Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Junio 2023

a) La ecuación $A^{2}X=B$ es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas cuya matriz de coeficientes es $A^2$. Tiene solución única si $|A^2|\ne 0$.

1. Calculamos $|A|$ desarrollando por la primera columna (solo tiene un elemento no nulo):

$$|A|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 3& 0\end{array}\right|=1\cdot (0-3)=-3.$$

2. Entonces $|A^2|=|A{|}^2=9\ne 0$ para todo $m$.
3. Por tanto $A^2$ es invertible para cualquier valor de $m$ y el sistema es compatible determinado: la ecuación siempre tiene solución, y es única, $X=(A^2{)}^{-1}B$.

Resultado: para todo $m\in \mathbb{R}$ la ecuación tiene solución y es única.

b) Como $A^{2}X=A(AX)$, resolvemos en dos pasos: primero $AY=B$ con $Y=AX$, y después $AX=Y$.

1. $AY=B$ con $Y=(y_1,y_2,y_3{)}^T$ es el sistema $$\{\begin{array}{rl}{y}_1+2y_2& =m\\ m{y}_2+y_3& =0\\ 3y_2& =9\end{array}$$ De la tercera, $y_2=3$; de la segunda, $y_3=-3m$; de la primera, $y_1=m-6$. Así $Y=\left(\begin{array}{c}m-6\\ 3\\ -3m\end{array}\right)$.

2. Ahora $AX=Y$: $$\{\begin{array}{rl}x+2y& =m-6\\ my+z& =3\\ 3y& =-3m\end{array}$$ De la tercera, $y=-m$; de la segunda, $z=3-my=3+m^2$; de la primera, $x=m-6-2y=m-6+2m=3m-6$.

3. Comprobación con $m=0$: $A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$ y $X=(-6,0,3{)}^T$ da $A^{2}X=(-6+0+6,0,9{)}^T=(0,0,9{)}^T=B$. Correcto.

Resultado: $X=\left(\begin{array}{c}3m-6\\ -m\\ 3+m^2\end{array}\right)$, solución única para cada $m$.

Resultado: a) siempre hay solución, y es única, para todo $m\in \mathbb{R}$; b) $X=\left(\begin{array}{c}3m-6\\ -m\\ 3+m^2\end{array}\right)$

a) $A$ es $2\times 3$ y $B^T$ es $3\times 2$, luego $A{B}^T$ es $2\times 2$ y la identidad $I$ es la de orden 2.

1. Trasponemos $B$: $$B^T=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

2. Multiplicamos fila por columna: $$A{B}^T=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1& 1\cdot 2+0\cdot (-1)+1\cdot 0\\ 0\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1& 0\cdot 2+1\cdot (-1)+1\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& -1\end{array}\right).$$

3. Sumamos la identidad: $$M=A{B}^T+I=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 0\end{array}\right).$$

4. $|M|=3\cdot 0-2\cdot 2=-4\ne 0$, así que existe la inversa. Para una matriz $2\times 2$, ${\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{|M|}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$: $$M^{-1}=\frac{1}{-4}\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ -2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{3}{4}\end{array}\right).$$

5. Comprobación: $M{M}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 0+2\cdot \frac{1}{2}& 3\cdot \frac{1}{2}+2\cdot (-\frac{3}{4})\\ 2\cdot 0+0& 2\cdot \frac{1}{2}+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Resultado: $(A{B}^T+I{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{3}{4}\end{array}\right)$

b) Elevamos $C$ al cuadrado:

1. $$C^2=\left(\begin{array}{cc}0& \alpha \\ -{\alpha }^2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& \alpha \\ -{\alpha }^2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 0+\alpha (-{\alpha }^2)& 0\cdot \alpha +\alpha \cdot 0\\ -{\alpha }^2\cdot 0+0& -{\alpha }^2\cdot \alpha +0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\alpha }^3& 0\\ 0& -{\alpha }^3\end{array}\right)=-{\alpha }^{3}I.$$

2. Para $C^{13}$ escribimos $C^{13}=C^{12}C=(C^2{)}^{6}C$.

3. Como $C^2=-{\alpha }^{3}I$ y $I$ conmuta con todo: $(C^2{)}^6=(-{\alpha }^3{)}^{6}I={\alpha }^{18}I$.

4. Entonces $$C^{13}={\alpha }^{18}IC={\alpha }^{18}\left(\begin{array}{cc}0& \alpha \\ -{\alpha }^2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& {\alpha }^{19}\\ -{\alpha }^{20}& 0\end{array}\right).$$

Resultado: $C^2=-{\alpha }^{3}I$ y $C^{13}=\left(\begin{array}{cc}0& {\alpha }^{19}\\ -{\alpha }^{20}& 0\end{array}\right)$

Resultado: a) $\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{3}{4}\end{array}\right)$; b) $C^{13}=\left(\begin{array}{cc}0& {\alpha }^{19}\\ -{\alpha }^{20}& 0\end{array}\right)$

a) Necesitamos un vector director de cada recta.

