Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Junio 2022

Empezamos calculando $A{B}^T$. La traspuesta de $B$ es

$$B^T=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

Multiplicamos $A$ (de tamaño $2\times 3$) por $B^T$ (de tamaño $3\times 2$): el resultado es de tamaño $2\times 2$.

1. Fila 1 de $A$, $(1,0,1)$: con la columna 1 de $B^T$, $(1,1,1)$, da $1+0+1=2$; con la columna 2, $(0,1,0)$, da $0+0+0=0$.
2. Fila 2 de $A$, $(-1,2,-1)$: con la columna 1, $-1+2-1=0$; con la columna 2, $0+2+0=2$.

$$A{B}^T=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I.$$

a) Calculamos la matriz $M=C-A{B}^T$:

$$M=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -3\end{array}\right).$$

1. Su determinante es $|M|=(-1)(-3)-1\cdot 0=3\ne 0$, así que $M$ tiene inversa.
2. Para la inversa usamos la fórmula de la matriz $2\times 2$: se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre el determinante:

$$M^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-3& -1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -\frac{1}{3}\\ 0& -\frac{1}{3}\end{array}\right).$$

3. Comprobación: $\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& -1/3\\ 0& -1/3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{3}-\frac{1}{3}\\ 0& 1\end{array}\right)=I$.

Resultado: $|C-A{B}^T|=3\ne 0$ y $(C-A{B}^T{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& -\frac{1}{3}\\ 0& -\frac{1}{3}\end{array}\right)$

b) Pasamos $A{B}^{T}X$ al primer miembro y sacamos $X$ factor común por la derecha:

1. $CX-A{B}^{T}X=I\Rightarrow (C-A{B}^T)X=I$.
2. Como $C-A{B}^T$ tiene inversa (apartado a), multiplicamos por ella por la izquierda: $X=(C-A{B}^T{)}^{-1}$.

$$X=\left(\begin{array}{cc}-1& -\frac{1}{3}\\ 0& -\frac{1}{3}\end{array}\right).$$

Resultado: $X=\left(\begin{array}{cc}-1& -\frac{1}{3}\\ 0& -\frac{1}{3}\end{array}\right)$

c) Hemos visto que $A{B}^T=2I$. Como $I$ conmuta con cualquier matriz y $I^k=I$:

1. $(A{B}^T{)}^n=(2I{)}^n=\underset{n\text{ veces}}{\underbrace{2I\cdot 2I\cdots 2I}}=2^n{I}^n=2^{n}I$.
2. Por inducción: para $n=1$, $A{B}^T=2I$. Si $(A{B}^T{)}^n=2^{n}I$, entonces $(A{B}^T{)}^{n+1}=(A{B}^T{)}^{n}A{B}^T=2^{n}I\cdot 2I=2^{n+1}I$.

Resultado: $A{B}^T=2I$, luego $(A{B}^T{)}^n=2^{n}I$ para todo $n\in \mathbb{N}$.

Resultado: a) $|C-A{B}^T|=3\ne 0$, $(C-A{B}^T{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& -\frac{1}{3}\\ 0& -\frac{1}{3}\end{array}\right)$; b) $X=\left(\begin{array}{cc}-1& -\frac{1}{3}\\ 0& -\frac{1}{3}\end{array}\right)$; c) $A{B}^T=2I\Rightarrow (A{B}^T{)}^n=2^{n}I$

a) Calculamos el determinante de $A$ desarrollando por la primera fila:

1. $|A|=m\left|\begin{array}{cc}{m}^2& 1\\ 2m& 1\end{array}\right|-0+(m-1)\left|\begin{array}{cc}-2m& m^2\\ 0& 2m\end{array}\right|$.
2. $\left|\begin{array}{cc}{m}^2& 1\\ 2m& 1\end{array}\right|=m^2-2m$ y $\left|\begin{array}{cc}-2m& m^2\\ 0& 2m\end{array}\right|=-4m^2$.
3. $|A|=m(m^2-2m)-4m^2(m-1)=m^3-2m^2-4m^3+4m^2=-3m^3+2m^2=m^2(2-3m)$.
4. $|A|=0\iff m=0$ o $m=\frac{2}{3}$.

