Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Julio 2023

a) Sea $A$ la matriz de coeficientes y $A^{\ast }$ la ampliada. Estudiamos primero cuándo $|A|=0$.

1. Desarrollamos por la primera fila:

$$|A|=2(a(a+2)-2)-(a+1)((a+2)-2)+1\cdot (1-a)=2a^2+4a-4-a^2-a+1-a=a^2+2a-3.$$

2. $a^2+2a-3=0\Rightarrow a=\frac{-2\pm 4}{2}$, es decir, $a=1$ o $a=-3$. Así, $|A|=(a-1)(a+3)$.
3. Si $a\ne 1$ y $a\ne -3$: $|A|\ne 0$, $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3$ = número de incógnitas. Sistema compatible determinado (SCD).
4. Si $a=1$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 1& 1& 2\\ 1& 1& 3\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 2& 1& -1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 1& 3& 2\end{array}\right).$$

El menor formado por las columnas 1 y 3 de las filas 1 y 2 es $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=3\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=2$ (pues $|A|=0$). Para la ampliada, tomamos las columnas 1, 3 y la de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 2& 1\\ 1& 3& 2\end{array}\right|=2(4-3)-1(2-1)+(-1)(3-2)=2-1-1=0,$$

y como la columna 2 es igual a la 1, todos los menores de orden 3 de $A^{\ast }$ son nulos: $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2$. Como $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2<3$, el sistema es compatible indeterminado (SCI).

5. Si $a=-3$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ 1& 1& -1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& -2& 1& -1\\ 1& -3& 2& 1\\ 1& 1& -1& 2\end{array}\right).$$

El menor $\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -3\end{array}\right|=-4\ne 0$ y $|A|=0$, así que $\mathrm{rg}A=2$. El menor de $A^{\ast }$ con las columnas 1, 2 y la última:

$$\left|\begin{array}{ccc}2& -2& -1\\ 1& -3& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=2(-6-1)+2(2-1)-1(1+3)=-14+2-4=-16\ne 0,$$

luego $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3\ne \mathrm{rg}A$. Sistema incompatible (SI).

Resultado: SCD si $a\ne 1$ y $a\ne -3$; SCI si $a=1$; SI si $a=-3$.

b) El sistema es compatible indeterminado para $a=1$:

$$\{\begin{array}{rl}2x+2y+z& =-1\\ x+y+2z& =1\\ x+y+3z& =2\end{array}$$

1. Restando la segunda ecuación a la tercera: $z=1$.
2. Sustituyendo en la segunda: $x+y+2=1\Rightarrow x+y=-1$.
3. La primera ecuación es combinación de las otras: $2(x+y)+z=-2+1=-1$. Se cumple.
4. Tomamos $y=\lambda$ como parámetro: $x=-1-\lambda$.

Resultado: $(x,y,z)=(-1-\lambda ,\lambda ,1)$, $\lambda \in \mathbb{R}$ (equivalentemente, $x=\mu$, $y=-1-\mu$, $z=1$).

Resultado: a) SCD si $a\ne 1,-3$; SCI si $a=1$; SI si $a=-3$; b) para $a=1$: $x=\lambda ,y=-1-\lambda ,z=1$

a) Primero formamos la matriz $A-\alpha I$, restando $\alpha$ en la diagonal:

$$A-\alpha I=\left(\begin{array}{ccc}-\alpha & -1& -2\\ -1& -\alpha & -2\\ 1& 1& 3-\alpha \end{array}\right).$$

Ahora multiplicamos por sí misma, fila por columna. Las columnas son $(-\alpha ,-1,1)$, $(-1,-\alpha ,1)$ y $(-2,-2,3-\alpha )$.

1. Fila 1, $(-\alpha ,-1,-2)$: con la columna 1, ${\alpha }^2+1-2={\alpha }^2-1$; con la columna 2, $\alpha +\alpha -2=2\alpha -2$; con la columna 3, $2\alpha +2-2(3-\alpha )=4\alpha -4$.
2. Fila 2, $(-1,-\alpha ,-2)$: columna 1, $\alpha +\alpha -2=2\alpha -2$; columna 2, $1+{\alpha }^2-2={\alpha }^2-1$; columna 3, $2+2\alpha -2(3-\alpha )=4\alpha -4$.
3. Fila 3, $(1,1,3-\alpha )$: columna 1, $-\alpha -1+(3-\alpha )=2-2\alpha$; columna 2, $-1-\alpha +(3-\alpha )=2-2\alpha$; columna 3, $-2-2+(3-\alpha {)}^2={\alpha }^2-6\alpha +5$.

