Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Julio 2022

a) Sea $A$ la matriz de coeficientes y $A^{\ast }$ la ampliada:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& a& a-1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}a& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& a& a-1& a\end{array}\right).$$

1. Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:

$$|A|=a(0\cdot (a-1)-a)-1((a-1)-1)+0=-a^2-a+2=-(a+2)(a-1).$$

2. $|A|=0⟺a=-2$ o $a=1$.
3. Si $a\ne -2$ y $a\ne 1$: $|A|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3$ = número de incógnitas. Sistema compatible determinado (SCD).
4. Si $a=1$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right).$$

La primera y la tercera fila son iguales, y la primera y la segunda no son proporcionales, así que $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2<3$. Sistema compatible indeterminado (SCI).

5. Si $a=-2$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-2& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& -2& -3& -2\end{array}\right).$$

El menor $\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1\ne 0$ y $|A|=0$, luego $\mathrm{rg}A=2$. Con las columnas 1, 2 y la de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& -2& -2\end{array}\right|=-2(0+2)-1(-2-1)+1(-2-0)=-4+3-2=-3\ne 0,$$

luego $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3\ne \mathrm{rg}A$. Sistema incompatible (SI).

Resultado: SCD si $a\ne -2$ y $a\ne 1$; SI si $a=-2$; SCI si $a=1$.

b) El sistema es compatible si $a\ne -2$.

Caso $a\ne -2$ y $a\ne 1$ (SCD). Despejamos con las dos primeras ecuaciones: $y=1-ax$ y $z=1-x$. Sustituimos en la tercera:

1. $x+a(1-ax)+(a-1)(1-x)=a$.
2. Desarrollando: $x+a-a^{2}x+a-1-(a-1)x=a\Rightarrow (2-a-a^2)x=1-a$.
3. Como $2-a-a^2=(1-a)(a+2)$ y $a\ne 1$, dividimos por $1-a$: $(a+2)x=1\Rightarrow x=\frac{1}{a+2}$.
4. Entonces $y=1-\frac{a}{a+2}=\frac{2}{a+2}$ y $z=1-\frac{1}{a+2}=\frac{a+1}{a+2}$.

Caso $a=1$ (SCI). El sistema se reduce a $x+y=1$, $x+z=1$ (la tercera ecuación repite la primera). Tomamos $y=\lambda$ como parámetro: $x=1-\lambda$, $z=\lambda$. Comprobación: $x+z=1$ y $x+y=1$.

Resultado: si $a\ne -2$ y $a\ne 1$: $(x,y,z)=\left(\frac{1}{a+2},\frac{2}{a+2},\frac{a+1}{a+2}\right)$; si $a=1$: $(x,y,z)=(1-\lambda ,\lambda ,\lambda )$, $\lambda \in \mathbb{R}$.

Resultado: a) SCD si $a\ne -2,1$; SI si $a=-2$; SCI si $a=1$; b) para $a\ne -2,1$: $\left(\frac{1}{a+2},\frac{2}{a+2},\frac{a+1}{a+2}\right)$; para $a=1$: $(1-\lambda ,\lambda ,\lambda )$

a) Si $A^{-1}=B$ con $B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$, entonces $A=B^{-1}$.

1. $|B|=1$, y la inversa de una matriz $2\times 2$ se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando de signo los otros dos, dividido por el determinante:

$$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$$

2. Igualamos con $A=\left(\begin{array}{cc}a+b& 1\\ 0& a-b\end{array}\right)$: $a+b=1$ y $a-b=1$.
3. Sumando: $2a=2\Rightarrow a=1$; restando: $2b=0\Rightarrow b=0$.

Resultado: $a=1$, $b=0$.

b) Con $a=1$, $b=0$: $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

1. $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$.
2. $A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$.
3. $A^4=A^{3}A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$.

(En general, $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$.)

Resultado: $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A^4=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$.

c) Aquí $a$ y $b$ son los parámetros generales.

1. $|A|=(a+b)(a-b)-1\cdot 0=a^2-b^2$, que es distinto de $0$ por hipótesis, luego $A$ es invertible y $A^{-50}$ existe.
2. Usamos $|XY|=|X||Y|$ y $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$:

$$\det (A^{-50})=(\det A^{-1}{)}^{50}=\frac{1}{|A{|}^{50}}=\frac{1}{(a^2-b^2{)}^{50}}.$$

Resultado: $\det (A^{-50})=\frac{1}{(a^2-b^2{)}^{50}}$

Resultado: a) $a=1$, $b=0$; b) $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A^4=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$; c) $\frac{1}{(a^2-b^2{)}^{50}}$

La recta $s$ pasa por $P=(1,1,0)$ y tiene vector director ${\vec{d}}_s=(2,3,1)$.

a) Un vector director de $r$ es $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,1,0)$, y pasa por $A=(2,0,0)$:

$$r:(x,y,z)=(2,0,0)+\lambda (-2,1,0).$$

1. Ecuaciones paramétricas: $x=2-2\lambda$, $y=\lambda$, $z=0$.
2. Eliminando $\lambda$: $x=2-2y\Rightarrow x+2y-2=0$, y además $z=0$.
3. Comprobación con $B=(0,1,0)$: $0+2-2=0$ y $z=0$.