Discutimos:

• Si $m\ne 0$ y $m\ne \frac{2}{3}$: $|A|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=3$.
• Si $m=0$: $$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$ todas las filas son proporcionales a $(0,0,1)$ y $A\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=1$.
• Si $m=\frac{2}{3}$: el menor formado por las dos primeras filas y columnas es $\left|\begin{array}{cc}m& 0\\ -2m& m^2\end{array}\right|=m^3=\frac{8}{27}\ne 0$, y como $|A|=0$, $\mathrm{rg}A=2$.

Resultado: $\mathrm{rg}A=3$ si $m\ne 0,\frac{2}{3}$; $\mathrm{rg}A=1$ si $m=0$; $\mathrm{rg}A=2$ si $m=\frac{2}{3}$.

b) Para $m=2$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ -4& 4& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right),|A|=4(2-6)=-16\ne 0.$$

Calculamos la inversa con la matriz de adjuntos.

1. Adjuntos de la primera fila: $A_{11}=\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 4& 1\end{array}\right|=0$; $A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}-4& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=4$; $A_{13}=\left|\begin{array}{cc}-4& 4\\ 0& 4\end{array}\right|=-16$.
2. Segunda fila: $A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 1\end{array}\right|=4$; $A_{22}=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=2$; $A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right|=-8$.
3. Tercera fila: $A_{31}=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 1\end{array}\right|=-4$; $A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -4& 1\end{array}\right|=-6$; $A_{33}=\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ -4& 4\end{array}\right|=8$.
4. La inversa es la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida entre el determinante:

$$A^{-1}=\frac{1}{-16}\left(\begin{array}{ccc}0& 4& -4\\ 4& 2& -6\\ -16& -8& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -\frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{8}& \frac{3}{8}\\ 1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right).$$

5. Comprobación de la primera fila de $A{A}^{-1}$: $(2,0,1)\cdot (0,-\frac{1}{4},1)=1$; $(2,0,1)\cdot (-\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$; $(2,0,1)\cdot (\frac{1}{4},\frac{3}{8},-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$.

Resultado: $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -\frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{8}& \frac{3}{8}\\ 1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

c) Como $A$ es de orden 3, al multiplicar toda la matriz por 2 cada una de las tres filas queda multiplicada por 2 y el determinante se multiplica por $2^3$:

1. $|2A|=2^3|A|=8m^2(2-3m)$.
2. $8m^2(2-3m)=-8\Rightarrow 2m^2-3m^3=-1\Rightarrow 3m^3-2m^2-1=0$.
3. Probamos $m=1$: $3-2-1=0$, es raíz. Dividiendo por $(m-1)$: $3m^3-2m^2-1=(m-1)(3m^2+m+1)$.
4. $3m^2+m+1=0$ tiene discriminante $1-12=-11<0$: no tiene raíces reales.

Resultado: $m=1$

Resultado: a) $\mathrm{rg}A=3$ si $m\ne 0,\frac{2}{3}$; $\mathrm{rg}A=1$ si $m=0$; $\mathrm{rg}A=2$ si $m=\frac{2}{3}$; b) $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -\frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{8}& \frac{3}{8}\\ 1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$; c) $m=1$

Tomando $z$ como parámetro obtenemos las ecuaciones paramétricas de cada recta.

• $r$: $(x,y,z)=(-1,2,0)+\lambda (1,-3,1)$. Punto $P_r=(-1,2,0)$ y dirección ${\vec{d}}_r=(1,-3,1)$.
• $s$: $(x,y,z)=(4,-3,0)+\mu (-5,4,1)$. Punto $P_s=(4,-3,0)$ y dirección ${\vec{d}}_s=(-5,4,1)$.

a)

1. Las direcciones $(1,-3,1)$ y $(-5,4,1)$ no son proporcionales: las rectas no son paralelas ni coincidentes.
2. Estudiamos si son coplanarias con el determinante de ${\vec{d}}_r$, ${\vec{d}}_s$ y $\overrightarrow{P_r{P}_s}=(5,-5,0)$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& -3& 1\\ -5& 4& 1\\ 5& -5& 0\end{array}\right|=1(0+5)+3(0-5)+1(25-20)=5-15+5=-5\ne 0.$$

3. Los tres vectores son linealmente independientes: las rectas no están en un mismo plano. Por tanto, no se cortan ni son paralelas.