1. La recta $r$ es la intersección de dos planos, de vectores normales ${\vec{n}}_1=(1,-1,0)$ y ${\vec{n}}_2=(1,2,1)$. Un vector director de $r$ es su producto vectorial: $$\vec{u}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=(-1\cdot 1-0\cdot 2,-(1\cdot 1-0\cdot 1),1\cdot 2-(-1)\cdot 1)=(-1,-1,3).$$

2. La recta $PQ$ tiene vector director $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2,2,a-3)$.

3. Son paralelas si los vectores son proporcionales: $(2,2,a-3)=\lambda (-1,-1,3)$. De las dos primeras componentes, $\lambda =-2$; de la tercera, $a-3=3\lambda =-6$, luego $a=-3$.

4. Para $a=-3$ la recta $PQ$ no coincide con $r$ (el punto $P=(0,0,3)$ no cumple $x-y=1$), así que son paralelas y distintas. Para cualquier otro $a$ no son paralelas.

Resultado: $a=-3$

b) El plano perpendicular a $r$ tiene como vector normal el director de $r$, $\vec{u}=(-1,-1,3)$.

1. Ecuación: $-x-y+3z+D=0$.
2. Pasa por $P=(0,0,3)$: $0-0+9+D=0\Rightarrow D=-9$.
3. El plano es $-x-y+3z-9=0$, o, multiplicando por $-1$, $x+y-3z+9=0$.

Resultado: $\pi :-x-y+3z-9=0$ (equivalentemente, $x+y-3z+9=0$)

Resultado: a) $a=-3$; b) $-x-y+3z-9=0$

a) Sustituimos $Q=(2,6,0)$ en las dos ecuaciones de $r$:

1. $5\cdot 2+6+7\cdot 0=16$. Se cumple.
2. $9\cdot 2-6+7\cdot 0=12$. Se cumple.
3. Luego $Q\in r$.
4. La recta $s$ pasa por $P$ con vector director $\overrightarrow{PQ}=(2-0,6-5,0-2)=(2,1,-2)$.

Resultado: $s:(x,y,z)=(0,5,2)+\lambda (2,1,-2)$, es decir, $\frac{x}{2}=y-5=\frac{z-2}{-2}$

b) Necesitamos el vector director de $r$.

1. Los vectores normales de los planos son $(5,1,7)$ y $(9,-1,7)$. Su producto vectorial: $$\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 5& 1& 7\\ 9& -1& 7\end{array}\right|=(1\cdot 7-7\cdot (-1),-(5\cdot 7-7\cdot 9),5\cdot (-1)-1\cdot 9)=(14,28,-14).$$ Un vector director de $r$ es $\vec{u}=(1,2,-1)$ (dividiendo por 14).

2. El vector director de $s$ es $\vec{v}=(2,1,-2)$.

3. El ángulo entre dos rectas viene dado por el ángulo agudo entre sus vectores directores: $$\cos \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{|2+2+2|}{\sqrt{6}\cdot 3}=\frac{6}{3\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

4. $\theta =\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}\approx 35,26^{\circ }$ (calculadora en grados).

Resultado: $\theta =\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}\approx 35,26^{\circ }$

c) La proyección ortogonal de $P$ sobre $r$ es el punto $P^{\prime }$ de $r$ tal que $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ es perpendicular a $\vec{u}$.

1. La recta $r$ pasa por $Q$ con dirección $\vec{u}=(1,2,-1)$: sus puntos son $(2+t,6+2t,-t)$.
2. El vector desde $P$ a un punto de $r$ es $(2+t,1+2t,-2-t)$.
3. Imponemos que sea perpendicular a $\vec{u}$: $$(2+t)+2(1+2t)-(-2-t)=0\Rightarrow 2+t+2+4t+2+t=0\Rightarrow 6t+6=0\Rightarrow t=-1.$$
4. El punto es $(2-1,6-2,1)=(1,4,1)$.
5. Comprobación: $(1,4,1)$ cumple $5+4+7=16$ y $9-4+7=12$, luego está en $r$; y $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}=(1,-1,-1)$ cumple $(1,-1,-1)\cdot (1,2,-1)=1-2+1=0$.

Resultado: $P^{\prime }=(1,4,1)$

Resultado: a) $s:(x,y,z)=(0,5,2)+\lambda (2,1,-2)$; b) $\theta =\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}\approx 35,26^{\circ }$; c) $(1,4,1)$

a) $\frac{1}{x}$ exige $x\ne 0$ y $\ln (x+1)$ exige $x+1>0$, es decir, $x>-1$.