Resultado: $r:\{\begin{array}{rl}x+2y& =2\\ z& =0\end{array}$

b) El plano $\pi$ contiene a $s$ y es paralelo a $r$: contiene las direcciones ${\vec{d}}_s=(2,3,1)$ y ${\vec{d}}_r=(-2,1,0)$, y pasa por $P$.

1. Vector normal:

$$\vec{n}={\vec{d}}_s\times {\vec{d}}_r=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 3& 1\\ -2& 1& 0\end{array}\right|=(3\cdot 0-1\cdot 1,-(2\cdot 0+2),2\cdot 1+6)=(-1,-2,8).$$

2. Tomamos $\vec{n}=(1,2,-8)$ (opuesto). El plano es $x+2y-8z+D=0$.
3. Pasa por $P=(1,1,0)$: $1+2+D=0\Rightarrow D=-3$.
4. Comprobación: $\vec{n}\cdot {\vec{d}}_s=2+6-8=0$ y $\vec{n}\cdot {\vec{d}}_r=-2+2=0$. Además $A=(2,0,0)$ no está en el plano ($2-3\ne 0$), así que $r$ es paralela al plano y no está contenida en él.

Resultado: $\pi :x+2y-8z-3=0$

c) Usamos $d(A,s)=\frac{|\overrightarrow{PA}\times {\vec{d}}_s|}{|{\vec{d}}_s|}$ con $\overrightarrow{PA}=A-P=(1,-1,0)$.

$$\overrightarrow{PA}\times {\vec{d}}_s=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 0\\ 2& 3& 1\end{array}\right|=(-1-0,-(1-0),3+2)=(-1,-1,5).$$

2. Módulo: $|\overrightarrow{PA}\times {\vec{d}}_s|=\sqrt{1+1+25}=\sqrt{27}$ y $|{\vec{d}}_s|=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$.
3. Distancia:

$$d(A,s)=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{27}{14}}\approx 1,389.$$

Resultado: $d(A,s)=\sqrt{\frac{27}{14}}=\frac{3\sqrt{42}}{14}\approx 1,389$

Resultado: a) $r:x+2y=2,z=0$; b) $x+2y-8z-3=0$; c) $\sqrt{\frac{27}{14}}\approx 1,389$

a) La recta perpendicular a $\pi$ tiene como vector director el normal del plano, $\vec{n}=(2,2,1)$, y pasa por $B$:

$$(x,y,z)=(3,2,3)+\lambda (2,2,1)=(3+2\lambda ,2+2\lambda ,3+\lambda ).$$

1. Sustituimos en la ecuación del plano: $2(3+2\lambda )+2(2+2\lambda )+(3+\lambda )=3$.
2. $6+4\lambda +4+4\lambda +3+\lambda =3\Rightarrow 13+9\lambda =3\Rightarrow \lambda =-\frac{10}{9}$.
3. Punto $C$:

$$C=\left(3-\frac{20}{9},2-\frac{20}{9},3-\frac{10}{9}\right)=\left(\frac{7}{9},-\frac{2}{9},\frac{17}{9}\right).$$

4. Comprobación: $2\cdot \frac{7}{9}+2\cdot \left(-\frac{2}{9}\right)+\frac{17}{9}=\frac{14-4+17}{9}=3$.

Resultado: $C=\left(\frac{7}{9},-\frac{2}{9},\frac{17}{9}\right)$

b) El área es $\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$.

1. $\overrightarrow{AB}=(1,1,5)$ y $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{7}{9}-2,-\frac{2}{9}-1,\frac{17}{9}+2\right)=\left(-\frac{11}{9},-\frac{11}{9},\frac{35}{9}\right)$.
2. Producto vectorial:

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 5\\ -\frac{11}{9}& -\frac{11}{9}& \frac{35}{9}\end{array}\right|=\left(\frac{35}{9}+\frac{55}{9},-\frac{55}{9}-\frac{35}{9},-\frac{11}{9}+\frac{11}{9}\right)=(10,-10,0).$$

3. Módulo: $|(10,-10,0)|=10\sqrt{2}$.
4. Área:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{2}=5\sqrt{2}=\sqrt{50}\approx 7,071{\text{u}}^2.$$

Resultado: $S=5\sqrt{2}=\sqrt{50}\approx 7,071$ u${}^2$

Resultado: a) $C=\left(\frac{7}{9},-\frac{2}{9},\frac{17}{9}\right)$; b) $5\sqrt{2}\approx 7,071$ u${}^2$

a) Es una integral racional. Factorizamos el denominador: las raíces de $x^2-5x-14=0$ son $x=\frac{5\pm 9}{2}$, es decir, $x=7$ y $x=-2$. Luego $x^2-5x-14=(x-7)(x+2)$.