Resultado: $r$ y $s$ se cruzan en el espacio.

b) La recta $l$ pasa por el origen $O$ y corta a $r$ y a $s$. Entonces $l$ está contenida en el plano ${\pi }_r$ que contiene a $O$ y a $r$, y también en el plano ${\pi }_s$ que contiene a $O$ y a $s$. Luego $l={\pi }_r\cap {\pi }_s$.

1. Plano ${\pi }_r$: pasa por $O$ y contiene las direcciones ${\vec{d}}_r=(1,-3,1)$ y $\overrightarrow{O{P}_r}=(-1,2,0)$. Un vector normal es $${\vec{d}}_r\times \overrightarrow{O{P}_r}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -3& 1\\ -1& 2& 0\end{array}\right|=(-2,-1,-1)\parallel (2,1,1).$$ Así, ${\pi }_r:2x+y+z=0$. Comprobación: $P_r$: $-2+2+0=0$; dirección: $2-3+1=0$.
2. Plano ${\pi }_s$: contiene ${\vec{d}}_s=(-5,4,1)$ y $\overrightarrow{O{P}_s}=(4,-3,0)$. Un vector normal es $${\vec{d}}_s\times \overrightarrow{O{P}_s}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -5& 4& 1\\ 4& -3& 0\end{array}\right|=(3,4,-1).$$ Así, ${\pi }_s:3x+4y-z=0$. Comprobación: $P_s$: $12-12=0$; dirección: $-15+16-1=0$.
3. La recta $l$ es $$l:\{\begin{array}{rl}2x+y+z& =0\\ 3x+4y-z& =0\end{array}$$ Su dirección es $(2,1,1)\times (3,4,-1)=(-5,5,5)\parallel (-1,1,1)$, que no es paralela a $r$ ni a $s$, de modo que $l$ corta realmente a ambas.
4. Comprobación de los puntos de corte. Los puntos de $l$ son $(-t,t,t)$. Con $r$ ($x=z-1$, $y=2-3z$): $-t=t-1$ y $t=2-3t$ dan $t=\frac{1}{2}$: punto $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$. Con $s$ ($x=4-5z$, $y=4z-3$): $-t=4-5t$ y $t=4t-3$ dan $t=1$: punto $(-1,1,1)$.

Resultado: $l:\{\begin{array}{rl}2x+y+z& =0\\ 3x+4y-z& =0\end{array}$, es decir, $(x,y,z)=t(-1,1,1)$.

Resultado: a) $r$ y $s$ se cruzan; b) $l:2x+y+z=0,3x+4y-z=0$

a) Pasamos ${\pi }_2$ a forma general.

1. ${\pi }_2$ pasa por $(-1,1,0)$ y tiene vectores directores $\vec{u}=(1,1,1)$ y $\vec{v}=(0,1,-1)$.
2. Vector normal: $\vec{u}\times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right|=(-2,1,1)\parallel (2,-1,-1)$.
3. Ecuación: $2(x+1)-(y-1)-z=0\Rightarrow {\pi }_2:2x-y-z+3=0$.
4. Comparamos con ${\pi }_1:2x-y-z+4=0$: los coeficientes de $x,y,z$ son iguales (normales proporcionales), pero el término independiente no: $\frac{2}{2}=\frac{-1}{-1}=\frac{-1}{-1}\ne \frac{4}{3}$.

Resultado: ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ son paralelos no coincidentes.

b) Hallamos el pie $M$ de la perpendicular desde $P$ a ${\pi }_1$; el simétrico cumple $M=\frac{P+P^{\prime }}{2}$.

