Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Junio 2024

La matriz de coeficientes y la ampliada son

$$M=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 2& m& -1\\ m-1& 3& -1\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& m\\ 2& m& -1& 3m\\ m-1& 3& -1& 6+m\end{array}\right).$$

a)

1. Determinante de $M$ (regla de Sarrus):

$$|M|=[(-1)\cdot m\cdot (-1)+1\cdot (-1)(m-1)+1\cdot 2\cdot 3]-[1\cdot m\cdot (m-1)+(-1)(-1)\cdot 3+1\cdot 2\cdot (-1)]$$

$$|M|=[m-m+1+6]-[m^2-m+3-2]=7-m^2+m-1=-m^2+m+6=-(m-3)(m+2).$$

2. $|M|=0⟺m=3$ o $m=-2$.
3. Si $m\ne 3$ y $m\ne -2$: $|M|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}M=\mathrm{rg}{M}^{\ast }=3$ = número de incógnitas: sistema compatible determinado (SCD).
4. Si $m=3$: el sistema es $$\{\begin{array}{rl}-x+y+z& =3\\ 2x+3y-z& =9\\ 2x+3y-z& =9\end{array}$$ La segunda y la tercera ecuaciones coinciden. El menor $\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=-5\ne 0$ da $\mathrm{rg}M=2$, y al quedar solo dos ecuaciones distintas también $\mathrm{rg}{M}^{\ast }=2$. Como $2<3$ incógnitas: sistema compatible indeterminado (SCI).
5. Si $m=-2$: el sistema es $$\{\begin{array}{rl}-x+y+z& =-2\\ 2x-2y-z& =-6\\ -3x+3y-z& =4\end{array}$$ El menor $\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=1-2=-1\ne 0$ (columnas 1 y 3), así que $\mathrm{rg}M=2$. En la ampliada, el menor de las columnas 1, 3 y términos independientes es $$\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& -2\\ 2& -1& -6\\ -3& -1& 4\end{array}\right|=-1(-4-6)-1(8-18)+(-2)(-2-3)=10+10+10=30\ne 0,$$ luego $\mathrm{rg}{M}^{\ast }=3\ne \mathrm{rg}M=2$: sistema incompatible (SI).

Resultado: si $m\ne 3$ y $m\ne -2$, SCD; si $m=3$, SCI; si $m=-2$, SI.

b) El único caso indeterminado es $m=3$, con $\mathrm{rg}=2$: basta con las dos primeras ecuaciones. Tomamos $y=\lambda$ como parámetro:

$$\{\begin{array}{rl}-x+z& =3-\lambda \\ 2x-z& =9-3\lambda \end{array}$$

1. Sumando ambas ecuaciones: $x=12-4\lambda$.
2. De la primera: $z=3-\lambda +x=3-\lambda +12-4\lambda =15-5\lambda$.
3. Comprobación en la segunda: $2(12-4\lambda )+3\lambda -(15-5\lambda )=24-8\lambda +3\lambda -15+5\lambda =9$. Se cumple.

Resultado: $(x,y,z)=(12-4\lambda ,\lambda ,15-5\lambda )$, con $\lambda \in \mathbb{R}$

Resultado: a) SCD si $m\ne 3,-2$; SCI si $m=3$; SI si $m=-2$; b) $(12-4\lambda ,\lambda ,15-5\lambda )$

a)

1. Desarrollamos $|A|$ por la segunda fila, que solo tiene el elemento $m$ en la posición $(2,2)$:

$$|A|=m\left|\begin{array}{cc}1& m\\ m& m\end{array}\right|=m(m-m^2)=m^2(1-m).$$

2. $|A|=0⟺m=0$ o $m=1$.
3. Si $m\ne 0$ y $m\ne 1$: $|A|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=3$.
4. Si $m=0$: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$. La segunda fila es nula y las otras dos son independientes: $\mathrm{rg}A=2$.
5. Si $m=1$: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$. El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$ da rango al menos 2, y como $|A|=0$, $\mathrm{rg}A=2$ (la tercera fila es la primera menos la segunda).

Resultado: $\mathrm{rg}A=3$ si $m\ne 0,1$; $\mathrm{rg}A=2$ si $m=0$ o $m=1$.

b) Para $m=-1$ se tiene $|A|=(-1{)}^2\cdot 2=2\ne 0$, así que $A$ es invertible y $X=A^{-1}B$ es una matriz $3\times 2$. Es más rápido resolver el sistema para cada columna de $B$. Con

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ 0& -1& 0\\ -1& 1& -1\end{array}\right),$$

llamamos $(x,y,z{)}^T$ a una columna de $X$.