Resultado:

$$M=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }^2-1& 2\alpha -2& 4\alpha -4\\ 2\alpha -2& {\alpha }^2-1& 4\alpha -4\\ 2-2\alpha & 2-2\alpha & {\alpha }^2-6\alpha +5\end{array}\right)$$

b) $M$ es la matriz nula si todos sus elementos se anulan a la vez.

1. $2\alpha -2=0\Rightarrow \alpha =1$.
2. Comprobamos que con $\alpha =1$ se anulan todos los demás: ${\alpha }^2-1=0$; $4\alpha -4=0$; $2-2\alpha =0$; ${\alpha }^2-6\alpha +5=1-6+5=0$.

Por tanto $\alpha =1$ es el único valor (la ecuación $2\alpha -2=0$ no admite otro).

Resultado: $\alpha =1$

Resultado: a) $M=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }^2-1& 2\alpha -2& 4\alpha -4\\ 2\alpha -2& {\alpha }^2-1& 4\alpha -4\\ 2-2\alpha & 2-2\alpha & {\alpha }^2-6\alpha +5\end{array}\right)$; b) $\alpha =1$

a) Un vector director de $r$ es $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,3,3)$, y $r$ pasa por $A=(2,-1,0)$:

$$\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{3}.$$

1. Igualamos la primera y la segunda fracción: $3(x-2)=-(y+1)\Rightarrow 3x+y-5=0$.
2. Igualamos la segunda y la tercera: $y+1=z\Rightarrow y-z+1=0$.
3. Comprobación con $B=(1,2,3)$: $3+2-5=0$ y $2-3+1=0$.

Resultado: $r:\{\begin{array}{rl}3x+y-5& =0\\ y-z+1& =0\end{array}$

b) Si $\pi \perp r$, el vector director de $r$ es normal al plano: $\vec{n}=(-1,3,3)$.

1. $\pi :-x+3y+3z+D=0$.
2. Pasa por $C=(-1,0,0)$: $1+0+0+D=0\Rightarrow D=-1$.

Resultado: $\pi :-x+3y+3z-1=0$ (equivalentemente, $x-3y-3z+1=0$)

c) Usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano con $A=(2,-1,0)$:

$$d(A,\pi )=\frac{|-2+3(-1)+3\cdot 0-1|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2+3^2}}=\frac{|-6|}{\sqrt{19}}=\frac{6}{\sqrt{19}}\approx 1,376.$$

Resultado: $d(A,\pi )=\frac{6}{\sqrt{19}}=\frac{6\sqrt{19}}{19}\approx 1,376$

Resultado: a) $r:3x+y-5=0,y-z+1=0$; b) $\pi :-x+3y+3z-1=0$; c) $\frac{6}{\sqrt{19}}\approx 1,376$

a) Sustituimos los puntos de la recta, $(1-\lambda ,1-\lambda ,2\lambda )$, en la ecuación del plano.

1. $5(1-\lambda )+m(1-\lambda )+2\lambda =2\Rightarrow 5+m-(5+m)\lambda +2\lambda =2$.
2. Ordenando: $(-3-m)\lambda =-3-m$, es decir, $(m+3)\lambda =m+3$.
3. Si $m\ne -3$: $\lambda =1$ es la única solución. La recta corta al plano en un único punto, el de $\lambda =1$: $(0,0,2)$.
4. Si $m=-3$: la ecuación queda $0\cdot \lambda =0$, que se cumple para todo $\lambda$. La recta está contenida en el plano.
5. Nunca son paralelos sin contacto: el vector $(-1,-1,2)$ y la normal $(5,m,1)$ cumplen $(-1,-1,2)\cdot (5,m,1)=-3-m$, que se anula solo si $m=-3$, y entonces el punto $(1,1,0)$ ya está en el plano ($5-3+0=2$).

Resultado: si $m\ne -3$, $r$ y $\pi$ se cortan en un punto; si $m=-3$, $r$ está contenida en $\pi$.

b) Con $m=1$, $\pi :5x+y+z=2$ tiene normal $\vec{n}=(5,1,1)$.

1. El plano ${\pi }^{\prime }$ contiene a $r$: pasa por $(1,1,0)$ y contiene la dirección $\vec{d}=(-1,-1,2)$.
2. ${\pi }^{\prime }\perp \pi$: contiene también la dirección de la normal $\vec{n}=(5,1,1)$.
3. Un vector normal a ${\pi }^{\prime }$ es

$$\vec{d}\times \vec{n}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& -1& 2\\ 5& 1& 1\end{array}\right|=(-1-2,-(-1-10),-1+5)=(-3,11,4).$$

4. ${\pi }^{\prime }:-3(x-1)+11(y-1)+4z=0\Rightarrow -3x+11y+4z-8=0$, es decir, $3x-11y-4z+8=0$.
5. Comprobación: $(-3,11,4)\cdot (-1,-1,2)=3-11+8=0$ y $(-3,11,4)\cdot (5,1,1)=-15+11+4=0$.