1. Descomponemos en fracciones simples:

$$\frac{18}{(x-7)(x+2)}=\frac{A}{x-7}+\frac{B}{x+2}\Rightarrow 18=A(x+2)+B(x-7).$$

2. Con $x=7$: $18=9A\Rightarrow A=2$. Con $x=-2$: $18=-9B\Rightarrow B=-2$.
3. Integramos:

$$\int \frac{18}{x^2-5x-14}dx=2\int \frac{dx}{x-7}-2\int \frac{dx}{x+2}=2\ln |x-7|-2\ln |x+2|+C.$$

Resultado: $\int \frac{18}{x^2-5x-14}dx=2\ln |x-7|-2\ln |x+2|+C=2\ln \left|\frac{x-7}{x+2}\right|+C$

b) El intervalo $[8,t]$ con $t>8$ no contiene ninguna de las raíces $7$ y $-2$ (la función es continua en él). Aplicamos la regla de Barrow con $F(x)=2\ln |x-7|-2\ln |x+2|$:

1. $F(8)=2\ln 1-2\ln 10=-2\ln 10$.
2. ${\int }_8^t\frac{18}{x^2-5x-14}dx=F(t)-F(8)=2\ln |t-7|-2\ln |t+2|+2\ln 10.$

Resultado: $2\ln |t-7|-2\ln |t+2|+2\ln 10=2\ln \frac{10(t-7)}{t+2}$ (para $t>8$)

c) Igualamos a $\ln \frac{25}{4}$, con $t>8$ (luego $t-7>0$ y $t+2>0$):

1. $2\ln \frac{10(t-7)}{t+2}=\ln \frac{25}{4}\Rightarrow \ln {\left(\frac{10(t-7)}{t+2}\right)}^2=\ln \frac{25}{4}$.
2. ${\left(\frac{10(t-7)}{t+2}\right)}^2=\frac{25}{4}$, y como el cociente es positivo, $\frac{10(t-7)}{t+2}=\frac{5}{2}$.
3. $20(t-7)=5(t+2)\Rightarrow 20t-140=5t+10\Rightarrow 15t=150\Rightarrow t=10$.
4. Comprobación: $\frac{10\cdot 3}{12}=\frac{5}{2}$ y $2\ln \frac{5}{2}=\ln \frac{25}{4}$.

Resultado: $t=10$

Resultado: a) $2\ln |x-7|-2\ln |x+2|+C$; b) $2\ln |t-7|-2\ln |t+2|+2\ln 10$; c) $t=10$

a) El rectángulo tiene un vértice en el origen y el vértice opuesto en $M=(x,e^{-x^2})$, con $x>0$. Su base mide $x$ y su altura $e^{-x^2}$:

$$A(x)=x{e}^{-x^2},x>0.$$

Resultado: $A(x)=x{e}^{-x^2}$

b) Maximizamos $A(x)$ para $x>0$.

1. Derivamos:

$$A^{\prime }(x)=e^{-x^2}+x\cdot (-2x)e^{-x^2}=e^{-x^2}(1-2x^2).$$

2. Como $e^{-x^2}>0$: $A^{\prime }(x)=0\Rightarrow 1-2x^2=0\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (solo la raíz positiva).
3. Signo de $A^{\prime }$: si $0<x<\frac{1}{\sqrt{2}}$, $1-2x^2>0$ y $A$ crece; si $x>\frac{1}{\sqrt{2}}$, $1-2x^2<0$ y $A$ decrece. Luego en $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ hay un máximo (absoluto en $x>0$).
4. Coordenadas de $M$: $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}}$.
5. Área máxima:

$$A\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2e}}\approx 0,4289{\text{u}}^2.$$

Resultado: $M=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{e}}\right)\approx (0,7071;0,6065)$ y $A_{\max }=\frac{1}{\sqrt{2e}}\approx 0,4289$ u${}^2$

Resultado: a) $A(x)=x{e}^{-x^2}$; b) $M=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$, $A_{\max }=\frac{1}{\sqrt{2e}}\approx 0,4289$