1. Primera columna ($A{X}_1=(1,0,0{)}^T$): $$\{\begin{array}{rl}x-2y-z& =1\\ -y& =0\\ -x+y-z& =0\end{array}$$ De la segunda, $y=0$. Entonces $x-z=1$ y $-x-z=0$; sumando, $-2z=1$, $z=-\frac{1}{2}$, y $x=\frac{1}{2}$.
2. Segunda columna ($A{X}_2=(0,1,0{)}^T$): $$\{\begin{array}{rl}x-2y-z& =0\\ -y& =1\\ -x+y-z& =0\end{array}$$ De la segunda, $y=-1$. Entonces $x-z=-2$ y $-x-z=1$; sumando, $-2z=-1$, $z=\frac{1}{2}$, y $x=-\frac{3}{2}$.
3. Por tanto $$X=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{3}{2}\\ 0& -1\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right).$$
4. Comprobación de la primera fila de $AX$: $\frac{1}{2}-2\cdot 0+\frac{1}{2}=1$ y $-\frac{3}{2}+2-\frac{1}{2}=0$. Coincide con la primera fila de $B$.

Resultado: $X=\left(\begin{array}{cc}1/2& -3/2\\ 0& -1\\ -1/2& 1/2\end{array}\right)$

c) Para $m=0$, $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$.

1. Calculamos $A^2$: $$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$
2. Llamamos $E=A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$. Es idempotente: $E^2=E$.
3. Entonces $A^4=E^2=E$ y $A^5=A^{4}A=EA=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$

Resultado: $A^5=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

Resultado: a) $\mathrm{rg}A=3$ si $m\ne 0,1$ y $\mathrm{rg}A=2$ si $m=0,1$; b) $X=\left(\begin{array}{cc}1/2& -3/2\\ 0& -1\\ -1/2& 1/2\end{array}\right)$; c) $A^5=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

La recta $r$ pasa por $A=(1,-1,-2)$ y tiene vector director $\vec{d}=(2,3,-1)$. El plano $\pi$ tiene vector normal $\vec{n}=(3,-m,1)$.

a)

1. $r$ y $\pi$ son paralelos (o la recta está contenida en el plano) cuando $\vec{d}\perp \vec{n}$: $$\vec{d}\cdot \vec{n}=6-3m-1=5-3m=0\Rightarrow m=\frac{5}{3}.$$
2. Para que el plano contenga a la recta, además de ser $\vec{d}\perp \vec{n}$ (es decir, $m=\frac{5}{3}$) el punto $A$ debe cumplir la ecuación del plano: $3\cdot 1-m\cdot (-1)+(-2)=1\Rightarrow 1+m=1\Rightarrow m=0$.
3. Las dos condiciones no se cumplen a la vez (una exige $m=\frac{5}{3}$ y la otra $m=0$). Para $m=\frac{5}{3}$ el punto $A$ no está en $\pi$ ($1+\frac{5}{3}\ne 1$), así que la recta es paralela al plano y no está contenida en él.

Resultado: $r$ y $\pi$ son paralelos para $m=\frac{5}{3}$; no existe ningún valor de $m$ para el que $\pi$ contenga a $r$.

b) Con $m=\frac{5}{3}$, $\pi :3x-\frac{5}{3}y+z=1$, es decir, $9x-5y+3z=3$.

1. Un plano paralelo a $\pi$ tiene la forma $9x-5y+3z+D=0$.
2. Si contiene a $r$, contiene a $A=(1,-1,-2)$: $9+5-6+D=0\Rightarrow D=-8$.
3. Como $\vec{d}\cdot (9,-5,3)=18-15-3=0$, la recta $r$ queda contenida en este plano.