Resultado: ${\pi }^{\prime }:3x-11y-4z+8=0$

Resultado: a) $m\ne -3$: se cortan en un punto; $m=-3$: $r\subset \pi$; b) ${\pi }^{\prime }:3x-11y-4z+8=0$

Factorizamos numerador y denominador.

• $-2x^2+x+1=-(2x^2-x-1)=-(2x+1)(x-1)=(2x+1)(1-x)$.
• $2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)$ (raíces $x=-\frac{1}{2}$ y $x=-2$).

Por tanto, para $x\ne -\frac{1}{2},-2$:

$$f(x)=\frac{(2x+1)(1-x)}{(2x+1)(x+2)}=\frac{1-x}{x+2}.$$

a) La función no está definida en $x=-\frac{1}{2}$ (anula el denominador), pero

$$\underset{x\to -1/2}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1/2}{\lim }\frac{1-x}{x+2}=\frac{3/2}{3/2}=1,$$

que es un número finito. Existe el límite y no coincide con ningún valor de $f$ (que no existe en ese punto): la discontinuidad es evitable (basta definir $f(-1/2)=1$). En cambio, en $x=-2$ el límite es infinito (asíntota vertical).

Resultado: $\underset{x\to -1/2}{\lim }f(x)=1$, finito: discontinuidad evitable.

b) El dominio es $\mathbb{R}\setminus \{-2,-\frac{1}{2}\}$. Derivamos $f(x)=\frac{1-x}{x+2}$:

1. $f^{\prime }(x)=\frac{-(x+2)-(1-x)}{(x+2{)}^2}=\frac{-3}{(x+2{)}^2}$.
2. Esta derivada es negativa en todo el dominio, y no se anula nunca.
3. Luego $f$ es decreciente en cada intervalo del dominio, y nunca es creciente.

Resultado: $f$ es decreciente en $(-\infty ,-2)\cup \left(-2,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(-\frac{1}{2},\infty \right)$ y no es creciente en ningún intervalo.

c) Con la expresión simplificada, dividimos:

$$\frac{1-x}{x+2}=-1+\frac{3}{x+2}.$$

1. Comprobación: $-1+\frac{3}{x+2}=\frac{-(x+2)+3}{x+2}=\frac{1-x}{x+2}$.
2. Integramos:

$$\int f(x)dx=\int \left(-1+\frac{3}{x+2}\right)dx=-x+3\ln |x+2|+C.$$

Resultado: $\int f(x)dx=3\ln |x+2|-x+C$

Resultado: a) $\underset{x\to -1/2}{\lim }f(x)=1$ (evitable); b) decreciente en $(-\infty ,-2)$, $\left(-2,-\frac{1}{2}\right)$ y $\left(-\frac{1}{2},\infty \right)$; c) $3\ln |x+2|-x+C$

Sea $x$ la anchura de la ventana e $y$ la altura de la parte rectangular. El semicírculo tiene diámetro $x$, es decir, radio $\frac{x}{2}$.

a) El perímetro de la ventana está formado por la base ($x$), los dos lados verticales ($2y$) y el arco del semicírculo ($\frac{1}{2}\cdot 2\pi \cdot \frac{x}{2}=\frac{\pi x}{2}$). El segmento que separa rectángulo y semicírculo no cuenta.

1. Perímetro: $x+2y+\frac{\pi x}{2}=20$. Despejamos $y$:

$$y=10-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}.$$

2. Área = rectángulo + semicírculo $=xy+\frac{1}{2}\pi {\left(\frac{x}{2}\right)}^2=xy+\frac{\pi x^2}{8}$.
3. Sustituimos $y$:

$$A(x)=x\left(10-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}\right)+\frac{\pi x^2}{8}=10x-\frac{x^2}{2}-\frac{\pi x^2}{4}+\frac{\pi x^2}{8}=10x-\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{8}\right)x^2.$$

Resultado: $A(x)=10x-\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{8}\right)x^2$

b) Maximizamos $A(x)$.