1. Recta perpendicular a ${\pi }_1$ por $P$, con dirección la normal $\vec{n}=(2,-1,-1)$: $(x,y,z)=(1+2t,-t,-t)$.
2. La cortamos con ${\pi }_1$: $2(1+2t)-(-t)-(-t)+4=0\Rightarrow 2+4t+t+t+4=0\Rightarrow 6t=-6\Rightarrow t=-1$.
3. El pie es $M=(1-2,1,1)=(-1,1,1)$.
4. $P^{\prime }=2M-P=(-2-1,2-0,2-0)=(-3,2,2)$.
5. Comprobación: $P^{\prime }$ está en el lado opuesto de ${\pi }_1$ a igual distancia: $2(-3)-2-2+4=-6$, y para $P$: $2-0-0+4=6$.

Resultado: $P^{\prime }=(-3,2,2)$

c) Los puntos de la recta son $(1+\lambda ,2\lambda ,2-\lambda )$. Sustituimos en ${\pi }_1$:

1. $2(1+\lambda )-2\lambda -(2-\lambda )+4=0\Rightarrow 2+2\lambda -2\lambda -2+\lambda +4=0\Rightarrow \lambda +4=0\Rightarrow \lambda =-4$.
2. Punto: $(1-4,-8,2+4)=(-3,-8,6)$.
3. Comprobación: $2(-3)+8-6+4=0$.

Resultado: $(-3,-8,6)$

Resultado: a) paralelos no coincidentes; b) $P^{\prime }=(-3,2,2)$; c) $(-3,-8,6)$

a) El dominio excluye los valores que anulan el denominador: $x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$.

1. $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$.
2. Corte con el eje $OY$: $f(0)=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$, punto $\left(0,-\frac{3}{4}\right)$.
3. Corte con el eje $OX$: $f(x)=0\Rightarrow x^2+3=0$, que no tiene solución real. No corta al eje $OX$.

Resultado: $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$; único punto de corte $\left(0,-\frac{3}{4}\right)$.

b)

1. Asíntotas verticales: en $x=\pm 2$ el numerador vale $7\ne 0$ y el denominador se anula, luego $\underset{x\to 2^{\pm }}{\lim }f(x)=\pm \infty$ y $\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=\pm \infty$. Son asíntotas verticales $x=-2$ y $x=2$.
2. Asíntota horizontal: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2+3}{x^2-4}=1$, luego $y=1$ es asíntota horizontal en ambos extremos.
3. Al haber asíntota horizontal no hay asíntotas oblicuas.

Resultado: asíntotas verticales $x=-2$ y $x=2$; asíntota horizontal $y=1$.

c) Derivamos con la regla del cociente:

1. $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x^2-4)-(x^2+3)\cdot 2x}{(x^2-4{)}^2}=\frac{2x(x^2-4-x^2-3)}{(x^2-4{)}^2}=\frac{-14x}{(x^2-4{)}^2}$.
2. El denominador es siempre positivo en el dominio, así que el signo de $f^{\prime }$ es el de $-14x$: $f^{\prime }>0$ si $x<0$ y $f^{\prime }<0$ si $x>0$. Solo se anula en $x=0$.
3. Con los puntos $x=-2$ y $x=2$ fuera del dominio:
   • $f^{\prime }>0$ en $(-\infty ,-2)\cup (-2,0)$: $f$ creciente.
   • $f^{\prime }<0$ en $(0,2)\cup (2,+\infty )$: $f$ decreciente.
4. En $x=0$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo, de valor $f(0)=-\frac{3}{4}$.