Resultado: ${\pi }^{\prime }:9x-5y+3z-8=0$

c) Escribimos $\pi :3x-my+z-1=0$ y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

$$d(P,\pi )=\frac{|3\cdot 1-m\cdot (-1)+(-2)-1|}{\sqrt{9+m^2+1}}=\frac{|3+m-2-1|}{\sqrt{10+m^2}}=\frac{|m|}{\sqrt{10+m^2}}.$$

Resultado: $d(P,\pi )=\frac{|m|}{\sqrt{10+m^2}}$

Resultado: a) paralelos para $m=\frac{5}{3}$; ningún $m$ hace que $\pi$ contenga a $r$; b) $9x-5y+3z-8=0$; c) $\frac{|m|}{\sqrt{10+m^2}}$

a) Los lados $PQ$ y el opuesto, que está sobre $r$, son paralelos. Por tanto $r$ tiene como vector director

$$\overrightarrow{PQ}=(1-2,3-1,1-3)=(-1,2,-2)$$

y pasa por $R=(4,7,6)$:

$$r:\{\begin{array}{l}x=4-\lambda \\ y=7+2\lambda \\ z=6-2\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}.$$

Resultado: $r:(x,y,z)=(4-\lambda ,7+2\lambda ,6-2\lambda )$

b) El plano contiene a $P$, a $Q$ y a $R$. Sus vectores directores son $\overrightarrow{PQ}=(-1,2,-2)$ y $\overrightarrow{PR}=(2,6,3)$.

1. Un vector normal es $$\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 2& -2\\ 2& 6& 3\end{array}\right|=(2\cdot 3-(-2)\cdot 6,-(-1\cdot 3-(-2)\cdot 2),-1\cdot 6-2\cdot 2)=(18,-1,-10).$$
2. El plano es $18x-y-10z+D=0$ y pasa por $P$: $36-1-30+D=0\Rightarrow D=-5$.
3. Comprobación con $Q$: $18-3-10-5=0$. Y con $R$: $72-7-60-5=0$.

Resultado: $\pi :18x-y-10z-5=0$

c) Los otros dos vértices, $A$ (vecino de $Q$) y $B$ (vecino de $P$), están sobre $r$, y los lados $QA$ y $PB$ son perpendiculares al lado $PQ$. Un punto de $r$ es $(4-\lambda ,7+2\lambda ,6-2\lambda )$.

1. Vértice $B$, vecino de $P$: imponemos $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PQ}=0$, con $\overrightarrow{PB}=(2-\lambda ,6+2\lambda ,3-2\lambda )$: $$-(2-\lambda )+2(6+2\lambda )-2(3-2\lambda )=4+9\lambda =0\Rightarrow \lambda =-\frac{4}{9}.$$ $B=\left(4+\frac{4}{9},7-\frac{8}{9},6+\frac{8}{9}\right)=\left(\frac{40}{9},\frac{55}{9},\frac{62}{9}\right)$.
2. Vértice $A$, vecino de $Q$: imponemos $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{PQ}=0$, con $\overrightarrow{QA}=(3-\lambda ,4+2\lambda ,5-2\lambda )$: $$-(3-\lambda )+2(4+2\lambda )-2(5-2\lambda )=-5+9\lambda =0\Rightarrow \lambda =\frac{5}{9}.$$ $A=\left(4-\frac{5}{9},7+\frac{10}{9},6-\frac{10}{9}\right)=\left(\frac{31}{9},\frac{73}{9},\frac{44}{9}\right)$.
3. Comprobación: $\overrightarrow{BA}=\left(-\frac{9}{9},\frac{18}{9},-\frac{18}{9}\right)=(-1,2,-2)=\overrightarrow{PQ}$, y $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{QA}=\left(\frac{22}{9},\frac{46}{9},\frac{35}{9}\right)$, perpendicular a $\overrightarrow{PQ}$ ($-22+92-70=0$).

Resultado: $A\left(\frac{31}{9},\frac{73}{9},\frac{44}{9}\right)$ y $B\left(\frac{40}{9},\frac{55}{9},\frac{62}{9}\right)$

Resultado: a) $(x,y,z)=(4-\lambda ,7+2\lambda ,6-2\lambda )$; b) $18x-y-10z-5=0$; c) $A\left(\frac{31}{9},\frac{73}{9},\frac{44}{9}\right)$, $B\left(\frac{40}{9},\frac{55}{9},\frac{62}{9}\right)$

Escribimos $f(x)=kx{e}^{-2x}$.

a)

1. Dominio: $e^{2x}>0$ para todo $x$, así que el denominador nunca se anula: $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$.
2. Asíntotas verticales: no hay, porque $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.
3. Cuando $x\to +\infty$: es una indeterminación $\frac{\infty }{\infty }$; por L'Hôpital $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{kx}{e^{2x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{k}{2e^{2x}}=0.$$ Hay asíntota horizontal $y=0$ en $+\infty$.
4. Cuando $x\to -\infty$ (con $k\ne 0$): $e^{-2x}\to +\infty$ y $x\to -\infty$, luego $f(x)\to -\infty$ si $k>0$ y $f(x)\to +\infty$ si $k<0$. No hay asíntota horizontal en $-\infty$. Tampoco oblicua: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to -\infty }k{e}^{-2x}=\pm \infty$.
5. Si $k=0$, $f(x)=0$ y la recta $y=0$ es la propia función.