1. $A^{\prime }(x)=10-\left(1+\frac{\pi }{4}\right)x$.
2. $A^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=\frac{10}{1+\pi /4}=\frac{40}{4+\pi }\approx 5,601$ m.
3. $A^{\prime \prime }(x)=-\left(1+\frac{\pi }{4}\right)<0$: es un máximo.
4. La altura del rectángulo es

$$y=10-x\cdot \frac{2+\pi }{4}=10-\frac{10(2+\pi )}{4+\pi }=\frac{40+10\pi -20-10\pi }{4+\pi }=\frac{20}{4+\pi }\approx 2,800\text{m}.$$

(Resulta $y=\frac{x}{2}$: la altura del rectángulo es igual al radio del semicírculo.)

Resultado: anchura $x=\frac{40}{4+\pi }\approx 5,601$ m y altura del rectángulo $y=\frac{20}{4+\pi }\approx 2,800$ m.

c) Área máxima:

$$A\left(\frac{40}{4+\pi }\right)=10x-\frac{4+\pi }{8}{x}^2=\frac{400}{4+\pi }-\frac{4+\pi }{8}\cdot \frac{1600}{(4+\pi {)}^2}=\frac{400}{4+\pi }-\frac{200}{4+\pi }=\frac{200}{4+\pi }\approx 28,0{\text{m}}^2.$$

Resultado: $A_{\max }=\frac{200}{4+\pi }\approx 28,0$ m${}^2$

Resultado: a) $A(x)=10x-\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{8}\right)x^2$; b) $x=\frac{40}{4+\pi }\approx 5,601$ m, $y=\frac{20}{4+\pi }\approx 2,800$ m; c) $\frac{200}{4+\pi }\approx 28,0$ m${}^2$

La urna tiene $3+4+5=12$ bolas: 3 verdes (V), 4 rojas (R) y 5 amarillas (A).

a) Al devolver la bola, las dos extracciones son independientes y las probabilidades son $P(V)=\frac{3}{12}$, $P(R)=\frac{4}{12}$, $P(A)=\frac{5}{12}$.

1. Mismo color:

$$P(\text{mismo})=P(VV)+P(RR)+P(AA)=\frac{3^2+4^2+5^2}{12^2}=\frac{9+16+25}{144}=\frac{50}{144}=\frac{25}{72}\approx 0,3472.$$

2. Distinto color (suceso contrario):

$$P(\text{distintos})=1-\frac{25}{72}=\frac{47}{72}\approx 0,6528.$$

Resultado: $P(\text{mismo color})=\frac{25}{72}\approx 0,3472$; $P(\text{colores distintos})=\frac{47}{72}\approx 0,6528$.

b) Extraer tres bolas a la vez equivale a tomar un conjunto de 3 de las 12 bolas, sin orden.

1. Casos posibles: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{6}=220$.
2. Casos favorables (una bola de cada color): $3\cdot 4\cdot 5=60$.
3. Probabilidad: $\frac{60}{220}=\frac{3}{11}\approx 0,2727$.

(Comprobación por extracciones sucesivas: hay $3!=6$ órdenes posibles y cada uno tiene probabilidad $\frac{3\cdot 4\cdot 5}{12\cdot 11\cdot 10}$; $6\cdot \frac{60}{1320}=\frac{360}{1320}=\frac{3}{11}$.)

Resultado: $P(\text{tres colores distintos})=\frac{3}{11}\approx 0,2727$

Resultado: a) $\frac{25}{72}\approx 0,3472$ y $\frac{47}{72}\approx 0,6528$; b) $\frac{3}{11}\approx 0,2727$

Sean $P_1$ y $P_2$ los sucesos «el móvil procede de la planta 1 / 2» y $D$ «el móvil es defectuoso». Datos: $P(P_1)=0,7$, $P(P_2)=1-0,7=0,3$, $P(D\mid P_1)=0,02$ y $P(D\mid P_2)=0,06$.

a) Probabilidad de la intersección (regla del producto):

$$P(P_2\cap D)=P(P_2)P(D\mid P_2)=0,3\cdot 0,06=0,018=\frac{9}{500}.$$

Resultado: $P(P_2\cap D)=0,018=\frac{9}{500}$

b) Aplicamos el teorema de Bayes.

1. Probabilidad total de defectuoso:

$$P(D)=P(P_1)P(D\mid P_1)+P(P_2)P(D\mid P_2)=0,7\cdot 0,02+0,3\cdot 0,06=0,014+0,018=0,032.$$

2. Bayes:

$$P(P_1\mid D)=\frac{P(P_1)P(D\mid P_1)}{P(D)}=\frac{0,014}{0,032}=\frac{7}{16}=0,4375.$$

Resultado: $P(P_1\mid D)=\frac{7}{16}=0,4375$

Resultado: a) $0,018=\frac{9}{500}$; b) $\frac{7}{16}=0,4375$