Resultado: $f$ crece en $(-\infty ,-2)\cup (-2,0)$ y decrece en $(0,2)\cup (2,+\infty )$; máximo relativo en $\left(0,-\frac{3}{4}\right)$.

d) Dividimos el numerador entre el denominador:

$$\frac{x^2+3}{x^2-4}=1+\frac{7}{x^2-4}.$$

1. Descomponemos en fracciones simples: $\frac{7}{x^2-4}=\frac{7}{(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}$.
2. $7=A(x+2)+B(x-2)$. Con $x=2$: $7=4A\Rightarrow A=\frac{7}{4}$. Con $x=-2$: $7=-4B\Rightarrow B=-\frac{7}{4}$.
3. Integramos:

$$\int f(x)dx=\int 1dx+\frac{7}{4}\int \frac{dx}{x-2}-\frac{7}{4}\int \frac{dx}{x+2}=x+\frac{7}{4}\ln |x-2|-\frac{7}{4}\ln |x+2|+C.$$

Resultado: $\int f(x)dx=x+\frac{7}{4}\ln |x-2|-\frac{7}{4}\ln |x+2|+C$

Resultado: a) $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$, corte $\left(0,-\frac{3}{4}\right)$; b) AV $x=\pm 2$, AH $y=1$; c) crece en $(-\infty ,-2)\cup (-2,0)$, decrece en $(0,2)\cup (2,+\infty )$, máximo en $\left(0,-\frac{3}{4}\right)$; d) $x+\frac{7}{4}\ln |x-2|-\frac{7}{4}\ln |x+2|+C$

a) Sea $x$ el lado del triángulo equilátero.

1. El triángulo usa un trozo de cable de longitud $3x$. El resto, $240-3x$, se emplea para el cuadrado, cuyo lado es $\frac{240-3x}{4}$.
2. Área del triángulo equilátero de lado $x$: la altura es $\frac{\sqrt{3}}{2}x$, así que $A_T=\frac{1}{2}x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$.
3. Área del cuadrado: $A_C={\left(\frac{240-3x}{4}\right)}^2$.
4. Suma de áreas, con $0\le x\le 80$ (para que el cable no sobre ni falte):

$$A(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+{\left(\frac{240-3x}{4}\right)}^2.$$

Resultado: $A(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+{\left(\frac{240-3x}{4}\right)}^2$, $x\in [0,80]$

b) Minimizamos $A(x)$.

1. Derivamos: $A^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}x+2\cdot \frac{240-3x}{4}\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{3(240-3x)}{8}$.
2. $A^{\prime }(x)=0$: multiplicando por 8, $4\sqrt{3}x-720+9x=0\Rightarrow x=\frac{720}{4\sqrt{3}+9}\approx 45,203$ m.
3. $A^{\prime \prime }(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{9}{8}>0$: el punto crítico es un mínimo (y es el único del intervalo).
4. Comparamos con los extremos del intervalo: $A(0)=3600$ y $A(80)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 6400\approx 2771,3$, ambos mayores que el valor en el punto crítico, así que es el mínimo absoluto.
5. Longitud de cable para el triángulo:

$$3x=\frac{2160}{4\sqrt{3}+9}\approx 135,609\text{m}.$$

6. Área mínima. En el punto crítico, de $4\sqrt{3}x=3(240-3x)$ resulta que el lado del cuadrado es $s=\frac{240-3x}{4}=\frac{x}{\sqrt{3}}$, de modo que

$$A_{\min }=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+\frac{x^2}{3}=\frac{3\sqrt{3}+4}{12}{x}^2=\frac{3\sqrt{3}+4}{12}\cdot \frac{720^2}{(4\sqrt{3}+9{)}^2}=\frac{14400}{11}\left(3\sqrt{3}-4\right)\approx 1565,87{\text{m}}^2.$$

(Numéricamente, con $x\approx 45,203$: $A\approx \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2043,3+{\left(\frac{104,39}{4}\right)}^2\approx 884,8+681,1\approx 1565,9$.)

Resultado: longitud para el triángulo $3x=\frac{2160}{4\sqrt{3}+9}\approx 135,609$ m (lado $x\approx 45,203$ m); área mínima $\frac{14400}{11}\left(3\sqrt{3}-4\right)\approx 1565,87$ m${}^2$.

Resultado: a) $A(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+{\left(\frac{240-3x}{4}\right)}^2$; b) $3x=\frac{2160}{4\sqrt{3}+9}\approx 135,609$ m y $A_{\min }=\frac{14400}{11}\left(3\sqrt{3}-4\right)\approx 1565,87$ m${}^2$