Resultado: $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$; asíntota horizontal $y=0$ (en $+\infty$); sin asíntotas verticales ni oblicuas.

b)

1. Derivada: $f^{\prime }(x)=k{e}^{-2x}-2kx{e}^{-2x}=k{e}^{-2x}(1-2x)$.
2. Como $e^{-2x}>0$, $f^{\prime }(x)=0⟺x=\frac{1}{2}$ (si $k\ne 0$). El signo de $f^{\prime }$ depende de $k$ y de $1-2x$.
3. Si $k>0$: $f^{\prime }>0$ para $x<\frac{1}{2}$ y $f^{\prime }<0$ para $x>\frac{1}{2}$. Es creciente en $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$, decreciente en $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ y tiene un máximo en $x=\frac{1}{2}$.
4. Si $k<0$: el signo se invierte. Es decreciente en $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$, creciente en $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ y tiene un mínimo en $x=\frac{1}{2}$.
5. Si $k=0$: $f$ es constante, igual a $0$, sin extremos.
6. Valor en el punto: $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{k/2}{e}=\frac{k}{2e}\approx 0,184k$.

Resultado: $k>0$: creciente en $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$, decreciente en $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$, máximo en $\left(\frac{1}{2},\frac{k}{2e}\right)$; $k<0$: decreciente en $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$, creciente en $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$, mínimo en $\left(\frac{1}{2},\frac{k}{2e}\right)$; $k=0$: constante.

c) $f$ es continua en $[-1,1]$ (es producto de funciones continuas).

1. Si $k=0$, $f$ es idénticamente nula y se anula en todo el intervalo.
2. Si $k\ne 0$: $f(-1)=-k{e}^2$ y $f(1)=k{e}^{-2}$ tienen signos opuestos. Por el teorema de Bolzano existe $c\in (-1,1)$ con $f(c)=0$.
3. De forma directa, $f(0)=k\cdot 0\cdot e^0=0$, así que $x=0\in [-1,1]$ siempre es raíz.

Resultado: $f(0)=0$ para cualquier $k$ (también se deduce por el teorema de Bolzano).

Resultado: a) $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$, asíntota horizontal $y=0$; b) máximo en $\left(\frac{1}{2},\frac{k}{2e}\right)$ si $k>0$, mínimo si $k<0$; c) $f(0)=0$

El área de $R$ es $2\cdot 1=2$, así que se busca $a$ tal que el área comprendida entre $f(x)=x^2$ y $g(x)=a$ en $[-1,1]$ sea $\frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}$.

1. Las gráficas se cortan cuando $x^2=a$, es decir, en $x=\pm \sqrt{a}$. Como $0<a<1$, ambos puntos están dentro de $[-1,1]$.
2. Entre $-\sqrt{a}$ y $\sqrt{a}$ la recta está por encima de la parábola ($a\ge x^2$); entre $\sqrt{a}$ y $1$ (y entre $-1$ y $-\sqrt{a}$) ocurre al revés. Las dos funciones son simétricas respecto del eje OY, así que $$\text{Aˊrea}={\int }_{-1}^1|x^2-a|dx=2{\int }_0^{\sqrt{a}}(a-x^2)dx+2{\int }_{\sqrt{a}}^1(x^2-a)dx.$$
3. Primera integral: $${\int }_0^{\sqrt{a}}(a-x^2)dx={\left[ax-\frac{x^3}{3}\right]}_0^{\sqrt{a}}=a\sqrt{a}-\frac{a\sqrt{a}}{3}=\frac{2}{3}{a}^{3/2}.$$
4. Segunda integral: $${\int }_{\sqrt{a}}^1(x^2-a)dx={\left[\frac{x^3}{3}-ax\right]}_{\sqrt{a}}^1=\left(\frac{1}{3}-a\right)-\left(\frac{a\sqrt{a}}{3}-a\sqrt{a}\right)=\frac{1}{3}-a+\frac{2}{3}{a}^{3/2}.$$
5. Área total: $$\text{Aˊrea}=2\cdot \frac{2}{3}{a}^{3/2}+2\left(\frac{1}{3}-a+\frac{2}{3}{a}^{3/2}\right)=\frac{8}{3}{a}^{3/2}-2a+\frac{2}{3}.$$
6. Igualamos al área pedida: $$\frac{8}{3}{a}^{3/2}-2a+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{8}{3}{a}^{3/2}=2a\Rightarrow \sqrt{a}=\frac{3}{4}(a\ne 0)\Rightarrow a=\frac{9}{16}.$$
7. Comprobación: $a=\frac{9}{16}$ está en $(0,1)$ y $\frac{8}{3}\cdot \frac{27}{64}-\frac{9}{8}+\frac{2}{3}=\frac{9}{8}-\frac{9}{8}+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$.