1. Dominio: $(-1,0)\cup (0,+\infty )$.
2. Asíntotas verticales (puntos donde la función no está definida):
   • $x\to -1^{+}$: $\ln (x+1)\to -\infty$ y $\frac{1}{x}\to -1$, luego $f\to -\infty$. Hay asíntota vertical $x=-1$.
   • $x\to 0^{-}$: $\frac{1}{x}\to -\infty$ y $\ln (x+1)\to 0$, luego $f\to -\infty$; y $x\to 0^{+}$: $f\to +\infty$. Hay asíntota vertical $x=0$.
3. Horizontal: $x\to +\infty$ da $f\to +\infty$ (el logaritmo crece sin límite), no hay asíntota horizontal. Oblicua: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\lim \left(\frac{1}{x^2}+\frac{\ln (x+1)}{x}\right)=0$, luego tampoco hay asíntota oblicua.

Resultado: dominio $(-1,0)\cup (0,+\infty )$; asíntotas verticales $x=-1$ y $x=0$; ni horizontales ni oblicuas.

b) Derivamos:

1. $$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x+1}=\frac{-(x+1)+x^2}{x^2(x+1)}=\frac{x^2-x-1}{x^2(x+1)}.$$

2. En el dominio, $x^2(x+1)>0$, así que el signo de $f^{\prime }$ es el de $x^2-x-1$, que se anula en $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$, es decir, $x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618$ (está en el dominio) y $x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618$.

3. Signo de $x^2-x-1$ (parábola de ramas hacia arriba): positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas.

4. En $x_1$ la función pasa de crecer a decrecer: máximo relativo. En $x_2$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo.
5. Valores. Para $x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$: $\frac{1}{x_1}=\frac{2}{1-\sqrt{5}}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ y $x_1+1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$, luego $$f(x_1)=\ln \frac{3-\sqrt{5}}{2}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx -0,962-1,618=-2,580.$$ Para $x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$: $\frac{1}{x_2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ y $x_2+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$, luego $$f(x_2)=\ln \frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,962+0,618=1,580.$$

Resultado: crece en $\left(-1,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2},+\infty \right)$ y decrece en $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)\cup \left(0,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$; máximo relativo en $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (valor $\approx -2,580$) y mínimo relativo en $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (valor $\approx 1,580$).

c) En $[1,2]$ la función es positiva ($\frac{1}{x}>0$ y $\ln (x+1)>0$), así que $$\text{Aˊrea}={\int }_1^2\left(\frac{1}{x}+\ln (x+1)\right)dx.$$

1. $\int \frac{1}{x}dx=\ln x$.
2. $\int \ln (x+1)dx$ por partes ($u=\ln (x+1)$, $dv=dx$): $=(x+1)\ln (x+1)-\int dx=(x+1)\ln (x+1)-x$.
3. Primitiva: $F(x)=\ln x+(x+1)\ln (x+1)-x$.
4. $F(2)=\ln 2+3\ln 3-2$ y $F(1)=0+2\ln 2-1$.
5. $$\text{Aˊrea}=F(2)-F(1)=\ln 2+3\ln 3-2-2\ln 2+1=3\ln 3-\ln 2-1=\ln \frac{27}{2}-1\approx 1,603{\text{u}}^2.$$

Resultado: Área $=\ln \frac{27}{2}-1\approx 1,603$ u${}^2$

Resultado: a) dominio $(-1,0)\cup (0,+\infty )$, asíntotas verticales $x=-1$ y $x=0$; b) máximo relativo en $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ y mínimo relativo en $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (crecimiento y decrecimiento en el apartado); c) $\ln \frac{27}{2}-1\approx 1,603$ u${}^2$

a) Por simetría, la puerta ocupa desde $x=-x_0$ hasta $x=x_0$ (con $0<x_0<\sqrt{12}$). Sus esquinas superiores son $(\pm x_0,-x_0^2+12)$. Escribimos $x$ en lugar de $x_0$.

1. Base de la puerta: $2x$. Altura: $-x^2+12$.
2. Área: $$A(x)=2x(-x^2+12)=-2x^3+24x,0<x<\sqrt{12}.$$
3. Derivada: $A^{\prime }(x)=-6x^2+24$. $A^{\prime }(x)=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=2$ (la raíz $x=-2$ está fuera del intervalo).
4. $A^{\prime \prime }(x)=-12x$ y $A^{\prime \prime }(2)=-24<0$: en $x=2$ hay un máximo. (Además $A\to 0$ en los extremos del intervalo, así que es el máximo absoluto.)
5. Dimensiones: anchura $2x=4$ m y altura $-4+12=8$ m.

Resultado: anchura $4$ m y altura $8$ m.

b) 1. Área de la puerta: $A(2)=4\cdot 8=32{\text{m}}^2$.

