina 1, 2, 3» y $D$ «la lata es defectuosa». Datos: $P(M_1)=0,30$, $P(M_2)=0,25$, $P(M_3)=1-0,30-0,25=0,45$, $P(D\mid M_1)=0,10$, $P(D\mid M_2)=0,05$ y $P(D)=0,1025$.

a) Llamamos $p=P(D\mid M_3)$. Por el teorema de la probabilidad total:

1. $P(D)=P(M_1)P(D\mid M_1)+P(M_2)P(D\mid M_2)+P(M_3)p$.
2. $0,1025=0,30\cdot 0,10+0,25\cdot 0,05+0,45p=0,03+0,0125+0,45p$.
3. $0,45p=0,06\Rightarrow p=\frac{0,06}{0,45}=\frac{2}{15}\approx 0,1333$.

Resultado: $P(D\mid M_3)=\frac{2}{15}\approx 0,1333$

b) Por el teorema de Bayes:

1. $P(\overline{D})=1-0,1025=0,8975$.
2. $P(\overline{D}\mid M_1)=1-0,10=0,90$.

$$P(M_1\mid \overline{D})=\frac{P(M_1)P(\overline{D}\mid M_1)}{P(\overline{D})}=\frac{0,30\cdot 0,90}{0,8975}=\frac{0,27}{0,8975}=\frac{108}{359}\approx 0,3008.$$

Resultado: $P(M_1\mid \overline{D})=\frac{108}{359}\approx 0,3008$

c) Es más corto calcular el contrario: la lata no es de la segunda máquina con probabilidad $1-P(M_2\mid D)$.

1. $P(M_2\mid D)=\frac{P(M_2)P(D\mid M_2)}{P(D)}=\frac{0,25\cdot 0,05}{0,1025}=\frac{0,0125}{0,1025}=\frac{5}{41}$.
2. $P(\overline{M_2}\mid D)=1-\frac{5}{41}=\frac{36}{41}\approx 0,8780$.
3. Comprobación sumando las otras dos máquinas: $P(M_1\mid D)=\frac{0,03}{0,1025}=\frac{12}{41}$ y $P(M_3\mid D)=\frac{0,45\cdot \frac{2}{15}}{0,1025}=\frac{0,06}{0,1025}=\frac{24}{41}$; su suma es $\frac{36}{41}$.

Resultado: $P(\overline{M_2}\mid D)=\frac{36}{41}\approx 0,8780$

Resultado: a) $\frac{2}{15}\approx 0,1333$; b) $\frac{108}{359}\approx 0,3008$; c) $\frac{36}{41}\approx 0,8780$

Sea $X$ el número de mensajes (de 10) con emoticono. Cada mensaje lleva emoticono con probabilidad $0,6$, de forma independiente: $X\sim B(10;0,6)$.

a) Ningún mensaje con emoticono es $X=0$:

$$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{0}\right)0,6^{0}0,4^{10}=0,4^{10}\approx 0,0001.$$

Resultado: $P(X=0)\approx 0,0001$

b) Dos quintas partes de 10 mensajes son $\frac{2}{5}\cdot 10=4$ mensajes:

$$P(X=4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)0,6^{4}0,4^6=210\cdot 0,1296\cdot 0,004096\approx 0,1115.$$

(Con la tabla, pasando a los mensajes sin emoticono $Y=10-X\sim B(10;0,4)$: $P(Y=6)=F(6)-F(5)=0,9452-0,8338=0,1114$; la diferencia de una milésima viene del redondeo de la tabla.)

Resultado: $P(X=4)\approx 0,1115$

c) «Ocho o más» es $X\ge 8$, que equivale a $Y\le 2$ con $Y\sim B(10;0,4)$. Con la tabla: $P(Y\le 2)=F(2)=0,1673$. Comprobación directa:

$$P(X\ge 8)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{8}\right)0,6^{8}0,4^2+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{9}\right)0,6^{9}0,4+0,6^{10}=0,1209+0,0403+0,0060\approx 0,1673.$$

Resultado: $P(X\ge 8)\approx 0,1673$

Resultado: a) $\approx 0,0001$; b) $\approx 0,1115$; c) $\approx 0,1673$