Resultado: $a=\frac{9}{16}=0,5625$

Resultado: $a=\frac{9}{16}=0,5625$

Llamamos $C$ al suceso «sale cara».

a) En cada una de las tres extracciones se elige una moneda al azar (probabilidad $\frac{1}{2}$ cada una) y luego se lanza. Como la moneda se devuelve a la bolsa, las tres repeticiones son independientes y con la misma probabilidad. Por la fórmula de la probabilidad total:

$$P(C)=P(M_1)P(C\mid M_1)+P(M_2)P(C\mid M_2)=\frac{1}{2}\cdot 0,6+\frac{1}{2}\cdot 1=0,8=\frac{4}{5}.$$

Sea $X$ el número de caras en las tres repeticiones: $X\sim B(3;0,8)$.

a.1) $$P(X=3)=0,8^3=0,512=\frac{64}{125}.$$

Resultado: $P(\text{tres caras})=\frac{64}{125}=0,512$

a.2) Exactamente una cruz equivale a dos caras y una cruz, con $P(\text{cruz})=0,2$:

$$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)0,8^2\cdot 0,2=3\cdot 0,64\cdot 0,2=0,384=\frac{48}{125}.$$

Resultado: $P(\text{una cruz})=\frac{48}{125}=0,384$

b) Aquí se elige una sola moneda y se lanza dos veces. Sea $D$ el suceso «salen dos caras».

1. Verosimilitudes: $P(D\mid M_1)=0,6^2=0,36$ y $P(D\mid M_2)=1\cdot 1=1$.
2. Probabilidad total: $P(D)=\frac{1}{2}\cdot 0,36+\frac{1}{2}\cdot 1=0,18+0,5=0,68$.
3. Teorema de Bayes: $$P(M_1\mid D)=\frac{P(M_1)P(D\mid M_1)}{P(D)}=\frac{0,18}{0,68}=\frac{9}{34}\approx 0,2647.$$ $$P(M_2\mid D)=\frac{0,5}{0,68}=\frac{25}{34}\approx 0,7353.$$
4. Comprobación: $\frac{9}{34}+\frac{25}{34}=1$.

Resultado: $P(M_1\mid D)=\frac{9}{34}\approx 0,2647$ y $P(M_2\mid D)=\frac{25}{34}\approx 0,7353$

Resultado: a.1) $\frac{64}{125}=0,512$; a.2) $\frac{48}{125}=0,384$; b) $P(M_1\mid D)=\frac{9}{34}\approx 0,2647$, $P(M_2\mid D)=\frac{25}{34}\approx 0,7353$

Sea $Y$ el número de ventas en las 10 llamadas: cada llamada consigue venta con probabilidad $0,7$, de forma independiente, luego $Y\sim B(10;0,7)$.

La tabla de la binomial está hecha para $p\le 0,5$, así que contamos los fracasos: $X=10-Y$ es el número de llamadas sin venta, $X\sim B(10;0,3)$.

a) «Más de 7 ventas» es $Y\ge 8$, es decir, $X\le 2$:

$$P(Y>7)=P(X\le 2)=0,3828.$$

(Con la tabla de $B(10;0,3)$: $F(2)=0,3828$.)

Resultado: $P(Y>7)=0,3828$

b) «Al menos 5 ventas» es $Y\ge 5$, es decir, $X\le 5$:

$$P(Y\ge 5)=P(X\le 5)=0,9527.$$

Resultado: $P(Y\ge 5)=0,9527$

c) «Entre 3 y 8 ventas» es $3\le Y\le 8$, es decir, $2\le X\le 7$:

$$P(3\le Y\le 8)=P(2\le X\le 7)=P(X\le 7)-P(X\le 1)=0,9984-0,1493=0,8491.$$

Resultado: $P(3\le Y\le 8)=0,8491$

Resultado: a) $0,3828$; b) $0,9527$; c) $0,8491$