2. Área de toda la entrada: la parábola corta al suelo en $x=\pm \sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}$, y $${\int }_{-\sqrt{12}}^{\sqrt{12}}(-x^2+12)dx=2{\left[12x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^{\sqrt{12}}=2\left(12\sqrt{12}-\frac{12\sqrt{12}}{3}\right)=16\sqrt{12}=32\sqrt{3}{\text{m}}^2\approx 55,43{\text{m}}^2.$$

3. Parte cerrada con piedra: $32\sqrt{3}-32\approx 55,4256-32=23,4256{\text{m}}^2$.

Resultado: área de la puerta $32{\text{m}}^2$; área recubierta de piedra $32\sqrt{3}-32\approx 23,43{\text{m}}^2$.

Resultado: a) anchura $4$ m y altura $8$ m; b) puerta $32{\text{m}}^2$ y piedra $32\sqrt{3}-32\approx 23,43{\text{m}}^2$

Las dos monedas se lanzan de forma independiente. La probabilidad de cruz es $1-x$ en $M_1$ y $1-y$ en $M_2$.

a) Sea $C$ el número de caras en el primer lanzamiento.

1. Ninguna cara: cruz en ambas. $P(C=0)=(1-x)(1-y)$.
2. Dos caras: cara en ambas. $P(C=2)=xy$.
3. Solo una cara: cara en $M_1$ y cruz en $M_2$, o al revés. $P(C=1)=x(1-y)+y(1-x)$.
4. Comprobación: la suma es $(1-x)(1-y)+xy+x(1-y)+y(1-x)=1$.

Resultado: $P(0)=(1-x)(1-y)$; $P(1)=x(1-y)+y(1-x)$; $P(2)=xy$

b) Cada moneda se lanza una segunda vez solo si en la primera ha salido cruz. Así, cada moneda acaba con cara si sale cara en el primer lanzamiento, o bien cruz y después cara.

1. Para $M_1$: $P(\text{cara al final})=x+(1-x)x=x(2-x)$, y $P(\text{cruz al final})=(1-x{)}^2$.
2. Para $M_2$: $P(\text{cara al final})=y(2-y)$, y $P(\text{cruz al final})=(1-y{)}^2$.
3. Ambas monedas siguen siendo independientes, luego multiplicamos:
   • Ninguna cara: $P=(1-x{)}^2(1-y{)}^2$.
   • Dos caras: $P=x(2-x)y(2-y)$.
   • Una cara: cara en $M_1$ y cruz en $M_2$, o al revés: $P=x(2-x)(1-y{)}^2+y(2-y)(1-x{)}^2$.
4. Comprobación: la suma es $[x(2-x)+(1-x{)}^2\left]\right[y(2-y)+(1-y{)}^2]=1\cdot 1=1$, pues $x(2-x)+(1-x{)}^2=1$.

Resultado: $P(0)=(1-x{)}^2(1-y{)}^2$; $P(1)=x(2-x)(1-y{)}^2+y(2-y)(1-x{)}^2$; $P(2)=xy(2-x)(2-y)$

Resultado: a) $P(0)=(1-x)(1-y)$, $P(1)=x(1-y)+y(1-x)$, $P(2)=xy$; b) $P(0)=(1-x{)}^2(1-y{)}^2$, $P(1)=x(2-x)(1-y{)}^2+y(2-y)(1-x{)}^2$, $P(2)=xy(2-x)(2-y)$

Sean $N$, $U$ y $O$ los sucesos «el vuelo es nacional», «de la Unión Europea» y «de fuera de la Unión Europea», y $R$ «el vuelo se retrasa». Datos:

$$P(N)=\frac{95}{161},P(U)=\frac{50}{161},P(O)=\frac{16}{161},P(R\mid N)=0,05,P(R\mid U)=0,04,P(R\mid O)=0,0625.$$

a) Por el teorema de la probabilidad total:

1. $$P(R)=\frac{95}{161}\cdot 0,05+\frac{50}{161}\cdot 0,04+\frac{16}{161}\cdot 0,0625=\frac{4,75+2+1}{161}=\frac{7,75}{161}.$$

2. Simplificando: $\frac{7,75}{161}=\frac{31}{644}\approx 0,0481$.

Resultado: $P(R)=\frac{31}{644}\approx 0,0481$

b) Por el teorema de Bayes:

1. $$P(U\mid R)=\frac{P(U)P(R\mid U)}{P(R)}=\frac{\frac{50}{161}\cdot 0,04}{\frac{7,75}{161}}=\frac{2}{7,75}=\frac{8}{31}\approx 0,2581.$$

Resultado: $P(U\mid R)=\frac{8}{31}\approx 0,2581$

Resultado: a) $\frac{31}{644}\approx 0,0481$; b) $\frac{8}{31}\approx 0,2581$